Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető: Fialowski Alice egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest 23

2

3 Tartalomjegyzék Bevezetés Előismeretek Mátrixok Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Direkt módszerek Gauss-elimináció LU-felbontás Cholesky-felbontás Legkisebb négyzetek módszere Főbb eredmények Iterációs módszerek Jacobi-iteráció Gauss-Seidel-iteráció Richardson-iteráció Összefoglalás Köszönetnyilvánítás Irodalomjegyzék Nyilatkozat

4 Bevezetés Szakdolgozatom témája a lineáris algebra alkalmazása a numerikus analízisben. Bármennyire is idegennek hangzik, ez a témakör jelen van a hétköznapi életünkben több területen is, mint gondolnánk. Fizika, mechanika, kémia, építészet, pénzügy és közgazdaságtan területein előforduló problémákra is alkalmazzuk a lineáris algebrai egyenletrendszerek felírását. Ez a problémamegoldás magában foglalja a mátrixok alkalmazását is, hiszen az egyenletrendszereket mátrixok formájában is felírhatjuk. A lineáris egyenletrendszerek megoldásán kívül a másik fő mátrixszámítási művelet a mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása. Motivációnak szeretnék ezekre a módszerekre két mindennapjainkban is előforduló modellre példát mutatni. (A példák és ábráik a 3 -ból származnak.) Elsőként egy fizikai példa: Egy mechanikai rendszer rezgései Egy mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámítása alapvető matematikai segédeszköz egy mechanikai szerkezet rezgéseinek tanulmányozásához. Ebben az esetben a sajátértékek a frekvencia négyzetes értékei, a sajátvektorok pedig a rendszer rezgésmódjai. Vegyük például egy épület rezgési frekvenciájának kiszámítását, amely fontos szerepet játszik abban, hogy meghatározzuk az épület szilárdságát egy földrengés esetén. Az egyszerűség kedvéért ezt most egy egyszerűbb modellen vizsgáljuk meg, de a módszer ugyanez bonyolultabb modellekre is. Tekintsünk egy kétemeletes épületet (földszint + két emelet), amelynek a merev mennyezeteinek tömegeit m, m 2, m 3 -mal jelöljük. A falaknak elhanyagolható a tömege, de a rugalmasságuk egy rugóval van modellezve, amelynek a rugóállandói k, k 2, k 3 (minél nagyobb k i, annál szilárdabb a fal). A mennyezet vízszintes elmozdulását y, y 2, y 3 -mal jelöljük, az épület alapja pedig földhöz rögzített. Másképpen, ez a kétemeletes épület egy olyan rendszert határoz meg, melyben a 3 tömeg rugókkal kapcsolódik egy fix talpazathoz. 4

5 Ez az alábbi ábrán is látható. A mechanika törvényeiből tudjuk, hogy a tömeg és a gyorsulás szorzata egyenlő az alkalmazott erők összegével. Az itt használt erők a rugók általi visszaható erők (kötélerők). Ezek egyenlők a rugó merevségének és nyúlásának szorzatával. Az y, y 2, y 3 irányú elmozdulások a t idő függvényei. Ezek első deriváltjai, y, y 2, y 3, jelölik a sebességeket, és a második deriváltak, y, y 2, y 3, pedig az m, m 2, m 3 súlyok gyorsulásait. Így az alábbi 3 egyenletet kapjuk: amit mátrix formájában értelmezünk: ahol y = y y 2, M = y 3 m y + k y + k 2 y y 2 =, m 2 y 2 + k 2 y 2 y + k 3 y 2 y 3 =, m 3 y 3 + k 3 y 3 y 2 =, () My + Ky =, (2) m m 2, K = m 3 k + k 2 k 2 k 2 k 2 + k 3 k 3. k 3 k 3 Az M mátrix a tömegmátrix, a K mátrix pedig a merevség mátrix. Mindkét mátrix szimmetrikus. Az () egyenletrendszer azon pontos megoldásait keressük, amelyek időben periodikusak, hogy ábrázolni tudjuk majd a rendszer rezgéseit. Ezért a következő helyettesítést végezzük: y t = y e iωt, 5

6 ahol i a képzetes egység, és ω a megoldás rezgési frekvenciája. Egyszerű számítás után megkapjuk, hogy ebben az esetben a gyorsulás y t = ω 2 y(t), és ez leegyszerűsíthető a (2) felírás szerint a következőre: Ky = ω 2 My. (3) Ha az összes súly -gyel egyenlő, akkor M az egységmátrix, és (3) egy szokásos sajátérték probléma a K mátrixra, azaz y a K ω 2 sajátértékhez tartozó sajátvektora. Ha a súlyok bármilyen értéket felvehetnek, akkor (3) egy általánosított sajátérték probléma, azaz ω 2 az M /2 KM /2 mátrix sajátértéke. Természetesen, ha egy n-emeletes épületet tekintünk, akkor egy ugyanilyen mátrix problémát kapnánk, csak n + -es méretben. Az M mátrix mindig diagonális, a K pedig mindig tridiagonális lesz. Második példám egy képtömörítési módszert mutat be: Képtömörítés SVD faktorizációval Egy fekete-fehér képet tekinthetünk olyan derékszögű A mátrixnak, melynek mérete azonos a pixelek számával. A mátrixba írt a ij adatokat a, intervallumból vesszük, ahol a egy fehér pixelt, az pedig egy fekete pixelt jelképez. A közbeeső értékek, < a ij <, pedig a szürke különböző árnyalatainak felelnek meg. Tegyük fel, hogy a kép mérete olyan nagy, hogy nem tudjuk számítógépen tárolni vagy e- mailben elküldeni. Most megmutatjuk, hogy az SVD (singular value decomposition) hogyan minimalizálja a kép méretét úgy, hogy egy, a képhez látszólag közel hasonló képet felcserél az eredetivel. Egy A C m n r rangú mátrix SVD faktorizációja a következő: A = VΣU és Σ = Σ, ahol U C n és V C m két unitér mátrix és Σ egy diagonális mátrix μ,, μ r elemekkel, amelyekre μ μ 2 μ r >. Ezek az értékek az A A (ahol A az A mátrix adjungáltja) sajátértékeinek pozitív négyzetgyökei, amelyeket A szinguláris értékeinek (singular values) nevezünk. Tehát az SVD faktorizációt sajátérték-problémának is tekinthetjük. Ha U és V oszlopait u i és v i -ként jelöljük, akkor az A mátrix SVD faktorizációja a következőképp is felírható: A = VΣU = μ i v i u i. r i= 6

7 Mivel a szinguláris értékek csökkenő sorrendben vannak, így A könnyen közelíthető az első k r taggal. k A k = μ i v i u i. i= A k lesz az A legjobb közelítése a k rangú mátrixok között. Természetesen k sokkal kisebb, mint r, így A közelítése A k -val sok memóriát spórol meg. Az A R m n mátrix tárolása m n skalárt igényel. Viszont A k tárolásához elég k darab μ i v i C m vektor és k darab u i C n vektor, azaz, k m + n skalár. Így tehát jobban megéri, ha k kicsi, és megelégszünk A egy közelítésével is. Az ábrán az eredeti kép pixelből áll, így az ennek megfeleltetett A mátrix mérete Az eredeti kép mellett még további 3 kép látható, amelyek 3 különböző, A -t közelítő A k mátrixnak felelnek meg. Az első közelítés k = értékkel nagyon elmosódott képet ad, de k = 2-ra a lényeg már látható. Viszont a k = 6-ra kapott kép és az eredeti között nincs szinte semmi különbség, mégis a közelített értékkel a tárolási helyet az ötödére csökkentettük: k(m + n) m n = 6( ) %. Ennek a képtömörítési módszernek a fő számítási költsége az A mátrix SVD faktorizációja. Mint korábban kifejtettük, az A szinguláris értékei az A A mátrix sajátértékeinek a pozitív négyzetgyökei. Így az SVD faktorizáció egy lehetséges módszer egy mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározásához. Megjegyzem még, hogy természetesen képtömörítéshez léteznek más, sokkal hatékonyabb és olcsóbb algoritmusok is, mint az SVD faktorizáció. 7

8 A példák után ismertetem a szakdolgozatom tartalmát. Az első fejezetben felsorolom a definíciókat, tételeket, melyek ehhez a témakörhöz előismeretként szükségesek. A többi fejezetben pedig a különböző alkalmazásokat részletezem alaposabban. A fő fejezetek a direkt és iterációs módszerek és a legkisebb négyzetek módszere. Igyekszem példákkal is alátámasztani a módszerek hasznosságát az érthetőség érdekében. 8

9 . Előismeretek.. Mátrixok Tekintsünk egy A F k n -es mátrixot az F test fölött. Felsorolok néhány fontosabb mátrixtulajdonságot, illetve alapvető elnevezéseket, fogalmakat, melyek szükségesek lesznek a fejezetek megértéséhez. (Mindezek az, 2, 4, és 6 forrásokból származnak.) A mátrixok körében az összeadás asszociatív és kommutatív, a szorzás szintén asszociatív, viszont nem kommutatív. Továbbá a szorzás művelete disztributív az összeadásra nézve. Emiatt a következők igazak λ F, és A, B, C mátrixokra: o A + B + C = A + B + C ; o A + B = B + A; o A BC = AB C; o A B + C = AB + AC, A + B C = AB + AC; Ha két mátrix azonos méretű, akkor a köztük lévő relációkat ("=", "<", ">"," ", " ") elemenként végezzük. Azokat a mátrixokat, amelyeknek minden eleme nulla, nullmátrixnak nevezzük. Jelölése:. Az A F k n mátrix transzponáltján azt a B F n k mátrixot értjük, amelyre b ij = a ji. Jelölése: A T. Az A valós mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha A T = A. Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi sora van, ahány oszlopa, négyzetes mátrixoknak nevezzük. A négyzetes mátrix esetén A inverzének nevezzük azt a mátrixot, amellyel A-t balról vagy jobbról megszorozva, az egységmátrixot kapjuk eredményül. Jelölése: A (AA = E). Továbbá, ha egy mátrixnak van inverze, akkor a mátrixot reguláris mátrixnak nevezzük. Egy A valós négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha van inverze és A = A T. Jele: 9

10 Egy A négyzetes mátrix diagonális, ha minden főátlón kívüli eleme nulla, azaz a ij = i j-re. Jelölése: diag(a, b,, z), ahol a, b,, z a főátló elemei. Egységmátrixnak hívjuk azt a speciális négyzetes diagonális mátrixot, melynek főátlójában csupa -esek szerepelnek (a többi eleme ). Jelölése: E. Erre igaz: EA = AE = A. Egy A mátrixot felső háromszögmátrixnak nevezünk, ha a főátló alatti elemei mind nullák. Pl.: A = A * jel helyén bármilyen F-beli szám állhat. Egy A mátrixot alsó háromszögmátrixnak nevezünk, ha a főátló feletti elemei mind nullák. Pl.: A = Egy A négyzetes mátrix determinánsát det(a)-val jelöljük. Egy négyzetes mátrixnak pontosan akkor van inverze, ha determinánsa nem nulla: det A. Fontos még a determinánsok szorzási szabálya: két A, B négyzetes mátrixra: det(ab) = det(a) det(b). Egy n k-s mátrix rangja a mátrix lineárisan független oszlopainak vagy sorainak maximális száma. Másképpen, a rang a mátrix oszlopvektorai vagy sorvektorai által kifeszített altér dimenziója az F k vektortérben. Jelölése: r(a).. Következnek a szükséges definíciók, tételek. Definíció. Legyenek V és V 2 ugyanazon F kommutatív test feletti vektorterek. A V -ről V 2 -be ható A függvényt (homogén) lineáris leképezésnek nevezzük, ha művelettartó, azaz. minden u, v V -re A u + v = Au + Av ; 2. minden u V, λ F-re A λu = λ(au).

11 Definíció. Legyen A lineáris leképezés V -ről V 2 -be. Az A leképezés képtere a képelemek halmaza, ezt ImA-val jelöljük. Tehát ImA = y V 2 x V Ax = y} = Ax x V. Definíció. Legyen A lineáris leképezés V -ről V 2 -be. Az A leképezés magtere a V 2 nullvektorára képződő elemek halmaza, ezt KerA-val jelöljük. Tehát KerA = x V Ax =. Megjegyzés. ImA és KerA alteret alkotnak. Legyen mostantól az alaptest C (komplex számok teste). Definíció. Legyen A C n n egy tetszőleges négyzetes mátrix. Ha egy nullvektortól különböző v C n vektor és egy λ C szám esetén teljesül az Av = λv egyenlőség, akkor a v vektort a mátrix sajátvektorának, és a λ számot a sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek nevezzük (és fordítva). Egy összetartozó sajátértéket és sajátvektort sajátpárnak nevezünk. Tétel.. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik. 2. Egy adott λ sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a alteret alkotnak. Ezt az alteret a λ-hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük. Egy n n-es négyzetes mátrixnak pontosan n darab sajátértéke van multiplicitással. Ezeket a det A λe = egyenletből kapjuk. Az ezekhez a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat pedig az A λe v = egyenletrendszer nem nulla (v ) megoldásai adják.

12 Tétel. Egy adott A C n n mátrix esetén a p A λ = det(a λe) polinomot a mátrix karakterisztikus polinomjának, a P A λ = egyenletet pedig karakterisztikus egyenletnek nevezzük. Definíció. A (V, ) párt normált térnek hívjuk, ha V egy vektortér, és V C egy adott függvény, ún. norma, az alábbi tulajdonságokkal:. x = x =, 2. αx = α x, x V, α K, 3. x + y x + y, x, y V (háromszög-egyenlőtlenség). Például a C n vektortér normált tér, ha az x = x,x 2,, x n T vektor normáját az alábbi módon definiáljuk: p x p = x p + x p x p n Az ilyen típusú normák közül a leggyakoribbak a következők: p =,2,. -es norma (oktaédernorma): x = x + x x n, 2 2-es norma (euklideszi norma): x 2 = x 2 + x x 2 n, maximumnorma: x = max x, x 2,, x n. Ezeket a normákat vektornormáknak nevezzük. Tétel. Tegyük fel, hogy a C n és a C m normált terekben ugyanazt a vektornormát használjuk. Ekkor a korábban megismert vektornormák az alábbi mátrixnormákat indukálják: Oktaédernorma p = : A = max j =,,n Maximumnorma p = : A = max j =,,m m i= a ij (oszlopösszegnorma), n j = a ij (sorösszegnorma), Euklideszi norma p = 2 : A 2 = ρ(a A), ahol ρ az A mátrix spektrálsugara, és A az A mátrix transzponált konjugáltja. 2

13 Definíció. Legyen A C n n, λ i az A sajátértékei, i =,, n. Spektrálsugárnak hívjuk az abszolút értékben legnagyobb sajátértéket, ρ A = max i n λ i. Definíció. A C m n mátrix adjungáltja A = A T. A önadjungált, ha A = A. Definíció. Egy m n-es mátrixnak pszeudoinverze egy olyan A n m-es mátrix, amelyre. AA A = A, 2. A AA = A, 3. AA önadjungált, 4. A A önadjungált. Definíció. A C n n szimmetrikus, pozitív definit (SZPD) mátrix, ha A = A T és Ax, x > x C n,x. Definíció. A C n n szigorúan diagonálisan domináns (SZDD), ha a ii > n j = j i a ij i =,, n. Definíció. A C n n M-mátrix, ha a ij i j és g R n,g > : Ag >. Tétel. Legyen az A R n n mátrix olyan, hogy a főátlóján kívüli elemek nempozitívak. Ekkor A pontosan akkor M-mátrix, ha van olyan g > vektor, mellyel Ag >. 3

14 .2. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Egy n ismeretlenes, k egyenletből álló lineáris egyenletrendszer általános alakját a következőképpen definiáljuk: a x + + a n x n = b a 2 x + + a 2n x n = b 2 a k x k + + a kn x n = b k, ahol a ij és b j adottak (i =,, k ; j =,, n), és keressük azokat az x j (j =,, n) számokat, amelyek teljesítik a fenti egyenleteket. Az egyenletrendszer mátrixos alakban is felírható, ehhez bevezetjük az a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a k a k2 a kn együtthatómátrixot. Így az egyenletrendszer a következőképp értelmezhető: Ax = b, ahol b az egyenletrendszer jobb oldalának értékeit tartalmazza egy k elemű oszlopvektorban, x pedig egy n elemű oszlopvektor, amely a megoldás vektorát jelöli. Célunk: megkeresni azt az x-t, amellyel Ax = b. Ennek az új alakban felírt egyenletrendszernek a megoldhatóságát írja le a következő tétel. Tétel. 2 Egy Ax = b egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha az A együtthatómátrix és a b vektorral kibővített együtthatómátrix rangja megegyezik: r A = r(a b). Ha az egyenletrendszer megoldható és r A < n, akkor végtelen sok megoldás van, ha r A = n, akkor egyértelmű a megoldás. A következő fejezetekben feltesszük, hogy az egyenletrendszerünk mátrixa négyzetes és valós A R n n, és csak egyértelmű megoldásunk van. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa nullától különbözzön, det A. 4

15 2. Direkt módszerek A lineáris egyenletrendszerek megoldásának és a sajátérték feladatoknak a két fő numerikus megoldási módja a direkt vagy az iterációs módszer. Elsőként a direkt módszerekkel foglalkozunk, mely alkalmazásánál a megoldást véges számú lépés után pontosan megkapjuk. Ezen belül pedig elsőként az egyik leggyakoribb eljárással, a Gauss-eliminációval ismerkedünk meg. 2.. Gauss-elimináció Ezen eljárás során célunk, hogy az Ax = b egyenletrendszer együtthatómátrixát aritmetikai műveletekkel felső háromszögmátrixszá alakítsuk. Ez azért fontos, mert az ilyen alakú mátrixokból és a b vektor segítségével könnyen megkapjuk az egyenletekbe visszafelé történő helyettesítésekkel a megoldást. Tekintsünk egy példát: A = , x = x x 2 x 3 = x x 2, b = x A módszer során eltávolítjuk x -et a második és harmadik egyenletből, majd x 2 -t a harmadik egyenletből. Ennek eredményeképpen, x 3 -t megkapjuk a harmadik egyenletből, ezután x 2 -t a másodikból, majd x -t az elsőből. A következő műveleteket végezhetjük a mátrix sorai között: egy sor nem nulla skalárral való szorzása; egy sor konstansszorosának hozzáadása egy másik sorhoz; két sor felcserélése. Mindezt illusztrálva, elvégezzük az eljárást a példán. Az elimináció során a b-vel kiegészített együtthatómátrixból indulunk ki:

16 Első lépésben mindig meghatározzuk a p elemet, amely ekkor a mátrix főátlójának első eleme, azaz az, indexelésű elem lesz, jelen esetben p =. Ez azért szükséges, mert e szerint az elem szerint fogjuk elvégezni a sorok közti műveleteket. Célunk, hogy a p elem alatti elemeket kinullázzuk, hisz egy felső háromszögmátrixot szeretnénk kapni. Ehhez a következő sorműveleteket hajtjuk végre az. lépésben: a 2. sorból kivonjuk az. sor 2 p szeresét 2 p = a 2 p, azaz: 2. sor. sor 2, a 3. sorból kivonjuk az. sor 3 p szeresét 3 p = a 3 p Így az. lépés után ezt az eredményt kapjuk:, azaz: 3. sor. sor A felső háromszögmátrixos alak elérése érdekében felcseréljük a 2. és 3. sort Ezek után a 2. lépésben ismét meghatározzuk a p elemet, ami most a főátló második eleme lesz, tehát a 2,2 indexelésű elem, azaz p =. A p alatt található, így nem kell már sorok közti műveleteket végeznünk a kinullázáshoz. Áttérhetünk a 3. lépésre, viszont ott már nincs teendőnk, mivel a felső háromszög alak előállt az együtthatómátrixban. Utolsó lépésben csak vissza kell helyettesítenünk az egyenletekbe, lentről fölfelé haladva. Ezzel megkapjuk a megoldást: x =, x 2 = 2, x 3 = 3. A következő tételek segítségével meghatározzuk, mikor alkalmazható a Gauss-elimináció Tétel. 2 A Gauss-módszer pontosan akkor hajtható végre, ha az A mátrix egyik főminorja sem zérus, azaz det A :k, : k (k =,, n). A tétel bizonyításában A () a kiinduló együtthatómátrixot, A (2) pedig az első lépés után kapott együtthatómátrixot jelöli (a többi hasonlóan A n -ig). Az a () ij, a (2) ij,, a (n) ij együtthatómátrixok elemei. pedig ezen 6

17 Bizonyítás. 2 A Gauss-elimináció során az egyes sorokból kivonjuk más sorok számszorosait. Ez az eljárás nem változtatja meg a determinánst. Tehát det A :,: = det A :,: = a (), det A : 2,: 2 = det A 2 :2,: 2 = a () a (2) 22, det A : n, : n = det A n :n, : n = a () a (n) nn. Az utolsó feltétel a visszahelyettesítés miatt kell, hiszen ez úgy kezdődik, hogy a (n) nn -nel osztanunk kell az x n ismeretlen kiszámításához. Ebből következik az állítás. Az alábbi tétel szintén arra ad feltételt, hogy mikor alkalmazható a Gauss-módszer Tétel. 5 Ha az A mátrix. szimmetrikus, pozitív definit mátrix (SZPD) vagy 2. szigorúan diagonálisan domináns (SZDD) vagy 3. M-mátrix, akkor a Gauss-módszer végrehajtható LU-felbontás Amint azt az előző fejezetben láthattuk, egy mátrix Gauss-eliminációval felső háromszögmátrix alakra hozható. Ezt kibővítve kapjuk az alábbi tételt Tétel. 3 Legyen A = a ij, i, j =,, n egy olyan n n-es mátrix, melynek minden k-ad rendű főminorja reguláris. Ekkor létezik olyan L normált (főátlóiban -esek állnak) alsó háromszögmátrix és egy U felső háromszögmátrix, melyre A = LU. 7

18 Megjegyzés. Ha egy reguláris mátrixnak létezik LU-felbontása, akkor az LU-felbontása egyértelmű. A felbontásban szereplő U felső háromszögmátrix megegyezik a Gauss-elimináció során kapott felső háromszögmátrixszal, az L alsó háromszögmátrixot pedig az elimináció során használt skalárszorzók segítségével tudjuk meghatározni. Szemléltetésül az alábbi példában megadom az A mátrix LU-felbontását. (A példa 6 -ból származik.) Gauss-elimináció: Tehát U = A = , a kapott felső háromszögmátrix. Az L-et a lépésenkénti skalárszorzókból kaphatjuk meg. Ismét kijelöljük a p elemet, akárcsak a Gauss-eliminációnál. Az első lépésben p = 2 (= a ) és a következő műveleteket végeztük el: (magát az. sort változatlanul hagytuk) a 2. sorból kivontuk az. sor 4 -szeresét, azaz: 2. sor-. sor 4 = 2. sor 2.sor p 2 a 3. sorból kivontuk az. sor 2 2 -szeresét, azaz: 3. sor-. sor = 3.sor +.sor. Ezek alapján határozzuk meg az első lépés utáni v vektort: v = p A vektorban lévő értékek azokat a műveleteket és skalárszorosokat jelölik, amelyeket az adott sor Gausseliminálásához alkalmaztunk. A jelöli az első sor változatlanul hagyását, a 2-t úgy kaptuk, hogy a 2. sorhoz viszonyítva nézzük az első sorral végzett műveletet, (mivel a 2. sorból kivontuk az. sor kétszeresét), az -t pedig hasonlóan, a harmadik sorhoz viszonyítva az első sorral végzett műveletet jelöli (3. sorhoz hozzáadtuk az első sor egyszeresét). A második lépésben p = (= a 22 ), és a következő műveleteket végeztük el:. sort változatlanul hagytuk 2. sort változatlanul hagytuk 3. sorból kivonjuk a 2. sor 3 -szeresét, azaz: 3. sor-2. sor 3 =3. sor sor. p 8

19 Így ezek alapján: v 2 = 3, mivel az első két sort változatlanul hagytuk, a harmadik sorhoz pedig hozzáadtuk a második sor háromszorosát. E két vektorból kapjuk a következő mátrixokat: L v = 2, L 2 v 2 = 3 Tehát a v, v 2 vektorokat beleírtuk egy-egy normált alsó háromszögmátrixba. Ezekből L-et a következő képlettel kaphatjuk meg: L = L v L 2 v 2. Azaz, kiszámoljuk az L v, L 2 v 2 inverzeket, majd szorzatukból megkapjuk az L alsó háromszögmátrixot.. Tehát L = L v = L = 2 3 LU = 2 2, L 2 v 2 = 3 = Most már ellenőrizhetjük az A = LU felbontás helyességét = Ennek a mátrixszorzásnak az eredménye tényleg megegyezik A-val. Az LU-felbontás több szempontból is hasznos, például megkönnyíti a mátrix determinánsának kiszámolását. Ugyanis az A mátrix determinánsa megegyezik az U determinánsával (det A = det U), melyet könnyedén megkapunk U főátlóbeli elemeinek szorzataként. Másrészt inverz számításnál is sokkal kevesebb műveletet igényel, ha először meghatározzuk az LU-felbontást, majd megoldjuk a lineáris egyenletrendszereket. 9

20 2.3. Cholesky-felbontás A Cholesky-módszer az LU-faktorizációhoz hasonló felbontás, viszont ebben az esetben az A mátrix szimmetrikus, pozitív definit. Ha a mátrix SZPD, úgy kevesebb műveletet kell elvégeznünk a faktorizáció során. Ehhez kapcsolódóan két tételt ismertetek, melyek közül az elsőnél csak a szimmetrikusság feltétele is elegendő Tétel. 2 Szimmetrikus A R n n mátrix esetén egyértelműen létezik egy L normált alsó háromszögmátrix és egy D diagonális mátrix, melyekkel A = LDL T Tétel. (Cholesky-felbontás) 2 Tegyük fel, hogy A egy szimmetrikus, pozitív definit mátrix. Ekkor létezik pontosan egy olyan pozitív diagonálisú G alsó háromszögmátrix, mellyel A = GG T. Tekintsünk egy példát a felbontásra 6. Kétféle módszerrel is megoldható a Choleskyfelbontás: LU-felbontásból kiindulva, vagy gyökvonásos módszerrel. Most a gyökvonásos algoritmusra mutatok példát. Legyen A az alábbi SZPD mátrix, ami egyenlő egy alsó háromszögmátrix és egy felső háromszögmátrix szorzatával, mivel ezek jelölik GG T -t. (Egy alsó háromszögmátrix transzponáltja egy felső háromszögmátrix.) A = = g g 2 g 22 g 3 g 32 g 33 g g 2 g 3 g 22 g 23 g 33 A fenti egyenlet alapján kifejezzük A oszlopainak elemeit a G és G T elemeivel. A szimmetria miatt elég csak egy alsó vagy felső háromszög alakban kiszámolni A elemeit. (Most az alsó háromszög alak szerint számolunk.) Fontos még megjegyezni, hogy A szimmetriája miatt g 2 = g 2, g 3 = g 3 és g 23 = g 32.. oszlop: 2 5 = g g = 5, = g 2 g = g 2 5 g 2 =, 2

21 = g 3 g = g 3 5 g 3 = 5 = 5 5, 2. oszlop: 6 = g 2 g 2 + g 2 22 = g g = + g 22 g 22 = 6, = g 3 g 2 + g 32 g 22 = g 3 g 2 + g 32 g 22 = g 32 6 g 32 = 6 = 6 6, 3. oszlop: 6 = g 3 g 3 + g 32 g 23 + g 2 33 = g g g 2 33 = + + g g 33 = =. 3 3 Ezek alapján G = tényleg megegyezik az A mátrixszal , és G T = , szorzatuk pedig Ha a megoldáshoz a másik módszert választjuk, akkor az LU-felbontásból indulunk ki, tehát ismerjük az U és L mátrixokat. A szimmetrikus mátrixokra vonatkozó tétel képletével felírjuk a felbontást: A = LDL T, ahol D = diag(u). Ezután ugyanúgy az A = GG T felbontást használjuk, amit a G = LD /2 segítségével fejezünk ki. 2

22 3. Legkisebb négyzetek módszere A legkisebb négyzetek módszerének létrejötte azon alapszik, hogy szükség volt egy általános megoldási módszerre az Ax = b egyenletrendszer megoldásához abban az esetben, amikor nincs az egyenletrendszernek klasszikus értelemben vett megoldása, vagyis, amikor b nincs benne A értékkészletében. (A fejezetet 3 alapján dolgoztam ki.) Tehát, a cél egy olyan x vektort találni, amely az Ax-hez a legközelebb eső vektor. Többféle norma áll rendelkezésünkre az Ax és b közötti távolság megadásához, de a legegyszerűbb választás (ami miatt a módszer neve, hogy legkisebb négyzetek ) az euklideszi vektornorma. Más szóval, a legkisebb négyzetek módszer lényege, hogy megtalálja a megoldást, x R k -t, a következő minimalizálási problémára: b Ax = min n y R k b Ay, (3.) n ahol A R n k egy n sorból és k oszlopból álló mátrix, b egy R n -beli vektor és n jelöli az euklideszi normát R n -ben ( a = a, a ). Mint tudjuk, négyzetes mátrix esetén n = p, és emellett, ha A reguláris, akkor létezik egy egyértelmű minimalizáló x = A b vektor, és a minimum egyenlő nullával. Ilyen esetben a legkisebb négyzetek módszere gyakorlatilag egyet jelent a lineáris egyenletrendszer megoldásával. Ha A nem reguláris vagy n p, akkor ez esetben a legkisebb négyzetek módszer általános módszert ad a lineáris egyenletrendszerek megoldására, nem négyzetes vagy szinguláris mátrixokra nézve. Ha az Ax = b egyenletrendszernek létezik megoldása, akkor ez a megoldása a legkisebb négyzetek módszernek is. Ennek (az állításnak) a megfordítása nem igaz, ezt láthatjuk is az alábbi geometriai megközelítésből. A legkisebb négyzetek módszere geometriai szempontból is értelmezhető: meg akarjuk találni a b vektor ortogonális vetületét az A értelmezési tartományán. Ez a meghatározás helyes, mivel Ax a legközelebbi vektor b-hez Im(A)-ban. Az ortogonális vetítés egy jól ismert tulajdonsága, hogy b Ax ortogonális Im(A)-ra. A 3.. ábrán látható a b vektor és Ax ortogonális vetítése a vektor alterére, Im(A)-ra. Ennek következtében világos, hogy (3.) mindig ad legalább egy megoldást, viszont az Ay = b egyenletrendszernek nincs megoldása, ha b nincs benne Im(A)-ban. 22

23 3..ábra: Legkisebb négyzetek módszere: b vetítése Im(A)-ra. 3 Fontos még megemlíteni, hogy a másik fő alkalmazása a legkisebb négyzetek módszerének az adatillesztés. 3.. Főbb eredmények Továbbra is tekintsük a (3.)-ben található legkisebb négyzetek problémát: keressük azt az x R k megoldást, ami minimalizálja a b Ay n normát, ahol A R n k egy n soros k oszlopból álló mátrix, és b R n, n pedig az euklideszi normát jelöli Lemma. 3 Egy x R k vektor megoldása a legkisebb négyzetek módszerének akkor és csak akkor, ha kielégíti az úgynevezett normálegyenletet: A Ax = A b, (3.2) ahol A az A transzponált konjugáltja, és A A egy k méretű négyzetes mátrix. Bizonyítás. 3 Legyen x R k a (3.) megoldása. Például: b Ax 2 b Ay n 2, y R k. Bármely z R k -ra és bármely t R-re legyen y = x + tz. Ekkor b Ax Ebből az alábbira következtetünk: n 2 2 n b Ax n + 2t Ax b, Az + t 2 Az n 2. 23

24 2 sgn(t) Ax b, Az + t Az n 2, ami arra utal, hogy ha t tart a -hoz, akkor Ax b, Az = z R k. Ezután arra jutunk, hogy A Ax A b =. Ezt megfordítva, ha x a (3.2)-beli normálegyenlet megoldása, akkor Ax b, Az =, z R k. Tehát b Ax Vagyis, x megoldása (3.)-nek is. 2 b Ay n 2 n y = x + tz R k Tétel. 3 Minden A R n k -s mátrixra a (3.2)-beli normálegyenletnek mindig létezik legalább egy megoldása. Továbbá, ez a megoldás egyértelmű akkor és csak akkor, ha Ker(A) =. A normálegyenlet partikuláris megoldása kifejezhető A egy pszeudoinverzének (A ) elemeivel Tétel. 3 Az x b = A b vektor megoldása a (3.)-ben definiált legkisebb négyzetek módszernek. Ha (3.)-nek több megoldása is van, akkor közülük x b az az egyértelmű megoldás, ami a legkisebb normával rendelkezik. Például, x x b -re, melyre Ax b b 2 = Ax b 2, a következőt kapjuk x b 2 < x 2. Bizonyítás. 3 Minden x R k -re Ax b felbontható a következőképpen: Ax b = A x x b E AA b. Ez a felbontás ortogonális, mivel A x x b Im(A) és E AA b Im(A), mert AA az ortogonális vetítés mátrixa C m -nek Im(A)-ra. Ebből a felbontásból arra következtethetünk, hogy 2 Ax b 2 = Ax Axb Ax b b 2 Ax b b 2, (3.3) 24

25 ami alapján láthatjuk, hogy x b valóban megoldása (3.)-nek. Továbbá, ha Ax b b 2 = Ax b 2, akkor (3.3)-mal látható, hogy Ax = Ax b és z = x x b Ker(A). Ezzel a következő felbontást kapjuk x-re: x = z + x b. Ez a felbontás ortogonális, mivel z Ker(A) és x b = A b (Ker(A)). Emiatt, ha x x b, x 2 2 = z x 2 b 2 > x 2 b 2. Megjegyzés. Az x b = A b vektornak egyszerű geometriai értelmezése van: x b a (Ker(A)) -nak az az egyértelmű megoldás vektora, aminek az A mátrix szerinti képe megegyezik b-nek Im(A)-ra való vetítésével. Végül tekintsünk egy példát a módszerre. Van 3 hegy, melyeket x,x 2 és x 3 -mal jelölünk. Egy helyről mérve őket rendre a következő magasságokat kaptuk: 2474 láb, 3882 láb és 4834 láb ( láb=3,48 cm). Viszont x -ről tekintve a másik 2 hegyre, x lábbal, x 3 pedig 2354 lábbal magasabbnak tűnik. Ha pedig x 2 -ről nézzük a harmadik hegyet, akkor onnan x 3 95 lábbal tűnik magasabbnak. Ezek alapján felírhatjuk a kiinduló egyenletrendszert: Ax = b, A = Minimalizálni akarjuk az x x 2 x 3 = = b Ax b 2 -t. A normálegyenlet alakjának elérése érdekében mindkét oldalt megszorozzuk A -gal. A A = A = A b = = =

26 3 3 3 A Ax = A b x x 2 x 3 = Ebből az egyenletrendszerből kiszámítva a megoldást: x = 2472, x 2 = 3886, x 3 = 4832 értékeket kapjuk. 26

27 4. Iterációs módszerek Egy iterációs módszer alkalmazásánál végtelen sok lépésre van szükség ahhoz, hogy a pontos megoldáshoz jussunk. Ez úgy lehetséges, hogy az iteráció során a megoldást olyan x k konvergens sorozatokkal közelítjük, amelyek határértéke az Ax = b egyenletrendszer egyértelmű megoldása (x ), és mivel végtelen lépés szükséges, így az iterációk száma (k) a + -be tart. Az A mátrixot továbbra is négyzetesnek és regulárisnak tekintjük. A lineáris iterációs módszerek általános alakja a következőképp írható fel: x (k+) = Bx (k) + f, ahol a B mátrixot iterációs mátrixnak nevezzük és x (i) az x vektor i-edik iterációját jelöli. Az alábbi definíció a konzisztencia fogalmát ismerteti. Definíció. Az x (k+) = Bx (k) + f iterációt az Ax = b egyenletrendszerrel konzisztensnek hívjuk, ha x = Bx + f. (Az x az egyenletrendszer megoldása.) Egy iterációs módszer a következő felbontáson alapul: A = M N, ahol M reguláris. Ekkor az iterációs eljárás az alábbi módon definiálható: ( 3 alapján) adott x () R n kezdeti vektor Mx (k+) = Nx (k) + b k. Az iteráció konvergenciájára a következő tétel ad feltételt Tétel. 3 (4.) A (4.)-ben definiált iterációs módszer akkor és csak akkor konvergens, ha az M N mátrix spektrálsugara kielégíti a következő feltételt: ρ(m N) <. A tétel bizonyításához szükséges az alábbi definíció: Definíció. Az r (k) = b Ax (k) vektort (illetőleg az e (k) = x (k ) x -et) a k-adik iteráció hibájának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy az iteráció akkor konvergens, ha e (k) a -hoz tart. 27

28 A 4... tétel bizonyítása: Bizonyítás. 3 Az e (k) hiba megadható indukciós eljárással a következőképpen: e (k) = x (k) x = M Nx (k ) + M b M Nx + M b = M N x (k ) x = = M Ne (k ). Mivel e (k) = (M N) k e (), és célunk, hogy a hiba -hoz tartson, ezért lim k + e (k) = minden e () -ra, ami akkor és csak akkor teljesül, ha ρ(m N) <. Tehát ha a megoldást közelítő sorozatok konvergálnak egy határhoz, pontosabban x -hoz, és az iterációk száma tart a végtelenbe, akkor a következőre jutunk: M N x = Ax = b. Továbbá a (4.)-ben definiált sorozattal ekvivalens a következő felírás: (k x +) = M Nx (k) + M b. Ez esetben az M N mátrixot nevezzük az iterációs módszer iterációs mátrixának. Könnyen láthatjuk, hogy ez a felírás megegyezik az általános alakban felírt egyenlettel, ha B = M N és f = M b. Az alfejezetekben a klasszikus iterációs módszereket mutatom be példákkal és összehasonlítást is végzek a módszerek gyorsasága között. 4.. Jacobi-iteráció Az előző x (k+) = M Nx (k) + M b alakból az M = D és N = D A helyettesítéssel kaphatjuk meg a Jacobi-iteráció alakját: x (k+) = D D A x (k) + D b x (k+) = (E D A)x (k) + D b. Itt E D A jelöli a Jacobi-iteráció iterációs mátrixát, melyet B J -vel fogunk jelölni. A felbontásban szereplő D az A együtthatómátrix diagonális mátrixát jelöli. Itt A az A = L + D + U alakban írható fel, ahol L és U nem az LU-felbontás mátrixai, hanem L a diagonális alatti elemek --szereseinek, U pedig a diagonális fölötti elemek --szereseinek mátrixa. A 28

29 számolásokat a Jacobi-iteráció komponensenkénti alakjával érdemesebb elvégezni, ami a következőképpen írható fel: x i k+ = a ii n j =,j i k a ij xj b i, i =,, n. Példaként tekintsük az alábbi egyenletrendszert, és végezzünk el egy lépést a Jacobiiterációval. (A kiinduló adatok a -ből származnak.) A = Először kiszámítjuk a B J iterációs mátrixot. B J = E D A = B J =, b = 7 5 2, x () = /5 /2 / Ezután ellenőrizzük a konvergencia feltételét, tehát a ρ(b J ) < feltételt. Ehhez meg kell határoznunk B J sajátértékeit, ugyanis ezek közül abszolút értékben a legnagyobbra lesz szükségünk, mivel ρ B J = max λ (ahol λ a B J mátrix sajátértékét jelöli). det(b J λe) = det λ /5 /2 λ /3 λ λ 3 + λ = λ = λ3 λ = = λ λ = λ3 + λ = λ2 λ 2 =, λ 3 = Tehát ρ B J =,36 <, azaz az iteráció konvergens. Most már elkezdhetjük az x () vektor kiszámítását. x () = Így: x () x 2 () x 3 () és a szükséges képlet x i k+ = a ii k b i n j =,j i a ij xj. x = = 6 5 x 2 () = = 2 x 3 () = = 3 29

30 Tehát egy lépés után az x () = 6/5 2 /3 vektort kapjuk. A következő fejezetben nézünk egy példát a Gauss-Seidel-iterációval is. Következtetéseket csak ezután vonunk le Gauss-Seidel-iteráció Az M = D L és N = U helyettesítéssel kapjuk meg a Gauss-Seidel-iteráció alakját: (k x +) = (D L) Ux (k) + (D L) b. Ezesetben a (D L) U mátrixot nevezzük iterációs mátrixnak és B GS -sel jelöljük. Az iteráció komponensenkénti alakja a következő: x i (k+) = a ii i a ij j = n xj(k+) + a ij xj(k) b i. j =i+ (k+) A fő különbség a Jacobi és a Gauss-Seidel iterációk között, hogy az utóbbi x i megadásához felhasználja a már addig kiszámolt,, i indexű x (k+) elemeket, míg a (k) (k+) Jacobi-iteráció csak az x vektort használja fel x elemeinek megadásához. Tekintsük most az alábbi példát ( 9 ) és végezzünk el egy lépést Gauss-Seidel-iterációval. A = 2 4 2, b =, x () = 2 B GS = (D L) U = B GS = /2 /2 Most is ellenőriznünk kell a konvergencia feltételét. λ 3 = λ = det(b GS λe) = det λ /2 λ /2 λ = λ λ 2 = λ 3 3

31 Tehát ρ B GS = <, azaz az iteráció konvergens minden kezdővektorra. Továbbá ha a spektrálsugár -val egyenlő, akkor az iterációról tudjuk, hogy véges. Így elkezdhetjük az első lépés kiszámítását. x () = () x () x 2 () x 3, szükséges képlet: x i (k +) = a ii i a ij j = xj(k +) + j =i+ a ij xj(k ) b i n x = = 2 x 2 () = = 4 x 3 () = = Tehát Gauss-Seidel-iterációval egy lépés után x () = /2 /4 Összehasonlítva az előző fejezetből a Jacobi-iteráció, és a most számolt Gauss-Seideliteráció spektrálsugarait, láthatjuk, hogy a Gauss-Seidel-iterációhoz tartozó a kisebb. Minél kisebb a spektrálsugár, annál gyorsabban tart az iteráció a megoldáshoz. Tehát ez esetben a 2. módszer, azaz a Gauss-Seidel-iteráció konvergál gyorsabban a megoldáshoz. Ez a megállapítás azonban nem általánosítható, tudunk olyan példát is mutatni, amelyben a Jacobiiteráció konvergál gyorsabban. A konvergencia vizsgálatához szükséges és elégséges feltételt adott az iterációs mátrix spektrálsugarára szabott feltétel ellenőrzése. Ugyanakkor elégséges feltételt ad a konvergenciára, ha az iterációs mátrix valamely normában kisebb, mint. Viszont a konvergencia feltételeinek ellenőrzését nem mindig kell elvégeznünk, ugyanis bizonyos típusú együtthatómátrixokra a konvergencia adott. Így csak azt kell megállapítani, hogy A tényleg az éppen adott tulajdonságú együtthatómátrixnak felel-e meg. E szempontból a következő esetek lehetségesek Tétel. 2 Ha az egyenletrendszer együtthatómátrixa M-mátrix, akkor a Jacobi és a Gauss-Seideliterációk konvergálnak az egyenletrendszer megoldásához tetszőleges kezdeti vektor esetén. 3

32 Tétel. 2 Szigorúan diagonálisan domináns (SZDD) együtthatómátrixok esetén a Jacobi és Gauss- Seidel-iterációk minden kezdővektor esetén az egyenletrendszer megoldásához konvergálnak Tétel. 2 Ha az A együtthatómátrix szimmetrikus és pozitív definit (SZPD), akkor a Gauss-Seideliteráció konvergál az egyenletrendszer megoldásához tetszőleges kezdeti vektor esetén. Fontos még meghatározni, hogy meddig tart egy iterációs eljárás, hány lépés után kell leállnunk. Erre ad feltételt a Banach-féle fixponttétel: x (k) x Lk L x () x (). A mi esetünkben L a B iterációs mátrix normája, és szükséges, hogy B <, azaz az iterációs mátrix valamely normában kisebb legyen, mint. Ennek segítségével és az első iterációs lépés eredményével megadható, hogy hány lépésre van szükségünk adott pontosság eléréséhez. Tekintsünk egy példát erre: hány iterációs lépést kell megtennünk ahhoz, hogy 2 nagyságú hibával határozzuk meg az egyenlet megoldását? 6 Tegyük fel, hogy az alábbiakat már kiszámoltuk: x () =, Jacobi-iterációval: x () = /5 9/4 37/9, Gauss-Seidel-iterációval: x () = /5 43/2 35/2 B J =,75 = 3 4 < és B GS =,4 = 2 5 < Oldjuk meg először Jacobi-iterációval a feladatot, ekkor L = B J. 3 x (k) x k /5 9/4 37/9 < k k < 2 < k > log 9 48 log 3 25,74 k = 26 4 Tehát 26 lépést kell megtennünk Jacobi-iterációval az adott pontosságú közelítés eléréséhez. 32

33 Most oldjuk meg a feladatot Gauss-Seidel-iterációval, ekkor L = B GS. 2 x (k) x k /5 43/2 35/2 < 2 k > k k < 2 < log log ,75 k = 7 Így 2 pontosság mellett, a Gauss-Seidel-iterációval csak 7 lépést kell elvégeznünk a megoldás közelítéséhez Richardson-iteráció Ennél az iterációs módszernél feltesszük, hogy az együtthatómátrix szimmetrikus és pozitív definit (SZPD), valamint definiálunk egy p paramétert, amire p R, p. A Richardson iteráció alakját a lineáris egyenletrendszer általános alakjából a következő átalakításokkal kapjuk meg: Ax = b pax = pb = pax + pb x = x pax + pb x = (E pa)x + pb Tehát megszoroztuk az egyenletrendszert p-vel, -ra rendeztünk, majd mindkét oldalhoz hozzáadtunk x-et. Vagyis a Richardson-iteráció alakja: x (k+) = E pa x k + pb. Ez esetben az iterációs mátrix E pa, melyet B R -rel jelölünk. A főtengelytétel alapján tudjuk, hogy ha A szimmetrikus, akkor a sajátértékei valósak. Mivel A nemcsak szimmetrikus, hanem pozitív definit is, ezért tudjuk, hogy sajátértékei mind pozitívak. Az iterációs mátrix sajátértékéről most teszünk egy állítást, amit szeretnénk, hogy teljesüljön, majd megpróbáljuk bizonyítani sejtésünket. 33

34 4.3.. Állítás. 8 Az E pa mátrix sajátértéke pλ i. Bizonyítás. 8 A sajátérték, sajátvektor definíciójából a következőnek kell teljesülni: Av i = λ i v i E pa v i = pλ i v i. Csak a bal oldali tagot alakítjuk át: E pa v i = v i pav i = v i pλ i v i = pλ i v i. Tehát beláttuk, hogy a bal oldali kifejezés egyenlő a jobb oldalival, azaz pλ i tényleg E pa sajátértéke. Ezzel az állítással már megkaptuk, hogy ρ B R = max pλ i <. Tegyük fel, hogy λ λ 2 λ n >, azaz λ i >. Ekkor λ a legnagyobb, ezért erre nézzük meg, hogy mikor teljesülne a spektrálsugárra vonatkozó becslés. < pλ < Rendezzük a bal oldali egyenlőtlenséget p-re. < pλ p = 2 λ Az alábbi tétel ugyanezt a képletet adja p -re, emellett az iteráció konvergenciájához fontos feltételt ad Tétel. 7 Legyen A szimmetrikus, pozitív definit mátrix. Ekkor az x (k+) = E pa x k + pb iteráció p ; 2 ρ A p opt = 2 λ +λ n sajátértékei. esetén tetszőleges x () mellett konvergens. Ekkor az optimális paraméter és ρ B R (p opt ) = λ λ n λ +λ n, ahol ρ A = λ λ 2 λ n > az A mátrix Nézzünk meg egy példát, amiben az optimális p paramétert keressük. 9 A = 2 2 Látható, hogy A szimmetrikus, mivel A = A T, továbbá a mátrixnak egyik főminorja sem zérus, ezért A pozitív definit. Tehát A SZPD mátrix, így alkalmazható a Richardson iteráció. Először meg kell határoznunk az együtthatómátrix spektrálsugarát, hogy tudjuk, p-t mely 34

35 intervallumból kell választanunk. A spektrálsugár kiszámításához az A karakterisztikus polinomja szükséges, hogy megkapjuk a gyököket. p A λ = (2 λ) 2 = 4 4λ + λ 2 = λ 2 4λ + 3 λ 2 4λ + 3 = λ = 3, λ 2 = Tehát ρ A = 3, így p ; 2 3. Az optimális p: p opt = 2 3+ = 2. 35

36 Összefoglalás Dolgozatomban ismertettem a lineáris egyenletrendszerek két fontosabb numerikus megoldási módját, a direkt és iterációs módszereket, valamint a legkisebb négyzetek módszerét. Direkt módszereken belül megvizsgáltuk a Gauss-elimináció, LU-felbontás és a Cholesky-felbontás alkalmazását, az iterációs módszerek közül pedig a Jacobi-, Gauss-Seidelés Richardson-iterációval ismerkedtünk meg. Mindezen módszerek alkalmazásánál fontos szerepe volt a mátrixoknak, hiszen a példákban ezek segítségével kaptuk meg az adott problémára a megoldást. Emellett többször is előfordult, hogy az éppen használt módszer alkalmazhatóságához vagy a feladat megoldhatóságához egy adott mátrixtulajdonságra volt szükség. Ezek alapján is látható, hogy az algebrából ismert mátrixok az analízis területein is rendkívül jól alkalmazhatóak. Fontos még megemlíteni, hogy a szakdolgozatban említetteken kívül a lineáris egyenletrendszerek megoldásához természetesen még számtalan más módszer is létezik. 36

37 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezetőmnek, Fialowski Alice tanárnőnek, hogy segítőkészségével, türelmével, hasznos tanácsaival hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez. Továbbá köszönöm családom bíztatását, szaktársaim segítőkészségét és mindazoknak, akik támogattak a szakdolgozat megírása során. 37

38 Irodalomjegyzék Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 26 2 Faragó István - Horváth Róbert: Numerikus módszerek, TYPOTEX, 2 3 Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber: Numerical Linear Algebra, Springer 4 Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek I., TYPOTEX 5 Faragó István: Alkalmazott analízis II. előadás anyaga, 6 Fekete Imre: Alkalmazott analízis II. gyakorlat anyaga 7 László Lajos: Numerikus módszerek I. előadás anyaga (IK), 8 Lócsi Levente: Numerikus módszerek I. gyakorlat anyaga (IK) 9 Bozsik József, Krebsz Anna: Numerikus módszerek példatár, ELTE IK,

39 Nyilatkozat Név: Borostyán Dóra ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc ETR azonosító: BODSABT.ELTE NEPTUN azonosító: AZWB6V Szakdolgozat címe: Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, a hallgató aláírása 39

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

Teszt kérdések. Az R n vektortér

Teszt kérdések. Az R n vektortér Teszt kérdések Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak agy hamisak! Az R tér geometriája 1. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja, akkor párhuzamosak.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Természettudományi Kar. Kornis Kristóf. Matematika BSc Matematikus szakirány. Szakdolgozat. Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens. Budapest, 2014.

Természettudományi Kar. Kornis Kristóf. Matematika BSc Matematikus szakirány. Szakdolgozat. Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens. Budapest, 2014. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kornis Kristóf Matematika BSc Matematikus szakirány Opciók Szakdolgozat Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben