Nagy Krisztián Analízis 2

Átírás

1 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz

2 Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus... 5 Érintő egyenletének felírása egy adott pontban... 5 Invertálhatóság, inverz deriválhatósága... 6 Második feladat típus... 7 L Hospital szabály... 7 Harmadik feladat típus... 8 Taylor-polinom-os feladatok... 8 Negyedik feladat típus Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok Ötödik feladat típus Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat Utószó

3 Elemi függvények deriváltjai és 3

4 Deriválási szabályok műveletekre Jelöljük et -nek és et -nek 4

5 Emlékeztető Érintő egyenletének felírása egy adott pontban Az ábra alapján leolvasható egyenletre szükségünk van ahhoz, hogy meg tudjuk határozni az érintő meredekségét. Ahhoz, hogy meg tudjuk adni egy a-beli érintő egyenes egyenletét, szükségünk van az a-beli érintő meredekségére. Mivel a-beli érintőről van szó így figyelembe kell vennünk azt, hogy az x-szel az a-hoz tartunk. ( Ezek alapján az a-beli érintő meredeksége: lesz. A fentiek alapján pedig fel tudjuk írni az érintő egyenes egyenletét: Nézzünk rá egy feladatot! Írja fel az y = lesz. görbe érintőjének az egyenletét a (2,1) pontban! Amennyiben egy megadott pontban kell felírni az érintőt fontos tudni, hogy a koordinátákat, hogyan értelmezzük, mert szükségünk lesz rájuk a feladat megoldásához. Jelen esetben a 2 fog megfelelni -nak és az 1 az -nak. {Megjegyzés: Sok feladatban az -t -al jelölik, ez ne rémisszen el senkit a feladat megoldásától. Ha csak az (vagy ) érték van megadva, akkor ki kell számolnunk az t (vagy t. Ez esetben sem nehéz a dolgunk, hiszen csak be kell írni a megadott értéket az -ek helyére és meg is kapjuk a másik koordinátát. Ez azért van így, mert a függvény értékét jelenti, az helyen.} Szükségünk van miatt az eredeti függvényünk deriváltjára. Ha helyen vesszük a deriváltat, akkor megkapjuk az érintő meredekségét. 5

6 Mostmár tudunk mindent az egyenesünk egyenletéhez, mivel jelen esetben: az egyenletünk. Írjuk be az ismert és kiszámolt értékeket ebbe az egyenletbe és megkapjuk a feladat megoldását. Emlékeztető Invertálhatóság, inverz deriválhatósága invertálható, és Nézzünk meg egy feladatot! Bizonyítsuk be, hogy az deriválható és határozzuk meg értékét! függvény invertálható, az inverze Mivel, ezért a tételből tudjuk, hogy csak olyan függvények invertálhatóak, melyek szigorúan monoton függvények és folytonosnak kell lennie! Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, ha pedig, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. (Egyenlőséget megengedve csak monoton növekvő, vagy monoton csökkenő) Ezek alapján írjuk fel az függvény deriváltját: Ez nagyobb, mint 0, az feltétel miatt, ezért szigorúan monoton növekvő függvényről van szó. Ebből az következik, hogy a függvény invertálható. -ből következik, hogy. Ezekből az állításokból pedig következik, hogy, tehát az függvény inverze deriválható.. Logikusan gondoljuk végig. Ekkor = a, ez akkor és csak akkor igaz, ha. Ezek alapján Ez az egyenlet, pedig akkor és csak akkor teljesül, ha (Megjegyzés: et már fentebb kiszámoltuk, így helyére 1-et kellett beítnunk.) 6

7 Emlékeztető L Hospital szabály = (Megjegyzés: és függvényt külön-külön kell deriválni, nem pedig a hányados deriváltja szabályt alkalmazni!) Első feladat: Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy L Hospital szabályt. Ez még mindig újraalkalmazzuk a L Hospital szabályt. típusú kritikus eset lenne, ezért alkalmazzuk a típusú kritikus eset lenne, ezért = 1 Második feladat: =? Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy típusú kritikus eset lenne, ezért alkalmazzuk a L Hospital szabályt. Alakítsuk át úgy a fenti függvényt, hogy a későbbiek során elemi függvények deriválását és a deriválási szabályokat is használni tudjuk. Ezek alapján: határértékét keressük. Mivel az exponenciális függvény folytonos ( ), ezért elég, ha a kitevőben vizsgáljuk a határértéket.. Vizsgáljuk meg külön a kitevőt. Képzeletben beírva az 1-et, láthatjuk, hogy ez egy alkalmazzuk a L Hospital szabályt. típusú kritikus eset lenne, ezért. Beírva a kitevőbe az így kapott határértéket, azt kapjuk, hogy. Ezzel megoldottuk a feladatunkat. 7

8 Taylor-polinom-os feladatok Emlékeztető ből következik, hogy Taylor-polinom körül (Megjegyzés: Taylor-sor) \ Lagrange- dék Speciális eset: (legfeljebb -ed fokú polinomok halmaza), Bevezető feladat: Írjuk fel hatványai szerint a polinomot. Mivel a polinomban a legnagyobb fokszám 3, ezért a harmadfokú Taylor-polinomot célszerű felírni. Továbbá, mivel hatványai szerint akarjuk felírni, ezért tudjuk, hogy a hatványsor közepű lesz. Ezek alapján: polinomot. egyenlet alapján lehet felírni a Mivel -at akarunk felírni, így szükségünk van a polinomunk első,második és harmadik deriváltjára. = Ezzel megoldottuk a feladatot. 8

9 Második feladat: Adjunk becslést az alábbi eltérésre! Ha ránézünk a fenti függvényre, akkor láthatjuk, hogy nagyon hasonlít a szerkezete, az egyik előző oldalon leírt képlethez. ( Ezek alapján látjuk, hogy továbbá -ben az -ek mellett nem áll semmilyen szám, ezért 0 középpontú hatványsort láthatunk és mivel a legnagyobb fokszámú es tag az, ezért arra következtetünk, hogy ez egy másodfokú Taylor-polinom lehet. ( ) Első lépésben meg kell vizsgálnunk, hogy ez a Taylor-polinom, az Azaz Mivel másodfokú Taylor-polinomot keresünk, ezért szükségünk van deriváltjára. Taylor-polinoma-e. első és második Tényleg ez az másodfokú Taylor-polinomja. Az eltérés megbecsléséhez szükségünk van a Lagrange-maradéktag-ra: A képletek amiket használnunk kell az előzőoldalról: ; Ezek alapján: Szükségünk van A feltétel miatt tudjuk, hogy harmadik deriváltjára.. Mivel intervallumon vizsgálódunk, ezért felülrőlbecsülve 1-et kapunk. Ezért: Tehát függvény eltérése az polinomtól a (0,1) intervallumon. 9

10 Emlékeztető Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke. Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.) Másodrendű szükséges feltétel: ; -ban lokális minimum van, -ban lokális maximum van. előjelet vált -ban Abszolút szélsőértékek: Weierstrass-tétel:, kompakt Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban. Feladat: léteznek. Határozzuk meg az függvény szélsőértékeit, amennyiben (stacionális hely) ban előjel váltás történik. A táblázat alapján ezen a helyen lokális minimum található, melynek az értéke. Ez a hely abszolút minimum is. Lokális és abszolút maximuma nincsen -nek. 10

11 Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései 1. Az értelmezési tartomány meghatározása ( ) 2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont) 3. Paritás és periodicitás vizsgálat 4. Monotonítás és szélsőérték vizsgálat 5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata 6. Asszimptoták vizsgálata 7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt 8. A függvény ábrázolása 1.Az értelmezési tartomány meghatározása ( ) Egy kifejezés értelmezési tartománya azon azokat az értékeket jelöli, amelyen az adott kifejezésben szereplő változók értelmezhetőek. Jelölése függvények esetében: 1. Logaritmus esetén: numerusz > 0 alap > 0 és alap 1 2. Törtes kifejezés esetén: nevező 0 3. Gyökös kifejezés esetén: páros kitevőjű gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ha csak nem a komplex számok halmazán kell vizsgálni az adott kifejezést. 4. Exponenciális kifejezések esetén: a x, ahol a > 0 5. Tangensre:, ahol 6. Kotangensre: x, ahol 2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont) Egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre f(x) = 0 A függvény tengelypontja az a pont, ahol a függvény metszi az y tengelyt. Kiszámítása: A függvényben x helyére 0-át írunk (x=0). 3. Paritás és periodicitás vizsgálat Egy f függvényt párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre. Egy f függvényt páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. (Megjegyzés: Ha egy függvény páros vagy páratlan, akkor elegendő részhalmazon vizsgálni, majd a függvény ábrájának készítésekor a szimmetriát felhasználni.) 11

12 4.Monotonítás és szélsőérték vizsgálat Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő,akkor a függvény monoton növekvő, akkor a függvény monoton csökkenő Szélsőérték vizsgálatához jól alkalmazható eszköz: Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke. Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.) Másodrendű szükséges feltétel: ; -ban lokális minimum van, -ban lokális maximum van. előjelet vált -ban Abszolút szélsőértékek: Weierstrass-tétel:, kompakt Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban. 5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata Konvexitás: konvex (alak: ) monoton növekvő konkáv (alak: ) monoton csökkenő Inflexiós pontok:, helyen lehetnek inflexiós pontok. Akkor lesz a fentebb említett helyen inflexiós pont, ha a függvény az adott helyen konvexitást vált. (Azaz a függvény megváltoztatja az alakját) 6. Asszimptoták vizsgálata vízszintes asszimptotája -nek a -ben függőleges asszimptotája -nek (a 0 környezetében) vízszintes asszimptota nincs, de ferde asszimptota lehet! Ferde asszimptota Ferde asszimptota meredeksége: asszimptota) Ferde asszimptota konstans tagja: ferde asszimptota -ben (Ha ez végtelen, akkor nincs ferde 12

13 7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt Minta (kinézet miatt) konvexitás * lok lok lok * infl. * - határértékek a nevezetes helyeken 8. A függvény ábrázolása Az előbbi pontok alapján, a táblázat segítségével már egyszerű ábrázolni a függvényt egy koordináta-rendszerben. 13

14 Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat Végezz teljes függvényvizsgálatot, majd ábrázold az alábbi függvényt:! (1) -ban metszi a tengelyeket (3) nem páros a függvény (4) Nem periodikus nem páratlan a függvény (5) (6) ; vízszintes asszimptota -ben függőleges asszimptota (7) konvexitás l.mx infl. nincs lokális maximum, abszolút maximum; lokális minimum, abszolút minimum Inflexiós pont: (8) 14

15 Utószó A jegyzet elsősorban az Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Karán tanuló hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához. Remélem tudtam segítséget nyújtani neked a tanuláshoz! Készítette: Nagy Krisztián Dátum: ELTE-IK Programtervező informatikus BSc 2008 ELTE-IK HÖK december Matematikát Népszerűsítő Projekt (MANÉP) Elérhetőségek: Nagy Krisztián: valdar(at)ikhok.elte.hu ELTE-IK HÖK weboldala: Saját weboldalam: A jegyzet átírás nélkül szabadon terjeszthető! 15