2. Interpolációs görbetervezés
|
|
- Adrián Barna
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja, hogy megpróbáljuk ezt a vonalat paraméterezni. Megelégszünk azzal is, ha az eredeti szabadformájú görbét valamilyen értelemben jól közelítő görbét állítunk elő paraméterezéssel. A problémát alapvetően két fő megközelítésben lehet kezelni, az egyiket interpolációs görbetervezésnek, a másikat approximációs görbetervezének nevezzük. Az interpolációs görbetervezés alapötlete: kijelölünk az eredeti szabadformájú görbén néhány pontot (kontrollpontok), s ezeket algebrai görbeívekkel kötjük össze, a kontrollpontokban ügyelve a görbék jó csatlakozására. A jó csatlakozás a gyakorlatban például azt jelenti, hogy - a csatlakozó görbék sebességvektora a csatlakozási pontban egyirányú (G 1 osztályú csatlakozás), - a csatlakozó görbék sebességvektora a csatlakozási pontban egyenlő (C 1 osztályú csatlakozás), - a csatlakozó görbék sebesség és gyorsulásvektora a csatlakozási pontban megegyezik (C 2 osztályú csatlakozás), - a csatlakozó görbék görbülete a csatlakozási pontban megegyezik (görbületfolytonos csatlakozás). Reguláris görbék C 2 osztályú csatlakozása mindig görbületfolytonos is, mert a görbület a sebességből és a gyorsulásból kifejezhető: κ = p p p 3. A kapott parametrizált görbe persze nagymértékben függ a kiválasztott kontrollpontoktól, azok számától, a használt algebrai görbe fokszámától Harmadfokú görbeívek A továbbiakban parametrizált harmadfokú görbeíven, röviden harmadfokú görbén egy p: [0,1] R N, u p(u) = u 3 a + u 2 b + uc + d parametrizált görbét értünk. (a,b,c,d) a görbe algebrai együtthatói Tétel. A p harmadfokú görbeívet egyértelműen meghatározzák a görbe geometriai együtthatói, azaz (p(0),p(1),p (0),p (1)). 1
2 Bizonyítás. p (u) = 3u 2 a + 2ub + c. A geometriai együtthatók egyszerűen kifejezhetők az algebrai együtthatókkal: p(0) = d, p(1) = a + b + c + d, p (0) = c, p (1) = 3a + 2b + c. Innen az algebrai együtthatókat kifejezve: Tehát azaz A továbbiakban: a = 2p(0) 2p(1) + p (0) + p (1), b = 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1), c = p (0), d = p(0). p(u) = (2u 3 3u 2 + 1)p(0) + ( 2u 3 + 3u 2 )p(1)+ + (u 3 2u 2 + u)p (0) + (u 3 u 2 )p (1). F 3 0 (u) = 2u3 3u 2 + 1, F 3 1 (u) = 2u3 + 3u 2, F 3 2 (u) = u3 2u 2 + u, F 3 3 (u) = u3 u 2, p(u) = F 3 0 (u) p(0) + F3 1 (u) p(1) + F3 2 (u) p (0) + F 3 3 (u) p (1). v 0 p 0 p 1 v 1 1. ábra. Harmadfokú görbeív a geometriai együtthatókkal. (Az ábrán a sebességvektorok skálázva láthatók.) 2.2. Három pont interpolációja harmadfokú görbeívvel Keressünk olyan harmadfokú görbeívet, melynek adottak végpontjai, a végpontokban az érintők, valamint a görbe egy belső pontja. 2
3 p 0 p 1 p 0 p 1 2. ábra. A harmadfokú görbeív függése a végpontjaiban adott sebességvektorok irányától és nagyságától. Jelölje a végpontokat p 0 és p 1 ; a belső pontot pedig p b. Az érintő egységvektorok legyenek t 0 és t 1. A problémában három ismeretlen van: a v 0, v 1 pályasebességek a kezdő és végpontban valamint a belső pont t paramétere. Ezeket az ismeretleneket úgy keressük, hogy p b = F 3 0 (t)p 0 + F 3 1 (t)p 1 + F 3 2 (t)v 0t 0 + F 3 3 (t)v 1t 1 teljesüljön. Fölhasználva, hogy F0 3(t) + F3 1 (t) = 1: (2.1) p b p 0 = F 3 1 (t)(p 1 p 0 ) + F 3 2 (t)v 0t 0 + F 3 3 (t)v 1t 1. Tekintsük az előző sort, mint az F 3 1 (t), F3 2 (t)v 0, F 3 3 (t)v 1 ismeretlenekre fölírt lineáris egyenletrendszert, ahol az egyenleteket a koordináták adják. Vizsgáljuk először a problémát térben, azaz legyen rang(p 1 p 0,t 0,t 1 ) = 3. (Ha az előbbi rang kettővel egyenlő, akkor a végpontok és az érintők egy síkban vannak, és a problémának nem lehet megoldása, ha a belső pont nem ebben a síkban van.) A (2.1) lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy rang(p b p 0,p 1 p 0,t 0,t 1 ) = rang(p 1 p 0,t 0,t 1 ) teljesüljön, azaz feltételünk mellett az egyenletrendszer egyértelműen megoldható. Először megoldjuk az egyenletrendszert F1 3 (t)-re. Jelöljük a megoldást ξ -vel. t a 2t 3 + 3t 2 = ξ harmadfokú egyenlet megoldása. Amennyiben t [0,1], az egyenletrendszer F 3 2 v 0 és F 3 3 v 1 ismeretlenekre adódó megoldásaiból v 0 és v 1 is meghatározható. Síkban a (2.1) lineáris egyenletrendszer csak két egyenletből áll. A t paramétert tetszőlegesen megválaszthatjuk. Legyen pl. t = 0,5: p b p 0 F 3 1 (0,5)(p 1 p 0 ) = F 3 2 (0,5)v 0t 0 + F 3 3 (0,5)v 1t 1. 3
4 p b p 0 p 1 3. ábra. Három pont interpolációja harmadfokú görbeívvel. Ha a két érintő egységvektor lineárisan független, akkor az egyenletrendszer v 0 -ra és v 1 -re egyértelműen megoldható. A bal oldalt l-lel jelölve, és a megoldásokat Cramer szabály segítségével kifejezve: (2.2) v 0 = 8 l,t 1 t 0,t 1, v 1 = 8 t 0,l t 0,t Feladat. A három pont interpolációs problémában jelüljük a megadott érintők metszéspontját q-val. A p b belső pont legyen a p 0 p 1 q háromszög q-ból induló súlyvonalának felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy ilyenkor a probléma előbbi megoldása parabolaív Görbeillesztés Hermite-eljárással Az interpolációs görbeillesztés alapfeladata: Adottak a p 0,p 1,...,p n R N kontrollpontok. Keressünk olyan p: [0,n] R N legalább C 2 osztályú parametrizált görbét, hogy i {0,...,n} : p(i) = p i, továbbá a (2.3) p i : [0,1] R N, p i (u) = p(u + i) (i {0,...,n 1}) parametrizált görbék harmadfokú görbeívek Tétel. Az interpolációs alapfeladatnak p (0) = v 0 és p (n) = v n tetszőleges rögzítése esetén egyértelműen létezik megoldása. Bizonyítás. A (2.3) feltételnek eleget tévő p görbe akárhányszor differenciálható az (i,i + 1) intervallumon. Ha p legalább C 2 osztályú, az azt jelenti, hogy: (2.4) p i(1) = p i+1(0), p i (1) = p i+1(0), (i = 0,...,n 2). 4
5 A p görbe sebességvektorát adjuk meg tetszőlegesen a rögzített kontrollpontokban a v 0,v 1,...,v n vektorokkal, azaz i {1,...,n 1} : és p (i) = p i 1(1) = p i(0) = v i ; p (0) = p 0 (0) = v 0,p (n) = p n 1 (1) = v n. A második deriváltakra vonatkozó (2.4) feltételt használva: F 3 0 (1)p i 1 + F 3 1 (1)p i + F 3 2 (1)v i 1 + F 3 3 (1)v i = = F 3 0 (0)p i + F 3 1 (0)p i+1 + F 3 2 (0)v i + F 3 3 (0)v i+1. A deriváltakat kiszámítva, behelyettesítve a 0 és 1 értékeket, valamint rendezve: v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ) (i = 1,...,n 1). Ez koordinátánként n 1 egyenlet v 0,...,v n koordinátáira, azaz a v 0 és v n vektorokat szabadon megválasztva koordinátánként egy (n 1) (n 1) típusú lineáris egyenletrendszert kapunk: 4v 1 + v 2 = 3(p 2 p 0 ) v 0 v 1 + 4v 2 + v 3 = 3(p 3 p 1 ). v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ). v n 2 + 4v n 1 = 3(p n p n 2 ) v n. Az előbbi lineáris egyenletrendszer alapmátrixa: (2.5) M n 1 = Belátható, hogy detm n 1 0, tehát v 0 és v n tetszőleges megválasztása esetén az egyenletrendszer a (v 1,...,v n 1 ) vektorokra egyértelműen megoldható, és a görbeillesztési feladatnak egyértelműen van megoldása. 5
6 p 1 p 2 p 2 p 0 p 4 p 3 p 3 p 0 p1 4. ábra. Görbeillesztés Hermite eljárással: nyílt és zárt összetett Hermite görbe. (A sebességvektorok az ábrán skálázva láthatók.) v 0 és v n megválasztására a mérnöki gyakorlatban különböző, itt nem részletezett eljárásokat alkalmaznak. 2. Feladat. Határozzuk meg a (2.5) mátrix determinánsát. (Belátva ezzel, hogy a determináns ténylegesen nem zéró.) 1. Megjegyzés. Zárt göbe esetén p 0 = p n. Ha azt is előírjuk, hogy v 0 = v n, továbbá a teljes görbe legalább C 2 osztályú legyen, akkor az előzőekhez hasonló módon: v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ) (i = 1,...,n, v n+1 = v 1 ), koordinátánként n egyenlettel és n ismeretlennel. Az alapmátrix determinánsa nem zéró, azaz zárt görbe esetén a kontrollpontok a görbét egyértelműen meghatározzák a görbe legalább kétszeri folytonos differenciálhatóságát megkövetelve. 3. Feladat. Vegyük fel az origó középpontú egységkörön az (1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1) pontokat és határozzuk meg az ezen pontokra illeszkedő összetett zárt Hermite görbét. Számítsuk ki a görbületi függvényét. A feladatok megoldásai 1. Útmutatás. A feltételek szerint p b = q 2 + p p 1 4. (2.2)-be történő egyszerű behelyettesítés után a görbe geometriai együtthatói: p 0,p 1,2(q p 0 ),2(p 1 q). 6
7 5. ábra. Kör közelítése Hermite görbékkel: a három zárt, összetett Hermite görbe kontrollpontjai a (szaggatott vonallal rajzolt) körön vannak. A görbe tehát: Legyen q = 0. Ekkor: p(u) = u 2 (p 0 + p 1 2q) + u(2q p 0 ) + p 0. p(u) = (u 2 2u + 1)p 0 + u 2 p 1. Az y tengelyt jelölje ki a (p 0 + p 1 )/2 vektor. Írjuk fel a görbe egyenletét az így meghatározott xy koordinátarendszerben! 2. A detm n = n determinánst az utolsó sor szerint kifejtve: n = 4 n 1 n 2. Tekintsük a valós sorozatok vektorterét. Ebben a vektortérben kétdimenziós altér az a n = 4a n 1 a n 2 rekurziónak eleget tévő sorozatok tere, melyet jelöljön L. Olyan λ számot keresünk, melyre (λ,λ 2,...,λ n,...) eleme L-nek. A rekurziót leíró feltétel λ-ra a λ 2 4λ +1 = 0 feltételt adja, ahonnan λ 1 = és λ 2 = 2 3. Tehát a Λ 1 = (λ 1,λ 2 1,...,λ n 1,...) Λ 2 = (λ 2,λ 2 2,...,λ n 2,...) sorozatok L bázisát adják. Határozzuk meg a ( 1, 2,..., n,...) sorozat (α,β) koordinátáit a (Λ 1,Λ 2 ) bázisra vonatkozóan: α(2 + 3) + β(2 3) = 4 α(2 + 3) 2 + β(2 3) 2 = 15, 7
8 ahonnan Tehát n = α = ( ) 3 (2 + 3) n 3 1 3, β = ( 1 3 ) 1 3 (2 3) n. 2 n 0, mert az első tag egytől nagyobb, a második tag pedig egytől kisebb. 8
Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Lineáris algebra bevezető
Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
Ferde fényképezés. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu. June 18, 2015
Ferde fényképezés Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu June 18, 2015 Haladvány Kiadvány, 2015. http://www.math.bme.hu/~hujter/halad.htm/150619.pdf Legtöbbször nem tudjuk
Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás
A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott
Elektromágneses hullámok - Hullámoptika
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
DIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket
Differenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK
Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai
A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat
Gyakorló feladatok vektoralgebrából
Gyakorló feladatok ektoralgebrából Az alábbi feladatokban, hasak nem jelezzük másként, az i, j, k bázist használjk.. a.) Milyen messze annak egymástól az A(,,) és a B(4,-,6) pontok? b.) Számítsa ki az
2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
Tető nem állandó hajlású szarufákkal
1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák
A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15.1. Bevezetés Amikor egy karcsú szerkezeti elemet a nagyobb merevségű síkjában terhelünk, mindig fennáll annak lehetősége, hogy egy hajlékonyabb síkban
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Grafika. Egyváltozós függvény grafikonja
Grafika Egyváltozós függvény grafikonja Egyváltozós függvény grafikonját a plot paranccsal tudjuk kirajzolni. Elsı paraméter egy függvény képlete, a második paraméter változónév=intervallum alakú: plot(x^3-16*x+2,x=-6..6);
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
Az ablakos problémához
1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.
Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Valószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69
TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................
Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika
Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű
Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,
Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos
86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK
web-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 19. TARTÓK FOGALMA: TARTÓK A tartók terhek biztonságos hordására és azoknak a támaszokra történő
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ
TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.
Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.
Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)
Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját
PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának
4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!
(9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Nyomó csavarrugók méretezése
Nyomó csavarrugók méretezése 007 Összeállította: Móka József . Rugó műszaki ábrázolása A körszelvényű hengeres nyomó csavarrugót az MSZ EN ISO 6-000 előírásai szerint ábrázoljuk. Eszerint ötnél kevesebb
Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees
Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
Geometria, 11 12. évfolyam
Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.
Differenciál egyenletek
Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben
9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes
9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban
Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK
X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre
Teszt kérdések. Az R n vektortér
Teszt kérdések Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak agy hamisak! Az R tér geometriája 1. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja, akkor párhuzamosak.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt
S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy
FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
Alkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y