Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
|
|
- Elemér Rácz
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00.
2 Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = - f) log 5 0,04 = - g) log 7 9 = h) log = -. ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) 5 = 4 c) - = 8 d) e) 4 = 9 4 f) g) 7 = 64 = 9 = h) = 0,5. ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log 5 d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log.
3 4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = - c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = - f) log 0, f = - g) log g = h) log 5 h = -. 5) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = - d) log d 5 = e) log e 0,5 = f) log f = 0 g) log g = h) log h 5 =. 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét! log 4 a) b) 0 lg 8 log ( 5) c) 5 5 d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log log 5 log log 49. 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg (5 x) c) log 5 x d) log 5 5 x
4 e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg. x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9]. 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, 5 d) log 7 4 vagy log7 5 9 e) log 4 vagy log f) log vagy log. 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = - x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) +. ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = 5bc b) x = a b 4
5 ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b 5 a h) x =. b ) Fejezd ki x értékét! a) lg x = lg,4 + lg 5 b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg 5 c) lg x = lg lg 8 d) lg x = - lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg 5 f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg 5 h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg. ) Fejezd ki x-et a és b segítségével! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0,5 lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b). 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg 5 + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log log 7 e) lg lg 5 lg f) lg + 6 lg 5 + lg 8 lg 5
6 g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04. 5) Határozd meg a következő hatványok számértékét! lg 5 a) 0 + log b) lg 5 c) 0 5 lg d) 00 log + log e) log5 4 log5 7 f) 5 log log 4 g) 0,5 h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg(5 x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ). 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 5 x = d) log (x + ) = - e) log (x 6x + 8) = f) log 8 5 x = - g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0.. 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log 5 c) log 7 (x 5) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) 6
7 f) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) g) lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7). 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 c) log x log x = d) log x + log x = 8 e) log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x ) = 7 f) log 9 (x + ) log 7 (x + ) = g) log x + log x =. 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x 5) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0. x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra. Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára forint. A gép értéke 0%-kal csökken évente. A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7
8 Megoldások ) a. = 9 b. = 4 c. 7 = d. 0 = 0 e. 0 - = 0 f. 5 - = 0,04 g. 7 = 9 h. ( ) =. = 5 ) a. log 7 49 = b. log 4 = 5 c. log 8 = - 4 d. log = 9 e. log 64 = - 4 f. log 9 = g. log 7 = h. log 0,5 = 0,5 =. 8 ) a. lg 000 =, mert 0 = 000 b. lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c. log 5 = 0, mert 5 0 = d. log nem értelmezhető, mert x = (x R) e. log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f. log 49 = -, mert = g. log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h. log =, mert ( ) =. 8
9 4) a. a = 4 = 6 b. b = 0 - = 000 = 0,00 c. c = = 9 d. d = e. e = 4 7 = 49 f. f = 0, = g. g = h. h = 5 = 5 = 5 = = 9 = = ) a. a = 7 a = b. b = 4 b = c. c - = 7 c = d. d = 5 d = 5 e. e = 0,5 e = 7 f. nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\{0}) g. g = g = = = 8 h. h 4 = h = ) log 4 a. = 4 b. 0 lg 8 = 8 log ( 5) c. 5 5 nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d. e. f. g log log log 5 = 5 log = ( ) = ( ) log = ( ) log 5 log log = ( ) = 5 = 5 = ( ) log = = = 4 = 9
10 h. 7 log 49 = log = ( ) log = =. 7) 7 7 a. (x 7) > 0 x >, azaz: É.T.: x b. (x + 6) > 0 - < x és (5 x) > 0 x < 5, azaz: É.T.: x ]-5[ 5 5 c. 5 x > 0 x <, azaz: É.T.: x 5 5 d. 5 x > 0 x, azaz: É.T.: x R\ e. (x 4) > 0 x 4, azaz: É.T.: x R\{4} 7 7 f. > 0 x 7 > 0 < x, azaz: É.T.: x x 7 g. x 8x + > 0 x < vagy 6 < x, azaz: É.T.: x ]- [U ]6 [ h. x 4 > 0. eset: x 4 > 0 és x > 0 - < x. x. eset: x 4 < 0 és x < 0 < x <. Így: É.T.: x ]- -[U ][. 0
11 8) a. f(x) = log x É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan b. f(x) = log x + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) É.T.: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan c. f(x) = log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x = - Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan
12 d. f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan e. f(x) = -log (x + ) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre É.T.: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan f. f(x) = log (x) Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén É.T.: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan
13 g. f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) É.T.: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs É.K.: y R Monotonitás: szig. monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h. f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása - egységgel az y tengely mentén v(0-) É.T.: x ]9] É.K.: y ]- ] Zérushely: x = 5 Monotonitás: szig. monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. < 6 log < log 6 b. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. > log < log c. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 4 < 5 log 0, 4 > log 0, 5
14 d. A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szig. monoton növő. > log7 > log e. A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szig. monoton csökkenő. 9 9 > log 4 < log f. log < és log > log < log. 0) Az egyenletek bal oldalából képezzük az a(x) függvényt, jobb oldalából a b(x) függvényt, majd ábrázoljuk grafikonjukat közös koordináta-rendszerben. a. log x = Az ábráról leolvasható megoldás: x = 9, más megoldás nincs. b. log x = -x + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. c. log x = - x + Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x =, más megoldás nincs. 4
15 d. log x + = x Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x = 9, más megoldás nincs. e. log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása. f. log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x = 5, más megoldás nincs. g. log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. 5
16 h. log x = log (x ) +. Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \{}. a. log k x = log k 5 + log k b + log k c b. log k x = log k a + log k b c. log k x = log k + log k a + log k b log k d. log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T a ab a( a b) e. =, log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c bc bc f. log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g. log k x = log k a + logk b h. log k x = 5 logk a log k b. ) a. lg x = lg (,4 5) = lg 6 x = 6 b. lg x = lg ( 4 5) = lg 5! = lg 0 x = 0 44 c. lg x = lg = lg = lg 8 x = d. lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = e. lg x = lg f. lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = = lg = lg x = g. lg x = lg = lg 7 h. lg x = lg 4 4 = lg x = = lg x =. ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a. lg x = lg ab x = ab ab ab b. lg x = lg x = c c 6
17 a c. lg x = lg bcd a x = bcd d. lg x = lg a b x = a b e. lg x = lg a b x = a b (= a b = a b ) f. lg x = lg a a a = lg x = b b b g. lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h. lg x = lg (a b) x = a b, (a > b). = lg a b x = a b 4) a. lg 5 + lg 4 = lg 00 = b. log 7 log 7 = log 7 = log7 7 = 7 c. log 6 + log 6 7 log 6 = log 6 = log 6 6 = d. log log 7 = + = e. lg lg 5 lg = lg = lg = lg 0 = f. lg + 6 lg 5 + lg 8 lg = lg = lg = 9 = lg 000 = 4 g. log 4 + log log 9 log 6 + log = log = log = log 44 = h. log 7 log 04 = 0 = 0. = 5) a. 0 -lg 5 lg 5 = ( 0 ) = 5 - = 5 b. + log = log = 7 = 54 c. 0 lg = = lg 5 = vagy 0 -lg 5 = 0 lg 0 lg 5 lg = 0 5 = 0 lg = lg d. 00 = = = 5 = 6 lg 5 lg log + log log e. = log log = = vagy log = = log log5 4 log log 5 4 f. 5 = = log5 7 = vagy 5 7 = =
18 g. 0,5 h. = 4 log log 4 6 = 9 log log + = = 4 log log 4 log = = 5 =. log log 4 log log 4 = ( ) = ( ) log = = log 4 log ( ) log = = 6) a. 0 < x É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. x = É.T., más megoldás nincs b. x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs c. x > 0 x 0 és 0x 4 > 0,4 < x É.T.: x ],4 [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 0x 4. Az egyenlet megoldása x = 4 és x = 6, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x és x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - É.T.: x U ]- [ (másképp: x \{-}). log( x + ) = log (x + ) = log (x + ). log(x + ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = 0 É.T., más megoldás nincs e. x > 0 x 0 és x > 0 É.T.: x R +. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x. Az egyenlet azonosság, megoldása x R + f. 5 x > 0 x < 5 és x > 0 < x és lg (x ) 0 x É.T.: x ][U ]5[, (másképp: x ] 5 [\{}). lg(5 x ) = lg (5 - x) = lg (x ). lg( x ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x = (x ). 7 Az egyenlet megoldása x = + 7 megoldása x = + É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat 8
