GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)"

Átírás

1 GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. halmaz, az "okos emberek" nem. Jelek:,, {...},, :=,,, \ 2. Nevezetes halmazok: R, Q, Z; N = {0,, 2,...}, N + = {, 2,...} 3. Halmaz megadása: i Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. ii Más halmazokból. Pl: "A bp-i egyetemek" M veletekkel: A B, A B, A \ B. Venn-diagram. Példa: A := {3, 2, 2}, B := {3, 4}. Adjuk meg az A B, A B, A\B halmazokat! Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} Példa: adjuk meg elemeivel az A := {x R : x páros egész szám és 2 < x < 7} halmazt! II. Elemi logika. 0. Jelek:,,!,,,. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. Pl.: A. "Mo. f városa Róma." Ez mat. állítás, és hamis. B. "Budapest szép város." Ez nem mat. állítás. Az els ellenkez je azaz tagadása: A = "Mo. f városa nem Róma", ez igaz állítás. 2. Fontos szabályok. i A B = B A. Vigyázat! A B A B. Példák: Ha havazik, akkor hideg van = Ha nincs hideg, akkor nem havazik. De: Ha nem havazik, akkor nincs hideg. Ha n 4-gyel osztható, akkor páros = Ha n páratlan, akkor nem osztható 4-gyel. De: Ha n nem osztható 4-gyel, akkor páratlan. ii Tagadás. a de Morgan: A vagy B = A és B, A és B = A vagy B Pl.: írok vagy olvasok = nem írok és nem olvasok írok és olvasok = nem írok vagy nem olvasok b Kvantorok: legyen T egy tulajdonság pl. T x= "x pozitív". Ekkor: x T x = x T x szabály ellentéte: kivétel; x T x = x T x Pl. minden rovar bogár = van olyan rovar, amely nem bogár van olyan üvegem, ami színes = minden üvegem színtelen

2 c Következtetés tagadása: el bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: Ha valaki magyar, akkor pesti = Minden magyar pesti = Van olyan magyar, aki nem pesti Pl.: Ha n pozitív egész, akkor n is pozitív egész = Minden n pozitív egész esetén n is pozitív egész = Van olyan n pozitív egész, hogy n nem pozitív egész 3. Más összetett állítások. Példa. Igaz állítás-e: "A napot mozogni látjuk, mert a Föld forog." Igaz, mert az állítás szerkezete "A és B és A B", és mindhárom részállítás igaz. 4. Szükséges, elégséges feltétel fogalma B A esetén: B A-nak elégséges, A B-nek szükséges feltétele. Példa: az, hogy A valaki élt 999-ben, annak, hogy B látta a napfogyatkozást, szükséges, de nem elégséges feltétele. Itt B A, de A B. 2

3 Házi feladatok.. Tagadjuk! "Vagy észak felé kell indulnunk, vagy vissza kell fordulnunk." "Esik az es és fúj a szél." "Minden puha szilva kukacos." "Van színtelen virág." "Minden krétai hazudik." "Ha egy szilva puha, akkor kukacos." "Ha egy csónak felborul, akkor az evez i eltörnek." "Ha x valós szám, akkor x 2 pozitív." "Ha egy természetes szám páros, akkor 0-ra végz dik." 2.Döntsük el az alábbi állításokról, hogy i igaz-e az els fele, a második fele, ill. ha mindkett igaz, akkor igaz-e a következtetés. Relációanalízis ii igaz-e az egész összetett állítás. a. "Magyarország éghajlata szárazföldi, mert közel van az Atlanti-óceánhoz." b. "Hazánk népessége fogy, mert a születések száma alacsony és a halálozásoké magas." c. "Ausztria jelent s idegenforgalommal rendelkezik, mert az EU tagállama." 3. Döntsük el, szükséges, elégséges, ill. szükséges és elégséges feltétele-e i annak, hogy valakinek jogosítványa van, az, hogy elmúlt 4 éves? ii annak, hogy x pozitív szám, az, hogy x 2 pozitív szám? iii annak, hogy x 2 4, az, hogy x legalább 2 és legfeljebb 2? iv annak, hogy egy természetes szám 0-ra végz dik, az, hogy páros? 4. Egy társaságról tudjuk, hogy aki vidéki, az vonattal jött. Az alábbiakból melyikben lehetünk biztosak? i Aki nem vidéki, az nem vonattal jött. ii Aki vonattal jött, az vidéki. iii Aki nem vonattal jött, az nem vidéki. 5. i Legyen A := {n N + : n 3}, B := {n N + : 2 n 4}. Adjuk meg elemeikkel az A, B, A B, A B, A \ B halmazokat! ii Egy könyvtárban 67 ember dolgozik. Angolul tud 47, németül 35, mindkét nyelven 23 munkatárs. Hány f nem tud sem angolul, sem németül? Útmutatás: rajzoljuk fel a Venn-diagramot, és írjuk bele a megfelel számokat. iii Egy sportklubnak atlétika- és fociszakosztálya van. A klub 30 tagjából 3 tagja az atlétika- és 20 a fociszakosztálynak. Hányan tagok mindkett ben? Útmutatás: hasonlóan, mint el bb. 3

4 2. Elemi számolások, százalékszámítás. Algebrai alapismeretek.. Feladatok abszolút értékkel, esetszétválasztás. Abszolút érték fogalma: a := a, ha a 0 és a, ha a 0. Pl.: 2 = 2 = 2. Példák: i Mely x R számokra áll fenn az x 3 = 8 egyenl ség? Ha x 3 0, azaz x 3, akkor x 3 = 8 megoldása ; ha x 3 0, azaz x 3, akkor 3 x = 8 megoldása -5. Azaz, a és -5 számokra. ii Legyen a R, R > 0. Igazoljuk, hogy az {x R : x a R} halmaz azonos az [a R, a + R] ún. a körüli R sugarú zárt intervallummal! Az x a és x a esetek szétválasztásával oldjuk meg. 2. Százalékszámítás. A B-nek s százaléka, ha A = B s 00. Példák.. Egy ember eurót zetett foglalóként egy ház vásárlásánál. Mennyibe került a ház, ha ez az egész összeg 20 %-át tette ki? F = H 20, azaz = H 0.2 = H/5, így H = = euróba Ha egy áru ÁFÁ-ja 25%, hány százaléka a nettó ár a bruttónak? = 0.8 része, azaz 80%-a. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 0 k alakban, ahol r < 0 és k Z. Pl. Egy elem atomsúlya S, ha mól azaz = db, ez az Avogadro-szám atom tömege S gramm. Ha a szén atomsúlya 2, mennyi egy szénatom tömege? 2 = S = x gramm, így x = = gramm. 4. Fontos szimbólum: Példák: n k= n k=m := , k 2 n a k := a m + a m a n. Írjuk fel -val: = 6 2k. 5. Fontos kifejezések. 6 k 2 := , k=4 Polinom: a változó egyes hatványainak számszorosait adjuk össze. Pl.: egyváltozós: x 4 x2 2 + ; kétváltozós: x2 y 3 x2 2 + xy 4 Algebrai tört: polinomok hányadosa. k= Feladat: alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! a x y x2 y 2 = x yy x2 y 2 = xy y2 x 2 +y 2 x xy xy xy b További példák: x y x+y, x+y x y = xy x2 xy a a b b+, u 3 u 2 + u 2. 4 = y x y x, y 0

5 6. Gyöktelenítés: ha egy a b kifejezést beszorzunk a + b-vel, akkor a 2 b 2 = a b lesz. Pl. nevez gyöktelenítése: = = Házi feladatok.. a Igazoljuk: ha a R, b 0, akkor: a b b a b. b Mely x R számokra áll fenn, hogy x 5 2? Ábrázoljuk is a kapott x-ek halmazát. c Mivel azonos az {x R : x 2 3} halmaz: az {x R : x 3} vagy {x R : x 3} halmazzal? Mindegyiket ábrázoljuk! 2. a Egy autó eredeti ára 9000 euró volt, de csökkentették 7200 euróra. Hány százalékos volt az árcsökkenés? b A tej tömegének 7,3 %-a tejszín, a tejszín tömegének 62 %-a vaj. Mennyi vaj lesz 5 l tejb l? Hány liter tejb l készült 5 kg vaj? liter tej kb kg. c Évi hány százalékkal kellene az USA-nak csökkentenie károsanyag-kibocsátását, hogy 3 év alatt 27,%-os legyen a csökkenés? 3. a Az ún. Planck-hossz az elvileg legkisebb mérhet hosszúság, kb méter. Az ún. Planck-id a legrövidebb mérhet id tartam, egy fotonnak ennyi id re lenne szüksége, hogy a kb m/s fénysebességgel megtegyen egy Planck-hossznyi távolságot. Számítsuk ki a Planck-id t. b Egy átlagos feln tt hány lépéssel kerüli meg a Múzeumkertet? Információk: egy :5000 méretarányú térképen az út 3,8 cm, az átlagos lépéshossz 75 cm. 4. Igaz-e? a n b a k c = n a k c a m, a m+,..., a n, c R k=m k=m n k 2 = n j + 2 = n k + 2 n 2 k=2 j= k= 5. Alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! a x y xy 2 2x+y x 2 y b k2 kl k2 l+kl 2 k 2 +kl k 2 l 2 c x+ x x 2 x x 2 d Polinommá alakítható-e az alábbi algebrai tört? x 4 y 4 x+yx 2 +y 2 6. a Számítsuk ki pontos értékét. ahol x y. b Igazoljuk, hogy 250 nem egészen 0.0-gyel nagyobb 2500 = 50-nél! 5

6 3. Egyenletek I. Bevezetés. Egyenlet megoldása: Módszere: egyenletrendezés, azaz az összefüggés egyszer sítése, törtek és gyökös kifejezések megszüntetése, az ismeretlen átrendezése egy oldalra. a helyes megoldás elve: ekvivalens átalakítások. Hibalehet ségek: gyök elvesztése, vagy hamis gyök. a megoldások száma: nem feltétlenül egy, lehet több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Példák. i Mely x R esetén x 2 = 4? x = ±2. Nem elég x = 2, akkor elvesztenénk a -2-t. ii Mely x R esetén x = x? Megoldás: A gyök miatt eleve csak x 0 lehet, így ekvivalens átalakítás: x = x 2. Most egy nem ekvivalens átalakítás: osztunk x-szel, így x =. Ez csak x 0 esetén jó, így x = 0-t is meg kell nézni, ez is megoldás. iii Mely x R esetén x = x? Nem ekvivalens átalakítás: ha x megoldás, akkor x = x 2. Ebb l, mint az el bb, x = vagy 0. Visszahelyettesítve: csak x = 0 jó. II. Lineáris els fokú egyenletek Megoldása: rendezzük ax = b alakra ahol a, b R adott, x =?; ha a 0, akkor x = b/a. Ha a = 0, akkor b = 0 esetén x R jó, b 0 esetén megoldás ez már az átrendezés el tt is kiderülhet.. Mely x R esetén igaz, hogy a 2x + 7 = 9 x ; b 3x 6 = 3x 2? 2 2. Egy motorcsónak sebessége állóvízben 6 km/h. Ugyanannyi id alatt tesz meg árral szemben 3 km-t, mint árral 5 km-t. Mekkora sebességel folyik a folyó? Az egyenlet: ha a folyó sebessége x, akkor a csónaké árral, ill. árral szemben 6+x, 5 ill. 6 x. Az id =út/sebesség képlet alapján tehát = 3. Átrendezve 6+x 6 x 56 x = 36 + x lineáris, ezt megoldva x = 4 km/h. III. Másodfokú egyenletek. Alakja: ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R, a 0. Megoldóképlet: x,2 = b± b 2 4ac 2a ; a valós megoldások száma 2, v. 0. Példák: a x x = 2. Átrendezve: x 2 x 2 = 0, a képletb l x = és 2. b x 32 2 = 8. Ez kifejtve a fenti alakú, azaz másodfokú. Itt azonban ez fölösleges, egyszer bb az átszorzás után gyököt vonni: x 3 2 = 6, azaz x 3 = ±4, azaz x = 7 és. A megoldóképlet is így jön ki. 6

7 IV. Egyenletek törtekkel racionális törtfüggvényekkel: a közös nevez vel felszorozva polinomot kapunk. Ha ez els - vagy másodfokú, akkor a fenti módon megoldható. Példák:. Lineárisra visszavezethet : i x + x = 3 x 2x + 2 = 3x 3 x = 5. 2 x + ii x = 3 x + x 2 x = ±3 2. Ha a jobb oldal + 3, akkor a fent kapott 5 a megoldás. 2 Ha a jobb oldal 3, akkor átszorozva 2x + 2 = 3x + 3 x = Másodfokúra visszavezethet : 2x 2 + 3x + 5 x = x + x 2x 2 + 3x + 5 = x 2 x 2 + 3x + 6 = 0. V. Paraméteres egyenletek: valamely állandókat nem rögzítünk, ennek függvényében nézzük, mik a megoldások. Pl.:. Az x + 2 = p x + 4 egyenletnek mely p R paraméter esetén van megoldása? Rendezve: p x + 2 = 0. Így, ha p = : nincs megoldás, ha p : x = 2/ p egyetlen megoldás. Pl. ha p = 2, akkor x + 2 = 2x + 4, azaz x = 2 a megoldás; ha p =, akkor x + 2 = x + 4, ez az, amikor nincs megoldás. 2. Mely p R esetén hány megoldása van és melyek? Átrendezve másodfokú lesz. x x + x + x = p 7

8 Házi feladatok.. Adjuk meg x 3 = x összes x R megoldását! 2. Mely x R esetén igaz, hogy a 4x + 0 = 2x; b 2 3 x + 0 = x ; c 7x + 4 = 7x + 2; d 5x 2 = 5x +? 3. a Hány liter sót kell adni 00 liter 40%-os sóoldathoz, hogy 65%-os oldatot kapjunk? b Hány éves az a tölgyfa, amely 60 év múlva 5-ször annyi id s lesz, mint 20 évvel ezel tt volt? 4. a Oldjuk meg az x 2 x 6 = 0 egyenletet. b A v 0 kezd sebességgel felfelé hajított test t id alatt s = v 0 t g 2 t2 utat tesz meg, ahol g 0. Mennyi id alatt repül felfelé 2 métert a 7 m/s kezd sebességgel felhajított test? Vigyázat: a két gyökb l a kisebb kell, miért? Mit jelent a másik? 5. Oldjuk meg: a 2x x = 5 3 ; b x + 3 x 2 = 7 2 ; c 2 x = 7 x + 3 ; d x 2 2x + = x a A p R paraméter értékét l függ en hány megoldása van a pp x+ = p 2 egyenletnek? b A b R paraméter értékét l függ en hány valós megoldása van az x 2 +bx+ = 0 egyenletnek? c Mutassuk meg, hogy bármely a, b R esetén az x a2 = 2b 2 egyenletnek van 2 megoldása; hány van? x d A p R paraméter értékét l függ en van-e, és mi a megoldása az 4 x = p egyenletnek? 8

9 4. Hatványozás, logaritmus, egyenletrendszerek I. Hatványozás, logaritmus. a Ismétlés. i a n := a n, a 0 =, a n := n a, a m n := n a m. ii Ha a > 0, a, b > 0, akkor x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. Nevezetes alapok: lg b := log 0 b; ln b := log e b ún. természetes alapú logaritmus, ahol e 2.7, def. kés bb. Feladat: adjuk meg az alábbi számok pontos értékét számológép nélkül: 9 2 ; ; ; log 2 4; log 2 2 ; log 4 2; log 5 ; 2 log 2 3 ; 6 log 4 3 ; 3 2 log 3 4 ; lg 00. b Exponenciális és logaritmusos egyenletek. Fel kell használni: deníciók; az exp és log függvények szigorú monotonitása, így egy értéket egyszer vesznek fel: a u = a v u = v, log a u = log a v u = v. azonosságok: a x+y = a x a y, a x y = ax, a x y = a xy ; a y x log a xy = log a x + log a y, log = log a y a x log a y, log a y c = c log a y, log a x = log b x log b a.. Oldjuk meg: a 3 2x 5 = 3 ; b log 2 x = 5; c lg3x 4 = lgx + ; d x + log 2 = 3; e lnx + 4 ln2x = x 2. Egy tenyészetben a baktériumok számát a t id pontban Nt = N t képlettel írhatjuk le folytonos közelítéssel, ahol N 0 millió a kezdeti mennyiség a t = 0 id pontban, és az id t órákban mérjük. Hány óra alatt lesz a baktériumok száma a kezdeti mennyiség a 8-szorosa; b K-szorosa ha K > adott szám? II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Oldjuk meg a "beszorzás azonos együtthatóra" módszerével! Hány megoldás van? Eredmények: 2x + 6y = 9 3x 4y = 7; 9x 3y = 6 6x 2y = 4; x y = 5 8x + 8y = 2. 3, egyértelm ; sok öszefügg egyenletek; nincs. 2 9

10 Házi feladatok.. a Adjuk meg az alábbi számok pontos értékét számológép nélkül: ; 9 2 ; ; log 3 9; log ; log ; log 9 3; log 7 ; 5 log 5 3 ; 25 log 5 3 ; 5 2 log 5 9 ; lg0 4 ; lg ; log 2 2 π log ; log 2008 π + log 2008 π 2008 π ; log 2008 π. b Melyik nagyobb számológép nélkül, log 2 3 vagy log 4 8? c Hogyan számítható ki számológépen 7 2 a lg x és 0 x funkciók segítségével? 2. Oldjuk meg: a 5 x+ = ; b x 3 = ; c log 3 x = 2; d lg5x 4 = lg x; x + 2 e log 9 x = 3; f log 3 = 2; g lnx lnx 3 = 2 x 3 3. Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát a t id pillanatokban egy id ben csökken exponenciális függvény írja le: Nt = N 0 e λt, ahol N 0 az N értéke t = 0 pillanatban, λ > 0 az ún. bomlási állandó, e 2, 7. Számítsuk ki az N 0 -tól független T felezési id t, azaz, amelyre bármely t 0 esetén Nt + T = Nt, 2 a ha λ = ln 2, azaz Nt = N t 00 ; b általában λ függvényében! 4. Oldjuk meg! Hány megoldás van? 3x + 3y = 9 4x + 2y = 0; 5x + 3y = 8x 2y = 5; 7x y = 3 4x 2y = 6; x 2y = 3x 6y = 3; 4x y = 5 8x + 2y = 2. Eredmények: 2,,, -, 0,3, sok öszefügg k, nincs

11 5. Mátrixok, vektorok. a Gyakoroljuk az A+B és A B mátrix, ill. az Ax vektor kiszámítását, tetsz legesen felírt A és B mátrixokkal és x vektorral! A 2 2 esetre kétszer, az egyik esetben az A = I mátrixszal; a 3 3 esetre egyszer. b Igazoljuk a denícióból, hogy c Mutassuk meg, hogy az lineáris egyenletrendszer LAER felírható x y = { 5x + 3y = 2 alakban! 2x + y = és egymás inverzei! d Szorozzuk be a fenti LAER-t a mátrix b pontban kapott inverzével, és ellen- rizzük, hogy a kapott vektor koordinátái valóban megoldásai a LAER-nek! 2. Determináns kiszámolása. Gyakoroljuk tetsz legesen felírt mátrixokkal: a 2 2 esetre kétszer; a 3 3 e- setre legalább egyszer, ugyanazt Sarrus-szabállyal és az els sor szerint kifejtve is végigszámolva Számítsuk ki az A := mátrix sajátértékeit, és adjuk meg az összes, ill. 2 3 egy-egy konkrét sajátvektort! Eredmények: sajátértékek 4 és, egy-egy sajátvektor 2 és.

12 Házi feladatok.. a Számoljuk ki az A + B és A B mátrixokat, ill. az Ax vektort, ha 3 4 A =, B =, x = b Ellen rizzük az IA = A = AI azonosságot az A = a b 2. a Legyen A = c d b Számítsuk ki a fentib l a hogy az valóban inverz! 3. Determináns kiszámolása. a b , deta 0. Igazoljuk, hogy A = =? =? =? 3 Sarrus-szabállyal, ill. az els sor szerint kifejtve is =? deta mátrixra! d b c a mátrix inverzét, és ellen rizzük a denícióból, =? 4. Számítsuk ki az alábbi mátrixok sajátértékeit, és adjunk meg egy-egy konkrét sajátvektort! 2 3 A =, B = Eredmények: A: 4 és, 2 és, ill. B: ± 6, 3 ± 6.. 2

13 6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Ismétlés. Vektor fogalma. Egy P pontot gyakran azonosítunk az OP vektorral. Vektor megadása: sor vagy oszlop. Pontok távolsága síkon ill. térben, polárkoordináták. Szögek értelmezése radiánban dimenziótlan, szögfüggvények. Írjuk fel az alábbi szögek radián értékét, ill. sin, cos és ha van tg értékeiket: 0, 30, 45, 60, 90, 50, 80, 270, 360. Periodikusság: sin α = sinα + 2kπ k Z, és cos-ra is. Példa: a Föld sugarának meghatározása. Eratoszthenész meggyelése: ha a Nap Syenében pontosan delel kútban tükröz dik, akkor a 800 km-re lev Alexandriában 7, 2 -os szögben esik be. Ebb l a sugár 800 km/tg 7, 2 800/0, km. Elemibb út: 7, 2 = 360 /50, így a kerület = km. Háromszög további adatai 3 adatból sin- és cos-tétel. a Sin-tétel: sin α = b sin β = c sin γ. Cos-tétel. Mi lesz c 2 = a 2 + b 2 -tel, ha a derékszöget elrontjuk? c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Spec. esetek: γ = π/2 Pith.; γ = 0 c = a b. II. Feladatok.. a Milyen messze van a 3,-4 síkbeli pont az origótól? b Mekkora a 2,-3 és 7,9 síkbeli pontok távolsága? c Mekkora a 2,,- és 4, -2, térbeli pontok távolsága? 2. a Mekkora egy derékszög háromszögben az a befogó, amely 45 -os szöget zár be a mellette lév 0 cm hosszú átfogóval? b Mekkora egy derékszög háromszögben az az átfogó, amely 60 -os szöget zár be a mellette lév 3 cm hosszú befogóval? c Egy 40 m hosszú híd egyik hídf jénél állva a másik parton álló lámpaoszlopot a híddal 30 -os szöget bezáró irányban látjuk. Milyen messze van a lámpaoszlop a másik hídf t l? Feltesszük, hogy a híd és a part is egyenes, és mer legesek egymásra. 3. Adjuk meg az,- 3, a 0,3 és a 2,2 pontok polárkoordinátáit a Egy háromszög egyik oldala 0 cm hosszú, a csúcsainál lév szögek 60 és 45. Mekkora a másik két oldal? b Egy 60 -os útelágazástól A falu 7 km-re, B falu 4 km-re van egyenes úton, rajz. Mekkora A és B távolsága? kb. 6,08 km 5. a Számítsuk ki néhány tetsz legesen felírt vektor skaláris szorzatát! Két-két 2 és 3 dimenziós példa. b Számítsuk ki két-két tetsz legesen felírt 3 dimenziós vektor vektoriális szorzatát! 3

14 Házi feladatok.. a Mekkora a 2,- és 5,3 síkbeli pontok távolsága? b Mekkora az egységkocka testátlója? 2. a Egy 0 -os emelked n megtett út végén egy autó km-órája 2500 m-vel mutat többet. Mennyivel került magasabbra? b Egy 000 m magas fennsíkon állva az Ararát 40 km-re lév csúcsát vízszinteshez képest 6 -os szögben látjuk. Ez alapján milyen magas a csúcs tengerszint felett? c Egy egységnégyzet alapú négyzetes oszlopot elmetszünk egy 30 -os szögben emelked síkkal. Mekkora a síkmetszet területe? 3. a Adjuk meg az, 3, a -4,0 és a -,- pontok polárkoordinátáit. b Jelölje r és ϕ a síkbeli pontok polárkoordinátáit. Ábrázoljuk az r = 2, ϕ = π 4 koordinátájú pontot, ill. a C := {r, ϕ : r =, ϕ [0, 2π} halmazt! 4. a Egy 45 -os útelágazástól A város 0 km-re, B város 5 km-re van egyenes úton. Mekkora A és B távolsága? b Egy A-ból induló egyenes f útról a 3. km-nél jobbra 5 -os szögben ágazik el egy szintén egyenes út. Ezen 6 km után érünk B-be. Milyen messze van légvonalban A és B? c A Föld-Hold távolság 382,5 ezer km. Egy üstökös a Földr l nézve a Holddal 73 -os, a Holdon lév rállomásr l nézve a Földdel 06 -os szöget zár be. Milyen messze van a Földt l? 5. Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris és a c-d esetben vektoriális szorzatát! a a =, 2, b = 7, ; b a =, 2, b = 3, ; c a =, 2, 0, b = 3, 4, ; d a = 3,, 2, b =, 4, Számítsuk ki az alábbi vektorok által bezárt szöget! Útmutatás: cos γ = a b, ebb l egyértelm γ [0, π]. a b i a = 3, + 3, b = 4, 4; ii a =, 2, b = 6, Mutasuk meg a kiszámítási képletb l, hogy bármely térvektorra a a = 0. 4

15 7. Függvények I. Kompozíció fogalma x gx fgx, "két gép egymás után". Példák.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! a fx := x + 4 x 4 és gx := x2 ; b fx := x 2 + e x és gx := 3x; c fx := x 2 és gx := x; d fx := x 3/2 és gx := x ; e fx := 2x és gx := 3x; f fx := 2x 3 és gx := x Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! fx := 0 x, gx := x és hx := x Szemléltessük az alábbi példákon, hogy általában f g g f! a fx := x 2 és gx := x + ; b fx := sin x és gx := 2x. 4. Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! a fgx = e 2x, b fgx = lnx 2, c fgx = x 3 2, d fgx = sin 2 x, e fgx = 4 + x, f fgx = 3x. 5. Az fghkx = + cos 2 x kompozíciófüggvény esetén adjuk meg, melyik az f, g, h ill. k függvény! II. Inverz fogalma: ha f injektív, akkor y f y az fx = y egyenl ség egyetlen x megoldása y R f esetén. A képlet kiszámítása után persze áttérhetünk x változóra! Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! a fx := x 3 2x + x R, x /2; b fx := x x R; c fx := e 3x x R. III. Függvények ábrázolása.. Elemi függvények. Hatvány, exp, log: ismételjük át az 5. el adás III.a-b rajzait. Sin, cos grakonja. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! fx := x 6, x 5, x 5/2, x 4/3, x 2/3, x /4, x /2, 3 2 x, 2 5 x, 4 x, lg x. 2. fx + c, fx + c, c fx, f x, fc x ábrázolása, pl. a sin-függvényen. 3. Egyes térer sségek leírhatók az fr := c függvénnyel, ahol c > 0 állandó. r 2 Ábrázoljuk az f függvényt pl. c = 2 esetén! 5

16 Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! a fx := x2 + x és gx := ex ; b fx := x 2 és gx := sin x + 2; c fx := 2 x és gx := log 2 x; d fx := x és gx := x Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! fx := 4x, gx := x és hx := 2 x Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! a fgx = cos 3x, b fgx = lnsin x, c fgx = x + 5 3/2, d fgx = e x. 4. Az alábbi kompozíciófüggvények esetén adjuk meg sorrendben a kompozíció tagjait! a cos 2 4x, b 3x 2, c + x 2 5/2, d 0 2x. 5. Igaz-e az alábbi függvényekre, hogy f g = g f? a fx := cos x és gx := x 2 ; b fx := e x és gx := ln x. 6. Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! a fx := 2x + x R, x ; b fx := 5 2 x 2 +6 x R. x 7. Mutassuk meg, hogy az fx := x 2 2x függvénynek nincs inverze, de az, félegyenesre vett lesz kítésének már van. 8. Egy gáz állapotegyenlete pv = 0.02T, ahol p, V és T rendre a nyomás, térfogat és h mérséklet. Ábrázoljuk a V = 0.0 rögzített térfogat esetén a pt függvényt; b T = 00 rögzített h mérséklet esetén a pv függvényt! 9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! fx := x 3/2, x + 2, x 2/3, 2x 3/4, x + 4, cos 3x, 3 cos x, 2 x, 3 x, ln x, log 2 3 x 6

17 8. Végtelen számsorozatok. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat a n. Példa: az /n sorozat:, /2, /3... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije a sorozatnak? Sorozat határértéke: lim a n = A R, ha ε > 0 N = Nε N + : n > N esetén a n A < ε. A paraméterek jelentése: ε hibahatár akármilyen kicsi lehet, N küszöbindex. A sorozat tehát bármilyen kis hibahatáron belül megközelíti A-t elég nagy n-re. A " N = Nε N + : n > N esetén" kitétel lazábban: "elég nagy n-re". Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor a n konvergens. 2. Példák. Írjuk fel az els néhány tagot, és rajzoljuk fel szemléletesen a számegyenesen mind a sorozatot, mind a limeszt. Az absztrakt deníciót nem használjuk, a cél ehelyett az lesz, hogy a szemlélet számára világossá tegyük a fogalmat. a a n := n 0. b a n := n 2 0. c a n := n2 + = + n 2 n 2. d a n := 2 n 0. e a n := 2 n 0. "Ugrálva" tart. f a n := 5 n konstans sorozat limesze is 5. g Nem minden sorozat konvergens. Pl. a n := n : nincs határértéke divergens. 3. M veletek: ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lima n + b n = A + B, lima n b n = A B, lima n b n = A B, ha B 0: lim an b n = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. Szemléletesen mindez azért igaz, mert elég nagy n-re a n A és b n B. Példák: lim 2n+ 3n 5 = lim 2+ n 3 5 n 4. mint határérték. Csak szemléltetünk. Pl.: a n := n 2 + ; = 2 3 ; lim 5 + n = 5. a n := 2 n ; a n := 2 n -nek végtelen limesze sincs. 5. Fontos határértékek: +, ha α > 0; lim n α =, ha α = 0; 0, ha α < 0; lim q n = 7 +, ha q > ;, ha q = ; 0, ha q < ;, ha q.

18 Példák: lim n = lim n /2 = +, lim 3 n = lim n /3 = 0, lim 2 3 n = 0, lim 4 n = lim 4 n = 0, lim 3 n = Szabályok végtelen limeszre. i Rendezés: ha lim a n = + és n-re b n a n, akkor lim b n = +. Hasonlóan -re, ha b n a n. Példa: lim n 2 + n + 2n n + 3 n +, mert bn := n a n := n 2 +. ii M veletek. Összegsorozat: ha lim a n = + és lim b n R vagy +, akkor lima n + b n = + ; ha lim a n = és lim b n R vagy, akkor lima n + b n = ; ha lim a n = + és lim b n = v. fordítva: lima n + b n bármi lehet. Példák: limn 2 +2n = +, lim n n =, lim[ n+ 2 n 2 +2n ] =, lim [ n + 8 n ] = 8. Az utóbbiaknál rossz lenne "+ + = 0". Szorzatsorozat: ha lim a n = + és lim b n = B > 0 vagy +, akkor lima n b n = + ; ha lim a n = + és lim b n = B < 0 vagy, akkor lima n b n = ; ha lim a n = + és lim b n = 0: lima n b n bármi lehet. Ha lim a n = : ugyanezek fordított el jelekkel. Példák: lim + n 2n = +, lim n 3 2 n = +, lim 2 n = 2. n Az utóbbinál rossz lenne "+ 0"-ra eredménynek + vagy 0. Reciproktáblázat: lim a n = + vagy := 0 és a n > 0 0 := 0 és a n < 0 lim a n = 0 nem tudjuk + Példák: lim = 0, lim n 2 +2n = + ; hányados: lim n4 n + 3 n + 3 n 2 = +, lim 4 n 2 = 7 rossz lenne " 0 =. n 2 0 n 7. Racionális törtfüggvények limesze. Formálisan ". Módszer: a legnagyobb kitev j taggal egyszer sítünk. Példák: lim n2 +2n 3n 2 +n 5 = 3, lim n n 2 + = 0, Házi feladatok. lim 4n3 n 2 +2n = +. Létezik-e, ha igen, mennyi? Ismert limeszek + a szabályok alapján lehet megoldani. a lim n, lim 3 n, lim n 3/2, lim 4 3 n, lim 3 4 n, lim 2 3 n, lim 3 n, lim π n b lim n 4 n 2, lim 3+ 2 n 5 n 3. c lim 2+ 3 n n, lim n+2 2 n+ 2, lim n3 4 n n, lim 2 n 3 n 2, lim n 2 +4n+3, lim n 2 4n + 3, lim n n, lim n n 2. d lim 3n+5 7n 4, lim n2 + n 2, n2 lim, lim n2 +3, 2n+3 2 n 3 8 lim 2n2 n 3n 2 +0n, lim n + 2 n n 2.

19 9. Végtelen sorok. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példák: a rajzon, számegyenesen: n +... = 2. b /3 tizedestört-alakja. Mit jelent az, hogy 0, ? Végtelen sor összege. Egy sort konvergensnek deniáltunk, ha az s n := n a k szeletek sorozata konvergens; k= ekkor a sor összege lim s n. Más indext l is indulhat. Célok: egy adott sor konvergens-e; ha lehet, számítsuk ki az összegét. 2. Fontos példák. a A q n mértani sor. Ez q < esetén konvergens, és 0 indext l vett összege q n := lim s n = lim n q k = lim qn+ =, azaz + q + q q q =. q k=0 Pl. az el bb, q = /2. Ha q, akkor a sor divergens. Példák: 2 i. n = 2 3 n 3 n = = 3, hiszen q = 2 = 2 < ii = n = = 2, hiszen q = = < iii. 2 n +3 n 5 n = 2 n + 3 n = 5 n 5 n = iv. 5 3 n divergens, hiszen q = 5 >. Itt a sorösszeg +, hiszen -nél nagyobb 3 számokat adunk össze. v. vi. 5 3 n divergens, hiszen q = 5 3 = 5 3 n 3 n 5 n = 3 5 n = = 5 8, hiszen q = 3 5 <. Vigyázat, nem tagonként szorzunk! Azaz pl. nem vii. Legyen q < adott szám, N adott egész. >. Vigyázat: hiába q <! n=n n 5 n q n =? 3 n.... megoldás: q N + q N+ + q N = q N + q + q = qn q. 2. megoldás: n=n b Hipergeometrikus sor: q n = n= q n N q n = qn q q = qn q., ahol α > 0 rögzített szám. n α Áll. biz. nélkül: α > esetén konvergens, α esetén divergens. Pl. n= divergens ezt láttuk az ea-n, de pl. n n= 3. Konvergenciavizsgálat: egy adott a n sor konvergens-e? Itt nem muszáj kezd indexet írni, mert nem számít. 9 n 2 konvergens.

20 a Szükséges feltétel: a n 0. b Kritériumok. Nem elégséges, pl. a n := /n. Gyökkritérium. Ha lim n a n =: q: q < absz. konv., q > div. Hányadoskritérium. Ha lim a n+ a n =: q: " Ha van ilyen q, akkor ugyanaz jön ki mindkét kritériummal amelyre elég nagy n-re a n c q n ; a hányadoskritériumot általában könnyebb kiszámolni! Ha ezek nem m ködnek pl. mert q =, akkor mással próbálkozunk, pl. ha felismerjük, hogy hipergeom. sor, akkor α-tól függ en konv. vagy div.; ha a n konvergens, akkor a n is konvergens; ha nem teljesül a szükséges feltétel, azaz ha a n 0, akkor a sor div. Példák: i n 2 2 n konv.-e? Hányadoskritérium: a n+ a n = n+2 2 n+ 2n n 2 = + n < konv. ii n nn+ konv.-e? 3 n a Hányadoskritérium: n+ a n = n+n+2 3 n = n+2 < konv. 3 n+ nn+ n 3 3 iii n 5 n 3 n konv.-e? Hányadoskritérium: a n+ a n = 5n+ 3 n+ 3n 5 n = 5 3 > div. Észrevétel: ez egy divergens geometriai sor, q = 5 mellett. Már néztük is. 3 a Megj.: fontos az abszolút érték! Rossz megoldás: n+ a n = 5 < konv. 3 iv konv.-e? n 3 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Mivel hipergeom. sor, ahol a kitev α = 3 >, így konv. v n konv.-e? n 2 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Abszolút értéke hipergeom. sor:, amely α = 2 > miatt konv. az eredeti sor is konv. n 2 Házi feladatok.. Konvergens-e a sor? Ha igen, mennyi az összege? a b 3 n c 3 n d 3 n 2 n e 4 n 4 n 2 n 4 n g 2-t l indul! h 3 n 3 n+2 n=2 n 4 n f 2 n 2. Értelmezzük és bizonyítsuk be a szemléletesen ismert = egyenl séget! 3. Konvergens-e a sor? a n b n 3 2 n c n 5 7 n d 2n+2n+3 e n n 2 n 5 n 3 n 6 n 4 n 2 f 2 3n+0 g 3 n h n 3 n i j n k n2 +3n 3 2n+ n! 2 n n+! n 4 n 3 l n m n n 20

21 0. Egyváltozós függvények deriválása. A derivált fogalma és geometriai jelentése példákon. i Vezessük le: fx := x 2 dierenciálható bármely a-ban, éspedig f a = 2a. Rajzoljuk fel az a-beli érint t, és szemléltessük, hogy f a értéke ennek meredeksége. Pl. az a = pontban: f = 2, azaz az -beli érint meredeksége 2. Az érint egyenlete: meredeksége 2. l + h = f + f h = + 2h, ez átmegy, -en és Ennek jelentése közelítés szempontjából: f = l =, és kis h-ra f + h l + h, azaz + h 2 + 2h. Ez az f lineáris közelítése a = körül. Konkrétan most az is látszik, hogy h 2 -et hagytuk el. ii Deriváltfüggvény: f x = 2x x R. iii Példák nem deriválható függvényre csak a geometriai jelentést szemléltessük: fx := x az a = 0 pontban: nincs érint, mert töréspontja van; fx := 3 x az a = 0 pontban: nincs véges meredekség érint. 2. A továbbiakban a deriváltfüggvény kiszámításával foglalkozunk, azaz fx képletéb l f x képletét állítjuk el. Felidézend ld. ea: fx := x α, e x, ln x, sin x, cos x deriváltja. Jelölés: f x helyett néha fx -t írunk, pl. e x = e x. 3. Deriválási szabályok ea-ról felidézend. i Összeg, szorzat, hányados deriváltja. Pl. deriváljuk: e x + sin x, x, x 2 x3/2 4 ln x, x 2 sin x, x 3 e x ln x, 3x sin x x2. cos x 3x 4, x sin x, ii Kompozícióderivált ea-ról felidézend. Néhány spec. esete: g α = αg α g, pl. g 2 = 2gg, g = g, g 2 ln g = g g, eg = e g g, fcx = c f cx, pl. f x = f x, fx 2 = f x 2 2x. Több tagra: fghx = f ghx g hx h x láncszabály. Példák: sinx 2, sin 2 x, e cos x, ln + x 2,, sin 2x, cos x e x, 2x + 3, 3x, x + x 2,, x deriváltja. cosx 3 esin2 iii Alkalmazások néhányat vezessük le: tg x =, cos 2 x ctg x =, sin 2 x sh x = chx, ch x = shx, th x =, ch 2 x cth x = ln x = negatív x-re is. x 2 sh 2 x.

22 Ha a > 0, akkor a x = e ln a x = e ln a x ln a = a x ln a. Ha a > 0, a, akkor log a x = ln x ln a =. x ln a iv Szorzatderivált több tagra. Vezessük le: fgh = f gh + fg h + fgh stb. Pl.: x e x sin x 4. Inverz deriváltja: y = fx esetén f y =. f x Példa: legyen x [ π, π ], és y = sin x [, ]. Ekkor cos x 0, így 2 2 arc sin y = cos x = sin 2 x = y 2. Hasonlóan jön ki: arc tg y = +y Deriválttáblázat: lásd pl. benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: fx := x α, a x, log a x, sin x, cos x, tg x, ctg x, arc tg x, sh x, ch x, th x, cth x deriváltját. A többi arc és az area függvényekét csak táblázatból. A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. Házi feladatok.. Adjuk meg fx := x 3 érint jének meredekségét az, pontban. Írjuk fel az érint egyenletét. Mely c, d R mellett érvényes a legjobb + h 3 c + dh lineáris közelítés h 0 esetén, és mi köze ennek az a = pontbeli deriválthoz, ill. érint höz? 2. f x =?, ha fx =... x 4, x 3, x,, x x, 3x 5 4x x 2 3 x, 2 x, x, 4 3 cos x 5 sin x, e x sin x, x 5 cos x, xe x, x ln x, x 2 x+ log 2 x,, sin x, x, x 2 4x 3, x 2, shx, x sin x cos x, x 2 4 x cos x ln x chx x 3/2 ln x, ln 4x, lnx 2 +3x 4, ln cos x, e x, e x2 2, x+ 5/2, 3x+ 5/2, cos 4x, tg x, ctg x, lg 5x, e x sin x, 2 + x2, x 2 5/2, +x 4,, x x x,,, x 2 +x 2 +x 2 x e +x 2,, 2x, x ln, xe 2x, lnx + + x x 2 3/2 e 2x + +x +x 2, arcsin x, arc tgx 2, arc tg x, x arc tg x ln + x a Legyen c > 0 állandó, fx := lncx. f x =?, hogyan függ ez c-t l és miért? b x x =? Útm.: x x = e ln x x. 22

23 I. Taylor-polinomok.. Taylor-polinom és -sor. Cél: polinommal közelíteni fx-et. Pl. ha sin x-et polinommal közelítjük, akkor tetsz leges értéke közelít leg kiszámítható míg a pontos érték nem, a számológép is ezt teszi. A megfelel közelítések az ún. Taylor-polinomok ld. el adás: T n x := n k=0 f k a k! x a k = fa + f ax a + f a 2 x a f n a n! x a n. Megj.: T n a = fa, T na = f a,..., T n n a = f n a. Tehát az a pontban egyre jobban simul f-hez, ha n-et növeljük. Példák az a = 0 pontban: a e x esetén T x = + x, T 2 x = + x + x2 rajzzal, 2!..., T n x = + x + x xn. 2! n! b fx := + x esetén f x = 2 +x /2, f x = 4 +x 3/2, így f0 =, f 0 = és f 0 =. Ebb l T 2 4 2x = + x x II. Hatványsorok, Taylor-sor.. Hatványsorok konvergenciája.. példa: tekintsük a x n = + x + x formális sort, ahol x R. Ekkor hatványfüggvényeket adunk össze, ezért ezt a sort hatványsornak hívhatjuk. Kérdés: mely x esetén konvergens? Tudjuk a választ x helyett q-val láttuk: ha x <. A sor összegét is tudjuk:, ez most az összegfüggvény. x Általában: hatványsornak egy c n x n sort hívunk, ahol a c n -ek adott számok. Kérdés: mely x R esetén konvergens? 2. példa: n+ 3 n x n. Ekkor a n := n+ 3 n x n mellett a n+ a n = n+2 3 x n+ 3 x. Tehát: ha 3 x <, azaz ha x <, akkor konvergens a sor. Ha x >, akkor 3 3 divergens. Ha x =, akkor még nem tudjuk. 3 Megj.: ez általában is így van lásd ea.: i R R + lehet R = + is, hogy a sor konvergens, ha x < R, és véges R esetén divergens, ha x > R. ii Az x = ±R pontokban a sor lehet konv. és div. is. Mostantól a R, R ún. nyílt konvergenciaintervallumot fogjuk keresni. A példában ez 3, 3. 23

24 2. Taylor-sor. Itt találkozik a két fogalom hatványsor, ill. Taylor-polinom: i A hatványsoroknál a sor adott, és azt néztük, mely x-re értelmezhet összegfüggvény. Fordítva: adott függvény melyik hatványsor összege? ii Mit tesz a Taylor-polinom, ha n? Mindkett re a válasz: a Taylor-sor, k=0 f k a k! x a k. Taylor-sorba fejtés: a szummákat néhány els taggal is szemléltessük a Ismert sorok: ha x <, akkor x = x R esetén e x = b Szorzás, hatvány: ha x R: x e 2x = x n, cos x = n! pl. n x2n 2n!, x n ; 2 n x n+ n!, ha x < : +x = sin x = n x2n+ n x n. 2n+!. Megj.: egy függvény Taylor-sorát gyakran nem tudjuk felírni, mert a szükséges f n x képletek elbonyolódnak. Adott n-re viszont a Taylor-polinom mindig felírható, mint közelítés, és ez bármilyen pontos lehet, ha n elég nagy. Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi függvények adott Taylor-polinomjait az a = 0 pont körül: a fx := e 2x esetén T 2 x, c fx := ch x esetén T 4 x, b fx := sin x esetén T 3 x, c fx := 4 x esetén T 2 x. 2. Adjuk meg az alábbi hatványsorok nyílt konvergenciaintervallumát. 4 n x n, x 2n 4 n, n xn, nn+ 3. Fejtsük Taylor-sorba a 0 pont körül: Ha x R: fx := e x, fx := x 2 sin x, ha x < : fx := x 2. 2 n x n n!. 24

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben