Valószín ségelmélet házi feladatok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószín ségelmélet házi feladatok"

Átírás

1 Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott 40 feladatból legalább 28 feladatot tökéletesen megold. Az elfogadott feladatok száma eddig: Név Σ Árvai Dániel Bali Gábor Kiss Gábor István Nedényi Fanni Pogonyi Péter Róka Gáspár Szél István Torma Zsolt Zarnócz Tamás

2 1. Valószín ségi változók és vektorváltozók által generált σ-algebrák 1. Legyen az eseménytér az Ω=[ 1,1] halmaz, és legyen az események halmaza a Borel halmazok eseménytérre vett megszorítása, tehát A = B [ 1,1]. Tekintsük az véletlen változót. X : Ω R, X(ω) = ω 2, a. Adjuk meg az X változó által generált σ-algebrát. b. Deniáljunk egy olyan Y változót, melyre σ(x) σ(y ). Milyen függvénykapcsolat írható fel X és Y között? c. Adjunk meg egy olyan Z változót, hogy a σ(x) és a σ(z) halmazrendszer közül egyik se tartalmazza a másikat. 2. a. Deniáljunk egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez t, rajta pedig a hozzárendelési szabályok megadásával egy X és egy Y változót olyan módon, hogy az (X, Y ) pár két szabályos dobókocka független feldobását modellezze. b. Adjuk meg az (X, Y ) vektor, valamint az XY szorzat által generált σ-algebrát. Milyen tartalmazási reláció van a két σ-algebra között? c. Adjunk meg egy Z változót olyan módon, hogy σ(x, Y ) = σ(xy, Z) teljesüljön. 3. Legyen Ω az origó középpontú egységnyi sugarú zárt körlap a valós síkon, és tekintsük a Borel halmazok megszorítását az eseménytérre, mint eseményeket. Legyen X = X(ω) az ω pont els koordinátája, továbbá legyen Y = Y (ω) az ω pontnak az origótól vett távolsága. a. Határozzuk meg az X, az Y és az (X, Y ) változó által generált σ-algebrát. b. Létezik-e olyan A A esemény, mely nem eleme a σ(x, Y ) halmazrendszernek? Ha igen, akkor adjunk rá példát. 2

3 2. Kolmogorov 01 törvénye és a BorelCantelli lemmák 1. Tekintsünk egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett X 1, X 2,... változókat. A Cauchy-féle konvergenciakritérium alkalmazásával mutassuk meg, hogy az A = {ω Ω : az X n (ω) sorozat konvergens} Ω halmaz eleme a változók által generált σ-algebrának. Mondjunk ki és bizonyítsunk be egy állítást az A esemény valószín ségér l. 2. Legyen X 1, X 2,... független és azonos eloszlású véletlen változó, melyre P (X n = 1) = p és P (X n = 1) = 1 p, n = 1,2,..., valamely rögzített p (0,1), p 1/2, esetén. Mutassuk meg, hogy az S n = X 1 + +X n, n = 1,2,..., sorozat 1 valószín séggel a 0 értéket csupán véges sok n-re veszi fel. A bizonyításban használjuk fel a Stirling-formulát, mely szerint n! ( n ) n 2nπ, n. e (Azt mondjuk, hogy az a n és a b n sorozat asszimptotikusan egyenl, azaz a n b n, ha a n /b n 1, amint n.) 3. Legyen X 1, X 2,... független standard normális eloszlású véletlen változó. Mutassuk meg, hogy ( ) X n P lim inf = 1 = 1. n 2 log n A bizonyításban használjuk fel azt a rendkívül hasznos egyenl tlenséget, hogy a standard normális eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvényére és ϕ(x) s r ségfüggvényére ( 1 x 1 ) ϕ(x) 1 Φ(x) 1 x 3 x ϕ(x), x > 0. 3

4 3. Eloszlásfüggvény és marginális eloszlásfüggvény Tekintsünk egy tetsz leges n pozitív egészet, továbbá p 1,..., p n 0 értékeket, melyekre p 1 + +p n = 1. Azt mondjuk, hogy az (X 1,..., X n ) diszkrét vektorváltozó polinomiális eloszlást követ n, m, p 1,..., p n paraméterekkel, ha súlyfüggvénye P ( X 1 = k 1,..., X n = k n ) = m! k 1! k n! pk 1 1 p kn n, ahol k 1,..., k n nemnegatív egész és k 1 + +k n = m. Legyen n, m 1,..., m n, k tetsz leges pozitív egész. Azt mondjuk, hogy az (X 1,..., X n ) diszkrét változó polihipergeometrikus eloszlást követ n, m, m 1,..., m n paraméterekkel, ha súlyfüggvénye P ( ( ) m1 ) ( X 1 = k 1,..., X n = k n = k 1 mn ) k n ), ahol k 1,..., k n nemnegatív egész és k 1 + +k n = m. ( m1 + +m n m 1. a. Egy kísérlet megadásával deniáljuk az X 1,..., X n valószín ségi változókat olyan módon, hogy (X 1,..., X n ) polinomiális eloszlást kövessen adott n, m, p 1,..., p n paraméterekkel. Határozzuk meg a polinomiális eloszlás marginális eloszlásait. b. Oldjuk meg az a. feladatot polinomiális helyett polihipergeometrikus eloszlásra. 2. Legyen az (X, Y ) vektorváltozó egyenletes eloszlású az origó középpontú egységnyi sugarú zárt körlapon. Adjuk meg X és Y együttes eloszlásfüggvényét és s r ségfüggvényét. Határozzuk meg a marginális eloszlás- és f r ségfüggvényeket. Mennyi az X és Y közötti korreláció? Független a két változó egymástól? 3. Legyen F (x) és G(x), x R, két egydimenziós eloszlásfüggvény, és legyen α [ 1,1] tetsz leges valós szám. Mutassuk meg, hogy ekkor [ H(x, y) = F (x)g(y) 1+α ( 1 F (x) )( 1 G(y) )], x, y R, kétdimenziós eloszlásfüggvény. Mik a kapcsolatos marginális eloszlásfüggvények? 4

5 4. Véletlen változók transzformáltjai 1. Azt mondjuk, hogy az Xvéletlen változó Cauchy eloszlású a>0 és b R paraméterrel, ha s r ségfüggvénye f(x) = 1 π a a 2 +(x b) 2, x R. Legyen X Cauchy a=1 és b=0 paraméterrel. Adjuk meg arctg X és 1/X eloszlását. (Megoldásként nevezetes eloszlásokat kérek.) 2. Tekintsük az 0, x < 0, x/4, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1 1/x, 2 x, h(x) = { x 2, x 1, x 2, x > 1, függvényeket, és legyen X olyan változó, melynek F (x), x R, az eloszlásfüggvénye. Határozzuk meg h(x) várható értékét. 3. a. Legyen X és Y független exponenciális eloszlású változó λ és µ paraméterrel. Mutassuk meg, hogy min(x, Y ) Exp(λ+µ) és P ( min(x, Y ) = X ) = λ λ+µ. b. Legyen X 1,..., X n független exponenciális eloszlású változó rendre λ 1,..., λ n paraméterrel. Az a. pont eredményeinek felhasználásával adjuk meg a min(x 1,..., X n ) változó eloszlását, valamint a valószín ségeket. P ( min(x 1,..., X n ) = X k ), k = 1,..., n, 5

6 5. Véletlen változók összege, szorzata és hányadosa 1. Legyen az U és a V változó független és egyenletes eloszlású a [0,1] intervallumon. Adjuk meg U +V, U V, UV és U/V s r ségfüggvényét. 2. Tegyük fel, hogy egy tárgyból a tételsor N darab témakört tartalmaz, melyek 0-tól (N 1)-ig vannak számozva. A vizsgán a tételhúzás úgy történik, hogy az oktató és a hallgató felír egy-egy 1 és N közötti számot egy-egy papírra, ezután megmutatják egymásnak a felírt értékeket, és veszik a számok összegének N-nel vett maradékát. Elméletileg igazságos ez a sorsolási mód? Mi lehet az oka annak, hogy a valóságban bizonyos tételeket mégis gyakrabban sorsolnak ki? 3. Mutassuk meg, hogy egy exponenciális és egy t le független geometriai eloszlású változó összege abszolút folytonos változó. Mi az összeg s r ségfüggvénye? 6

7 6. Véletlen változók generátorfüggvényei 1. Az X valószín ségi változó r-edrend (r=1,2,... ) negatív binomiális eloszlást követ p (0,1) paraméterrel, ha eloszlása ( ) k 1 P (X = k) = p r (1 p) k r, k = r, r +1,... r 1 Az els rend negatív binomiális eloszlást p paraméteres geometriai eloszlásnak is szokás nevezni. a. Mutassuk meg, hogy r darab független p paraméteres geometriai eloszlású változó összege r-edrend p paraméteres negatív binomiális eloszlást követ. Ezek alapján mi a negatív binomiális eloszlás jelentése, milyen alkalmazási területe van neki? b. Határozzuk meg a negatív binomiális eloszlás várható értékét és szórását. 2. a. Feldobok két szabályos dobókockát. Adjuk meg a számok összegének eloszlását. b. Átszámozzuk a dobókockákat olyan módon, hogy továbbra is pozitív egész értéket írunk a lapokra, de megengedjük, hogy hatnál nagyobb számok is szerepeljenek, és azt is, hogy bizonyos értékek egy-egy kockán akár többször is el forduljanak. A két kockát akár két különböz módon is átcimkézhetjük. Megtehet -e ez az átszámozás olyan módon, hogy a dobott számok összegének eloszlása ugyanaz legyen, mint két szabályos kocka esetén? 3. Egy pénzfelvev autómatánál két m veletet lehet végrehajtani: készpénzt felvenni és mobiltelefon egyenleget feltölteni. A reggeli nyitás után a terminálhoz egymástól független λ > 0 paraméteres exponenciális id közönként érkeznek az ügyfelek, akik egymástól függetlenül p (0,1) valószín séggel választják az egyenlegfeltöltés és 1 p valószín séggel a készpénzfelvétel menüpontot. Legyen T az els egyenlegfeltöltés id pontja. Határozzuk meg T eloszlását. 7

8 7. Véletlen változók eloszlásbeli konvergenciája 1. Legyen X 1,..., X n független és a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású véletlen változó, továbbá legyen M n = max(x 1,..., X n ). Adjuk meg az a n > 0 és a c n R sorozatot olyan módon, hogy (M n c n )/a n eloszlásban konvergáljon, amint n. Határozzuk meg a határeloszlást is. 2. Adott egy urna, benne n darab golyó 1-t l n-ig számozva. Visszatevéssel kihúzunk n golyót, és jelölje X n a kapott értékek legkisebbikét. Mutassuk meg, hogy az X n sorozat konvergál eloszlásban, amint n, és adjuk meg a határeloszlást. 3. Tekintsünk egy berendezést, és tegyük fel, hogy p annak az esélye, hogy a m szer meghibásodik egy rövid 0 < p < 1 hosszúságú id intervallumon. Adjuk meg a m szer X élettartamának eloszlását. Ezt úgy fogjuk megtenni, hogy vesszük a ((k 1)p, kp], k =1,2,... alakú id intervallumokat, és legyen Y =Y (p) annak az intervallumnak a sorszáma, ahol a berendezés tönkremegy. Ekkor py jó közelítés a teljes élettartamra, és X eloszlása megkapható, mint py határeloszlása, ha a beosztás p nomsága tart a nullához. Adjuk meg X eloszlását. 8

9 8. Konvergenciatípusok 1. Egy r > 0 rögzített valós szám mellett adjunk példát X 1, X 2,... független véletlen változókra olyan módon, hogy a. az X n sorozat 1 valószín séggel konvergáljon, de ne konvergáljon r. középben; b. a sorozat konvergáljon r. középben, de ne konvergáljon majdnem biztosan; c. a sorozat konvergáljon sztochasztikusan, de ne konvergáljon sem r. középben, sem majdnem biztos értelemben. 2. Legyen Z 1, Z 2,... független standard normális eloszlású véletlen változó, és legyen Y n = Z 1 + +Z n n, n = 1,2,... a. A korábbi tanulmányaink alapján mit mondhatunk az Y n sorozat asszimptotikus viselkedésér l? b. Mutassuk meg, hogy az Y n sorozat konvergál r. középben tetsz leges r>0 esetén. 3. Tegyük fel, hogy Z n =(X n, Y n ), n=1,2,..., eloszlásban konvergál a Z =(X, Y ) vektorváltozóhoz. Mutassuk meg, hogy ha X n és Y n minden n-re független egymástól, akkor X és Y is független. +1. Legyen X 1, X 2,... független véletlen változó. Bizonyítsuk be, hogy ha X n X sztochasztikusan, akkor az X változó degenerált, tehát P (X = c) = 1 valamely c valós számra. (Tipp: Használjuk a 3. feladat állítását.) 9

10 9. A normális eloszlás 1. Tekintsünk két értékpapírt, melyek jelenlegi ára megegyezik, és jöv beli értéke véletlen. Legyen a két értékpapír árfolyama egy év múlva X illetve Y, ahol az X és az Y véletlen változó együttesen normális eloszlást követ, és E(X)=1100, D(X)=100, E(Y )=1200, D(Y )=200, corr(x, Y )= 0,75. a. A Value-at-Risk (VaR) a közgazdászok által kedvelt kockázati mérték. Egy X normális eloszlású befektetés α-var értéke (0 < α < 1) az az x R szám, melyre P (X < x) = α, tehát melyre pontosan α annak a valószín sége, hogy a befektetés jöv beli értéke x alatt marad. Határozzuk meg a két részvény 5%-os VaR értékét. b. Egy rögzített pénzmennyiséget felhasználva a két részvényb l szabadon összeállíthatunk egy portfóliót. Milyen arányban vásároljunk az egyes részvényekb l, ha az a célunk, hogy a portfólió egy év múlva vett értékének szórása minimális legyen? Tegyük fel, hogy egy év múlva eladjuk a portfóliót, és legyen Z az egy értékpapírra jutó átlagos bevétel. Adjuk meg a Z változó 5%-os VaR értékét. c. Válaszoljunk a b. feladat kérdéseire azzal a módosítással, hogy corr(x, Y )=0, Adott tíz ember, kiknek a tömege X 1,..., X 10 együttesen normális eloszlású véletlen változó. Legyen E(X i ) = 80, D(X i ) = 20, corr(x i, X j ) = 1, i, j = 1,...,10, i j. Határozzuk meg az S = X X 10 összeg eloszlását. Vegyük észre, hogy ez az eredmény tartalmaz egy ellentmondást. Mi ez az ellentmondás, és mi a feloldása? 3. Mindenki ismeri azt a jelenséget, hogy egy porszem a leveg ben nem egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, hanem egy cikkcakkos utat fut be. Ez azzal magyarázható, hogy a rendezetlen mozgást végz leveg molekulák folyamatosan lökdösik a porszemet, és emiatt a porszem sebességvektorának nagysága és iránya pillanatról pillanatra változik. Ezt a jelenséget el ször Robert Brown angol botanikus írta le 1827-ben, amikor vízben úszó pollenszemeket tanulmányozott mikroszkóp alatt. A tiszteletére a jelenségre adott matematikai modellt Brown-mozgásnak nevezzük. A továbbiakban az egyszer ség kedvéért egydimenzióban vizsgáljuk a problémát, azaz a részecske x tengely mentén való elmozdulását vizsgáljuk a t id függvényében. A matematikai modellben az út-id függvény egy W (t), t 0, valós érték és folytonos véletlen függvény, melyre teljesül, hogy tetsz leges n=1,2,... és t 1,..., t n 0 esetén a W (t 1 ),..., W (t n ) változók együttesen normális eloszlást követnek, továbbá W (0)=0 m.b., E ( W (t) ) =0, Cov ( W (s), W (t) ) =min(s, t), s, t 0. Tegyük fel, hogy a részecske az s 0 id pontban az x R helyen van. Határozzuk meg a t 0 id pontbeli pozíciójának eloszlását és várható értékét. Tehát, adjuk meg a W (t) változó feltételes eloszlását és feltételes várható értékét a W (s)=x feltételre nézve. Értemezzük a kapott várható értéket. (Tipp: Válasszuk külön a t < s és a t > s esetet.) 10

11 10. Feltételes eloszlás és feltételes várható érték I. 1. Egymástól függetlenül feldobok két szabályos dobókockát, és legyen X és Y a két kapott érték. a. Milyen függetlenségi kapcsolat áll fenn az X +Y és az X Y változó között? b. Mutassuk meg, hogy E[X +Y X Y ] = 7 = E[X +Y ]. 2. Legyen X exponenciális eloszlású véletlen változó, és legyen Y = X. a. Adjuk meg az Y változónak az X változóra vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. b. Oldjuk meg az a. feladatrészt a két változó szerepének felcserélésével. 3. Egy m szaki berendezés esetében az üzembe helyezett darabok 0,1 valószín séggel mennek tönkre egy adott hónap alatt. Egy törvényi el írás miatt egy berendezést hat hónap után akkor is le kell selejtezni, ha addig hibaentesen m ködött. Jelölje X a szolgálatban töltött (megkezdett) hónapok számát. a. Adjuk meg az X változó eloszlását és várható értékét, feltéve, hogy a berendezést nem a törvényi el írás miatt selejtezzük le, hanem azért, mert korábban tönkremegy. b. Adjuk meg az X változó feltétel nélküli eloszlását és várható értékét. c. A berendezéseket egy beszállítótól rendeljük meg, és átvétel után teszteljük ket. Az a tapasztalat, hogy az átvett berendezések 5 százaléka gyártási hibás, ezeket nem tudjuk üzembe helyezni. Legyen Y egy frissen érkezett, még nem tesztelt berendezés esetében a szolgálatban töltött id. Határozzuk meg az Y változó eloszlását és várható értékét. 11

12 11. Feltételes eloszlás és feltételes várható érték II. Tétel. (A s r ségfüggvények transzformációs tétele többdimenziós esetben.) Tekintsünk X =(X 1,..., X n ) T és Y =(Y 1,..., Y n ) T véletlen oszlopvektortokat. Tegyük fel, hogy az X változó abszolút folytonos f(x), x R n, s r ségfüggvénnyel, és X =AY +m, ahol A R n n nem elfajuló mátrix és m R n. Ekkor Y is abszolút folytonos, és s r ségfüggvénye g(y) = det(a) f(ay +m), y R n. 1. Adott 10 urna, melyek 1-t l 10-ig vannak megszámozva, de kívülr l egyformák. Az n. urnában rendre n darab golyó található, melyeken 1-t l n-ig szerepelnek az egész értékek. Véletlenszer en kiválasztunk egy urnát, majd abból kihúzunk egy golyót. Legyen X az urna sorszáma, Y pedig a golyón szerepl érték. a. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, valamint a két változó várható értékét és korrelációs együtthatóját. b. Adjuk meg az Y változónak az X = 4 eseményre vett feltételes várható értékét. Melyik golyónak a legnagyobb az esélye, ha a negyedik urnából húztunk? c. Adjuk meg a választott urna sorszászának várható értékét, ha a 6-os számú golyót húztuk ki. Melyik urnának a legnagyobb a valószín sége az Y = 6 feltétel mellett? 2. Legyen a Λ valószín ségi változó exponenciális eloszlású 1 várható értékkel, és legyen X feltételes eloszlása szintén exponenciális Λ paraméterrel. a. Határozzuk meg X eloszlásfüggvényét és várható értékét. b. Mi Λ eloszlása és várható értéke, ha tudjuk, hogy X értéke 10. c. Rögzített x > 0 mellett adjuk meg a Λ változónak az X > x eseményre vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. 3. Tekintsünk X 1,..., X n+1 független és azonos eloszlású exponenciális változókat, és legyen S k = X X k, ahol k = 1,..., n + 1. Határozzuk meg az S 1,..., S n változóknak az {S n+1 = 1} eseményre vett feltételes együttes s r ségfüggvényét. Hol találkoztunk korábban ezzel a s r ségfüggvénnyel? (Tipp: Alkalmazzuk a fenti transzformációs tételt.) 12

13 12. A nagy számok tételei és a centrális határeloszlás-tételek A gyakorlaton sajnos elkövettem egy hibát, melyet most javítok. A hiba annál a feladatnál történt, mikor az S n polinomiális eloszlású vektorváltozóra mondtunk ki és bizonyítottunk be egy MoivreLaplace típusú határeloszlástételt. A hiba forrása az volt, hogy rosszul írtam fel a többdimenziós centrális határeloszlás-tételt. A tétel helyesen így szól: Tétel. (Többdimenziós CHT.) Ha X 1, X 2,... független és azonos eloszlású d-dimenziós véletlen vektorváltozó, melyre µ = E(X) és Σ = Cov(X) <, akkor (X 1 + +X n ) nµ n D N d (0, Σ), n. A feladat megoldását azon az egy ponton kell módosítani, hogy az órán bevezetett µ vektorral és Σ mátrixszal az S n polinomiális változóra az állítás helyesen: S n nµ n D N d (0, Σ). Ha vesszük a két oldalon szerepl vektorok els komponenseit, akkor az órai jelölésekkel k n (A 1 ) np 1 n D N d (0, σ 1,1 ) = σ 1,1 N(0,1). Mivel most σ 1,1 = p 1 (1 p 1 ), ebb l azonnal jön a klasszikus MoivreLaplace tétel: k n (A 1 ) np 1 D N(0,1). np1 (1 p 1 ) Ez az, amit az órán nem sikerült kihoznom. Elnézést a kellemetlenségekért! 1. Mutassuk meg, hogy tetsz leges f(x), 0 x 1, folytonos valós függvény esetén 1 lim n f ( ) ( n 1 x 1 x n dx1 dx n = f. e) 2. a. Legyen az X n változó n-edrend negatív binomiális p paraméterrel. A centrális határeloszlás-tétel alkalmazásával adjuk meg px n n n(1 p) határeloszlását, amint n. b. A kedvenc sportcsapatom egymástól függetlenül 0,51 valószín séggel nyeri meg a mérk zéseit a bajnokságban. A csapat nemrégiben ünnepelte a századik gy zelmét. Közelít leg mennyi annak a esélye, hogy ehez 200 meccsnél többet kellett lejátszani? 13

14 3. Tekintsünk X 1, X 2,... független véletlen változókat, melyek eloszlása rendre P ( X n = n α) = 1 2n = P ( X 2α n = n α), P ( X n = 0 ) = 1 1, n = 1,2,..., n2α valamely α > 0 konstanssal. a. Határozzuk meg, hogy mely α értékek esetén fog az X n sorozat sztochasztikusan, majdnem biztosan, r-dik középben, illetve eloszlásban konvergálni. b. Adjunk szükséges és elegend feltételt az S n =X 1 + +X n sorozat asszimptotikus normalitására. +1. Ez a feladat 2 pontot ér, de két hét múlva is be lehet adni. a. Legyen X 1, X 2,... független és azonos eloszlású véletlen változó, és rögzített n esetén deniáljuk az empirikus eloszlásfüggvényt az F n (t) = 1 n n 1 {Xi t}, t R, i=1 formulával. Ábrázoljuk az F n (t) véletlen függvényt. Bizonyítsuk be, hogy a függvény 1 valószín séggel pontonként konvergál, amint n, tehát mutassuk meg, hogy valamely F (t), t R, függvényre ( ) P F n (t) F (t), t R = 1, n. Mi a határfüggvény? (Tipp: El ször lássuk be, hogy a fenti konvergencia teljesül a racionális számok halmazán.) b. Tegyük fel, hogy az X 1, X 2,... véletlen változók függetlenek és egyenletes eloszlásúak a [0,1] intervallumon, és legyen E n (t)= n[f n (t) t], 0 t 1, az úgynevezett empirikus folyamat. Tetsz leges rögzített k = 1,2,... és 0 t 1,..., t k 1 értékek mellett adjuk meg az (E n (t 1 ),..., E n (t k )) vektorváltozó határeloszlását, ha n. (Tipp: Érdemes el ször a k = 1 esetet vizsgálni.) c. Legyen W (t), t 0, a 9.3. házi feladatban deniált Brown-mozgás, és tekintsük a B(t) = W (t) tw (1), 0 t 1, véletlen függvényt. Megmutatható, hogy ekkor tetsz leges rögzített k = 1,2,... és 0 t 1,..., t k 1 esetén (B(t 1 ),..., B(t k )) normális eloszlású vektorváltozó. Adjuk meg ennek a vektorváltozónak a várható érték vektorát és a kovariancamátrixát. 14

15 13. Martingálok 1. a. Adott (Ω, A, P ) valószín ségi mez n tekintsünk egy X véletlen változót és egy F 1, F 2,... sz rést. Mit állíthatunk az X n = E[X F n ], n = 1,2,..., sorozatról? b. Legyen α β 0 megállási id valamely sz résre nézve. Megállási id -e az α+β illetve az α β változó? 2. Tekintsük az X 1, X 2,... szimmetrikus bolyongást és az F 1, F 2,... generált sz rést. Rögzített a és b egész értékek mellett legyen Y n = exp(ax n + bn), n = 1,2,..., az úgynevezett exponenciális bolyongás. Adjunk szükséges és elegend feltételt arra, hogy Y 1, Y 2,... martingál legyen az F 1, F 2,... sz résre nézve. 3. A Pólya-féle urnamodell egy egyszer bb változata. Adott egy urna, benne egy piros és egy fekete golyó. Egy lépés abból áll, hogy véletlenszer en kihúzunk egy golyót, utánna visszatesszük a kihúzott golyót, és beleteszünk az urnába még egy olyan szín golyót, mint amilyet kihúztunk. Legyen X n az n. lépés után a piros golyók aránya az urnában. a. Mutassuk meg, hogy X 0, X 1,... martingál a generált sz résre nézve. b. Hogyan viselkedik az X n sorozat asszimptotikusan, amint n? 4. Legyen X 1, X 2,... pozitív érték független és azonos eloszlású véletlen változó, és tegyük fel, hogy X és ln X integrálható. Tekintsük a sorozat által generált F 1, F 2,... ltrációt, és legyen Y n = X 1 X n, n = 1,2,... a. Mikor lesz az Y 1, Y 2,... sorozat martingál, szubmartingál illetve szupermartingál a ltrációra nézve? b. Mi állíthatunk az n Y n, n=1,2,..., sorozat asszimptotikus viselkedésér l? (Tipp: Valahogyan csináljunk összeget a szorzatból.) A továbbiakban foglalkozzunk csak azzal az esettel, amikor a sorozat martingál. c. Mit állíthatunk az Y n, n = 1,2,..., sorozat asszimptotikus viselkedésér l? d. Tegyük fel, hogy p = P (X 1) > 0, és legyen α = min{n = 1,2,... : X n 1}. Határozzuk meg Y α várható értékét. 15

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok

Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi változó: ( ) a b c d X = Számítsuk ki az entróiáját: H(X ) =?. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben