Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010."

Átírás

1 Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00.

2 Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = - f) log 5 0,04 = - g) log 7 9 = h) log = -. ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) 5 = 4 c) - = 8 d) e) 4 = 9 4 f) g) 7 = 64 = 9 = h) = 0,5. ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log 5 d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log.

3 4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = - c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = - f) log 0, f = - g) log g = h) log 5 h = -. 5) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = - d) log d 5 = e) log e 0,5 = f) log f = 0 g) log g = h) log h 5 =. 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét! log 4 a) b) 0 lg 8 log ( 5) c) 5 5 d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log log 5 log log 49. 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg (5 x) c) log 5 x d) log 5 5 x

4 e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg. x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9]. 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, 5 d) log 7 4 vagy log7 5 9 e) log 4 vagy log f) log vagy log. 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = - x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) +. ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = 5bc b) x = a b 4

5 ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b 5 a h) x =. b ) Fejezd ki x értékét! a) lg x = lg,4 + lg 5 b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg 5 c) lg x = lg lg 8 d) lg x = - lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg 5 f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg 5 h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg. ) Fejezd ki x-et a és b segítségével! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0,5 lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b). 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg 5 + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log log 7 e) lg lg 5 lg f) lg + 6 lg 5 + lg 8 lg 5

6 g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04. 5) Határozd meg a következő hatványok számértékét! lg 5 a) 0 + log b) lg 5 c) 0 5 lg d) 00 log + log e) log5 4 log5 7 f) 5 log log 4 g) 0,5 h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg(5 x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ). 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 5 x = d) log (x + ) = - e) log (x 6x + 8) = f) log 8 5 x = - g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0.. 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log 5 c) log 7 (x 5) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) 6

7 f) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) g) lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7). 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 c) log x log x = d) log x + log x = 8 e) log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x ) = 7 f) log 9 (x + ) log 7 (x + ) = g) log x + log x =. 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x 5) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0. x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra. Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára forint. A gép értéke 0%-kal csökken évente. A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7

8 Megoldások ) a. = 9 b. = 4 c. 7 = d. 0 = 0 e. 0 - = 0 f. 5 - = 0,04 g. 7 = 9 h. ( ) =. = 5 ) a. log 7 49 = b. log 4 = 5 c. log 8 = - 4 d. log = 9 e. log 64 = - 4 f. log 9 = g. log 7 = h. log 0,5 = 0,5 =. 8 ) a. lg 000 =, mert 0 = 000 b. lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c. log 5 = 0, mert 5 0 = d. log nem értelmezhető, mert x = (x R) e. log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f. log 49 = -, mert = g. log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h. log =, mert ( ) =. 8

9 4) a. a = 4 = 6 b. b = 0 - = 000 = 0,00 c. c = = 9 d. d = e. e = 4 7 = 49 f. f = 0, = g. g = h. h = 5 = 5 = 5 = = 9 = = ) a. a = 7 a = b. b = 4 b = c. c - = 7 c = d. d = 5 d = 5 e. e = 0,5 e = 7 f. nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\{0}) g. g = g = = = 8 h. h 4 = h = ) log 4 a. = 4 b. 0 lg 8 = 8 log ( 5) c. 5 5 nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d. e. f. g log log log 5 = 5 log = ( ) = ( ) log = ( ) log 5 log log = ( ) = 5 = 5 = ( ) log = = = 4 = 9

10 h. 7 log 49 = log = ( ) log = =. 7) 7 7 a. (x 7) > 0 x >, azaz: É.T.: x b. (x + 6) > 0 - < x és (5 x) > 0 x < 5, azaz: É.T.: x ]-5[ 5 5 c. 5 x > 0 x <, azaz: É.T.: x 5 5 d. 5 x > 0 x, azaz: É.T.: x R\ e. (x 4) > 0 x 4, azaz: É.T.: x R\{4} 7 7 f. > 0 x 7 > 0 < x, azaz: É.T.: x x 7 g. x 8x + > 0 x < vagy 6 < x, azaz: É.T.: x ]- [U ]6 [ h. x 4 > 0. eset: x 4 > 0 és x > 0 - < x. x. eset: x 4 < 0 és x < 0 < x <. Így: É.T.: x ]- -[U ][. 0

11 8) a. f(x) = log x É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan b. f(x) = log x + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) É.T.: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan c. f(x) = log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x = - Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

12 d. f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan e. f(x) = -log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre É.T.: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan f. f(x) = log (x) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

13 g. f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h. f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása - egységgel az y tengely mentén v(0-) É.T.: x ]9] É.K.: y ]- ] Zérushely: x = 5 Monotonitás: szig. monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. < 6 log < log 6 b. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. > log < log c. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 4 < 5 log 0, 4 > log 0, 5

14 d. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. > log7 > log e. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 9 9 > log 4 < log f. log < és log > log < log. 0) Az egyenletek bal oldalából képezzük az a(x) függvényt, jobb oldalából a b(x) függvényt, majd ábrázoljuk grafikonjukat közös koordináta-rendszerben. a. log x = Az ábráról leolvasható megoldás: x = 9, más megoldás nincs. b. log x = -x + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. c. log x = - x + Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x =, más megoldás nincs. 4

15 d. log x + = x Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x = 9, más megoldás nincs. e. log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása. f. log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x = 5, más megoldás nincs. g. log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. 5

16 h. log x = log (x ) +. Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \{}. a. log k x = log k 5 + log k b + log k c b. log k x = log k a + log k b c. log k x = log k + log k a + log k b log k d. log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T a ab a( a b) e. =, log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c bc bc f. log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g. log k x = log k a + logk b h. log k x = 5 logk a log k b. ) a. lg x = lg (,4 5) = lg 6 x = 6 b. lg x = lg ( 4 5) = lg 5! = lg 0 x = 0 44 c. lg x = lg = lg = lg 8 x = d. lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = e. lg x = lg f. lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = = lg = lg x = g. lg x = lg = lg 7 h. lg x = lg 4 4 = lg x = = lg x =. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a. lg x = lg ab x = ab ab ab b. lg x = lg x = c c 6

17 a c. lg x = lg bcd a x = bcd d. lg x = lg a b x = a b e. lg x = lg a b x = a b (= a b = a b ) f. lg x = lg a a a = lg x = b b b g. lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h. lg x = lg (a b) x = a b, (a > b). = lg a b x = a b 4) a. lg 5 + lg 4 = lg 00 = b. log 7 log 7 = log 7 = log7 7 = 7 c. log 6 + log 6 7 log 6 = log 6 = log 6 6 = d. log log 7 = + = e. lg lg 5 lg = lg = lg = lg 0 = f. lg + 6 lg 5 + lg 8 lg = lg = lg = 9 = lg 000 = 4 g. log 4 + log log 9 log 6 + log = log = log = log 44 = h. log 7 log 04 = 0 = 0. = 5) a. 0 -lg 5 lg 5 = ( 0 ) = 5 - = 5 b. + log = log = 7 = 54 c. 0 lg = = lg 5 = vagy 0 -lg 5 = 0 lg 0 lg 5 lg = 0 5 = 0 lg = lg d. 00 = = = 5 = 6 lg 5 lg log + log log e. = log log = = vagy log = = log log5 4 log log 5 4 f. 5 = = log5 7 = vagy 5 7 = =

18 g. 0,5 h. = 4 log log 4 6 = 9 log log + = = 4 log log 4 log = = 5 =. log log 4 log log 4 = ( ) = ( ) log = = log 4 log ( ) log = = 6) a. 0 < x É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. x = É.T., más megoldás nincs b. x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs c. x > 0 x 0 és 0x 4 > 0,4 < x É.T.: x ],4 [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 0x 4. Az egyenlet megoldása x = 4 és x = 6, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x és x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - É.T.: x U ]- [ (másképp: x \{-}). log( x + ) = log (x + ) = log (x + ). log(x + ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = 0 É.T., más megoldás nincs e. x > 0 x 0 és x > 0 É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x. Az egyenlet azonosság, megoldása x R + f. 5 x > 0 x < 5 és x > 0 < x és lg (x ) 0 x É.T.: x ][U ]5[, (másképp: x ] 5 [\{}). lg(5 x ) = lg (5 - x) = lg (x ). lg( x ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x = (x ). 7 Az egyenlet megoldása x = + 7 megoldása x = + É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat 8

19 g. + x > 0 - < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = (x + ). Az egyenletnek nincs megoldása h. x + > 0 x - és x + > 0 - < x É.T.: x U ]- [, (másképp: x \{-}) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = - 4 É.T., más megoldás nincs. 7) a. 0 < x É.T.: x R +. log x = log x = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 4. x = 4 É.T., más megoldás nincs b. x 4 > 0 4 < x É.T.: x ]4 [. log 7 (x 4) = log 7 (x 4) = log 7 7. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 4 = 4. Az egyenlet megoldása x = 47 É.T., más megoldás nincs 5 5 c. 5 x > 0 x É.T.: x R\. log 9 5 x = log9 5 x = log 9 9. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 9 5 x =. Az egyenlet megoldása x = és x = 8, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x É.T.: x. log (x + ) = - log (x + ) = log -. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs e. x 6x + 8 > 0 x < vagy 4 < x É.T.: x ] [ U ] [ 4. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log (x 6x + 8) = log (x 6x + 8) = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 6x + 8 =. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek

20 5 5 f. 5 x > 0 x < É.T.: x. log 8 5 x = - log8 5 x = log 8 8. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x = Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 4 g. x + 8 > 0-4 < x és x + > 0 - < x és x + x 0 É.T.: x ]-0[U ]0 [. log x+ (x + 8) = log x+ (x + 8) = log x+ (x + ). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ). Az egyenlet megoldása x = - 7 É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat megoldása x = 7 h. Az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük. A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64. Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek. 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a. x > 0 É.T.: x R +. lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs b. x > 0 É.T.: x R +. log x = log + log 4 + log 5 log = log ( 4 5). x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40. x Az egyenlet megoldása x = 40 9 É.T., más megoldás nincs c. x 5 > 0 5 < x és x > 0 x < és 0 < x É.T.={}, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d. x > 0 < x és x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x ] [. log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8]. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek 0

21 e. x 4 > 0 4 < x és x + > 0 - < x és 5x + 4 > < x É.T.: x ]4 [. lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (5x + 4). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = 5x + 4. Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = 8 É.T., tehát a feladat megoldása x = 8 f. x + > 0 - < x és x + 8x + 6 > 0 x -4 É.T.: x. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) log 5 (x + ) = log 5 x + 8x + 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6. Az egyenlet megoldása x = É.T. és x = 8 57 É.T., tehát a + 57 feladat megoldása x = g. 5x 8 > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x 5 5. lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( 5x 8)(x + ) = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( 5x 8)(x + ) = 6. 5 Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = É.T., tehát a feladat 5 megoldása x = 5 h. x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - és x 7 > 0 7 < x É.T.: x ]7 [. log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 É.T. vagy log (x + ) = 0 x = - É.T. (Megjegyzés: ezen eset vizsgálata szükségtelen, hiszen az É.T. miatt kizárt). A feladat megoldása x = 8. logc b 9) Használjuk fel, hogy log a b =, ahol a, b, c R +, a, c. logc a a. 0 < x É.T.: x R +. log x + log 4 x = log log x + x = log 4 log x + log x = 6. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs

22 b. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 log5 ( x + ) log 5 (x + ) + =,5 log5 5 log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs c. 0 < x É.T.: x R +. log x log x = log x log log x = log x log x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs d. 0 < x É.T.: x R +. log x + log x = 8 log x + log x = log 8 log x + log x = 9. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 5 e. x > 0 < x É.T.: x ] [. log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x )= 7 log5( x ) log5( x ) log 5 (x ) + + = 7 log5 5 log log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 5 (x ) = 8. Az egyenlet megoldása x = 68 É.T., más megoldás nincs f. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 9 (x + ) log 7 (x + ) = log (x + ) log (x + ) = log 9 log 7 log (x + ) log (x + ) = 6. Az egyenlet megoldása x = 64 É.T., más megoldás nincs g. x > 0 és x É.T.: x ]0[U ] [. log x + log x = log + log x = log x + (log x) = log x. Vezessünk be új ismeretlent: a = log x. Így az egyenlet + a = a a =.

23 log x = x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs. 0) a. x + > 0 -< x és x + > 0 - < x É.T.: x. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: x + > x +. Az egyenlőtlenség megoldása: x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x 5 5 b. x 5 > 0 < x és 6 x > 0 x < 6 É.T.: x 6. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért: x 5 6 x Az egyenlőtlenség megoldása: x. 5 Az értelmezési tartománnyal összevetve x c. 7 + x > 0-7 < x és x > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. log (7 + x) + log (x ) log (x + ) log [(7 + x) (x )] log (x + ). A alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (7 + x) (x ) (x + ). Az egyenlőtlenség megoldása: -6 x 4. Az értelmezési tartománnyal összevetve x ]4] d. 7x > 0 < x É.T.: x 7 7. log 7 (7x ) < log7 (7x ) < log 7. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: 7x <. Az egyenlőtlenség megoldása: x < 7 4. e. 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x 7 7 x > 0 - < x < É.T.: x x +. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett választható a gyökök ellenőrzése.) x x log < 0 log < log x + x +. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért:

24 x >. x + Az egyenlőtlenség megoldása: - < x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x. ) a ,06 n 50000,06 n,75. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,75 lg,06 n lg,75 n. lg,06 Az egyenlőtlenség megoldása: n 9,6. Legalább 0 évnek kell eltelnie, hogy forintunk legyen b ,9 n ,6 0,9 n 0,6. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg0,6 lg 0,9 n lg 0,6 n (negatív számmal osztottunk!). lg0,9 Az egyenlőtlenség megoldása: n 4,8. Legalább 5 évnek kell eltelnie, hogy a gép értéke az új árának 60 %-át érje. 4

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-..4-08/2-2009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA. évfolyam középszint

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások 00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia

2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia 2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Injektív függvények ( inverz függvény ).

Injektív függvények ( inverz függvény ). 04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

I. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja!

I. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja! Feladatsor I. rész Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Adja meg az alábbi állítások

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonan szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Koczog András  Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig 07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben