2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf tk.

Átírás

1 . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján : ) ) n n, tehát origó n n körüli hatványsorba ejthető, következésképpen itt akárhányszor deriválható és ez az et előállító n) ) hatványsor origó körüli Taylor-sora, így a Taylor-sor deiníciója szerint minden valós re ) n. A két kiejezésben együtthatóit összehasonlítva ) ) ) 5! 5! ) 5! ) )! 5! 5!., amiből. Mely a és b valós számokra lesz az alábbi egyenletrendszernek a) nulla b) egy c) végtelen sok megoldása? y z + y + z + az b MO. Gauss elimináció után a kibővített mátri:, tehát a + b mo.: a, b, egy mo.: a, sok mo.: a, b.. Legyen A. a Mely a valós számok esetén invertálható az A mátri? Határozza meg A inverzét az a esetbe MO. Minden a esetén, A. 4. Hol deriválható az, y) + y üggvény? MO. Az origón kívül és az y egyenesen mindenütt, mert ilyenekből van deriválhatóságot megőrző módon összerakva. Az origóban azonban nem. Ugyanis, ) így, ) és ugyanígy, y), ), ), y) + y a másik, tehát, ) y, ), továbbá y és + y + y ennek a üggvénynek nincs határértéke az origóban, hisz a tengelyek mentén konstans az értéke, az y, > egyenes mentén pedig konstans. Ami az y egyenest illeti, ennek a +, a) a, a) + a mentén már a parciálisok sem léteznek : + a + a + a, aminek nyilvánvalóan nincs határértéke az ban. 5. Határozza meg az, y) + y üggvény P, ) pontbeli v, ) irányú iránymenti deriváltját a P, ) pontba MO. grad 9 +y, ), tehát grad P 5, ), és v 5, így v 5, ), ) n

2 . zárthelyi megoldásokkal 999 tavasz I. év..-8.tk. Minden választ indokolni kell). Legyenek L, L L lineáris terek. Állapítsa meg, hogy L alábbi részhalmazai közül melyik altere L nek X \ Y { X : Y }). a) L \ L ) {} b) L L MO. a) Nem, pl. L R, L R {} valós tengely) esetén, ),, ) L L ) {}, de, ), ) +, ) L L ) {}. b) Igen: c, d R,, y L L, y L, L c + dy L, L c + dy L L.. Melyek igazak, melyek nem? a. Lineárisan üggetlenségen egy elem elhagyása nem változtat b. Lineárisan üggőségen egy elem elhagyása nem változtat c. Lineárisan üggetlenségen egy elem hozzávétele nem változtat d. Lineárisan üggőségen egy elem hozzávétele nem változtat MO. a) Igaz: i j c i i i c i i ha c j c i minden i j. b) Nem igaz: -val {, } lin üggő, de {} nem. c) Nem igaz, lásd b)-beli pl. d) Igaz a) miatt.. Mely a és b valós számokra lesz az alábbi egyenletrendszernek a) nulla b) egy c) végtelen sok megoldása? + y z MO. Gauss elimináció után: y + z y + az b a b tehát a) mo.: a, b b) mo.: a c) mo.: a, b. 4. Határozza meg az alábbi mátri inverzét és igazolja is, ) hogy ez jobb- és baloldali inverz is!! MO. ) 5. Hol deriválható az, y) y üggvény? MO. Az origón és az y egyenesen kívül mindenütt, mert ilyenekből van deriválhatóságot megőrző módon összerakva., ), ), ) így, ) lim, és ugyanígy a másik:, y), ), ), y) y y, ). Mivel + y és ennek a üggvénynek + y + y nincs határértéke az origóban, hisz a tengelyek mentén konstans az értéke míg pl. a y mentén konstans. Ami az y egyenest illeti, ennek mentén már a parciálisok sem léteznek : a +, a) a, a) + a + a + a + a, aminek nyilvánvalóan nincs határértéke az ban. 6. Határozza meg az, y) y üggvény P, ) pontbeli v, ) irányú irányú iránymenti deriváltját! MO. grad 4 y, ), így grad P 5, ) v 5, ), ) hisz v 5.

3 . Zárthelyi megoldásokkal tavasz I. év..-8.tk.. Határozza meg az n ) n üggvénysorozatsorozat T konvergenciatartományát és mutassa meg, hogy n ) az egész T n nem, de T minden korlátos részén egyenletesen konvergens! MO. n az egész R en r n ) n Kn ha K és r n n) nn.. Legyen ) sin ha, ). Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az. deriváltját az origóban! MO. sin origó körüli Taylor-sora alapján minden valós re: )! + 4 5!...! +... ) ) akárhányszor deriváható az origóban és ) )!!!!. Melyek igazak, melyek nem? a) Generátorrendszertől üggetlen elem nem létezik b) Generátorrendszer lineárisan üggetlen c) Generátorrendszerhez bármely elemet hozzávéve generátorrendszer marad d) Generátorrendszerből bármely elemet elhagyva megszűnik generátorrendszernek lenni MO. a) Igaz : generátorrendszer de. je. b) Nem igaz : lásd c). c) Igaz : L LX) LX {}) LX) L. d) Nem igaz : lásd c). 4. Mely a és b valós számokra lesz az alábbi egyenletrendszernek a) nulla b) egy c) végtelen sok megoldása? + y + z MO. Gauss elimináció után: + y + z y + az b a + b + tehát a) mo.: a, b b) mo.: a c) mo.: a, b. 5. Legyen, y) y + y az origón kívül és, ). Határozza meg az üggvény e, ) és e, ) irányú iránymenti deriváltjait az origóban ill. a P, ) pontban, amennyiben ezek léteznek! MO. Mind a négy parciális létezik :, ) y, ) hisz, ), y) minden, y ra. Másutt mindenütt deriváható a üggvény mert ilyenekből van deriválhatóságot megőrző módon összerakva y és, y) + y y + y ), y, y) + y y + y ), azaz, ), y, ). 6. Legyen, y) y + y az origón kívül és, ). Határozza meg az üggvény deriváltját az origóban ill. a P, ) pontban, amennyiben léteznek! MO. Az origóban nem deriválható, mert még csak nem is olytonos :, ), ), így lim, ) lim, ). Az origón kívül mindenütt deriválható mert ilyenekből van deriválhatóságot megőrző módon összerakva és az előző pl. alapján grad P, ).

4 . Zárthelyi megoldásokkal tavasz I. év..-8.tk.. Határozza meg az n ) + e n üggvénysorozatsorozat konvergencia és egyenletes konvergencia tartományát! MO. Tetsz. R re n ), így tetsz. R re r n ) e n e n, azaz egyenletesen konvergens az egész számegyenesen.. Létezik-e olyan hatványsor, melynek határüggvénye minden valós szám esetén az üggvény, ha a) ) sin az origón kívül,, ) b) ) ) + + ) Azon esetek)ben, melyek)re a válasz igen, adjon meg két ilyen hatványsort, ha van! MO. a) Nem : hatványsor határüggvénye akárhányszor deriválható, pedig az origóban csak egyszer. b) Igen : ) ) + + ) egy origó körüli, ) 4, ) 4, ) 4 ) ) + ) pedig egy körüli hatványsor.. Számitsa ki az e d értékét. pontossággal! MO. e körüli Taylor-sora alapján : e d + 4! 6! ) n ) +... d + 5 5! 7 7! n+ )n n + ) ! 7! )n n + ) +..., hiszen az integrálás és a határátmenet elcserélhető, tekintve, hogy a szóbanorgó hatványsor mindenütt konvergens összegüggvénye: e minden valós re), így bármely korlátos intervallumon egyenletesen is konvergens. Az eredménysor nyilván Leibniz tipusú, így a hiba nem nagyobb, mint az első elhagyott tag abszolút értéke: r n n + ) n + ) n 4 e d Melyek igazak, melyek nem? a) Lineárisan üggetlen rendszer generátorrendszer b) Generátorrendszer lineárisan üggetlen c) Lineárisan üggetlen rendszerhez bármely új elemet hozzávéve lineárisan üggetlen marad d) Lineárisan üggetlen rendszerhez bármely új elemet hozzávéve megszűnik lineárisan üggetlennek lenni e) Lineárisan üggetlen rendszerből bármely elemet elhagyva lineárisan üggetlen marad ) Lineárisan üggetlen rendszerből bármely elemet elhagyva megszűnik lineárisan üggetlennek lenni MO. R ban legyen i,, ), j,, ), k,, ), l,, ), X {i, j}, Y {i, j, k}, Z {i, j, k, l}. a) Nem igaz : X lin. gtlen, de pl. k LX). b) Nem igaz : Z gen. rndsz., l Z, de l LZ \ {l}) c) Nem igaz : Y lin. gtlen, de Z Y {l}, már nem az lásd b)) d) Nem igaz : X lin.gtlen és Y X {k} is az e) Igaz ) Nem igaz : lásd e). 5. Legyen, y) + y az origón kívül,, ). Deriválható e az origóban? + y MO. Nem : ) A parciálisok az origóban :, ) minden re, ), ),, y) y minden y ra y, ), y). h + h, + k), ) h, k) +k h ) gh, k) +k h + k) h k + k h és g nek nincs h + k h + k h + k ) határértéke az origóban : gh, ) h,k),), gh, h) h h ) 6. Határozza meg az, y) 4 + y üggvény lokális szélsőértékhelyeit! 8 h,k),) 8 MO. grad, y) 4, y), y. A második parciálisok mártia: ) A, ennek determinánsa P, ) ban 96 >, így itt van szélsőértéke, és ez minimum, mert itt 48 >.

5 . Zárthelyi megoldásokkal tavasz B Serény. Határozza meg az ) π signsin ) üggvény Fourier sorát! 4 MO. páratlan a n tetsz. n re és ) sin n páros, így b n π n π ) sin n d π ) sin n d sin n d cos n n ) n ) b n n ha n páratlan és b n egyébként a sor : π n sinn + ) n +. Legyen I, ), C az I n olytonosan dierenciálható üggvények lineáris tere és minden g üggvényre L g azon C üggvények halmaza, melyekre ennáll, hogy ) + ) g) minden I re. Van e olyan g, hogy L g altere C nek? MO. Igen : g. Valóban, minden c, c R re g) c + c ) ) + c + c )) c ) + ) ) + c ) + ) ) c g) + c g) c + c )g) c + c )g) g) g) minden, ) re.. Mely a és b valós számokra lesz az alábbi egyenletrendszernek a) nulla b) egy c) végtelen sok megoldása? y z + y + z + az b MO. Gauss elimináció után a kibővített mátri:, tehát a + b a) mo.: a, b, b) egy mo.: a, c) sok mo.: a, b. 4. Legyen A a. Mely a valós számok esetén invertálható az A mátri? Határozza meg A inverzét az a esetbe MO. Minden a esetén. Az inverz a ra : A. 5. Hol deriválható az, y) + y üggvény? MO. Az origón kívül és az y egyenesen mindenütt, mert ilyenekből van deriválhatóságot megőrző módon összerakva. Az origóban azonban nem. Ugyanis, ) így, ) és ugyanígy, y), ), ), y) + y a másik, tehát, ) y, ), továbbá y és + y + y ennek a üggvénynek nincs határértéke az origóban, hisz a tengelyek mentén konstans az értéke, az y, > egyenes mentén pedig konstans. Ami az y egyenest illeti, ennek a +, a) a, a) + a mentén már a parciálisok sem léteznek : + a + a + a, aminek nyilvánvalóan nincs határértéke az ban. 6. Határozza meg az, y) + y üggvény P, ) pontbeli v, ) irányú iránymenti deriváltját a P, ) pontba MO. grad 9 +y, ), tehát grad P 5, ), és v 5, így v 5, ), )