Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával"

Átírás

1 Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma Összes gyakoriság Elfogadható-e 95%-os szignikancia szinten, hogy az érmék szabályosak? Megoldás: Feltételezésünk az, hogy az érmék szabályosak (mindegyiken 1 valószín séggel dobunk fejet). A mintaelemek száma n = 0 (0 kísérletet hajtottunk végre), a mintaelemeket a dobott fejek száma szerint osztályoztuk, r = 5 csoportba soroltuk. A dobott fejek számát tekintjük az ξ valószín ségi változónak. Ha helyes a feltételezésünk, akkor ξ binomiális eloszlású valószín ségi változó n = 4, p = 1 paraméterekkel. A paraméterek elméleti értékek, ebben a feladatban nem a mintából becsüljük a várható értéket, így tiszta illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. A hipotézisvizsgálat során azt kell eldöntenünk, hogy a meggyelt valószín ségi változó (a dobott fejek száma), a minta alapján tekinthet -e adott paraméter binomiális eloszlásúnak. Ennek alapján a próba illeszkedésvizsgálat. El ször meg szeretnénk határozni azt, hogy ha az érmék szabályosak, akkor az egyes osztályokba hány mintaelemet várnánk. Számítsuk ki a dobott fejek számának lehetséges értékeihez tartozó valószín ségeket (azaz írjuk fek ξ eloszlását)! ( ) 4 1 p 0 = P (ξ = 0) = = 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) p 1 = P (ξ = 1) = 1 ( ) ( ) ( ) p = P (ξ = ) = ( ) 3 ( ) 1 ( ) p 3 = P (ξ = 3) = 3 ( ) 4 1 p 4 = P (ξ = 4) = = 1 = 4 = 6 = 4 A kiszámolt valószín ségek alapján meg tudjuk mondani, hogy mennyi az egyes osztályokba es mintaelemek elvárt gyakorisága, azaz a binomiális eloszlás fennállása esetén átlagosan hány mintaelem esik az egyes osztályokba. Ehhez nincs más dolgunk, mint a fenti valószín ségekkel szorozni a mintaelemek számát (np i ) (tehát pl. a 0 kísérletb l átlagosan p 0 = 1 0 = 10 esetben kapunk olyan dobáseredményt, ahol a négy dobás egyike sem fej). Az utolsó oszlopba a megfelel helyre a sorösszeg kerül. Az áttekinthet bb számoláshoz az alábbi táblázatot hozzuk létre: 1

2 dobott fejek száma meggyelt gyakoriság: µ i elvárt gyakoriság: np i A hipotézisvizsgálat lépései ezután az alábbiak: (µ i np i ) összeg (µ i np i ) )/(np i ),5 0,65 0,87 0,05 0,4 4,3667 A feltételezésünk most az, hogy az érmék szabályosak, a dobott fejek száma binomiális eloszlású, ( 4, 1 ) paraméterekkel. A próba illeszkedésvizsgálat, χ -próbával. A próbastatisztika mintából számított értéke a táblázatunk utolsó sorában szerepl értékek összege, azaz 4,3667. A próba egyoldali χ -próba. A kritikus értéket a χ -eloszlás táblázatából olvashatjuk ki, r 1 = 5 1 = 4 szabadsági fok (amely az osztályok száma mínusz 1) és 0, 95 valószín ség mellett. Ez a jegyzet χ -eloszlás táblázatában a negyedik sor, els oszlopban található χ t = 9, 49 érték. (A kritikus tartomány ábráján a korábban megszokott jelölésekkel látható, hogy a próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik.) 4,3667 < 9,49, a próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk 95%-os szignikanciaszinten. Ez azt jelenti, hogy az adott minta alapján elfogadható, hogy az érmék szabályosak.. feladat (becsléses illeszkedésvizsgálat) Egy focicsapat meccenként l tt góljainak számát az alábbi táblázat tartalmazza:: l tt gólok száma meccsek száma Modellezhet -e a meccsenként l tt gólok száma olyan Poisson-eloszlású valószín ségi változóval, melynek várható értéke a fenti értékekb l számolt meccsenkénti gólátlag? Megoldás: A feladat megoldása során több lépésre különösen oda kell gyelni, ezért érdemes alaposan áttanulmányozni a megoldást! Els ként vegyük észre a követez t: a véges mintánkat akarjuk modellezni egy olyan valószín ségi változóval, amelynek végtelen sok lehetséges értéke van (tudjuk, hogy egy Poisson-eloszlású valószín ségi változó tetsz leges nemnegatív egész értéket felvehet). Felmerül a kérdés, hogy ezt megtehetjük-e? A focicsapatunk hétnél több gólt egyetlen mérk zésen sem l tt. Ha Poisson-eloszlásúnak tekintjük a l tt gólok számát, akkor viszont az eloszlásból a hétnél több l tt gól valószín sége nem nulla lesz. Mit tehetünk ilyen esetben? Megnézzük, hogy a Poissoneloszlásból mekkora valószín ség-et kapunk a 7-nél több gólra. Ha ez a valószín ség kell en kicsi (majdnem 0), akkor elhanyagolhatónak tekintjük. Ekkor modellezhetünk a végtelen eloszlással. (Emlékezzünk a valószín - ségszámítás tanulmányainkból a binomiális eloszlás Poisson-eloszlással való közelítésére!) A mintaelemek száma n = 100 (összesen 100 mérk zés eredményét osztályoztuk a táblázatban), a mintaelemeket a l tt gólok száma szerint osztályoztuk, r = 8 csoportba soroltuk. A l tt gólok számát tekintjük az ξ valószín ségi változónak. Azt feltételezzük, hogy ξ Poisson-eloszlású valószín ségi változó, melynek λ paraméterét a mintából számolt átlaggal becsüljük, így becsléses illeszkedésvizsgálatot

3 hajtunk végre. A feladat szerint a ξ várható értéke az összesen l tt gólok számának és az összes meggyelt mérk zés számának hányadosa: M(ξ) = = =,3 A hipotézisvizsgálat során azt kell eldöntenünk, hogy a meggyelt valószín ségi változó (meccsenként l tt gólok száma) a minta alapján tekinthet -e λ =,3 paraméter Poisson-eloszlásúnak. Ennek alapján a próba becsléses illeszkedésvizsgálat. El ször nézzük meg, a Poisson-eloszlásból mekkora valószín ségeket kapunk a l tt gólok számának lehetséges értékeihez. p 0 = P (ξ = 0) =,30 0! p 1 = P (ξ = 1) =,31 1! p = P (ξ = ) =,3! p 3 = P (ξ = 3) =,33 3! p 4 = P (ξ = 4) =,34 4! p 5 = P (ξ = 5) =,35 5! p 6 = P (ξ = 6) =,36 6! e,3 = 0,1003 e,3 = 0,306 e,3 = 0,65 e,3 = 0,033 e,3 = 0,19 e,3 = 0,0538 e,3 = 0,006 p 7 = P (ξ = 7) =,37 e,3 = 0,0068 7! p 8 = P (ξ > 7) = 1 P (ξ 7) = = 1 (P (ξ = 0) + P (ξ = 1) P (ξ = 7)) = 0,005 A kiszámolt valószín ségek alapján meg tudjuk mondani, hogy mennyi az egyes osztályokba es mintaelemek elvárt gyakorisága, azaz a Poisson-eloszlás fennállása esetén átlagosan hány mérk zés esik az egyes osztályokba. Ehhez nincs más dolgunk, mint a fenti valószín ségeket szorozni a mintaelemek számával (np i ) (tehát pl. 100 mérk zésb l átlagosan µ 0 = 0, = 10,03 esetben lesz a l tt gólok száma 0). Azt látjuk azonban, hogy a 6 és 7 l tt gólhoz tartozó elvárt gyakoriságok értékei nem érik el az ötöt (µ 6 = 0, =,06, µ 7 = 0, = 0,68). Illeszkedésvizsgálatnál ugyanakkor nem lehet az elvárt gyakoriságok celláiban 5-nél kisebb szám, mert az a próba képletében az összeadandó tagok széls ségesen nagy értékei miatt potenciálisan torz eredményre vezetne. Cellaösszevonással érhetjük el, hogy a cellaértékeink megfelel ek legyenek. Módosítsuk úgy az eredeti táblázatot, hogy az utolsó oszlopokat összevonjuk. Nem elegend csak az utolsó két oszlopot összevonni, mert a cellaérték az összevonás után is kisebb 5-nél (0,06 + 0,68 =,74), így az utolsó három oszlopot vonjuk össze (az összevonást már a meggyelt gyakoriságok kis értéke alapján is megtehettük volna, a 6 és 7 gólhoz tartozó mérk zések kis száma miatt). Ugyanakkor p 8 = 0,005 közel nulla (a legalább 8 gólhoz tartozó elvárt gyakoriság 0,5), így közelíthetünk végtelen eloszlással. Ezt a gyakoriságot is az utolsó (összevont) oszlophoz vonjuk. Az áttekinthet bb számoláshoz a kiindulási táblázatot egészítsük az alábbiak szerint: l tt gólok száma legalább 5 meggyelt gyakoriság: µ i elvárt gyakoriság: np i 10,03 3,06 6,5 0,33 11,69 8,37 (µ i np i ) 15,7609 5,6036 6,1504 5,489,8561 6,99 Összeg (µ i np i ) )/(np i ) 1,5713 1,1103 0,319 0,670 0,443 0,864 4,51 3

4 A hipotézisvizsgálat lépései ezután: A feltételezésünk most az, hogy a meccsenként l tt gólok száma λ =,3 paraméter Poisson-eloszlású valószín ségi változó. A próba illeszkedésvizsgálat, χ -próbával. A próbastatisztika mintából számított értéke a táblázatunk utolsó sorában szerepl értékek összege, azaz 4,51. A próba egyoldali χ -próba. Az eloszlás szabadsági fokára viszont gyelnünk kell! A feltételezett eloszlás paraméterét (várható érték) az adott mintából számolt értékkel (átlaggal) közelítettük. Ekkor a próba szabadsági foka még eggyel csökken, azaz nem osztályok száma (az összevont táblázatban!) mínusz egy, hanem osztályok száma mínusz lesz!!! A kritikus értéket a χ -eloszlás táblázatából olvashatjuk ki, 6 szabadsági fok és 0,95 valószín ség mellett. Ez a jegyzet tχ -eloszlás táblázatában a negyedik sor, els oszlopban található χ t = 9,49 érték. (A kritikus tartomány ábráját felrajzolva a korábban megszokott jelölésekkel látható, hogy a kritikus érték az elfogadási tartományba esik.) 4,51 < 9,49, a próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk, 95%-os szignikanciaszinten. Ez azt jelenti, hogy az adott minta alapján modellezhet a meccsenként l tt gólok száma olyan Poisson-eloszlással, melynek paramétere a mintából számolt átlag. 3. feladat (becsléses illeszkedésvizsgálat) Egy gyártósornál rendszeresen 5 elem mintát vesznek a termékekb l. Egy hét alatt 500 mintát vettek. A mintákban talált selejtek gyakorisága az alábbi volt: selejtek száma gyakoriság Modellezhet -e a mintában lev selejtek száma olyan binomiális eloszlással, melynek várható értéke a fentiekb l számolt átlag? Megoldás: Az egyes mintákban lev selejtek számát tekintjük az ξ valószín ségi változónak. Azt feltételezzük, hogy ξ binomiális-eloszlású valószín ségi változó, melynek várható értékét a mintából(!) számított átlaggal becsüljük (becsléses illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre) oly módon, hogy az összes kihúzott selejt számát osztjuk a kísérletek számával: M(ξ) = = = 1,044 A mintaelemek száma n = 500 (500 kísérletet hajtottunk végre), a mintaelemeket a kihúzott selejtek száma szerint osztályoztuk, ezzel r = 6 csoportba soroltuk. Ha ξ-t binomiális eloszlással akarjuk modellezni, ismernünk kell a binomiális eloszlás két paraméterét, az n kísérletszámot, amely 5, illetve a meggyelt esemény (selejthúzás) p valószín ségét. Ez utóbbi nem ismert, de a binomiális eloszlás várható értékb l becsülhetjük: az 1,044 = M(ξ) = n p egyenletb l p = M(ξ) n = 1,044 5 = 0,088 Az illeszkedésvizsgálathoz el ször meghatározzuk, hogy ha ξ binomiális eloszlású az n = 5, p = 0,088 paraméterekkel, akkor az egyes osztályokba átlagosan hány mintaelemet várunk. Számítsuk ki a kihúzott selejtek számának lehetséges értékeihez tartozó valószín ségeket! (Kiszámoljuk, hogy mekkora annak a valószín sége, hogy az 5 elem mintában éppen k darab selejt van, ahol k = 0, 1,, 3, 4, 5. Célszer minél több tizedes pontossággal számolni!). 4

5 p 0 = P (ξ = 0) = 0,791 5 = 0,31005 p 1 = P (ξ = 1) = 0, ,791 4 = 0, p = P (ξ = ) = 0,088 0,791 3 = 0,1593 p 3 = P (ξ = 3) = 0, ,791 = 0, p 4 = P (ξ = 4) = 0, ,791 1 = 0, p 5 = P (ξ = 5) = 0,088 5 = 0, A fenti valószín ségekkel szorozzuk a mintaelemek számát, így megkapjuk az i-edik osztályhoz tartozó elvárt gyakoriságot (np i ), (így pl. az 500 kísérletb l átlagosan p 1 = 500 0,4091 = 04,56 esetben kapunk olyan eredményt, ahol az 5 kihúzott termékb l pontosan egy selejtes). Az elvárt gyakoriságokat beírjuk a táblázatba: selejtek száma meggyelt gyakoriság elvárt gyakoriság A kapott elvárt gyakoriságok között azonban két 5-nél kisebb érték is szerepel, ami illeszkedésvizsgálatnál nem megengedett! Tehát cellákat kell összevonnunk. Mivel az utolsó két osztályban a várt gyakoriságok összege ( 3,75 + 0, = 3,95) kisebb 5-nél, ezért az utolsó három osztályt vonjuk össze. Ezzel az osztályok száma 4-re csökkent. Ezután a táblázatot az alábbiak szerint kitöltjük: selejtek száma v. 4 v. 5 összes meggyelt gyakoriság: µ elvárt gyakoriság: np i 155,03 04,56 107,97 3,44 (µ i np i ) 4, , ,709 5,9536 (µ i np i ) )/(np i ) 1,4455,9487 1,3404 0,1835 5,9181 A hipotézisvizsgálat lépései ezután az alábbiak: A feltételezésünk most az, hogy ξ binomiális eloszlású az n = 5 és p = 0,088 paraméterekkel. A próba illeszkedésvizsgálat, χ -próbával. A próbastatisztika mintából számított értéke a táblázatunk utoló sorában szerepl értékek összege, azaz 5,9181. A próba egyoldali χ -próba. A kritikus értéket a χ -eloszlás táblázatból olvashatjuk ki. A szabadsági fok a várható érték mintából való becslése miatt osztályok száma-, azaz 4 =, a szignikancia szint nem volt megadva, ezért a valószín séget a szokásos 0,95-nek tekintjük. Ez a jegyzet χ -eloszlás táblázatában a második sor, els oszlopban található χ t = 5,99 érték. (A kritikus tartomány ábráját felrajzolva látható, hogy a kritikus érték az elfogadási tartományba esik.) 5,9181 < 5,99, a próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk 95%- os szignikanciaszinten. Ez azt jelenti, hogy az adott minta alapján elfogadható, hogy dobott fejek száma binomiális eloszlású, n = 5, p = 0,088 paraméterekkel. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a számított és a kritikus érték nagyon közel van egymáshoz! 5

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban. Szentesi Péter

Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban. Szentesi Péter Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban Szentesi Péter Az orvosi munkahipotézis ellenőrzése statisztikai módszerekkel munkahipotézis mérlegelés differenciáldiagnosztika mi lehet ez a más

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

A.26. Hagyományos és korszerű tervezési eljárások

A.26. Hagyományos és korszerű tervezési eljárások A.26. Hagyományos és korszerű tervezési eljárások A.26.1. Hagyományos tervezési eljárások A.26.1.1. Csuklós és merev kapcsolatú keretek tervezése Napjainkig a magasépítési tartószerkezetek tervezése a

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

Kiegészítő tájékoztatás a 2015/S 167-304450 számú közbeszerzési eljáráshoz.

Kiegészítő tájékoztatás a 2015/S 167-304450 számú közbeszerzési eljáráshoz. Kiegészítő tájékoztatás a 2015/S 167-304450 számú közbeszerzési eljáráshoz. Kérdés 1. Elegendő T. Ajánlatkérő számára az egyéni vállalkozói igazolványom másolatának csatolása az egyéni vállalkozói jogi

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András

Az univerzális gráf. 1. Bevezet. Maga Péter, Pongrácz András Az univerzális gráf Maga Péter, Pongrácz András 1. Bevezet A véletlen gráfok elméleti és gyakorlati jelent sége egyaránt számottev. Az ismeretségi hálózatok, az internetes weboldalak kapcsolatrendszere

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Ajánlatkérési Dokumentáció. a Gyári új Hidraulika és pneumatika alkatrészek szállítása tárgyú

Ajánlatkérési Dokumentáció. a Gyári új Hidraulika és pneumatika alkatrészek szállítása tárgyú Ajánlatkérési Dokumentáció a Gyári új Hidraulika és pneumatika alkatrészek szállítása tárgyú Kbt. II. rész szerinti, uniós, nyílt közbeszerzési eljáráshoz K1605 Budapest, 2016. Oldal 1 / 62 Tartalomjegyzék:

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

Eötvös József Főiskola Műszaki Fakultás

Eötvös József Főiskola Műszaki Fakultás 1 Eötvös József Főiskola Műszaki Fakultás Vincze Lászlóné dr. Levegőtisztaságvédelem Példatár II. évfolyamos nappali tagozatos környezetmérnök, III. évfolyamos levelező tagozatos környezetmérnök hallgatók

Részletesebben

Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák

Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák A tanult paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Egymintás U próba Kétmintás U próba Egymintás T próba Welch próba (Kétmintás T próba) F próba Grubbs próba

Részletesebben

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal Vényírás Amennyiben sikeresen kitöltöttük és elmentettük a megvizsgált személy ápolási esetét, lehetőségünk van vény felírására, az alábbi módon; 1. ábra A gomb megnyomásával egy legördülő menü tárul elénk,

Részletesebben

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE Kezelési leírás 2015. Program azonosító: WUJEGYKE Fejlesztő: B a l o g h y S z o f t v e r K f t. Keszthely, Vak Bottyán utca 41. 8360 Tel: 83/515-080

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hermán Dániel Nyugdíjváromány el rejelzése egyéni paraméterek alapján MSc. szakdolgozat Témavezet

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére. 4.

A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére. 4. A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére 4. számú melléklet A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. e-matrica értékesítésére

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT NetworkShop 2004 2004.. április 7. Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT Bevezetés Ma használt algoritmusok matematikailag alaposan teszteltek

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás (11-12. lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba Szórás-kiegyenlítı

Részletesebben

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki A Közlekedési Főfelügyelet közleménye a nemzetközi forgalomban használt autóbuszok (M2 és M3 jármű-kategóriába tartozó gépkocsik) vizsgálatát (is) végző vizsgálóállomásokon alkalmazandó mérő-adatgyűjtő

Részletesebben

ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN. 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb.

ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN. 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb. ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb. 90 perc A játék elemei: 1 nagy játéktábla 4 játékostábla 32 hajó

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS. Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára

EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS. Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára Zagyvai Péter - Osváth Szabolcs Bódizs Dénes BME NTI, 2008 1. Bevezetés Az izotópok stabilak vagy radioaktívak

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Oktatási segédlet ACÉLSZERKEZETI ELEMEK TERVEZÉSE TŰZTEHERRE AZ EUROCODE SZERINT. Dr. Jármai Károly. Miskolci Egyetem

Oktatási segédlet ACÉLSZERKEZETI ELEMEK TERVEZÉSE TŰZTEHERRE AZ EUROCODE SZERINT. Dr. Jármai Károly. Miskolci Egyetem Oktatási segédlet ACÉLSZERKEZETI ELEMEK TERVEZÉSE TŰZTEHERRE AZ EUROCODE SZERINT a Nemzetközi Hegesztett Szerkezettervező mérnök képzés hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 2014-1 - 1 Bevezetés

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Iparművészeti Múzeum 1091 Budapest, Üllői út 33-37. KÖZBESZERZÉSI DOKUMENTUM 2016/S 091-162660. Budapest, 2016. május

Iparművészeti Múzeum 1091 Budapest, Üllői út 33-37. KÖZBESZERZÉSI DOKUMENTUM 2016/S 091-162660. Budapest, 2016. május Iparművészeti Múzeum 1091 Budapest, Üllői út 33-37. KÖZBESZERZÉSI DOKUMENTUM Szállítási szerződés Transzparencia program keretében szerver állomás kialakításához szükséges eszközök beszerzésére tárgyában

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

TOMORI PÁL FŐISKOLA SZABÁLYZAT A KOLLÉGIUMI JELENTKEZÉSEK ELBÍRÁLÁSÁNAK ELJÁRÁSI ÉS SZERVEZETI RENDJÉRŐL

TOMORI PÁL FŐISKOLA SZABÁLYZAT A KOLLÉGIUMI JELENTKEZÉSEK ELBÍRÁLÁSÁNAK ELJÁRÁSI ÉS SZERVEZETI RENDJÉRŐL TOMORI PÁL FŐISKOLA SZABÁLYZAT A KOLLÉGIUMI JELENTKEZÉSEK ELBÍRÁLÁSÁNAK ELJÁRÁSI ÉS SZERVEZETI RENDJÉRŐL Változat száma: 6. Elfogadás dátuma: 2015.július. 31. Határozat száma: 2015/3/4. Hatálybalépés napja:

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐK ÁLTALÁNOS ELŐÍRÁSOK HE 6/1-2005 Az adatbázisban lévő elektronikus változat az érvényes! A nyomtatott forma kizárólag tájékoztató anyag! TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

BUDAPEST KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT

BUDAPEST KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT BUDAPEST KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT 12/2002. (V. 7. ) sz. önkormányzati rendelete a szociális ellátások és a gyermekvédelmi támogatások helyi szabályozásáról szóló 9/2000. (III. 7.) sz. önkormányzati rendelet

Részletesebben

TERMIR PROGRAM (Termelés-irányítási program)

TERMIR PROGRAM (Termelés-irányítási program) TERMIR PROGRAM (Termelés-irányítási program) Bevezető A XXI. században a vállalatoknak elengedhetetlen a termelés hatékonyságának növelése. Manapság a gyorsan fejlődő informatika kulcs fontosságú szerepet

Részletesebben

A Mensa alapszabálya

A Mensa alapszabálya A Mensa alapszabálya [Elfogadva 1982-ben, módosítva 1982-ben, 1985-ben, 2005-ben és 2009-ben] I. A MENSA JELLEGE A. A Mensa nemzetközi egyesületi szövetség, amely nemzeti Mensákból és közvetlen nemzetközi

Részletesebben

1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK

1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK 1. ÁLTALÁNOS TERVEZÉSI ELŐÍRÁSOK Az országos és a helyi közutak hálózatot alkotnak. A közúti fejlesztési javaslatok a különböző szintű, az ötévenként, valamint a területrendezési tervek felülvizsgálatakor

Részletesebben

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16 Példák Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett

Részletesebben

Labor tápegység feszültségének és áramának mérése.

Labor tápegység feszültségének és áramának mérése. Labor tápegység feszültségének és áramának mérése. (Ezek Alkotó gondolatai. Nem tankönyvekbıl ollóztam össze, hanem leírtam ami eszembe jutott.) A teljességre való törekvés igénye nélkül, néhány praktikus

Részletesebben

Dél-Balatoni Sporthorgász Egyesület

Dél-Balatoni Sporthorgász Egyesület Dél-Balatoni Sporthorgász Egyesület változásokkal egységes szerkezetbe foglalt, 2012.03.25. napjától hatályos alapszabálya Az alapítók a Balatonlellén, 1997.03.07. napján jóváhagyott alapszabállyal, az

Részletesebben

A L A P S Z A B Á L Y. I. fejezet Az egyesület neve, székhelye, jogállása

A L A P S Z A B Á L Y. I. fejezet Az egyesület neve, székhelye, jogállása A SMaragd Kecskemét és Vonzáskörzete Sclerosis Multiplexes Betegeinek Egyesülete, 6000 Kecskemét, Vörösmarty utca 12. (Pk. 60.120/2004.) alapszabályának (a továbbiakban: alapszabály) az idıközi, valamint

Részletesebben

Plenárisülés-dokumentum

Plenárisülés-dokumentum EURÓPAI PARLAMENT 2009-2014 Plenárisülés-dokumentum 27.6.2013 A7-0240/2013 ***I JELENTÉS a fluortartalmú üvegházhatású gázokról szóló európai parlamenti és tanácsi rendeletre irányuló javaslatról (COM(2012)0643

Részletesebben

::Játéklap:: Társasjáték Portál

::Játéklap:: Társasjáték Portál Tervezte: Andreas Seyfarth Kiadja: Ravensburger Spieleverlag Postfach 18 60 D-88188 Ravensburger www.ravensburger.de alea Postfach 1150, D-83233 Bernau am Chiemsee www.aleaspiele.de info@aleaspiele.de

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

LELTÁROZÁSI SZABÁLYZAT

LELTÁROZÁSI SZABÁLYZAT GERJE-FORRÁ FORRÁS Természetvédelmi, Környezetvédı Nonprofit Kft. 2721 Pilis, Rákóczi út 67.. Tel: 29/496-768; Fax: 29/496-728 E-mail: gerjeforras@freemail.hu LELTÁROZÁSI SZABÁLYZAT Kelt: 2013. október

Részletesebben

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem Globális környezeti problémák és fenntartható fejlődés modul Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdasá Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

Mercs Erika. Matematikai módszerek a navigációban

Mercs Erika. Matematikai módszerek a navigációban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Mercs Erika Matematikai módszerek a navigációban BSc diploma Témavezet : Bérczi Kristóf Operációkutatási Tanszék Budapest, 213 Köszönetnyilvánítás Szeretnék

Részletesebben

ÚTMUTATÓ. a Nemzeti Civil Alapprogram 2009. évi pályázatainak szakmai és pénzügyi elszámolásához

ÚTMUTATÓ. a Nemzeti Civil Alapprogram 2009. évi pályázatainak szakmai és pénzügyi elszámolásához ÚTMUTATÓ a Nemzeti Civil Alapprogram 2009. évi pályázatainak szakmai és pénzügyi elszámolásához Kiadás dátuma: 2010. február 23. Utolsó módosítás dátuma: 2010. április 12. Készítette: ESZA Társadalmi Szolgáltató

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Kísérletek az alagúteffektussal

Kísérletek az alagúteffektussal Kísérletek az alagúteffektussal Attila és Tamás leírtak egy érdekes jelenséget, melyben az alagúteffektus makróméretekben történő alkalmazását javasolták. Ezt elolvasva Varnyú Ferenc kedvet kapott a jelenség

Részletesebben

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS Gregorics Tibor PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS egyetemi jegyzet 2011 1 ELŐSZÓ TARTALOM ELŐSZÓ... 4 BEVEZETÉS... 6 I. RÉSZ PROGRAMOZÁSI FOGALMAK... 9 1. ALAPFOGALMAK... 10 1.1. Az adatok típusa... 10 1.2.

Részletesebben

VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás

VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás TARTALOMJEGYZÉK 1. ÁLTALÁNOS LEÍRÁS... 3 1.1. FELHASZNÁLÁSI TERÜLET... 3 1.2. MÉRT JELLEMZŐK... 3 1.3. BEMENETEK... 4 1.4. TÁPELLÁTÁS... 4 1.5. PROGRAMOZÁS,

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004

HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS HIDEGVÍZMÉRŐ K KOMBINÁLT VÍZMÉRŐ K HE 6/3-2004 FIGYELEM! Az előírás kinyomtatott formája tájékoztató jellegű. Érvényes változata Az OMH minőségirányítási rendszerének elektronikus

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

A FELADATLAPOT A MEGOLDÁSSAL EGYÜTT KÖTELEZİ BEADNI!

A FELADATLAPOT A MEGOLDÁSSAL EGYÜTT KÖTELEZİ BEADNI! BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM 2009. május 8. Vezetıi Számvitel Tanszék ÜLÉSREND TEREM OSZLOP SOR NÉV.. NEPTUN KÓD: Gyakorlatvezetı neve:. MINTA V I Z S G A D O L G O Z A T SZÁMVITEL II. c. tárgyból MÉRNÖK,

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: mintavételi vonatkozások és modelljellemzés Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Harmadik

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben