Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Átírás

1 ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak

2 VI. modul: Dierenciálszámítás. lecke: Dierenciálszámítás bevezetése Tanulási cél: A dierencia és dierenciálhányados ogalmának megismerése. Elemi derivált üggvények megadása. Érintő egyenletének értelmezése és elírása. Motivációs példa Azt szokták mondani, hogy semmi sem állandó csak a változás. Valóban, a minket körülvevő világban minden olyamatosan átalakul, minden sok minden mással kapcsolatban van, azoktól ügg. Ezeknek a viszonyoknak a elderítése a természettudományok ő eladata. A különéle üggések egyik matematikai modellje a üggvény ogalma. A változások sok jellemzője közül az egyik nagyon ontos a változás sebessége. A gyorsan változó olyamatok veszélyt hordozhatnak magukban azáltal, hogy nem adnak időt a reagálásra. Egy vállalkozás szempontjából nagyon ontos kérdés, hogy a termelt mennyiséget növelve hogyan változik és milyen mértékben az összköltség. Egy termék ára beolyásolja a termék iránti keresletet és ezáltal a nyereséget is. Ha emeljük a termék árát, a kereslet és a nyereség is változni og. Kérdés milyen irányú és milyen mértékű ez a változás. A változások gyorsaságát a matematika a derivált ogalmával ragadja meg. Elméleti összeoglaló Az analízis ejlődése, amint az gyakran máskor is előordult, szorosan kötődött problémák megoldásához. A mi esetünkben az egyik ilyen probléma az érintő meghatározása volt.. ábra {á:_.png} A enti ábrán egy () üggvény graikonját és annak a P(, ()) pontban megrajzolt érintőjét látjuk. Érezzük, hogy az () üggvény megadása és a P pont lerögzítése meghatározza az ábrán pirossal jelölt egyenest. Ennek az egyenesnek is y m b az egyenlete, csak az a kérdés, hogy az m meredekség és a b konstans hogyan ügg az () üggvénytől és a P(, ()) ponttól.

3 . ábra {á:_.png} Ez az ábra azt mutatja, hogy az érintő a szelők határhelyzetének tekinthető: a P és Q pontokon átmenő szelő egyre közelebb van az érintőhöz, ahogy a Q pont egyre közelebb kerül P-hez. Ezek motiválják a következő deiníciókat. Legyen a, D az üggvény értelmezési tartományának két különböző elem, és tekintsük az üggvény graikonján a P(a, (a)) és a Q(, ()) pontokat.. ábra {á:_.png} deiníció rész Deiníció: Az hányados a a D és D helyekhez tartozó különbségi hányados vagy dierencia () (a) a tört. Deiníció: Ha az hányadosnak a a D helyen létezik és véges az a és helyekhez tartozó különbségi

4 () (a) lim a a határértéke, akkor az üggvény dierenciálható az a D helyen. Ekkor a enti határérték értékét (a) jelöli, és ezt az a D helyhez tartozó dierenciálhányadosnak hívjuk, így tehát () (a). (a) lim a a normál rész Ha létezik (a), akkor a enti határérték létezése miatt, és azért, mert (a) is létezik, az a hely csak belső pontja lehet a deiníció rész D -nek. Deiníció: Azt az üggvényt, amelyik az üggvény értelmezési tartományának azokban az a pontjaiban van értelmezve, ahol az üggvény dierenciálható, és minden ilyen helyen az értéke az a -beli (a) dierenciálhányados, az üggvény derivált üggvényének hívjuk. normál rész A derivált üggvény értelmezési tartomány tehát részhalmaza az eredeti üggvény értelmezési tartományának. A dierenciálhányados segítségével az érintő problémája már megoldható. deiníció rész Deiníció: Ha dierenciálható az a D helyen, akkor az graikonjához a P(a, (a)) pontban húzható érintő meredeksége (a), és az érintő egyenes egyenlete y (a) a (a) (a) (a) a (a). normál rész m b Ebből látható, hogy (a) 0 esetén az érintő vízszintes, (a) 0 esetén az érintő emelkedő egyenes, vagyis az a hely közelében a üggvény növekszik, és (a) 0 esetén pedig érintő süllyedő egyenes vagyis az a hely közelében a üggvény csökken. Az érintő egyenes tekinthető egy lineáris g() (a)( a) (a) üggvény graikonjának. Ezt a g üggvényt hívjuk az üggvény a-beli linearizáltjának. Elég egy pillantást vetni egy üggvényt és annak egy érintőjét mutató ábrára, hogy világos legyen: a linearizált jól közelíti az érintési pontban a üggvényt. Sőt, bármilyen bonyolult is az üggvény, egy nagyon egyszerű lineáris üggvény szolgáltatja ezt a jó közelítést. Ez lehetőséget ad üggvényértékek közelítő meghatározására. 4

5 deiníció rész Tétel: Ha az üggvény dierenciálható a-ban, akkor olytonos is a-ban. normál rész Sőt, ennél több is igaz. Az a pontbeli dierenciálhatóság azt jelenti, hogy a üggvény graikonja sima az a pont környékén, nincs szakadása és nincs töréspontja. Ha közelről nézzük a graikont, akkor az egyenesnek tűnik. Az alábbi ábrasor ezt szemlélteti egy a pontban dierenciálható, és egy az a pontban nem dierenciálható üggvény esetén: 4. ábra {á:_4.png} Az analízisben a ő célunk, hogy egy üggvényről a hozzárendelési utasítás ismeretében minél több inormációt megismerjünk. Ki og derülni, hogy ebben a ő segédeszköz a derivált üggvény. Az derivált üggvény vizsgálatával az eredeti üggvény számos, minket érdeklő tulajdonsága elderíthető. (Például a növekedés vagy ogyás, maimális vagy minimális értéket, a graikon görbülésének jellege stb.) Tehát mindenek előtt arra van szükség, hogy minél több üggvény derivált üggvényét egyszerűen és gyorsan elő tudjuk állítani. Az analízisben olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyek az elemi üggvényekből épülnek el a különböző műveletek segítségével. Ebből is látható, hogy a későbbiekben az elemi üggvények deriváltjainak alapvető jelentőségük lesz. A következő táblázatban megadjuk az elemi üggvények deriváltjait. () () c, ahol c konstans () D () 0 D () D n, n pozitív egész () n D n 5

6 () n, n pozitív egész D \ 0 () n n D \ 0 () (), D \ 0 n D 0, () D n (), n páros pozitív egész, n páratlan pozitív egész, D \ 0 () n D 0, () n n n n n D,0 0, (),, irracionális D 0, () D 0, () e, () ln D 0, () D D a, a 0 () log, a 0 és a D 0, a () D 0, () D 0, e, () () D 0, D () a ln a D () ln a D 0, () () sin, D () cos, D cos, D () sin, D () tg D \ k k () cos D \ k k () ctg () sin 6

7 D \ k k D \ k k példa rész Kidolgozott eladatok. eladat: Írjuk el az hányadosát. () üggvény az a és az helyekhez tartozó különbségi Megoldás: Mivel az üggvény értelmezési tartománya, így létezik a különbségi hányados: () (a) ( )( ). a A különbségi hányadosnak általában kiszámoljuk a határértékét, így azt célszerű a legegyszerűbb ormában elírni.. eladat: Számoljuk ki az () üggvény a 4 helyhez tartozó dierenciálhányadosát. Megoldás: Tudjuk, hogy D 0,, aminek a 4 belső pontja, és () (a) 4 lim lim lim a a lim, 4 4 így tehát (4). 4. eladat: Hol veszi el a nulla értéket az () üggvény deriváltja. Megoldás: Először elkészítjük a derivált üggvényt. Legyen D ez egyben belső pontja is D -nek. Ekkor a D tetszőleges valós szám. Mivel () (a) a a (a) lim lim a a a a a a a a a lim lim a a a a a lim a a. Mivel ez tetszőleges a számra igaz, azt kaptuk, hogy (), és a derivált üggvény is az egész valós számok halmazán van értelmezve. 7

8 () 0, ha, tehát a derivált üggvény egyedül az helyen veszi el a nulla értéket. 4. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A üggvényünk értelmezési tartománya D,0 0, belső pont. Legyen a D tetszőleges, ekkor a () (a) (a) lim lim a lim a a a a a a a a lim lim. a a a a a a Ebből az következik, hogy (), és D,0 0, 5. eladat: Határozzuk meg az () derivált üggvényét. Megoldás: Most a D 0, azonban, aminek minden pontja D., ugyan az, mint a, aminek a 0 nem belső pontja, itt tehát biztosan nem deriválható. Ha 0 a D (azaz a pozitív szám), akkor () (a) a a (a) lim lim lim a a a a a a a lim. a a a Tehát () és D 0,. 6. eladat: Írjuk el az () üggvény graikonjának érintőjét az a helyen. Megoldás: Határozzuk meg a üggvény értékét az a helyen: (a) () 9. Az érintési pont koordinátái tehát,9. Meghatározzuk (a) () értékét: az a belső pontja a D -nek, és () (a) a ( a)( a) (a) lim lim lim lim( a) a. a a a a a a a A dierenciálhányados értéke az a helyen, azaz a keresett érintő meredeksége: 8

9 m () 6 Helyettesítsünk ezután az érintőt megadó y (a)( a) (a) képletbe. y 6( ) 9 A műveletek elvégzése után kapjuk, hogy az érintő egyenlete: y eladat: Írjuk el az () üggvény a -beli érintőjének egyenletét. Megoldás: Helyettesítsük a üggvénybe a megadott a értéket: érintő tehát a, pontban érinti a üggvény graikonját. (a) (). Az A meredekség meghatározásához szükségünk van a derivált üggvényre. (Valójában most is elég lenne () értéke, de azt kiszámolni nem sokkal egyszerűbb, mint meghatározni a derivált üggvényt, és venni annak -ben a helyettesítési értékét.) Az a belső pontja a D a a () (a) (a) lim lim a a a a a a a a a lim lim lim a a. a a a a a A derivált üggvény tehát (). Helyettesítsünk ebbe a -t, így megkapjuk a meredekséget: m () Részeredményeinket írjuk be az érintő y (a)( a) (a) képletébe: y ( ). Végezzük el a műveleteket, és így megkapjuk az érintő egyenletének alábbi alakját: y 6. -nek, és 8. eladat: Írjuk el az () üggvény m meredekségű érintőjének egyenletét. Megoldás: Most az érintőt nem azzal határozzuk meg, hogy melyik pontban érinti a graikont, hanem azzal, hogy mennyi a meredeksége. Mivel az érintő elírásához szükség van az érintési pont két koordinátájára, először ezeket kell meghatározni. 9

10 Tudjuk, hogy a derivált üggvény (). Azt az a 0 számot keressük, amelyre a meredekség, azaz (a) éppen. Ehhez megoldjuk az a egyenletet a -ra: a enti képletből a, amiből 4 a. Tehát valójában az a -beli érintőről 6 6 van szó. Mivel, az érintési pont két koordinátája,. Az érintő y a a a képletébe helyettesítve y, 6 4 rendezve y eladat: Írjuk el az egyenletét. () üggvénynek az y 4 9 egyenesre merőleges érintőjének Megoldás: Az érintőt ismét nem az érintési pont első koordinátájával adtuk meg. Azt kell először meghatározni. Ismét az érintő meredekségéről van inormációnk, hiszen, ha a keresett érintő m. Ehhez arra 4 kell emlékezni, hogy a síkon két egyenes akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -. Így tehát azt az a 0számot keressük, amelyre (a). Tudjuk, hogy (), így az 4 alábbi egyenletet kell megoldanunk: merőleges a megadott m 4 meredekségű egyenesre, akkor a meredeksége, a 4 amiből a 4, azaz a, két megoldást kaptunk, tehát két ilyen érintő is van. Ha az érintési pont első koordinátája a, akkor az érintési pont második koordinátája ennek az első érintőnek az egyenlete (), és 0

11 y 4 y. 4 Ha az érintési pont első koordinátája a, akkor az érintési pont második koordinátája ( ), és ennek a második érintőnek az egyenlete: y ( ) 4 y ábra {á:_5.png} Az 5. ábrán a üggvényünket és a két érintőjét láthatjuk. 0. eladat: Írjuk el az () üggvénynek azt az érintőjét, amelyik átmegy a Q(, ) ponton. Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kell kezdenünk. Tudjuk, hogy az érintő egyenlete y (a)( a) (a) szerkezetű, ha igyelembe vesszük képletét is, akkor, mivel (), y a( a) a.

12 Azt a számot, vagy azokat az a számokat keressük, amelyekre ez az egyenes átmegy a Q ponton, elvégezve az, y helyettesítést és rendezve a( a) a a a a a 0. Megoldva a kapott másodokú egyenlete a-ra két értéket kapunk: a vagy a. Az a-beli érintő egyenlete az y ( ) y. Ugyanígy az a-beli érintő egyenlete y 6( ( )) 9 6( ) 9 y 6 9. y a( a) a képletből A üggvényünket és a két érintőjét mutatja az alábbi ábra. 6. ábra {á:_6.png}. eladat: Az üggvény alkalmas linearizáltját elhasználva számoljuk ki közelítően 8. értékét.

13 Megoldás: A linearizált az érintési pont közelében közelít jól. A 8 közel van 8.-höz, ezért az () üggvény a 8 kiszámolására. -beli linearizáltját ogjuk használni 8. közelítő értékének Szükségünk van az érintési pont második koordinátájára is: tehát 8,. Mivel () (a) (8). Így az a 8-beli linearizált 8 g() 8 4 (a) (8) 8, az érintési pont, azt kapjuk, hogy a meredekség Ennek a üggvénynek a 8. helyen vett értékével közelíthető 8.. Azt kapjuk, hogy: g Ha ezek után számológéppel is kiszámoljuk 8. -t, akkor a értéket kapjuk. Látható, hogy a linearizált elhasználásával kapott közelítésünk meglehetősen pontos.. eladat: Alkalmas linearizáltat elhasználva számoljuk ki közelítően sin értékét. Megoldás: Az analízisben a trigonometrikus üggvények argumentumát radiánban kell megadni. Ezért először a -ot átszámoljuk radiánra az rad ok képletet használva. De mivel a 80 radiánban megadott értékéhez közeli a érték is kell, hogy el tudjuk írni az ottani linearizáltat, az átírást a következőképp csináljuk: 0 (0 ) 0.576, (a radián mértékegységet nem írjuk ki). Innen már látjuk, hogy, mivel kicsi, az () sin 60 üggvény a -beli linearizáltját használhatjuk a közelítéshez. Mivel 6 () cos, a meredekség g(). 6 Ezután a keresett közelítő érték: sin és 6 6 cos. Ezután már elírhatjuk a linearizált képletét: 6 6

14 sin g Ha számológéppel számoljuk sin -ot, akkor a értéket kapjuk. Látható, hogy a közelítésünk most is elég pontos.. eladat: Hol metszi az () 8 9 üggvény a 5-beli érintője az tengelyt? Megoldás: Először elírjuk az érintő egyenletét. Mivel (a) (5) 4, az érintési pont az 5, 4 koordinátájú pont. Szükségünk van (5) értékére. Mivel nem elemi üggvény még nem ismerjük a deriváltját. Később a derivált üggvény egy adott helyen vett értékét mindig úgy ogjuk kiszámolni, hogy meghatározzuk a derivált üggvényt, és vesszük annak a szóban orgó helyettesítési értékét. Ehhez azonban a deriválási szabályok ismeretére van szükség, ami a következő ejezet témája. Ezért most a deiníciót használva számoljuk ki (5) értékét: () (5) (5) lim lim lim lim lim, így az érintő meredeksége m (a) (5). Ezek elhasználásával az érintő egyenlete: y (a)( a) (a) Az y 6 egyenes ott metszi az tengelyt, ahol az y 0. A 6 0 egyenletből. Tehát az () 8 9 üggvény a 5 -beli érintője az tengelyt. Az alábbi ábrán a üggvényünket és az érintőjét láthatjuk.,0 koordinátájú pontban metszi az 4

15 7. ábra {á:_7.png} 4. eladat: Hol metszi az () üggvény a-beli érintője az és az y tengelyt? Megoldás: Úgy, mint az előző eladatban, az érintő egyenletének elírásával kezdünk. Mivel, az érintési pont, ( ). Ezen kívül az érintő elírásához ( ) értékére van szükségünk, amit most is a deiníció alapján határozunk meg. ( összetett üggvény, deriválásával a következő ejezetben oglalkozunk.) () ( ) ( ) lim ( ) lim lim lim lim. Az érintő meredeksége tehát m (a) ( ). Ezeket elhasználva az érintő egyenlete y (a)( a) (a) ( ). 5

16 Az y 0 egyenletből, azaz az 0 4,0 egyenletből 4, vagyis az érintő az tengelyt a koordinátájú pontban metszi. Az y tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az érintő y képletében az helyére nullát írunk, így y adódik, tehát az érintő az y tengelyt a 0, koordinátájú pontban metszi. A üggvényünket és az érintőjét mutatja az alábbi ábra. 8. ábra {á:_8.png} teszt rész Ellenőrző kérdések. Mi az üggvény 0 -beli érintőjének egyenlete? y y 4 y 4 y 4 4 6

17 . Mi az e üggvény 0 0 -beli érintőjének egyenlete? y y y y e. Mi az y y y y 4 üggvény m meredekségű érintőjének egyenlete? 4. Határozzuk meg az meg közelítő értékét. 5 üggvény 0 4 -beli linearizáltját, és ezt elhasználva adjuk 55 A linearizált y, s ebből 4 7 A linearizált y, s ebből A linearizált y, s ebből 6 A linearizált y, s ebből

18 5. Határozzuk meg az ln üggvény 0 meg ln közelítő értékét 4 tizedesre kerekítve. e-beli linearizáltját, és ezt elhasználva adjuk A linearizált A linearizált A linearizált A linearizált y, s ebből ln.058. e y, s ebből ln.06. e y, s ebből ln.07. e y, s ebből ln e 4 8

19 . lecke: Deriválási szabályok Tanulási cél: Deriválási szabályok megismerése és alkalmazása összetett üggvények esetén. Magasabbrendű deriváltak meghatározása. Elméleti összeoglaló Amikor meghatározzuk egy üggvény derivált üggvényét úgy is gondolhatunk erre a olyamatra, mint egy új üggvényműveletre, amelyik az eredeti () üggvényből elkészíti az () derivált üggvényt. És sokszor hasznos így, üggvényműveletként gondolni a deriválásra. Persze ekkor rögtön adódik a kérdés, hogy ennek az új üggvényműveletnek mi a kapcsolata a korábban megismert üggvényműveletekkel. Ezeket a kapcsolatokat megogalmazó tételeket hívjuk deriválási szabályoknak. Ebben a leckében megismerkedünk a deriválási szabályokkal, és begyakoroljuk a derivált üggvény ezeken alapuló meghatározását. Ez sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint a deiníció alkalmazása, és nagyon ontos lesz a későbbiek során. deiníció rész Tétel: Legyen c tetszőleges konstans, az üggvény pedig dierenciálható az helyen, ekkor a c üggvény is dierenciálható az helyen, és c () c (). normál rész Úgy szoktunk hivatkozni erre a tételre, hogy a konstans szorzó deriváláskor kiemelhető. deiníció rész Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az dierenciálható az helyen, és () g() () g (). normál rész g üggvény is Ennek a tételnek a tömör megogalmazása az, hogy összeg tagonként deriválható. A tétel nem csak két üggvény, hanem tetszőleges számú, véges sok üggvény összegének deriválásakor is érvényben marad: ha az,, n üggvények mindegyike dierenciálható az helyen, akkor az... n üggvény is dierenciálható az helyen, és () ()... () () ()... (). n n Ezekből a tételekből könnyen következik, hogy és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és 9

20 () g() () g (). Sőt, a legáltalánosabban ezek a tételek így ogalmazhatók meg egy tételben: ha az,, n üggvények mindegyike dierenciálható az helyen, c, c, c n pedig tetszőleges konstansok, akkor c c... cn n üggvény is dierenciálható az helyen, és c () c ()... c () c () c ()... c (). n n n n Ezek a tételek együtt azt jelentik, hogy a deriválás lineáris művelet. deiníció rész Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () g() () g() () g (). normál rész Ez a tétel is általánosítható, például három tényező esetén így néz ki: () g() h() () g() h() () g () h() () g() h (). Figyeljük meg, hogy mivel az összeadás és a szorzás kommutatív művelet, az eddigi képletek nem változnak, ha azokban a üggvényeket tetszőleges sorrendben írjuk. Az osztás nem kommutatív művelet, ezért a törtüggvény deriválására vonatkozó képlet nem is szimmetrikus a számlálóban és a nevezőben. deiníció rész Tétel: Legyen az és a g üggvény dierenciálható az helyen, és g() 0, Ekkor a az g üggvény is dierenciálható az helyen, és () () g() () g (). g() normál rész g() A legontosabb deriválási szabály az összetett üggvény deriválási szabálya, ezt használjuk a leggyakrabban. deiníció rész 0

21 Tétel: Legyen az üggvény dierenciálható az helyen, a g üggvény dierenciálható az () helyen. Ekkor a g üggvény is dierenciálható az helyen, és g( ()) g ( ()) (). normál rész Természetesen ez is általánosítható többtényezős kompozíciókra. Három tényező esetén a tétel a következő: ha az üggvény dierenciálható az helyen, a g üggvény dierenciálható az () helyen, a h üggvény pedig dierenciálható a g( ()) helyen, akkor a h g üggvény is dierenciálható az helyen, és h(g( ())) h (g( ())) g ( ()) (). Ezt, és az előző tételt is, láncszabálynak hívják. A üggvény inverzének a képzése is tekinthető üggvényműveletnek, így persze van az inverz üggvény deriválására vonatkozó tétel is. A gyakorlatban azonban ezt ritkán alkalmazzuk, helyette elkészítjük az inverz üggvényt, és alkalmazzuk a korábbi deriválási szabályokat. Egy üggvény deriváltja maga is egy üggvény. Tekinthetjük ennek a deriváltját, amit og jelölni, és ezt második deriváltjának hívjuk. Ennek deriváltja harmadik deriváltja, és így tovább. Ezeknek a magasabb rendű deriváltaknak ontos szerepe van a elsőbb matematikában. példa rész Kidolgozott eladatok A következő eladatokban csak a derivált üggvény képletének az előállításával oglalkozunk, és nem vizsgáljuk annak értelmezési tartományát. Fel ogjuk használni az elemi üggvények korábban már megismert deriváltjait.. eladat: Határozzuk meg az () 4 5 üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Az üggvény egy konstans és egy hatványüggvény szorzata, ezért a konstans szorzó a deriválás művelete élé kiemelhető: 4 4. () eladat: Határozzuk meg az () ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Az üggvény kéttagú összeg, amit tagonként deriválhatunk, így: () ln ln.

22 . eladat: Határozzuk meg az () sin cos üggvény derivált üggvényét. () sin cos cos sin cos sin. Megoldás: 4. eladat: Határozzuk meg az () e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Felhasználjuk, hogy a deriválás lineáris, a gyököt és a törtet pedig elírjuk hatványként, így minden derivált könnyen elismerhető elemi üggvény deriváltja lesz: () e e e e. Deriváláskor gyakori, hogy a törteket és a gyököket hatványokként kezeljük. 5. eladat: Határozzuk meg az (t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Végezzük el a négyzetre emelést. Ekkor kapjuk, hogy elhasználva (t) 4t 4t 4 t 4 t 8t 4. (t) 4t 4. Ezt Később ezt a üggvény a szorzatüggvény és az összetett üggvény deriválási szabályát elhasználva is deriválni ogjuk. 6. eladat: Határozzuk meg az () ln 4 üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Persze majd tagonként ogunk deriválni, de először a negyedik gyököt hatványként írjuk el. Azután vegyük igyelembe, hogy ln konstans, így a deriváltja 0, és nem. 4 4 () ln ln 4 ln, 4

23 elhasználva az teszt rész Ellenőrző kérdések a és az elemi üggvények deriváltjait.. Mi az () 4 üggvény derivált üggvénye? 4 4. Mi az (t) ctgt üggvény derivált üggvénye? t ln t sin t t sin t t sin t t tgt. Mi az () e üggvény derivált üggvénye? e e ee 4 ee

24 4. Mi az, () 4 üggvény derivált üggvénye? 8,, ln 8,, ln 8,,, ln 8, 5. Mi az () üggvény derivált üggvénye? példa rész Kidolgozott eladatok 7. eladat: Határozzuk meg az (t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A üggvényünk így is írható: (t) t t. Így, a szorzatüggvény deriválási szabálya alapján (t) t t t t t t 8. eladat: Határozzuk meg az 8t 4. () ( )( ) üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Mivel a üggvényünk szorzatüggvény, alkalmazhatjuk a szorzatüggvény deriválási szabályát: 4

25 () ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4) 6 8, De eljárhatunk úgy is, hogy először elvégezzük a üggvényünket deiniáló képletben a szorzást: 4 (). Ezután deriválás szempontjából már egyszerűbb a helyzet. () ( ) Természetesen ugyanaz a végeredmény, mint az előbb. Látjuk, hogy gyakran elő og ordulni, hogy egy deriválás több úton is elvégezhető. A továbbiakban az összegek deriváltját, ha a tagok már elemi üggvények, a deriválások kijelölése nélkül, közvetlenül elírjuk. 9. eladat: Határozzuk meg az () e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most nem célszerű elvégezni a beszorzást, mert a keletkezett szorzatok nem egyszerűsíthetők, és így kétszer is alkalmazni kéne a szorzatüggvény deriválási szabályát. () e e e e. Felmerül, hogy az utolsó képletben el kell-e végezni a beszorzásokat. Amikor csak az a eladat, hogy határozzuk meg egy üggvény derivált üggvényét, a deriválások elvégzése után nem ogjuk a lehetséges összevonásokat elvégezni. Ez így gyorsabb és egyszerűbb. Később, amikor a derivált üggvénnyel további számításokat ogunk végezni, más lesz a helyzet. 0. eladat: Határozzuk meg az () tg sin 0 üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Először is a sin0 egy konkrét szám, konstans, és a 0 radiánban értendő; az analízisben a trigonometrikus üggvények argumentuma mindig radiánban van megadva. Így sin , és nem 0.5, amennyi a 0 szinusza. Tehát sin0 deriváltja nulla, továbbá () tg sin 0 tg sin 0 cos tg sin 0 ln.. eladat: Határozzuk meg az () sin lg üggvény derivált üggvényét. 5

26 Megoldás: A üggvényünk három tényezős szorzat, de már ismerjük egy ilyen üggvény deriváltjára vonatkozó képletet, az alapján () ( sin lg ) sin lg sin lg sin lg ln0 sin lg cos lg sin.. eladat: Határozzuk meg az () e tg üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Ebben a eladatban elkerülhetetlen a szorzatüggvény deriválási szabályának többszöri alkalmazása. Figyeljük meg, ahogyan először csak kijelöljük a szükséges deriválásokat. () e tg e tg e tg e tg e e tg e tg. Ezután már könnyen elvégezhetjük a kijelölt deriválásokat, és azt kapjuk, hogy. () e e tg e cos teszt rész Ellenőrző kérdések 6. Mi az () sin üggvény derivált üggvénye? sin cos cos cos sin cos sin cos 7. Mi az () üggvény derivált üggvénye? 8 8 6

27 Mi az () ln ln üggvény derivált üggvénye? ln ln ln ln ln ln ln ln 9. Mi az () üggvény derivált üggvénye? Mi az 4 () ( ) ( ) üggvény derivált üggvénye?

28 . Mi az () ( )( ln ) üggvény derivált üggvénye?. 6ln ln 5 6ln ln 5 6ln ln 5 6ln ln 5 példa rész Kidolgozott eladatok. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A törtüggvény deriválási szabályát kell alkalmazni: (). Figyeljük meg, hogy a számlálóban elvégeztük az összevonásokat, de a nevezőben a négyzetre emelést nem, ezt máskor sem ogjuk elvégezni, csak ha egytagú a nevező, így jobban kezelhető a kapott ormula. 4. eladat: Határozzuk meg az () üggvény derivált üggvényét. Megoldás: A konstans számlálójú törteket, mint hamarosan látni ogjuk, gyakran célszerűbb összetett üggvényként deriválni. De persze lehet törtként is, mint most is.. () 0 Általában is 8

29 g () g() g (). 5. eladat: Számoljuk ki () értékét, ha (). Megoldás: Először meghatározzuk derivált üggvényét, majd vesszük annak a helyettesítési értékét az helyen. Hogy ne kelljen kétszer alkalmazni a tört deriválási szabályt közös nevezőre hozzuk a üggvényünk: () ( ). Most már a derivált 4 () Ebből pedig () eladat: Számoljuk ki g () értékét ha (), (), és Megoldás: A g deriváltjával kezdünk: g(). () () () () () g () () () () Ebből pedig a keresett helyettesítési érték () () () 5 g (). 7. eladat: Legyen g(), g (). () h(). Számoljuk ki h () értékét, ha () g(), () és 9

30 Megoldás: Mivel () () g() () g () h (), azt kapjuk, hogy g() g() 4 h (). 9 teszt rész Ellenőrző kérdések. Mi az () üggvény derivált üggvénye?. Mi az () üggvény derivált üggvénye? 0

31 4. Mennyi (0) értéke, ha () e? 0-5. Mennyi g () értéke ha (), (), és () g() () Legyen g (). () h(). Számoljuk ki h () értékét, ha () g(), () és g(), példa rész

32 Kidolgozott eladatok 8. eladat: Határozzuk meg az h(t) t üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Vegyük észre, hogy h(t) összetett üggvény: h(t) g( (t)), ha (t) t és g(t) alapján t. Ezzel a választással (t) h (t) g( (t)) g ( (t)) (t) (t) t 8t 4., g (t) t. Ezért az összetett üggvény deriválási szabály 9. eladat: Határozzuk meg az h() üggvény derivált üggvényét. Megoldás: h() most is összetett üggvény, hiszen h() g( ()), ha g(). Tudjuk, hogy () és h () g( ()) g ( ()) (). () 0. eladat: Határozzuk meg az h() sin g (). Így tehát () üggvény derivált üggvényét., és Megoldás: h() ismét h() g() g( ()) szerkezetű összetett üggvény az (), sin választással. Mivel () és g () cos, azt kapjuk, hogy h () g( ()) g ( ()) () cos( ()) cos.. eladat: Határozzuk meg az h() ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most h() (), továbbá g( ()), ha () és g() ln. De mint tudjuk g (). Ezeket elhasználva h () g( ()) g ( ()) (). ()

33 . eladat: Határozzuk meg az h() üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Ahogy említettük, a konstans számlálójú törteket célszerűbb összetett üggvényként deriválni. Ennek érdekében átírjuk a üggvényünket h() alakba. Innen leolvasható, hogy h() g() választással. Ekkor h () g ( ()) () (). g( ()) szerkezetű összetett üggvény az, és (). eladat: Legyen (),. Ezek alapján g () h(). Milyen -re lesz h () 0? Megoldás: Az összetett üggvény deriválási szabályát addig célszerű gyakorolni, hogy a kompozíció tényezőinek elírására már ne is legyen szükség. Most például a következőt kapjuk:. h () Most még kicsit átalakítjuk h () képletét, hogy a gyökeit könnyen leolvashassuk. h () 4. Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője az, azt kapjuk, hogy h () 0, ha 0, vagy, vagy. Mivel a h üggvény mindenütt értelmezve van, mind a három szám megoldás. (A nulla és a kettő tizenegyszeres gyök, az egy egyszeres.)

34 4. eladat: Legyen h() ln. Milyen -re lesz h () 0? Megoldás: Kezdjük a derivált üggvénnyel. Mivel h () ln ln 4 ln. Tudjuk, hogy ln 0, így ennek a szorzatnak három gyöke van: a, a nulla és a. De azt is tudjuk, hogy a derivált üggvény értelmezési tartománya, a deiníció alapján, az eredeti üggvény értelmezési tartományának részhalmaza. Akkor is, ha a derivált képletének lehetséges legbővebb értelmezési tartománya ennél bővebb. Mivel a h üggvény nincs értelmezve a nullában, ezért a eladat kérdésére az a válasz, hogy h () 0, ha. 5. eladat: Határozzuk meg az s() ln üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Ez a üggvény egy háromszorosan összetett üggvény: s() h(g( ())), ha h(), g() ln, és (). Ezeknek a deriváltja rendre: h (), g (),. () A láncszabály alapján s () h (g( ())) g ( ()) (). Vegyük azt is igyelembe, hogy, leolvasva az s képletéről, g( ()) ln s () h (g( ())) g ( ()) () () g( ()) () ln. Ezek alapján:. Figyeljük meg, hogy az utolsó képletben zárójelbe tettük a tényezőt. Ha ezt nem tettük volna, és a pontot sem írtuk volna ki, amit amúgy nem is kötelező, a képlet hibás lenne. 6. eladat: Határozzuk meg az s() sin e üggvény derivált üggvényét. Megoldás: Most is egy háromszorosan összetett üggvénnyel van dolgunk, persze újra a láncszabályt ogjuk alkalmazni. Mivel sin cos,, és végül e e, kapjuk, hogy 4

35 s () cos e e. e 7. eladat: Legyen () 6. Határozzuk meg () Megoldás: Először meghatározzuk az () derivált üggvényt. () 6 Ezt elhasználva () 6 6. () et. 8. eladat: Legyen () cos(). Határozzuk meg () -et. Megoldás: Most, a szorzat deriválási szabályát alkalmazva, cos() () cos() cos() cos() sin() cos() sin(). Ez alapján, még kétszer alkalmazva a szorzat deriválási szabályát, és elvégezve a lehetséges összevonásokat () cos() sin() cos() cos() sin() sin() cos() sin() 4 sin() cos() teszt rész cos() 4 sin() 4 sin() 4 cos() 4 cos() 8 sin(). 5

36 Ellenőrző kérdések h() üggvény derivált üggvénye? 7. Mi az Mi az h() üggvény derivált üggvénye? 9. Mi az h() cos sin üggvény derivált üggvénye? cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin 6

37 7 0. Mi az h() ln üggvény derivált üggvénye?. Mi az h() e üggvény derivált üggvénye? e e e e e e e e e e e

38 h(). Milyen -re lesz h () 0?. Legyen, 0,,, 0 0,,, 0,. Legyen h(). Milyen -re lesz h () 0?,, 0 0,, 0, 4. Mi az s() cos üggvény derivált üggvénye? 4cos sin 4cos sin 4cos sin cos sin 5. Mi az s() e üggvény derivált üggvénye? e 8

39 e e e 6. Legyen () e. Mi második deriváltja? 4 e 4 e 4 e 4 e () 7. Legyen Mi második deriváltja?

40 . lecke: Dierenciálszámítás alkalmazásai Tanulási cél: Olyan eljárás megismerése, melynek segítségével a üggvények növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából vizsgálhatók, valamint az eljárás alkalmazása szöveges eladatokban minimum vagy maimum keresésére. Motivációs példa Valamely termék árbevételét az üggvény adja meg, ahol a termék egységára Ft-ban. Ha a jelenlegi egységár növekszik, vajon mennyivel csökken a bevétel? Milyen egységár mellett lesz a bevétel maimális? Egy adott termék előállítási költségét a g üggvény adja meg, ahol a termelt mennyiség. Ha a jelenlegi termelés nő, vajon az átlagos előállítási költség mennyivel növekszik? Mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagos előállítási költség minimális? A gyakorlati életben nagyon sok ehhez hasonló problémával találkozunk, amiben valamilyen izikai vagy közgazdasági mennyiségnek maimumát vagy minimumát, azaz szélsőértékét keressük, egy másik mennyiség üggvényében. A megadott példákban a bevétel ügg a termék egységárától, vagy az előállítási költség a termelt mennyiségtől. A mennyiségek közötti kapcsolatokat az, illetve g üggvények írják le. Ha sikerül megállapítanunk, hogy ezek a üggvények mikor nőnek, és mikor csökkennek, akkor azt is meg tudjuk mondani, hogy hol veszik el a legnagyobb illetve legkisebb értékeiket. Az alábbiakban olyan módszerrel ismerkedünk meg, aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy egy üggvény mely intervallumokon nő, és mely intervallumokon csökken, valamint hol és milyen típusú szélsőértéke van. Elméleti összeoglaló Mivel a derivált értéke minden pontban megadja a graikon érintőjének meredekségét, ezért a derivált előjeléből következtethetünk arra, hogy hol nő és hol csökken a üggvény, valamint hol van szélsőértéke. Szemléletesen ugyanis arra gondolhatunk, hogy ha egy pontban a derivált pozitív, akkor ott az érintő meredeksége pozitív, tehát az érintő úgymond elelé halad, s mivel ő jól közelíti a üggvényt, így a üggvény is növekedni og. Erre látunk példát az alábbi ábrán. 40

41 . ábra {á:_.png} Hasonlóan okoskodhatunk akkor, ha egy pontban a derivált negatív. Ekkor az érintő nyilván leelé halad, s ekkor a üggvény csökkenni og. Erre mutat példát az alábbi ábra.. ábra {á:_.png} Ha pedig egy üggvénynek valahol szélsőértéke, azaz maimuma vagy minimuma van, akkor ott az érintőnek vízszintesnek kell lennie, tehát meredeksége 0, s így a derivált értéke itt 0 kell legyen. Erre láthatunk két példát is az alábbi ábrán.. ábra {á:_.png} 4

42 Hangsúlyozzuk, hogy ez csak szemléletes okoskodás. A pontos megogalmazás majd a most következő deiníciókban és tételekben szerepel majd. Elsőként deiniáljuk pontosan a lokális növekedés és csökkenés, valamint a szélsőértékek ogalmát. deiníció rész Deiníció: Az üggvény az 0 D helyen lokálisan növekvő, ha létezik az 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden 0 esetén teljesül, hogy. 0 Az üggvény az 0 D helyen lokálisan csökkenő, ha létezik az 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden 0 esetén teljesül, hogy. 0 Deiníció: Az üggvénynek az 0 helyen helyi, másképpen lokális maimuma van, ha megadható -nak olyan környezete, amelybe eső minden esetén 0 0. Az üggvénynek az 0 helyen helyi, másképpen lokális minimuma van, ha megadható 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden esetén 0. normál rész Ezek után kimondható az alábbi tétel, melyre a szemléletes okoskodással utaltunk. deiníció rész Tétel: Ha az üggvény az 0 helyen lokálisan növekvő. Ha az üggvény az 0 lokálisan csökkenő. normál rész helyen dierenciálható és helyen dierenciálható és 0 0, akkor a üggvény az 0 0 0, akkor a üggvény az 0 helyen A tétel megordítása azonban sajnos nem igaz. Gondoljunk ugyanis az üggvényre, amely az 0 0 helyen nyilván lokálisan növekvő, azonban deriváltja ott nem pozitív, hanem 0-val egyenlő. Az alábbi ábrán látható az üggvény graikonja, amiről teljesen egyértelmű, hogy a üggvény nő az 0 0 helyen. 4

43 4. ábra {á:_4.png} Így nem egészen megordításként, következő tétel mondható ki. deiníció rész Tétel: Ha az üggvény az 0 Ha az üggvény az helyen dierenciálható és ott lokálisan növekedő, akkor 0 0. helyen dierenciálható és ott lokálisan csökkenő, akkor normál rész A eladatok megoldása során a lokális növekedés és csökkenés helyett, az intervallumon növekedés és csökkenés ogalmát használjuk. deiníció rész Deiníció: Az üggvény az növekvő. Az üggvény az normál rész ab, intervallumon növekvő, ha minden a, b ab, intervallumon csökkenő, ha minden a, b Ezek után eladatokban leginkább a tétel alábbi megogalmazásra hivatkozunk. deiníció rész esetén lokálisan esetén lokálisan csökkenő. ab, intervallumon dierenciálható és minden a, b esetén 0 Tétel: Ha az az ab, intervallumon növekvő. Ha az ab, intervallumon dierenciálható és minden a, b esetén 0 ab, intervallumon csökkenő. normál rész, akkor, akkor az 4

44 A lokális szélsőértékekre is több tétel mondható ki. Az első a szélsőérték létezésének szükséges eltétele. deiníció rész Tétel: Ha dierenciálható az 0 hely valamely környeztében, és -nek 0 -ban lokális. szélsőértéke van, akkor 0 normál rész Gondoljunk bele, a tétel nem azt mondja ki, hogy ahol a derivált 0, ott szélsőérték van. Ez a tétel megordítása lenne, és ez nem igaz. Példaként megint az üggvényt említhetjük, amelynek deriváltja az 0 0 helyen 0-val egyenlő, de ott nincs szélsőértéke a üggvénynek, mert ott lokálisan növekvő. Tehát csak annyit mondhatunk, ahol a derivált 0, ott könnyen elképzelhető, hogy van szélsőérték. Ezért van szükségünk egy másik tételre is, ami már elégséges eltétel a szélsőérték létezésére. deiníció rész Tétel: Ha az üggvény dierenciálható az 0 helyen és 0 0, valamint előjele megváltozik az 0 -ban, akkor -nek az 0 helyen lokális szélsőértéke van. normál rész A enti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a üggvényeket növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából.. Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a üggvény értelmezhető.. Deriváljuk a üggvényt.. Megoldjuk az 0 lehet. egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol szélsőérték 4. Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s a részeken vizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba helyettesítünk. 5. Az értelmezési tartomány egyes részein a derivált előjeléből következtetünk a növekedésre, csökkenésre. Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összeoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk a dolgokat. példa rész Kidolgozott eladatok. eladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték 8 üggvényt. szempontjából az 4 44

45 Megoldás: A üggvény minden valós számra értelmezhető, azaz Emeljünk ki amit csak lehet, így alakítsunk szorzattá. 0 D. Szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Két eset lesz, vagy 0, amiből 0 következik, vagy 0, amiből következik. A derivált zérushelyei tehát most a 0 és a. Készítsünk ezután egy táblázatot. Az első sorban az értelmezési tartomány részeit tüntessük el. A derivált zérushelyei bontják részekre a valós számok halmazát. A zérushelyeknek is készítsünk külön oszlopot, mert ezeket a helyeket kell vizsgálnunk, hogy van-e bennük szélsőérték. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott részen milyen előjelű a derivált. A harmadik sorban pedig majd azt, hogy azon a részen hogyan viselkedik a üggvény. Most egyelőre azonban csak az első sort töltsük ki. Így az induló táblázatunk az alábbi.,0 0 0,, Most vegyünk egy számot a,0 intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a. 4 6 Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz el a,0 intervallumon. Most vegyünk egy számot a 0, intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. az. 4 Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz el a 0, intervallumon. Végül vegyünk egy számot a, intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a. 45

46 4 08 Pozitív számot kaptunk, tehát a derivált pozitív értékeket vesz el a, intervallumon. Töltsük ki ezután a táblázat második sorát, beírva a derivált előjelét. A zérushelyeken természetesen azt írjuk be, hogy a derivált ott 0.,0 0 0,, neg. 0 neg. 0 poz. Ezután töltsük ki a harmadik sort is. Ahol a második sorban negatív a derivált, ott a üggvény csökken, ahol pedig pozitív a derivált ott a üggvény nő. Amelyik zérushelynél nem vált előjelet a derivált, ott nincs szélsőérték, de ahol megváltozik a derivált előjele ott van. Ha negatívból pozitívba vált a derivált, akkor lokális minimum van, hiszen a üggvény a szélsőérték előtt csökken, azután pedig nő. Míg ha pozitívból negatívba megy át a derivált, akkor lokális maimum van, mert a üggvény a szélsőérték előtt nő, utána pedig csökken.,0 0 0,, neg. 0 neg. 0 poz. csökk. nincs SZÉ. csökk. lokális minimum nő A üggvény tehát csökken a van az helyen. Az 0, intervallumon, nő a, intervallumon, és lokális minimuma helyen nincs szélsőérték, mert ott nem vált előjelet a derivált, s mert a üggvény előtte és helyen is lokálisan csökkenő a üggvény. utána is csökken. Ebből következik, hogy az 0 A táblázat alapján bármilyen növekedéssel, csökkenéssel és szélsőértékkel kapcsolatos kérdésre választ tudunk adni. A szélsőérték nagyságát is megkaphatjuk, ha helyét behelyettesítjük az eredeti üggvénybe. Jelen esetben tehát -t helyettesítünk az -be A üggvény minimumának értéke tehát 6. Az alábbi ábrán a üggvény graikonja látható. 46

47 5. ábra {á:_5.png}. eladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték szempontjából az üggvényt. Megoldás: A törtek miatt kikötést kell tennünk, 0. \ 0 D. 0 0 Célszerű -gyel szorozni, és közös nevezőre hozni. Így az alábbit kapjuk: 0. Egy tört akkor 0, ha számlálója 0. Így az 0 egyenletet kapjuk, amiből. A deriváltnak tehát most csak egy zérushelye van. A táblázat készítésekor azonban ne eledkezzünk meg arról, hogy 0-ban nem értelmezett a üggvény. Így a 0-t is vegyük be a táblázatba ugyanúgy, mint a derivált zérushelyét. Így az induló táblázat a következő.,,0 0 0, X X A 0 oszlopában az X-ekkel azt jelöltük, hogy ott a üggvény nincs értelmezve. Vegyünk egy számot a, -ból, mondjuk a -at, s helyettesítsük a deriváltba. 47

48 7 Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. Vegyünk egy számot a,0 -ból, mondjuk a -et, s helyettesítsük a deriváltba. Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy számot a 0, -ból, mondjuk a -et, s helyettesítsük a deriváltba. Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. Mivel előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az minimuma van. Töltsük ki ezután egyből a táblázat második és harmadik sorát is. helyen a üggvénynek lokális,,0 0 0, neg. 0 poz. X neg. csökk. lokális minimum nő X csökk. A üggvény tehát csökken a, és lokális minimuma van az helyen. A minimum értéke. 4 0, intervallumokon, nő a,0 intervallumon, és Bár az 0 helyen megváltozik a derivált előjele, ez mégsem szélsőérték, hiszen itt a üggvény nincs értelmezve. Az alábbi ábrán a üggvény graikonja látható. 48

49 6. ábra {á:_6.png} 5? Az ugyanott. eladat: Hol növekvő az üggvény, ha deriváltja értelmezhető ahol. Megoldás: Első lépésként meg kell vizsgálnunk, mi a legbővebb halmaz, amelyen értelmezhető. Mivel nem kell semmilyen kikötést tennünk D Mivel most ismerjük a üggvény deriváltját, így az 0 5 0, s ugyanitt értelmezhető is. egyenlet megoldásával olytatjuk. Mivel szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet két egyszerűbb egyenletre bontható. Vagy 0, amiből, vagy 5 0, amiből 5. Készítsük most táblázatot, aminek első sorában eltüntetjük az értelmezési tartomány részeit. Most a derivált két zérushelye a és az 5 bontja részekre a valós számok halmazát.,,5 5 5, Vegyünk egy számot a, -ból, mondjuk a -at, s helyettesítsük a deriváltba Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a üggvény. 49

50 Vegyünk egy számot a,5 -ból, mondjuk a 0-t, s helyettesítsük a deriváltba. (Egy pozitív és egy negatív szám között mindig a 0-t célszerű választani, mert azt a legegyszerűbb helyettesíteni.) Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy számot az 5, -ból, mondjuk a 0-et, s helyettesítsük a deriváltba Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a üggvény. Mivel előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az minimuma van. Az 5 helyen a üggvénynek lokális helyen nem változik a derivált előjele, és a üggvény 5 előtt és után is nő, így ezen a helyen helyen is lokálisan nő. nincs szélsőérték. A üggvény az 5,,5 5 5, neg. 0 poz. 0 poz. csökk. lokális minimum nő nincs SZÉ. nő A kész táblázat alapján már csak válaszolnunk kell a kérdésre. Látható, hogy a üggvény a intervallumon nő. 4. eladat: Hol csökkenő az üggvény, ha deriváltja ahol.,? Az ugyanott értelmezhető 4 Megoldás: A eladat nagyon hasonlít az előzőhöz, így ugyanúgy járhatunk el. Első lépésként határozzuk meg, mely halmazon értelmezhető a üggvény deriváltja. A nevező nem lehet zérus, így D \ 4. Ezután oldjuk meg az 0 egyenletet

51 Nézzük ezután, milyen részekre kell bontanunk az értelmezési tartományt. Az előzőekben szerepelt, hogy a derivált zérushelyei bontják részekre az értelmezési tartományt, mert általában ezeken a helyeken változik meg a derivált előjele. De nem csak zérushelyen változhat egy üggvény előjele, hanem olyan helyen is, ahol nincs értelmezve. Gondoljunk pl. az üggvényre, amely nincs értelmezve az 0 helyen. A negatív értékekre negatív ez a üggvény, a pozitív -ekre pedig pozitív. Nincs tehát zérushely a 0-ban, hisz a üggvény itt nem is értelmezett, de a üggvény előjele mégis változik. Amikor készítjük a táblázatot, akkor tehát nem csak a derivált zérushelyével kell részekre bontani az értelmezési tartományt, hanem az értelmezési tartományban levő szakadási hellyel is. Készítsük el most a táblázatot, egyelőre az első sorát kitöltve. A szakadási helyen azonban a második és a harmadik sorban jelölhetjük, hogy ott a derivált nem értelmezett, így a üggvényről sem tudunk semmit mondani., 4 4 4,, X X Ezután vizsgáljuk meg az értelmezési tartomány részein a derivált előjelét, és ebből határozzuk meg, nő vagy csökken ott a üggvény. Vegyünk egy 4 -nél kisebb számot. Legyen pl. 5, s helyettesítsük ezt a deriváltba Negatív értéket kaptunk, tehát 4 esetén negatív a derivált, ebből következően itt csökken a üggvény. Vegyünk egy 4 és közé eső számot. Legyen pl. 0, s ezt is helyettesítsük a deriváltba Pozitív értéket kaptunk, tehát ha 4, akkor pozitív a derivált, s így itt nő a üggvény. Végül vegyünk egy -nál nagyobb számot is. Legyen pl. 4, és helyettesítsük ezt a deriváltba Negatív értéket kaptunk, így ha akkor negatív a derivált, tehát ekkor csökken üggvény. Mivel a derivált értéke az helyen előjelet vált, így ezen a helyen van lokális szélsőértéke a üggvénynek. Mert a derivált pozitívból negatívba megy át, így ezen a helyen lokális maimum van. Ezután kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. 5

52 , 4 4 4,, neg. X poz. 0 neg. csökk. X nő lokális maimum csökk. A kitöltött táblázat alapján válaszolhatunk a eladat kérdésére. A üggvény csökken a, intervallumokon., 4 és 5. eladat: Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az üggvénynek, ha deriváltja ln? Az ugyanott értelmezhető ahol. Megoldás: Az előző eladatok megoldásából láthattuk, hogy egy üggvény szélsőértékeinek meghatározásához is azokra a lépésekre van szükség, mint a növekedés és a csökkenés vizsgálatához. Így járjunk el hasonlóan, mint az előzőekben. Elsőként vizsgáljuk meg, mely halmazon értelmezhető a üggvény deriváltja. Most a ln miatt ki kell kötnünk, hogy csak pozitív értékeket vehet el, így 0, D. Ezután oldjuk meg az 0 ln 0 egyenletet. Arra hivatkozunk, hogy szorzat csak akkor lehet zérus, ha valamelyik tényezője 0. Így az egyenletet egyszerűbb egyenletekre bontjuk. 0vagy ln 0 Az első egyenlet megoldása nyilván. A második egyenlet mindkét oldalát tekintsük úgy mint kitevőt, s az e számot emeljük el ezen kitevőkre. Így a bal oldalon olyan kompozíciót kapunk, amiben egy üggvény és inverze szerepel, így ott egyszerűen áll. ln 0 ln 0 e e A derivált zérushelyei tehát az és a. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, egyelőre csak az első sort kitöltve. Figyeljünk oda, hogy az értelmezési tartomány most csak a pozitív valós számok halmaza. Így az első részben nem a intervallum áll, hanem ott a 0, intervallumnak kell szerepelni. 0,,,, 5

53 Ezután vizsgáljuk a derivált előjelét az egyes részeken, s ebből következtessünk a növekedésre vagy a csökkenésre. A 0, intervallumban található pl. az 0.5. Helyettesítsük ezt a deriváltba ln A derivált értéke itt negatív, tehát ezen az intervallumon csökken a üggvény. Az, intervallumban található pl. az.5, amit behelyettesítünk a deriváltba..5.5 ln A derivált értéke ezen a helyen pozitív, ebből következően ezen az intervallumon nő a üggvény. Végül a, intervallumban van pl. az, amit a deriváltba helyettesítünk. ln.0 A derivált pozitív ezen a helyen, így itt is nő a üggvény. Az helyen a derivált előjele megváltozik, így itt a üggvénynek lokális szélsőértéke van. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a üggvénynek. Az helyen a derivált nem vált előjelet, így ezen a helyen nincs szélsőértéke a üggvénynek. Mivel előtte és utána is növekvő a üggvény, így ezen a helyen is lokálisan növekvő a üggvény. Töltsük ki ezután a táblázat második és harmadik sorát is. 0,,, neg. 0 poz. 0 poz. csökk. lokális minimum nő nincs SZÉ. nő A üggvénynek tehát csak az helyen van lokális szélsőértéke, ahol lokális minimuma van. teszt rész 5

54 Ellenőrző kérdések üggvény?. Hol növekvő az 4 A, intervallumon. A,0 intervallumon. A, intervallumon. A 0, intervallumon.. Hol csökkenő az A A A A üggvény?, és, intervallumokon., és 0, intervallumokon.,0 és, intervallumokon.,0 és 0, intervallumokon.. Hol növekvő az üggvény, ha deriváltja 8 értelmezhető ahol. A, 8 és, intervallumokon. A, intervallumon. A 8, intervallumon. A 8, intervallumon.? Az ugyanott 4. Hol csökkenő az üggvény, ha deriváltja ahol. 5? Az ugyanott értelmezhető A, és,5 intervallumokon. 54

55 A,5 intervallumon. A A,5 és, 5, intervallumokon. intervallumon. 5. Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az üggvénynek, ha deriváltja 7 ln? Az ugyanott értelmezhető ahol. Az és 7 helyeken lokális minimuma van. Az helyen lokális minimuma, az 7 helyen lokális maimuma van. Az és 7 helyeken lokális maimuma van. Az helyen lokális maimuma, az 7 helyen lokális minimuma van. normál rész Elméleti összeoglaló Az eddigiekben megismertük azt a módszert, mellyel üggvényeket monotonitás és szélsőérték szempontjából vizsgálni tudunk. Most oglalkozzunk azzal, hogyan tudjuk alkalmazni ezt a módszert a lecke elején vázolt problémákhoz hasonló esetekben, melyeket szöveges szélsőérték eladatoknak nevezhetünk. Az ilyen eladatokban első lépésként el kell írnunk, egy általunk választott üggetlen változó üggvényében azt a mennyiséget, aminek a szélsőértékét keressük. Ezután meg kell határozni a eladat eltételeiből, hogy a üggetlen változó milyen értékeket vehet el. Az így kapott, szöveg szerinti értelmezési tartományon kell aztán megkeresnünk a üggvény szélsőértékeit a korábban megismert módon. A módszerrel az alábbi kidolgozott eladatokon keresztül ismerkedünk meg. Megoldjuk majd a lecke elején vázolt problémát is, de előbb egyszerűbb eladatokkal oglalkozunk. példa rész Kidolgozott eladatok 6. eladat: Mekkorának kell választani egy 0 cm kerületű téglalap oldalait, hogy területe maimális legyen? Mekkora ez a maimális terület? Megoldás: Jelöljük a téglalap egyik oldalát -szel, a másikat pedig y -nal. Ekkor a téglalap területe: T y. Így elírva a területet, két változó mennyiség szerepel. Azonban a két változó között kapcsolat van, hiszen a kerület 0 cm. Írjuk el a kerületet az oldalakkal. K 0 y 55