19 g. + x > 0 - < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = (x + ). Az egyenletnek nincs megoldása h. x + > 0 x - és x + > 0 - < x É.T.: x U ]- [, (másképp: x \{-}) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x +. Az egyenlet megoldása x = - 4 É.T., más megoldás nincs. 7) a. 0 < x É.T.: x R +. log x = log x = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 4. x = 4 É.T., más megoldás nincs b. x 4 > 0 4 < x É.T.: x ]4 [. log 7 (x 4) = log 7 (x 4) = log 7 7. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 4 = 4. Az egyenlet megoldása x = 47 É.T., más megoldás nincs 5 5 c. 5 x > 0 x É.T.: x R\. log 9 5 x = log9 5 x = log 9 9. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 9 5 x =. Az egyenlet megoldása x = és x = 8, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d. x + > 0 - < x É.T.: x. log (x + ) = - log (x + ) = log -. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs e. x 6x + 8 > 0 x < vagy 4 < x É.T.: x ] [ U ] [ 4. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log (x 6x + 8) = log (x 6x + 8) = log. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 6x + 8 =. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek
20 5 5 f. 5 x > 0 x < É.T.: x. log 8 5 x = - log8 5 x = log 8 8. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 5 x = Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 4 g. x + 8 > 0-4 < x és x + > 0 - < x és x + x 0 É.T.: x ]-0[U ]0 [. log x+ (x + 8) = log x+ (x + 8) = log x+ (x + ). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ). Az egyenlet megoldása x = - 7 É.T. és x = 7 É.T., tehát a feladat megoldása x = 7 h. Az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük. A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64. Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek. 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a. x > 0 É.T.: x R +. lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs b. x > 0 É.T.: x R +. log x = log + log 4 + log 5 log = log ( 4 5). x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40. x Az egyenlet megoldása x = 40 9 É.T., más megoldás nincs c. x 5 > 0 5 < x és x > 0 x < és 0 < x É.T.={}, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d. x > 0 < x és x + > 0 - < x és x > 0 < x É.T.: x ] [. log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8]. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8. Az egyenlet megoldása x = és x = 5, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek 0
21 e. x 4 > 0 4 < x és x + > 0 - < x és 5x + 4 > < x É.T.: x ]4 [. lg (x 4) + lg (x + ) = lg (5x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (5x + 4). A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = 5x + 4. Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = 8 É.T., tehát a feladat megoldása x = 8 f. x + > 0 - < x és x + 8x + 6 > 0 x -4 É.T.: x. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük.) log 5 (x + ) = log5 (x + 8x + 6) log 5 (x + ) = log 5 x + 8x + 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6. Az egyenlet megoldása x = É.T. és x = 8 57 É.T., tehát a + 57 feladat megoldása x = g. 5x 8 > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x 5 5. lg 5x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( 5x 8)(x + ) = lg 6. A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( 5x 8)(x + ) = 6. 5 Az egyenlet megoldása x = - É.T. és x = É.T., tehát a feladat 5 megoldása x = 5 h. x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - és x 7 > 0 7 < x É.T.: x ]7 [. log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 É.T. vagy log (x + ) = 0 x = - É.T. (Megjegyzés: ezen eset vizsgálata szükségtelen, hiszen az É.T. miatt kizárt). A feladat megoldása x = 8. logc b 9) Használjuk fel, hogy log a b =, ahol a, b, c R +, a, c. logc a a. 0 < x É.T.: x R +. log x + log 4 x = log log x + x = log 4 log x + log x = 6. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs
22 b. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =,5 log5 ( x + ) log 5 (x + ) + =,5 log5 5 log 5 (x + ) + log 5 (x + ) =. Az egyenlet megoldása x = 4 É.T., más megoldás nincs c. 0 < x É.T.: x R +. log x log x = log x log log x = log x log x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs d. 0 < x É.T.: x R +. log x + log x = 8 log x + log x = log 8 log x + log x = 9. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs 5 e. x > 0 < x É.T.: x ] [. log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 65 (x )= 7 log5( x ) log5( x ) log 5 (x ) + + = 7 log5 5 log log 5 (x ) + log 5 (x ) + log 5 (x ) = 8. Az egyenlet megoldása x = 68 É.T., más megoldás nincs f. x + > 0 - < x É.T.: x ]- [. log 9 (x + ) log 7 (x + ) = log (x + ) log (x + ) = log 9 log 7 log (x + ) log (x + ) = 6. Az egyenlet megoldása x = 64 É.T., más megoldás nincs g. x > 0 és x É.T.: x ]0[U ] [. log x + log x = log + log x = log x + (log x) = log x. Vezessünk be új ismeretlent: a = log x. Így az egyenlet + a = a a =.
23 log x = x =. Az egyenlet megoldása x = É.T., más megoldás nincs. 0) a. x + > 0 -< x és x + > 0 - < x É.T.: x. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: x + > x +. Az egyenlőtlenség megoldása: x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x 5 5 b. x 5 > 0 < x és 6 x > 0 x < 6 É.T.: x 6. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért: x 5 6 x Az egyenlőtlenség megoldása: x. 5 Az értelmezési tartománnyal összevetve x c. 7 + x > 0-7 < x és x > 0 < x és x + > 0 - < x É.T.: x ] [. log (7 + x) + log (x ) log (x + ) log [(7 + x) (x )] log (x + ). A alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (7 + x) (x ) (x + ). Az egyenlőtlenség megoldása: -6 x 4. Az értelmezési tartománnyal összevetve x ]4] d. 7x > 0 < x É.T.: x 7 7. log 7 (7x ) < log7 (7x ) < log 7. A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: 7x <. Az egyenlőtlenség megoldása: x < 7 4. e. 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x 7 7 x > 0 - < x < É.T.: x x +. (Megjegyzés: az É.T. meghatározása helyett választható a gyökök ellenőrzése.) x x log < 0 log < log x + x +. Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért:
24 x >. x + Az egyenlőtlenség megoldása: - < x <. Az értelmezési tartománnyal összevetve x. ) a ,06 n 50000,06 n,75. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,75 lg,06 n lg,75 n. lg,06 Az egyenlőtlenség megoldása: n 9,6. Legalább 0 évnek kell eltelnie, hogy forintunk legyen b ,9 n ,6 0,9 n 0,6. Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg0,6 lg 0,9 n lg 0,6 n (negatív számmal osztottunk!). lg0,9 Az egyenlőtlenség megoldása: n 4,8. Legalább 5 évnek kell eltelnie, hogy a gép értéke az új árának 60 %-át érje. 4
Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenA függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben1. Számológép és táblázat használata nélkül számítsd ki a következő számokat, majd. ; 8. (7 pont) függvényt! (9 pont)
I..negyedéves témazáró.évfolyam A csoport. Számológép és táblázat használata nélkül számítsd ki a következő számokat, majd rendezd növekvő sorrendbe: 9 ; 8 ; 8. (7 pont). Ábrázold és jellemezd az f ( )
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer
FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenA logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
TÁMOP-..4-08/2-2009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA. évfolyam középszint
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások
00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenElemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenTrigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
RészletesebbenInjektív függvények ( inverz függvény ).
04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebbenaz Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára
8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése I.
Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenSzögfüggvények értékei megoldás
Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c)
Részletesebben1.1 A függvény fogalma
1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.
Részletesebbenc.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
RészletesebbenFüggvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények
Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenNagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
RészletesebbenI. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja!
Feladatsor I. rész Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Adja meg az alábbi állítások
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonan szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :
0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
RészletesebbenKisérettségi feladatgyűjtemény
Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik
RészletesebbenHatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenHalmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz
Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
RészletesebbenKoczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:
Részletesebben