L'Hospital-szabály március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = = 0.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0."

Átírás

1 L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk. A számláló hatáértéke: 3 ln 2 = ln3 2 = ln =. A nevez határértéke: = =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospitalszabály feltételei, amely azt mondja ki, hogy az eredeti tört határértéke megegyezik azon tört határértékével, melyet a számláló és a nevez deriválásával kapunk. Ez most a következ t jelenti: ln = ln Hajtsuk végre a deriválásokat. ln = ln = Ezután a határérték már behelyettesítéssel meghatározható = 6 = 3 3 A L'Hospital-szabály szerint ez megegyezik az eredeti tört határértékével, azaz 3 ln = 6. ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Ismét a határérték típusának vizsgálatával kezdjük. A számláló határértéke: ln =.

2 A nevez határértéke: =. A határérték típusa tehát, azaz kritikus. A L Hospital-szabály nem csak a, hanem a típusú határértékek esetén is alkalmazható. Vegyük tehát a számláló és a nevez deriváltját, s az így keletkez új törtnek ugyanaz lesz a határértéke, mint az eredeti törtnek. típusú. Így az ere- ln = ln = = Ez a határérték nyilván -val egyenl, hiszen véges deti határérték is -val egyenl, azaz ln =. Megjegyzés: A megoldás elején azért fontos megvizsgálnunk a határérték típusát, mert ezzel ellen rizzük le, hogy teljesülnek-e a L'Hospitalszabály alkalmazásához a feltételek. Ha a feladatban nem kritikus tört típus, azaz vagy szerepel, akkor a szabály nem alkalmazható. 3. Feladat: Határozzuk meg a Megoldás: Vizsgáljuk a határérték típusát. határértéket! A számláló hatáértéke: = =. A nevez határértéke: 2 = 2 =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Alkalmazzuk a L'Hospitalszabályt = 2 = 2 Ennek a törtnek a határértéke már behelyettesítéssel meghatározható = = Ugyanez az eredeti tört határértéke is, azaz = 7 2. e 4. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! Megoldás: Természetesen a határérték típusát vizsgáljuk els ként. A számláló hatáértéke: e =. 2

3 A nevez határértéke: =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a feltétetelek a szabály alkalmazásához. e e = e = 2 Miel tt vizsgálnánk ezen új tört határértékét, célszer átalakítani. e 2 = e 2 = 2 e Az átalakítás eredményeként elt nt a tört, és helyette szorzatot kaptunk. A megoldás elején láttuk, hogy a szorzat mindkét tényez je végtelenhez tart, így a szorzat is a végtelenhez tart, azaz 2 e =. A szabály szerint pedig ugyanezzel egyenl az eredeti határérték is, tehát e =. Ez azt jelenti, a függvénynek nincs határértéke a végtelenben. sin 7 5. Feladat: Határozzuk meg a 3 határértéket! Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez határértékét. A számláló határértéke: sin 7 = sin7 =. A nevez határértéke: 3 = 3 =. A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospitalszabály feltétetelei. Figyeljünk azonban oda, és a számláló deriválásakor ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvény. Így a küls függvény deriváltját még szorozni kell a bels függvény deriváltjával. sin 7 3 = sin 7 cos = = cos 7 Ez a határérték már egyszer behelyettesítéssel meghatározható. 7 3 cos 7 = 7 3 cos7 = 7 3 Ezzel egyenl az eredeti határérték is, azaz sin 7 3 =

4 e 2 cosπ 6. Feladat: Határozzuk meg a Megoldás: Vizsgáljuk a határérték típusát. A számláló hatáértéke: 2 e 2 cosπ = e 2 2 cosπ 2 = e cos 2π = =. A nevez határértéke: = =. határértéket! A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a szabály feltételei, de a feladat látszólag sokkal bonyolultabbnak t nik, mint az eddigiek. Olyan tört határértéke ugyanis a kérdés, melynek számlálójában egy szorzat szerepel. Ha közvetlenül alkalmazzuk a szabályt, akkor ezt a szorzatot kell deriválnunk, s a derivált elég bonyolult lesz. Vegyük azonban észre, hogy a szorzat második tényez je a határérték szempontjából nem problémás, hiszen cosπ = cosπ 2 =. 2 Célszer ezért a szabály alkalmazása el tt szorzattá bontani a függvényt, és a tényez ket külön vizsgálni. 2 e 2 cosπ e 2 2 = cosπ Mivel az els tényez határértékét már meghatároztuk, így csak a második tényez vel kell foglakoznunk. Ez a határérték nyilván típusú, így teljesülnek a szabály feltételei. e 2 e = e = 2 2 Ebbe már egyszer en behelyettesíthetünk. e 2 = e = 4 Ezután térjünk vissza a szorzathoz. e 2 cosπ = 4 Ezzel egyenl az eredeti határérték is. = 4 7. Feladat: Határozzuk meg a ch határértéket! Megoldás: Az eddigi feladatokban törteknek a határértéke volt a kérdés, de most egy különbséget kell vizsgálnunk. Határozzuk meg külön a két tag határértékét. ch = = 4

5 A határérték tehát típusú. Ez is kritikus, de a L'Hospitálszabály csak kritikus típusú törtek esetén alkalmazható. Így el ször át kell alakítanunk a kifejezést, hogy különbség helyett törtet kelljen vizsgálnunk. Mivel a ch függvényt az eponenciális függvényb l származtattuk, így várhatóan gyorsabban fog végtelenhez tartani, mint. Emeljük ki a különbségb l ezt a gyorsabban növekv tagot. ch = ch ch Immár egy szorzatot kell vizsgálnunk, aminek második tényez je egy különbség, amelyben az egyik tag tört. Azt várjuk, hogy ezen tört határértéke lesz, hiszen a gyorsabban végtelenhez tartó taggal osztjuk a lassabban végtelenhez tartót. Lássuk be, hogy ez valóban így van, s vizsgáljuk innent l csak ezt a törtet, amely nyilván típusú. Erre tehát teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. ch = sh sh =, ezért ez a határérték valóban, hiszen típusa ch = Mivel véges. Ezután térjünk vissza a kiemeléssel átalakított határértékhez. ch ch Az els tényez végtelenhez tart, a második tényez je pedig egy különbség. Ezen különbségben a második tagról beláttuk, hogy -hoz tart, s ebb l következ en a második tényez határértéke. Ez a szorzat nem kritikus, hanem végtelent ad eredményül. Ugyanez jelekkel leírva a következ : ch ch = = Ugyanígy végtelenhez tart a feladatban szerepl különbség is, azaz: ch =. A végtelenben tehát nincs határértéke a függvénynek. 2. Összetett feladatok e. Feladat: Határozzuk meg a 3 határértéket! 2 Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, vizsgáljuk meg külön a számlálót és a nevez t. A számláló határértéke: e3 =. 5

6 A nevez határértéke: 2 =. A határérték tehát típusú, teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. A számláló deriválásakor gyeljünk oda, mert összetett függvényr l van szó. e 3 e 3 2 = e = 2 Ha megvizsgáljuk a kapott új határérték típusát, ismét -t kapunk, azaz továbbra is kritikus. Ilyen esetben ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. A számláló deriválásakor most se feledkezzünk meg a bels függvény deriváltjával történ szorzásról. 3 e 3 2 = 3 e 3 9 e 3 = 2 2 Mivel a számláló végtelenhez tart a nevez pedig egy pozitív konstans, így az egész tört is végtelenehez tart. Ez lesz az eredeti határérték is, azaz: e 3 2 =. Megjegyzés: Sok feladatban el fordul, hogy a L'Hospital-szabályt alkalmazva ismét kritikus határértéket kapunk. Ilyenkor ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. sin 2. Feladat: Határozzuk meg a 2 cos 3 határértéket! Megoldás: Els ként határozzuk meg a határérték típusát. A számláló határértéke: sin 2 = sin 2 =. A nevez határértéke: cos 3 = cos3 =. A határérték tehát típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. Mind a számláló, mind a nevez deriválásánál gyeljünk, mert mindegyikben el fordul összetett függvény. sin 2 sin 2 cos 3 = 2 sin cos cos 3 = sin 3 3 = 2 sin cos = 3 sin 3 Vizsgáljuk meg az új határérték típusát. A számláló határértéke: 2 sin cos = 2 sin cos =. A nevez határértéke: 3 sin 3 = 3 sin3 =. 6

7 A határérték tehát ismét típusú. Alkalmazzuk ismételten a szabályt. A számlálóban most egy szorzatot kell deriválnunk, a nevez ben pedig összetett függvényt. 2 sin cos 3 sin 3 = 2 sin cos 3 sin 3 = 2cos cos + sin sin 2cos 2 sin 2 = 9 cos 3 9 cos 3 Ezután már behelyettesítéssel megkapjuk a a határértéket. 2cos 2 sin 2 = 2cos2 sin 2 = 2 9 cos 3 9 cos3 9 Ezzel egyezik meg az eredeti határérték is, azaz: sin 2 cos 3 = 2 9 Bár megoldottuk a feladatot, egy kicsit még foglalkozzunk vele. A L'Hospital-szabály els alkalmazása után ugyanis egy kicsit másképp is haladhattunk volna. Használjuk fel a középiskolából ismert 2 sin α cos α = sin 2α összefüggést. Ekkor a következ t kapjuk: 2 sin cos sin 2 = 3 sin 3 3 sin 3 Így a számlálóban nem szorzat áll, hanem összetett függvény, s a szabály másodszori alkalmazásakor egyszer bb a deriválás. sin 2 3 sin 3 = sin 2 2 cos 2 3 sin 3 = 9 cos 3 A határértéket ezután behelyettesítéssel kapjuk. 2 cos 2 9 cos 3 = 2 cos2 9 cos3 = 2 9 Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az el bb. ln Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 5 sin Megoldás: Szokás szerint a határérték típusának vizsgálata az els lépés. A számláló határértéke: ln + 2 = ln + =. 5 A nevez határértéke: sin = sin =. A határérték tehát típusú, alkalmazható a szabály. A deriválások során vegyük gyelembe, hogy a számlálóban és a nevez ben is összetett függvény áll. 7

8 ln + 2 = 5 sin ln + 2 sin 5 = cos 5 2 Ha újra megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor megint -t kapunk, mert a számlálóban a 2, a nevez ben pedig a 2 5 tart a -hoz. Nem célszer azonban ismételten alkalmazni a szabályt. 2 Vegyük észre, hogy a tört egyszer síthet -tel, ami igaziból a problémát okozza cos 5 = 5 2 cos 5 Az egyszer sítés után pedig meghatározható a határérték, mert már nem kritikus típusú a tört = cos 5 cos 5 = 2 5 Ez tehát az eredit hatérérték is, azaz ln + 2 = 5 sin 2 5. Megjegyzés: A feladat megoldásából látható, hogy nem szabad meggondolatlanul mindig a L'Hospital-szabályt alkalmazni a kritikus esetekben. Ha most nem egyszer sítünk, akkor igen csúnya függvényeket kell deriválnunk, és a deriválások után még bonyolultabb törtet kapunk. Ráadásul újra kritikus típusú hatérértéket kapnánk. Ebben a feladatban egyszer sítés nélkül, csak a szabály alkalmazásával nem kapható meg az eredmény, akárhányszor is használjuk. Ezért nagyon fontos, hogy a szabály alkalmazása után egyszer sítsünk, ha erre lehet ség van. Ha pedig nem tudunk egyszer síteni, akkor is hozzuk a függvényt minél egyszer bb alakra. 4. Feladat: Határozzuk meg a 2 ln határértéket! Megoldás: Most nem egy törtet kell vizsgálnunk, hanem egy szorzatot. Határozzuk meg külön az egyes tényez k határértékét. Az els tényez határértéke: 2 = +. 8

9 A második tényez határértéke: ln =. A határérték tehát ez el jelekt l eltekintve típusú, ami kritikus. Mivel a L'Hospital-szabály törtek esetén alkalmazható, ezért át kell alakítanunk a függvényt úgy, hogy szorzat helyett tört szerepeljen. Ezt úgy érhetjük el, ha szorzás helyett az egyik tényez reciprokával osztjuk a másik tényez t. Jelen esetben a következ t írhatjuk: 2 ln = ln. 2 Az így felírt határérték típusú, hiszen ha 2 =. Így tehát már alakalmazható a L'Hospital-szabály. 2 = +, akkor ln ln = = Az új határértéket nyilván célszer átalakítani, hogy ne szerepeljen emeletes tört, és egyszer síthetünk is. 2 = 3 = Ezután már csak be kell helyettesítenünk a határérték meghatározásához. 2 2 = 2 2 = Ezzel megkaptuk az eredeti határértéket is, azaz: 2 ln =. Megjegyzés: Ha egy típusú határértéket kell meghatároznunk, akkor a L'Hospital-szabályt úgy alkalmazhatjuk, hogy szorzás helyett, az egyik tényez reciprokával osztunk. Ilyenkor két lehet ségünk is van, hiszen az a b szorzat helyett a b és b a is írható. Általában elmondható, hogy az egyszer bb tényez nek célszer a reciprokát venni, mert a szabály alkalmazása során így lesznek egyszer bbek a deriválások. 5. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! sin Megoldás: Most egy különbség határértéke a kérdés, így vizsgáljuk meg el ször a két tag határértékét. = 9

10 sin = A határérték tehát típusú, ami kritikus. A L'Hospital-szabály alkalmazásához törtté kell alakítanunk. Mivel a különbségben két tört szerepel, így a legegyszer bb, ha közös nevez re hozzuk ket. sin = sin sin Ha most megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor -t kapunk, hiszen sin = sin = sin = sin =. Teljesülnek tehát a L'Hospital szabály feltételei. sin sin = sin sin = cos = sin + cos Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. cos = cos = sin + cos = sin + cos = Látható, hogy ismét típusú a határérték. Újra alkalmazzuk a L'Hospitalszabályt. cos sin + cos = cos sin + cos = sin cos + cos + sin Ezt a határértéket pedig már behelyettesítéssel megkaphatjuk. sin 2 cos sin = 2 = sin 2 cos sin = Ezzel egyenl tehát az eredeti határérték is, azaz: sin =. 6. Feladat: Határozzuk meg a + határértéket! Megoldás: Most egy hatvány határértéke a kérdés, így a típus meghatározásához megvizsgáljuk az alap és a kitev határértékét. Az alap határértéke: =. +

11 A kitev határértéke: + = + = + =. A határérték tehát típusú, ami kritikus. Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a L'Hospital-szabályt, törtet kellene kialakítanunk. Ehhez használjuk azt az átalakítást, ami már szerepelt az f g típusú függvények deriválásakor. Ekkor az alapot alakítottuk át az a log ab = b összefüggés felhasználásával. Jelen esetben az alapban álló -et célszer felírni e ln formában. Ha ezt felhasználjuk, akkor a határérték a következ módon írható: = e ln. + + Mivel ismételt hatványozás esetén a kitev k szorzódnak, ezt tovább alakíthatjuk. e ln + = + e ln Így azt értük el, hogy az alapban egy konstans áll. Ezért ha vesszük a hatvány határértékét, akkor az alapban álló konstanst kell hatványoznunk a kitev határértékére. Ez jelekkel leírva a következ : ln ln e + = e + Tehát elegend már csak a kitev határértékét vizsgálnunk. A kérdés innent l az alábbi: ln +. Ez már tört, így határozzuk meg a számláló és a nevez határértékét a típus megállapításához. ln = ln + = + = + = + A határérték tehát típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. ln + = ln + = + = + Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkapjuk. = = Ezzel megkaptuk a kitev határértékét. Ne feledjük, az eredeti határértéket + úgy kapjuk, ha az e számot felemeljük a kitev határértékére, azaz: + = e = e.

12 7. Feladat: Határozzuk meg a sin határértéket! Megoldás: Ebben a feladatban is egy hatvány határértéke a kérdés, így els ként vizsgáljuk meg külön az alap és a kitev határértékét. Az alap határértéke: sin = sin =. A kitev határértéke: =. Amint látható, egy típusú határérték a kérdés. Ez a típus is kritikus. Alakítsuk át megint az alapot úgy, mint az el z feladatban. Most a sin helyett e lnsin -et írhatunk. Ezt felhasználva a határérték az alábbi alakot ölti: e lnsin. sin = Mivel a kitev k ilyen esetben szorzódnak, így ez tovább alakítható. e lnsin = e lnsin Mivel az alap konstans, így a hatvány határértékét úgy kapjuk, hogy az alapban álló konstanst a kitev határértékére emeljük. lnsin e lnsin = e Az igazi kérdés innent l tehát a kitev határértéke, azaz: lnsin. Most egy szorzat határértékét kell meghatároznunk, így a típus vizsgálatához a tényez k határértéke szükséges. = + lnsin = lnsin + = ln+ = A határérték tehát el jelekt l eltekintve típusú, azaz kritikus. Akkor alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt, ha törtté alakítjuk. Szorzás helyett osszunk az egyik tényez reciprokával. Természetesen az els tényez, azaz az egyszer bb, így ennek célszer a reciprokát venni. lnsin lnsin = Mivel = +, ezért = =. Ebb l következ en a + határérték típusú, tehát alkalmazható a L'Hospital-szabály. lnsin lnsin = = sin cos 2 2

13 Ez így nagyon bonyolult alakban van, célszer megszabadulni az emeletes törtt l. sin cos 2 cos = sin 2 Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. 2 cos = 2 cos = sin = sin = Most típusunk van, ami szintén kritikus, így újra alkalmazhatjuk a szabályt. 2 cos 2 cos = sin sin = 2 cos 2 sin 2 cos + 2 sin = cos cos Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkaphatjuk. 2 cos + 2 sin = 2 cos + 2 sin = cos cos = Megkaptuk tehát a kitev határértékét. Az eredeti határértéket is megkapjuk, ha az e számot felemeljük erre, azaz: sin = e =. 3

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today. KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 NeoSzámla Használati Útmutató Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15 neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 Tartalom Szolgáltatói adatok... 3 Kiállítható számlák... 3 Regisztráció... 3 A vállalkozás

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

SZÁLAS ALGA MEGSEMMISÍTŐ KÉSZÜLÉK CÉLSZERŰ HASZNÁLATA

SZÁLAS ALGA MEGSEMMISÍTŐ KÉSZÜLÉK CÉLSZERŰ HASZNÁLATA 1.oldal, összesen:5 A VELDA I-TRONIC SZÁLAS ALGA MEGSEMMISÍTŐ KÉSZÜLÉK CÉLSZERŰ HASZNÁLATA Az asztronautikai technológiából származtatott Velda I-Tronic készülék forradalmian új eljárást testesít meg a

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása

Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása MUNKAVÉDELEM 1.1 2.6 Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása Tárgyszavak: munkavédelem; kárelhárítás; veszélyes anyag; szivárgás; tervezés; oktatás. Bármikor megtörténhet Hétfő reggel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye

Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye Szerencsetippek Sorozat Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye 352 Találatgaranciás Ötöslottó kulcs 0-1 fixes játékokhoz 10-492 n 384 Találatgaranciás Hatoslottó kulcs 0-2 fixes játékokhoz 10-496

Részletesebben

SZOLGÁLTATÓI, KÁRTYAELFOGADÁSI SZERZŐDÉS

SZOLGÁLTATÓI, KÁRTYAELFOGADÁSI SZERZŐDÉS SZOLGÁLTATÓI, KÁRTYAELFOGADÁSI SZERZŐDÉS amely létrejött egyrészről az IZYS Önkéntes Kölcsönös Önsegélyező Pénztár (adószám: 18254596-1-43, székhely: 1051 Budapest, Bajcsy-Zsilinszky út 20., PSZÁF engedély:

Részletesebben

esetben, ahol mindkettő nulla a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.

esetben, ahol mindkettő nulla a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk. FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKÉNEK KISZÁMOLÁS? Véges helyen vett tárérték a Ilyenkor az első lépés hogy helyettesítsük be a üggvénybe az a -t. Ha amit így kapunk értelmezhető akkor kész is vagyunk az a szám a tárérték*.

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A 1553NY JELŰ NYILATKOZAT KITÖLTÉSÉHEZ A 1553E JELŰ EGYSZERŰSÍTETT BEVALLÁST VÁLASZTÓ ADÓZÓK RÉSZÉRE

ÚTMUTATÓ A 1553NY JELŰ NYILATKOZAT KITÖLTÉSÉHEZ A 1553E JELŰ EGYSZERŰSÍTETT BEVALLÁST VÁLASZTÓ ADÓZÓK RÉSZÉRE ÚTMUTATÓ A 1553NY JELŰ NYILATKOZAT KITÖLTÉSÉHEZ A 1553E JELŰ EGYSZERŰSÍTETT BEVALLÁST VÁLASZTÓ ADÓZÓK RÉSZÉRE Az egyszerűsített adóbevallás az önadózásnak egy formája, amely lehetőséget nyújt arra, hogy

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

4. LECKE: DÖNTÉSI FÁK - OSZTÁLYOZÁS II. -- Előadás. 4.1. Döntési fák [Concepts Chapter 11]

4. LECKE: DÖNTÉSI FÁK - OSZTÁLYOZÁS II. -- Előadás. 4.1. Döntési fák [Concepts Chapter 11] 1 4. LECKE: DÖNTÉSI FÁK - OSZTÁLYOZÁS II. -- Előadás 4.1. Döntési fák [Concepts Chapter 11] A döntési fákon alapuló klasszifikációs eljárás nagy előnye, hogy az alkalmazása révén nemcsak egyedenkénti előrejelzést

Részletesebben

Matematika 1 mintafeladatok

Matematika 1 mintafeladatok Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. 2007. december. Nemzeti Kapcsolattartó, a Támogatási forrást nyújtó alap: Pályázati kapcsolattartó, támogatásközvetítı szervezet:

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. 2007. december. Nemzeti Kapcsolattartó, a Támogatási forrást nyújtó alap: Pályázati kapcsolattartó, támogatásközvetítı szervezet: PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Az EGT/ Norvég Finanszírozási Mechanizmus keretében a magyar környezet- és természetvédelmi céllal létrejött társadalmi szervezetek támogatása, a Második Nemzeti Környezetvédelmi Program

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

GÉNIUSZ DÍJ - 2006. EcoDryer. Eljárás és berendezés szemestermények tárolásközbeni áramló levegős szárítására és minőségmegóvó szellőztetésére

GÉNIUSZ DÍJ - 2006. EcoDryer. Eljárás és berendezés szemestermények tárolásközbeni áramló levegős szárítására és minőségmegóvó szellőztetésére GÉNIUSZ DÍJ - 2006 EcoDryer Eljárás és berendezés szemestermények tárolásközbeni áramló levegős szárítására és minőségmegóvó szellőztetésére Működési ismertető Mezőgazdasági Technológia Fejlesztő és Kereskedelmi

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

AZ ELSŐ ÉS MÁSODIK DEMOGRÁFIAI ÁTMENET MAGYARORSZÁGON ÉS KÖZÉP-KELET-EURÓPÁBAN

AZ ELSŐ ÉS MÁSODIK DEMOGRÁFIAI ÁTMENET MAGYARORSZÁGON ÉS KÖZÉP-KELET-EURÓPÁBAN AZ ELSŐ ÉS MÁSODIK DEMOGRÁFIAI ÁTMENET MAGYARORSZÁGON ÉS KÖZÉP-KELET-EURÓPÁBAN Készült az ОТKA 400 kutatási program keretében BUDAPEST 1995/1 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET

Részletesebben

KÉTPREPARÁTUMOS MÓDSZERREL

KÉTPREPARÁTUMOS MÓDSZERREL GM-CSŐ KRKTERSZTKÁJÁNK VZSGÁLT, HOLTDEJÉNEK MEGHTÁROZÁS KÉTPREPRÁTUMOS MÓDSZERREL GM-cső a legelterjedtebben asznált gázionizációs detektor az -, - és - sugárzás mérésére. gáz-ionizációs detektoroknak

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben