Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Átírás

1 Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss hozzá a feladatoknak, és csak akkor nézd meg a megoldást, ha elakadsz, vag ha ellenőrizni szeretnéd a saját megoldásod helességét e 2 3. sin (sin ()) 4. sin (ln ())

2 1. f () = I. D f = R \ { 1; 1} Zérushele van = 0 -ban, tehát az -tengelt is itt metszi. II. Páratlan függvén, ezt a definíció alapján könnű igazolni. Az értelmezési tartománát figelembe véve nem lehet periodikus. III. Értelmezési tartománának minden pontjában foltonos. lim = lim = lim = lim = lim = lim = IV. f () = (2 1) 4 2 ( 2 1) 2 = ( 2 1) 2 A számláló 2 -ben eg másodfokú kifejezés. Zérushele van, ha = ± ] ; ] 2.058; ]2.058; f () f () l.ma l.min V. f () = 4 (2 + 3) ( 2 1) 3 (összevonások után). Ennek egetlen zérushele = 0-nál van, tehát itt lehet infleiós pontja a függvénnek. A kifejezés eges intervallumokon vett előjelét a tört számlálójának és nevezőjének összehasonlításával kapjuk. VI. A függvén képe: ] ; 1 1 ] 1; 0 0 ]0; 1 1 ]1; f () f () konkáv konve infleió konkáv konve 10 5 K4 K K5 K10 VII. R f = R

3 2. f () = 1 e 2 I. D f = R Zérushele van = 0 -ban, tehát az -tengelt is itt metszi. II. Páros függvén, ami a definícióból rögtön következik. Nem periodikus, mert csak eg zérushele van. III. Értelmezési tartománának minden pontjában foltonos. 1 e 2 = 1 lim ± IV. f () = e 2 1 e 2 A deriváltnak csak az = 0 helen lehetne zérushele, itt azonban a nevező eltűnik (nullát vesz fel), tehát a deriváltfüggvén nem értelmezhető. ] ; 0 0 ]0; f () + f ()??? Mivel f csak nemnegatív értékeket vehet fel, valamint 0-ban nullát vesz fel, 0 bal oldali körnezeteiben szigorúan monoton csökkenő, 0 jobb oldali körnezeteiben szigorúan monoton növekvő, íg minimuma van nullában. Vizsgáljuk meg a derivált határértékét a nullában mindkét iránból, hog megkapjuk, milen a függvén grafinkonjának meredeksége a nulla közelében (nagon meredek, lankás, stb.). Ez nem elengedhetetlen a vizsgálat szempontjából, de a módszert talán érdekesnek találod majd. lim 0 e 2 L H. e 2 = lim 1 e e 2 ( 2) e 2 1 e 2 A L Hospital-szabál szerint, ha létezik az utóbbi határérték, akkor az megegezik az eredeti kifejezés határértékével. Továbbá, ha eg tört számlálójának és nevezőjének létezik véges határértéke, és a nevező határértéke nem nulla, akkor a tört határértéke a számláló és a nevező határértékének hánadosa lesz. A nevezőben megjelent az eredeti kifejezés. Tegük fel, hog ennek a kifejezésnek létezik nemnulla, véges határértéke nullában, amit jelöljünk L-lel. Ekkor a fentiek alapján fennáll az ( ) lim e 2 + e 2 ( 2) 0 L = L összefüggés. A nevező határértéke helettesítéssel megkapható, és azt kapjuk, hog V. f () = L = 1 L Ez pontosan L = ±1-re teljesül. Ha balról tartunk a nullához, akkor a derivált számlálója negatív, ezért a határérték 1 lesz, míg ha jobbról, akkor +1. ( ) e e 2 1 e 2 (e 2 ) 2 1 e 2 1 e 2 A második derivált szigorúan negatív, amiből a függvén konkáv tulajdonsága következik minden 0 pontban. (Részletesebb indoklás fog ide kerülni később.)

4 VI. A függvén képe: 1,0 0,5 0,2 K3 K2 K VII. R f = 0; 1

5 3. f () = sin (sin ()) I. D f = R Zérushele van, ha sin () = kπ, (k Z), ami csak k = 0 esetén teljesül, vagis ha = lπ, (l Z). Az -tengelt sin (sin (0)) = 0-ban metszi. II. Páratlan függvén, mert két páratlan függvén kompozíciója páratlan. Mivel a sin () függvén 2π szerint periodikus, ezért sin (sin ( + k2π)) = sin (sin ()), tehát ez a függvén is 2π szerint periodikus. III. Értelmezési tartománának minden pontjában foltonos. A periodikusság miatt a sin (sin ()) határérték nem létezik. lim ± IV. f () = cos (sin ()) cos (). Ennek zérushele van, ha = π + kπ, (k Z). 2 A függvén és deriváltjának tulajdonságait (eg periódust tekintve) az alábbi táblázat tartalmazza. (Lehetne π -től is kezdeni a kitöltést, akkor kevesebb intervallumot 2 kell venni, de talán íg könnebben átlátható.) A derivált előjeleit úg kaphatjuk meg, ha összehasonlítjuk a ténezőinek az előjelét az eges intervallumokon. ] π 0; π π ; 3π 3π ; 2π f () f () ma min V. f () = sin (sin ()) cos 2 () cos (sin ()) sin (). Ebből nem lenne egszerű kideríteni az infleiós pontokat, illetve a konve konkáv tartománokat. Próbálkozzunk valami mással: tudjuk, hog a sin () függvén konve, ha ] π; 0, konkáv, ha ]0; π (eg periódust tekintve), és infleiója van minden kπ pontban, ahol k egész. Ezek alapján a sin (sin ()) függvén konve, ha sin () ] π; 0, konkáv, ha sin () ]0; π, és infleiója van, ahol sin () = kπ (k egész). Ezek rendre akkor teljesülnek (eg perióduson belül), ha ] π; 0, ]0; π, és ahol = kπ, egész k esetén. Tehát a függvén alakja ilen tekintetben egezik a szinusz függvénnel. VI. A függvén képe: ] 3π 1,0 0,5 K6 K4 K K0,5 K1,0 VII. R f = 0.841; 0.841]

6 4. f () = sin (ln ()) I. D f = R + Zérushele van, amikor ln () = kπ, (k Z), vagis amikor = e kπ. Az -tengelt nem metszi. II. A függvén nem páros, nem páratlan, nem periodikus (a zérushelek közti távolság eponenciálisan növekszik). III. Értelmezési tartománának minden pontjában foltonos. A lim sin (ln ()) határérték nem létezik, mivel nem korlátos, a szinusz miatt viszont a függvén az előjele nem állandó. lim sin (ln ()) = 0, mivel sin (ln ()) korlátos. 0 + IV. f () = sin (ln ()) + cos (ln ()) 1 = sin (ln ()) + cos (ln ()). A derivált zérusheleinek megtalálásához helettesítsük X-szel az ln () kifejezést. Íg a sin (X) + cos (X) = 0 egenletet kell megoldanunk. Ennek megoldásai az X = = π 4 + kπ pontok, ahol k egész szám. Vagis a derivált zérushelei az = e π 4 +kπ helek. Látszik, hog lehetséges szélsőértékhelből végtelen sok van, és mivel a függvén nem periodikus, de bizonos tekintetben olasmi, a táblázat készítésénél ezt kihasználjuk. Az előző helettesítéses módszerrel könnű megadni a deriváltfüggvén előjeleit is.... e π 4 +k2π ] e π 4 +k2π ; e 3π 4 +k2π e 3π 4 +k2π ] e 3π 4 +k2π ; e 7π 4 +k2π f () f ()... lok. min. lok. ma.... A lokális szélsőértékeket nincs értelme megadni, azok helettesítéssel megkaphatók. V. f cos (ln ()) sin (ln ()) () =. ] ]... e 3π 4 +k2π e 3π 4 +k2π ; e π 4 +k2π e π 4 +k2π e π 4 +k2π ; e 5π 4 +k2π... f () f ()... infleió konve infleió konkáv... VI. A függvén képe az alábbi ábrán látható. Valójában egre kisebb ehhez hasonló íveket látnánk a nullához közeledve, és egre nagobb ileneket a végtelenbe tartva K50 K100 K150 VII. R f = R