Mátrixaritmetika. Tartalom:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mátrixaritmetika. Tartalom:"

Átírás

1 Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám István

2 A vektor és mátrix fogalma A vektor és mátrix tulajdonképpen a számfogalom általánosítása. A számokkal a tárgyak, jelenségek mennyiségi vonatkozásait jellemezzük. Sok esetben ez a jellemzés egy számmal nem valósítható meg. Például: Ha a szabó méreteket vesz egy ruha készítéséhez, akkor egész számsort ír fel. Vagy: Ha egy egyszerű termelési folyamatot tekintünk, amikor erőforrás felhasználásával négyféle terméket gyártanak, akkor a gyártást jellemezheti az, hogy egy egységnyi termékbe az erőforrásokból menynyi épül be. Ezt számtáblázat alakjában vehetjük fel. Például: A B C I II III IV Ha a sorok és oszlopok élén mindig erőforrások és termékek állnak, akkor hasonló esetben elegendő megadni a számtáblázatot (mátrixot): A =

3 Mátrix: m sorban és n oszlopban elrendezett számtáblázat. (m és n pozitív egész.) Jelölés: a mátrixokat általában az ábécé nagybetűivel jelöljük, amelyeket aláhúzunk és a számtáblázatot szögletes zárójelek közé tesszük. Általánosan: a mátrix elemeit a ij -vel jelöljük, ahol az i, az első index, mindig a sor számát jelenti a mátrixban, így az értékei -től m-ig lehetnek a pozitív egész számok, a j pedig az oszlop számát jelöli ( j n). Tehát: a a... an Az így megadott mátrixot m-szer n típusúnak a a... a n nevezzük. Az m és n a mátrix jelzőszámai A = A mátrix megadható rövidítve is: A=[a ij ], ahol i m és j n a m am... a Példa: a -es mátrixnak sora és oszlopa van. m,n A vektor olyan mátrix, amelynek egyik jelzőszáma, a másik -nél nagyobb. Jelölés: a vektorokat aláhúzott kisbetűkkel jelöljük. Például egy -es sorvektor: a*=[ -, ¾] A sorvektorhoz megkülönböztető jelként csillagot (*) írunk. Például egy -es oszlopvektor: b= Az oszlopvektort csillag (*) nélkül jelöljük. 7

4 A mátrix transzponáltja Gyakran előfordul, hogy egy számtáblázat oszlopait és sorait felcseréljük. Mátrixoknál ezt az eljárást transzponálásnak nevezzük. Jelölés: az A mátrix transzponáltja A*. Példa: Ha A =, akkor A*= Megjegyzés:.) A vektorok megadásánál az oszlopvektort tekintjük elsődlegesnek, a sorvektor annak transzponáltja, innen a csillag a jelölésnél. Így az oszlopvektort is írhatjuk vízszintesen, ha a jobboldal transzponáltját vesszük. vektor írható b=[ 7]* alakban is. 7 Példa: A b =.) Bármely mátrixot tekinthetünk oszlopvektorokból, illetve sorvektorokból állónak (particionálás). Például a fenti A mátrix felírható olyan oszlopvektorként, amely az a *=[ ] a *=[ ] a *=[ ] sorvektorokból áll.

5 Speciális mátrixok I. Említettük, hogy a vektor olyan mátrix, amelynek egyik jelzőszáma. Az oszlopvektor m típusú (m>), a sorvektor n típusú (n>). (m, n N + ) Ha mindkét jelzőszám, akkor a mátrixot egyetlen szám alkotja. Ilyenkor a mátrixot jelölő szögletes zárójel elhagyható és a (valós) számot skalárnak nevezzük. A skalárokat a görög ábécé kisbetűivel jelöljük: α,,λ,µ, Speciális vektorok:.) a nullvektor minden eleme : =[ ]* A speciális vektorok egyaránt lehetnek oszlopvagy sorvektorok..) az egységvektor egy eleme, a többi : e =[ ]*, e =[ ]*,.) az összegzővektor minden eleme : =[ ]* II. Négyzetes (kvadratikus) az a mátrix, amelynek jelzőszámai egyenlők. Példa: Az M mátrix -es, a mátrix rendje. M = 7, π 8 A mátrixban az elemek tetszőleges valós számok lehetnek.

6 Elnevezések: a négyzetes mátrix főátlóját a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig húzott átlóban lévő számok alkotják. Például az M főátlóját a számok jelentik. Mellékátló: a főátlóra merőleges átló. Például az M mellékátlóját a π, számok alkotják. Diagonális az a négyzetes mátrix, amelyben a főátlón kívüli elemek nullák. Példa: A D mátrix diagonális (a D diagonál mátrix): D = Jelölés: D=< >. A diagonál mátrix megadása a főátlóval történik. Speciálisan: egységmátrix az olyan diagonál mátrix, amelyben a főátlóban csupa egyes áll. Megjegyzés: az egységmátrix sorait is és oszlopait is egységvektorok alkotják. Példa: Az E (harmadrendű) egységmátrix: E = A nullmátrix csupa nullából áll. Megjegyzés: a nem négyzetes mátrix is lehet nullmátrix, ha minden eleme. Ilyenkor meg kell adni a jelzőszámokat.

7 A négyzetes mátrixok között még két esetet említünk:.) Trianguláris (háromszög) mátrix az, amelyiknél a főátló alatt, vagy a a főátló felett minden elem. Példa: A T f mátrix felső trianguláris, a T a pedig alsó trianguláris: T f =, π 8 T a = Az egységmátrixok vagy a négyzetes nullmátrixok egyszerre alsó és felső triangulárisak.) Szimmetrikus az a mátrix, amelyiknél az elemek a főátlóra tükrözöttek, azaz: a ij =a ji minden i-re és j-re. Példa: Az S mátrix szimmetrikus: S = 7 Ferdén szimmetrikus 7 az a mátrix, amelynél a ij = -a ji (minden i-re és j-re). További speciális mátrixokkal találkozhatunk a későbbi tanulmányaink során. S f = 7 7 7

8 Relációk és műveletek mátrixokkal Két, vagy több mátrix között aritmetikai relációt (kapcsolatot, viszonyt) csak akkor állapíthatunk meg, ha a mátrixok azonos típusúak. Ha a mátrixok nem azonos típusúak, akkor összehasonlíthatatlanok. Két azonos típusú mátrix között az =, a, a <, a >, vagy a reláció közül valamelyik akkor és csak akkor áll fenn, ha a mátrixok minden megfelelő eleme között fennáll a reláció. Példa: Állapítsunk meg relációkat a következő mátrixok között: A = B = 7 C = Megoldás: Mindhárom mátrix különböző típusú, tehát közöttük arimetikai reláció nem adható meg. Igaz viszont: B, valamint látható, hogy A és C egymás transzponáltjai, tehát: A=C*, illetve A*=C. Elmondhatjuk: az azonos jelzőszámú mátrixok között is viszonylag ritkán lehet relációt tapasztalni. 8

9 Műveletek mátrixok között Mátrixok közötti műveleten mátrixok elemeinek egymáshoz rendelését értjük. Összeadás Két azonos típusú mátrixot úgy adunk össze, hogy a megfelelő elemeiket összeadjuk. Példa: Ha az A és B mátrixok adottak, akkor az összegük: A = B = akkor A+B = A mátrixok között értelmezett összeadás a vektorokra is vonatkozik. Vigyázat! Oszlopvektort sorvektorral nem lehet összeadni, hiszen a jelzőszámaik mások! Skalárral való szorzás Tetszőleges mátrixot egy valós számmal (skalárral) mindig meg lehet szorozni. Ha adott az A=[a i j ] mátrix és a λ valós szám, akkor a mátrix λ-szorosán azt a mátrixot értjük, amelynek minden eleme az eredeti mátrix elemeinek λ-szorosa. Tehát: λ A=[λa i j ]. Példa: A fenti A mátrix λ= esetén: A = 7

10 A kivonást külön nem kell értelmezni, hiszen az visszavezethető λ= -gyel történő szorzásra és összeadásra: A B=A+( )B. Az összeadás és a skalárral váló szorzás tulajdonságai Kommutatív tulajdonság: A+B=B+A, illetve: λa=a λ λ. Asszociatívitás: A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C, illetve: (λµ λµ)a=λ(µa)= λµa. Disztributív tulajdonság: λ(a+b)=λa+λb, illetve: (λ+µ)a=λa+µa. A transzponálás művelettartó az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve: (A+B)*=A*+B*, illetve: (λa)*=λa*. Mátrixok szorzása A mátrixok egymással való szorzása eltér a valós számok körében végzett szorzástól. A mátrix szorzást vektorok szorzására vezetjük vissza. Két vektor skalárszorzata Adott egy n elemű a* sorvektor és egy ugyancsak n elemű b oszlopvektor. A két vektor skalárszorzata a megfelelő elemek szorzatának összege. Példa: Legyen a*=[ ] és b= [ 8 ]* (a b oszlopvektor!). A skaláris szorzatuk: a* b= +( ) ( )+ + 8=.

11 Általánosan: Az n elemű a* sorvektor és b oszlopvektor skaláris szorzata: b b n a* b=[ a a a n ]. =a b +a b + +a n b n = a b i i i=.. Fontos a sorrend! Az mindig sorvektor szorozva b n oszlopvektorral! Az első tényező mindig a sorvektor! A skaláris szorzás eljárását ( szorozd össze a megfelelő elemeket és a szorzatokat add össze ) komponálásnak is nevezzük. A skaláris szorzat kommutatív: a* b = n i= n a b i i = i= b i a i =b* a. Speciálisan: Ha a skalárszorzatban az egyik vektor minden eleme, akkor a komponálás eredménye a másik vektor elemeinek összege. Példa: Legyen a*=[ ] és b=[ ]*, akkor: a* b= +( ) + + =7. Ha egy vektor minden eleme egy, akkor a skalárszorzás miatt nevezzük a vektort összegző vektornak.

12 Mátrixszorzás vektorokra bontással (partícionálással) Összeszorozhatunk két mátrixot a skaláris szorzat definíciója alapján, ha az első tényezőt sorvektorokra, a másodikat pedig oszlopvektorokra bontjuk. Szükséges, hogy a két típusú vektorok elemszámai azonosak legyenek. Példa: Adott az A és B mátrix, vegyük fel A-t sorvektorokra, B-t oszlopvektorokra particionálva: [ ] A = [ ] = és B = = Az A B szorzatmátrix első sorának első elemét megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B első oszlopvektorával: [ ] [ ]*=++=7. Az A B szorzatmátrix első sorának második elemét megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B második oszlopvektorával: [ ] [ ]*= 8. Hasonló komponálással a szorzatmátrix második sorának első eleme:, a második sor második eleme pedig. Tehát: 7 8 Tehát sorokat oszlopokkal A B = = komponálunk.

13 A mátrixszorzás általánosan Ha az A mátrix m p típusú és a B mátrix p n típusú, akkor a szorzatukon azt az m n típusú C mátrixot értjük, amelynek bármely c ij eleme az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának skaláris szorzata. Jelöléssel: * a * a... * am A B = [ b b... b ] n * a b * a b =... * am b Fontos: A szorozhatóság feltétele, hogy az első tényező oszlopainak száma megegyezzen a második tényező sorainak számával. Ha ez teljesül, akkor a két mátrixot konformábilisnek nevezzük. Konkrétan: Az A és B akkor szorozható, ha a középső jelzőszámok megegyeznek és ilyenkor az eredmény jelzőszámait a két szélső jelzőszám adja. Példa: Ha az A mátrix -es, akkor ez mátrix jobbról csak n típusúval, balról pedig n típusúval szorozható. (n N + ) Ha például az első tényező -es, akkor azt egy -sel szorozva egy -es mátrixot kapunk: 7 a * b = a a a * * * m b b... 8 n n b n

14 A szorzást sorvektor komponálva oszlopvektorral módon végeztük. Áttekinthetőbbé tehetjük a szorzást, ha az ú.n. Falk sémát alkalmazzuk, amely a szorzás következő elrendezését jelenti: Húztunk két egymásra merőleges szakaszt, a bal alsó negyedbe kerül az A mátrix, a jobb felsőbe a B, és az eredmény, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix sorait komponáljuk a B megfelelő oszlopaival, a jobb alsó negyedbe kerül. A szögletes zárójelek kiírása ekkor nem szükséges. Példa: Legyen a B -as, a B A szorzást végezzük el Falk módszerrel: A 7 B 8 A 7 A sorok és oszlopok komponálásával kapjuk a szorzatmátrix elemeit. B i 8 8

15 A mátrixszorzás tulajdonságai.) A mátrixszorzás nem kommutatív! Tehát általában: A B B A. Példa: Adott az A = és a B = Képezzük az A B és a B A szorzatokat! Egyszerűen belátható (például a Falk sémát alkalmazva), hogy A B=. A B A szorzat eredménye egészen más: B A = Végezzük el gyakorlásul ezeket a szorzásokat!.) A mátrixszorzás asszociatív, ha a szorzásnál a konformábilitás fennáll: A (B C)=(A B) C=A B C. Az asszociatívitás skalárszorzóra is fennáll: λ(a B)=(λA)B..) A mátrixszorzás disztributív, ha a konformábilitás fennáll: A (B+C)=A B+A C, illetve: (A+B) C= A C+B C. A szorzat transzponáltjára vonatkozó szabály: (A B)*=B* A*.

16 Speciális mátrixműveletek Sokszor szükségünk van arra, hogy egy táblázatból kiemeljünk egy sort, vagy oszlopot, összeadjuk az elemeket, vagy valamilyen más adatbányászást hajtsunk végre. Ilyenkor mátrixaritmetikai műveleteket, módszereket alkalmazhatunk.. Egy oszlop kiemelése a mátrixból Az A mátrix j-edik oszlopát kapjuk, ha a mátrixot jobbról szorozzuk a j-edik egységvektorral: a j =A e j. (Az egységvektor ekkor csak oszlopvektor lehet!) Példa: Legyen adott egy -as A mátrix: A = Emeljük ki a. oszlopot! (Az A-t szorozzuk jobbról az e -mal:) =. Egy sor kiemelése a mátrixból Az A mátrix i-edik sorát kapjuk, ha a mátrixot balról szorozzuk az i-edik egységvektorral: b i *=e i * A. Ekkor az egységvektor sorvektor (konformábilitás!). Példa: Az A mátrixból emeljük ki a második sort: [ ] = [ ]

17 . A mátrix j-edik oszlopában lévő elemek összege A j-edik oszlopot kiemeljük, és a kapott vektor elemeit az összegzővektorral összeadjuk. * (A e j ) Írhatjuk zárójel nélkül is (asszociatívitás):* A e j.. A mátrix i-edik sorában lévő elemek összege Az előzőhöz hasonlóan : sorkiemelés, majd az összegzővektorral összeadatunk : e i * A. Példa: Az A. oszlopa elemeinek összege [ ] = [ ] =. Példa: Az A. sora elemeinek összege: [ ] =.. A mátrix oszlopaiban lévő elemek összege oszloponként Az összegző sorvektorral balról szorozzuk a mátrixot: * A.. A mátrix soraiban lévő elemek összege soronként Az összegző oszlopvektorral jobbról szorozzuk a mátrixot: A. Végezzük el gyakorlásul ezeket a szorzásokat! 7

18 7. A mátrix összes elemeinek összege Vagy az oszlopelemek összegét összegezzük,vagy a sorelemek összegét összegezzük: (* A) =* (A )=* A. (A zárójeleket ki sem kell írni. Ügyeljünk a konformábilitásra!) Példa: [ ] = [ ] 8. A mátrix minden elemének szorzása egy számmal Ez alapművelet: λ λ A=[λ λ a i j ]. =. A mátrix egy oszlopában lévő elemek szorzása egy számmal Az A mátrixot jobbról szorozzuk a megfelelően módosított egységmátrix-szal. Például ha a. oszlopot akarjuk szorozni λ-val: A < λ >. Példa: Az A. oszlopát szorozzuk meg -mal:. A mátrix egy sorában lévő elemek szorzása egy számmal (Az egységmátrix diagonál mátrix, a főátlóban csupa áll.) Az A -t balról szorozzuk a módosított egységmátrix-szal: < λ > A. = 8

19 A diadikus szorzat. Mátrixok hatványozása A diadikus szorzat két vektor szorzata, oszlopvektor sorvektor sorrendben. A mátrixszorzás szabálya szerint két vektor akkor is összeszorozható, ha az első tényező m típusú (azaz oszlopvektor), a második pedig n típusú, hiszen a középső jelzőszámok megegyeznek. Az eredmény m n-es mátrix. Példa: Adott az a=[ - ]* oszlopvektor és a b*=[ ] sorvektor. Képezzük az a b*=a diadikus szorzatot! Használjuk a Falk sémát: a b Megjegyzés: Hasonlóan egyszerűen szorozható össze két diagonális mátrix: Az eredmény egy -as mátrix. < a a a n > < b b b n >=< a b a b a n b n > Az (azonos típusú) diagonál mátrixok szorzata is diagonál mátrix. A szorzatmátrix elemeit megkapjuk, ha a tényezők megfelelő elemeit összeszorozzuk.

20 Hatványozni (önmagával megszorozni) csak akkor lehet egy mátrixot, ha az négyzetes. Tehát: A =A A, A =A A, és így tovább: A n =A n- A. Megegyezés szerint:a =E. Elnevezés: Az A mátrix nilpotens, ha A, de A n =. A legkisebb olyan kitevő, amelynél a mátrix hatvány lesz, a nilpotencia foka. Példa: Adott az A mátrix: A = ekkor: A = Tehát az A mátrix nilpotens és a nilpotencia foka. Elnevezés: Az A mátrix projektor mátrix, A =A. Példa: Adott az A mátrix: A=, és A = =, ekkor A = =A, tehát az A projektor mátrix. A mátrixok hatványozásához további összefüggések tartoznak, ezekkel nem foglakozunk.

21 Gyakorlati alkalmazások A társadalmi, gazdasági, természeti folyamatokhoz kapcsolódó adathalmazok (vektorok, mátrixok) áttekintését, értelmezését, a velük való számolást jelentősen egyszerűsíti a mátrixos írásmód, a mátrixaritmetika. Példa: A következő feladatban a kérdésekre mátrixaritmetikai jelölésekkel válaszoljunk! Egy üzem erőforrás (például élőmunka, anyag, energia, gépek) felhasználásával háromféle terméket készít. Az első termék egy egységébe az erőforrásokból rendre,,,, a másodikba,,,, a harmadikba,,, egységnyi épül be. Az erőforrásokból maximálisan felhasználható kapacitások:,, és. Az egyes termékekből, 7, darabot kívánnak gyártani. Az erőforrások egységárai:,,, pénzegység, az egyes termékek eladási árai,, pénzegység. A felhasznált erőforrások költségén kívül a termékekhez egyéb költségek (csomagolás, raktározás, stb.) járulnak, ezek darabonként:,, pénzegység..) Az adott feltételekkel megvalósítható-e a termelés?.) Mennyi maradvány van az egyes erőforrásokból?.) Mennyi a termelés összköltsége?.) Egy darab terméknek mennyi az előállítási költsége?.) Mennyi a fajlagos önköltség darabonként?.) Mekkora az összes ráfordítás? 7.) Mennyi a teljes árbevétel?

22 Megoldás: az adatainkat elrendezzük. Az erőforrás beépülés táblázatának felvételéhez jelöljük az egyes erőforrásokat A, B, C, D-vel, a termékeket I, II, III-mal: I II III A Ismert tehát a B termelést meghatározó ú.n. A = C technológiai D mátrix: A kapacitás adatokat vektorként vesszük fel: b=[ ]*. A kapacitások egységárai pedig: a=[ ]*. A tervezett gyártási program vektor alakja: p*=[ 7 ]. Az eladási ár vektor: c*=[ ]. A további költségek vektora: t*=[ ]. Az.) kérdésre a válasz mátrixaritmetikai alakja: A p= = b = A kapacitásvektor komponensei nem kisebbek a számolt értékeknél, így a tervezett termelés lehetséges.

23 A.) kérdésre a válasz mátrixaritmetikai alakja: b A p=[ 7 ]*. A.) kérdésre: a* (A p)= (az asszociativitás miatt) =a* A p=. U.i.:az egységárakkal rendre szorozzuk a szükséges kapacitás mennyiségeket és a szorzatokat összeadjuk. A.) kérdésre a válasz: skalárisan szorozzuk az a* sorvektorral az A oszlopvektorait, tehát magát az A-t: a* A = [ ] Az.) kérdésre: a* A+t*=[ 7 ]. = [ ]. U.i.:a fajlagos önköltséget akkor kapjuk, ha a további költségeket rendre hozzáadjuk az előállítási költségekhez. A.) kérdésre a válasz: az összes ráfordítás úgy adódik, hogy a fajlagos önköltségeket rendre szorozzuk a darabszámokkal és a szorzatokat összeadjuk: (a* A+t*) p=. Ez a skalárszorzat írható p* (a* A+t*)* alakban is.

24 A 7.) kérdésre a válasz: a teljes (lehetséges) árbevételt megkapjuk, ha a darabszámokat rendre szorozzuk az eladási egységárakkal és a szorzatokat összeadjuk: c* p=p* c=8. További kérdéseink lehetnek: 8.) Mekkora a fedezeti összeg? A válasz: a fedezeti összeg=árbevétel üzemi ráfordítás, tehát: c* p (a* A+t*) p=7..) Mekkora a termelési program összes erőforrás szükséglete termékenként? A válasz mátrixaritmetikai alakja kicsit bonyolultabb: A < p > A technológiai mátrixot jobbról szorozzuk a p elemeiből álló diagonális mátrix-szal. A < p >= 7 = 8 7 A mátrixaritmetikának további széleskörű alkalmazási lehetőségei vannak. A fejezet tárgyalását befejeztük.

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László October 25, 2013 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2013. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István Disztribúciós feladatok Készítette: Dr. Ábrahám István Bevezető Az elosztási, szétosztási feladatok (szállítás, allokáció, stb.) leggazdaságosabb megoldása fontos kérdés. Célunk lehet legkisebb összköltségre

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK GEOMETRIAI TARTÁLYHITELESÍTÉS HE 31/4-2000 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK 3. ALAPFOGALMAK 3.1 Tartályhitelesítés 3.2 Folyadékos (volumetrikus)

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Mesterséges intelligencia 1 előadások

Mesterséges intelligencia 1 előadások VÁRTERÉSZ MAGDA Mesterséges intelligencia 1 előadások 2006/07-es tanév Tartalomjegyzék 1. A problémareprezentáció 4 1.1. Az állapottér-reprezentáció.................................................. 5

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

1. Kivonat 3. 2. Bevezetés 5. 3. Káoszelmélet [1, 2] 6

1. Kivonat 3. 2. Bevezetés 5. 3. Káoszelmélet [1, 2] 6 1 Contents 1. Kivonat 3 2. Bevezetés 5 3. Káoszelmélet [1, 2] 6 4. A Bloch-egyenlet iteratív megoldása 10 4.1. Az iterációs séma 10 4.2. Ljapunov-exponens számítás 12 4.3. Példák 14 4.3.1. A számítás kiindulási

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

19/2009. (I. 30.) Korm. rendelet. a földgázellátásról szóló 2008. évi XL. törvény rendelkezéseinek végrehajtásáról

19/2009. (I. 30.) Korm. rendelet. a földgázellátásról szóló 2008. évi XL. törvény rendelkezéseinek végrehajtásáról 19/2009. (I. 30.) Korm. rendelet a földgázellátásról szóló 2008. évi XL. törvény rendelkezéseinek végrehajtásáról A Kormány a földgázellátásról szóló 2008. évi XL. törvény 132. 1-13., 15., 17-35., 38-40.,

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő Bevezetés a programozásba 12. Előadás: 8 királynő A 8 királynő feladat Egy sakktáblára tennénk 8 királynőt, úgy, hogy ne álljon egyik sem ütésben Ez nem triviális feladat, a lehetséges 64*63*62*61*60*59*58*57/8!=4'426'165'368

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Lineáris algebra jegyzet

Lineáris algebra jegyzet Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!

Részletesebben