Variancia-analízis (folytatás)
|
|
- Ernő Barta
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Variancia-analízis (folytatás) 6. elıadás ( lecke) Szórás-stabilizáló transzformációk (folyt.), t-próbák 11. lecke További variancia-stabilizáló transzformációk Egy-mintás t-próba
2 Szórás-kiegyenlítı transzformációk (folyt.) Speciális esetek (3) Ha a mintabeli szórások tendenciában arányosak a mintabeli átlagok négyzetével (s c y 2 azaz s/ y c y, a relatív szórás (CV) arányos az átlaggal (ld. a következı diát), akkor a megfelelı szórás-kiegyenlítı transzformáció a reciprok transzformáció, vagyis az adatok reciprokaival célszerő dolgozni Indoklás: ha s c y 2, akkor y* = 1/(cy 2 ) = (-1/c)1/y, a -1/c konstans szorzó elhagyható
3 Ha a relatív szórás (CV) tendenciában arányos az átlaggal,akkor a reciprok-transzformáció (y* = 1/y) stabilizálja a szórást A CV% tendenciában arányos az átlaggal CV % y átlag ( )
4 Szórás-kiegyenlítı transzformációk (folyt.) Speciális esetek (4) Ha az y adatok relatív gyakoriságokat jelentenek (y=f i /n, mindegyiknél azonos n-nel), akkor a megfelelı szóráskiegyenlítı transzformáció az u.n. arkusz-szinusz transzformáció: y* = arcsin y Indoklás: a relatív gyakoriság szórása arányos {y(1-y)}- nal, és 1/ {y(1-y)} = 2arcsin y, a 2-es szorzó elhagyható
5 t-próbák (Student-próbák) - A t-próbák speciális variancia-analízisnek tekinthetık - Foglalkozunk egymintás t-próbával, amikoris egyetlen adatsor átlagát hasonlítjuk össze a feltételezett sokasági átlaggal - Foglalkozunk kétmintás t-próbával, ekkor két sokasági átlagot hasonlítunk össze minták alapján itt kitérünk párosított adatok eltérésének elemzésére valamint nem párosított adatok elemzésére, utóbbinál az egyenlı szórások és az eltérı szórások esetére is (az EXCELben mindhárom megtalálható) - A t-próbákban a t-statisztika mindig egy hányados, melynek számlálója a tesztelni kívánt mintabeli eltérés, nevezıje pedig ezen eltérés hibája (szórása)
6 Részletek az Excel menüsorokból Eszközök/Adatelemzés fx
7 Egymintás t-próba (A próba elvégezhetı az Excelben a kétmintás párosított t-próba alatt ügyeskedéssel (ld.késıbb)) Vizsgáljuk egy alapsokaság valamely mérhetı Y ismérvét, amelyrıl feltételezzük (elvárjuk), hogy sokasági átlaga adott a 0 érték, tehát a null-hipotézis, H 0 : µ = a 0 n-elemő mintát veszünk, képezzük a minta átlagát ( ) és szórását (s) Képezzük az alábbi t-statisztikát: t = ( y-a 0 )/s azaz t = (n)*( y y -a 0 )/s, az elıjelét nem vesszük figyelembe (vegyük észre, hogy t képletében az osztó (s y) a számlálónak, ( y-a 0 )-nak a szórása) y
8 Egymintás t-próba (folyt.) Feltéve, hogy az alapsokaság (közel) normális eloszlású, a t statisztika a mintavétel elıtt n-1 szabadságfokú t-eloszlást követ, ha H 0 igaz Táblázatból leolvashatjuk t kritikus értékét vagy az EXCELlel közvetlenül P értékét, a szignifikanciát megítélhetjük Megjegyzés: ha a sokasági szórás (σ) ismert, akkor t számításánál s helyére σ kerül, a szabadságfok, ilyenkor u próbáról (újabban z próbáról) beszélünk, t átmegy standard normális eloszlásba
9 Példa-vázlat egymintás t-próbára Egy sokaságban a hatóságilag megkövetelt átlag µ = a 0 = 20, tehát a null-hipotézis, H 0 : µ = 20 n=6 elemő mintából (amelyek nem mondanak ellent a normális eloszlásnak) a számolt átlag és szórás: y = 19,50 és s = 0,532 A számított t-érték: t = 6 *(19,50-20)/0,532 = -2,30 az elıjelet elhagyva, t=2,30
10 A példa-vázlat folytatása (egymintás t-próba) Kétoldali alternatív hiptézisnél, azaz H1: µ 20, a t- táblázatból leolvasható kritikus érték df = 5 szabadságfoknál és α = 5% szignifikancia szintnél 2,57, a számított t-érték (2,30) ennél kisebb, a null-hipotézist (µ = 20) elfogadjuk EXCEL pr.-mal a t=2,30-hoz tartozó P érték df=5-nél 2szélő próbánál P = 0,070 = 7% >5%, a null-hipotézist elfogadjuk
11 A példa-vázlat folytatása (egymintás t-próba) Egyoldali alternatív hipotézisnél, azaz itt H1: µ < 20, a t- táblázatból leolvasható kritikus érték df = 5 szabadságfoknál és α = 5% szignifikancia szintnél 2,01 a számított t-érték ennél nagyobb, a null-hipotézis helyett az alternatív hipotézist fogadjuk el (µ < 20) EXCEL-bıl leolvasva, a t=2,30-hoz tartozó P érték df=5- nél 1szélő próbánál P = 0,035 = 3,5% < 5%, az alternatív hipotézist fogadjuk el
12 KÖSZÖNÖM TÜRELMÜKET
13 12. lecke A minta szükséges elemszámáról Kétmintás t-próbák Egytényezıs VA feladata
14 A minta elemszámáról A mintanagyság (n) növelésével az átlag pontosabbá válik (hibája csökken), ennek következtében µ és a 0 kisebb eltérése is kimutatható Ha pl. µ és a 0 közötti legalább eltérést kívánunk kimutatni, akkor n-et legalább akkorára kell választani, hogy a t = (n)* /s érték meghaladja a kétoldali kritikus t értéket. Innen n > (t krit s/ ) 2 ahol s r-elemő elızetes tájékozódó felmérésbıl kapott szórás, t szabadságfoka r-1 Példa: =5,0; elızetes r=10 elemő felmérésbıl s=8,9; α= 5%-ra t krit =2,26. Így n> (2,26 8,9/5,0) 2 =16,1 (17 mintaelem elég) Megjegyzés: itt a µ-re megkívánt konfidencia intervallum fele
15 Kétmintás t-próba párosított adatokra (Excelben keresd: Adatelemzés: Kétmintás párosított t-próba Gyakran az egyedeken (megfigyelési egységeken) észlelt változások érdekelnek bennünket. Ilyenkor minden mintaegyedhez két összetartozó adat tartozik Az összetartozó adatok elıjeles eltérését, vagy arányát (%) képezve egyetlen adatsort kapunk, amelyre egymintás t-próbát alkalmazhatunk értelemszerően fogalmazott hipotézis ellenırzésére
16 Péda párosított t-próbára (az eltérésekkel) Értékpárok (Y1 és Y2) eltérését teszteljük n=6 mintapárral A d=y2-y1 eltérések sokasági átlaga legyen µ, a null-hipotézis H 0 : µ=a 0 (alapesetben a 0 =0, azaz nincs eltérés) Y1 Y2 d=y2-y1 Legyen a 0 = 0 5,4 5,6 0,2 5,9 6,3 0,4 t = (0,150 0)/0,072 = 2,087, df = 6-1 = 5 4,7 4,6-0,1 4,9 4,9 0,0 ehhez az Excelbıl 6,2 6,4 0,2 4,9 5,1 0,2, P(kétszélő) = 0,091>0,05 nem szign. átlag 0,150 P(egyszélő)= 0,046<0,05 szign. növekm. szórás 0,176 átlag szórása 0,072 Megj.: ha pl a 0 = 0,03 akkor az utóbbi sem szignifikáns
17 Az elıbbi példa megoldása Excelben Az Excel Adatelemzés, kétmintás párosított t-próba menüpontját alkalmazva bevisszük az Y1 és Y2 oszlopokat (az átlag és a szórás sorok nélkül). Az eredménytáblázat fontosabb sorai: Kétmintás párosított t-próba a várható értékre Megfigyelések 6 Feltételezett átlag (a 0 ) 0 df 5 t-érték 2,087 P(T<t) egyszélő 0,046 <5% P(T<t) kétszélő 0,091 >5% Megjegyzés: Ez a menüpont nem igazán felhasználó barát, inkább javasolható a Kéttényezıs VA ismétlések nélkül menüpont
18 Megjegyzések a párosított t-próbáról 1. Ha a q =Y2/Y1hányados tesztelése indokoltabb (mert pl. nagyobb Y1- hez nagyobb d eltérés tartozik), akkor alapesetben a 0 =1 (nincs változás) 2. Ha a mintabeli q értékek eloszlása nagyon nem szimmetrikus, akkor próbáljuk meg az elemzést a log(q) értékekkel - mivel log(q) = log(y2) - log(y1), az elemzést elvégezhetjük a kétmintás párosított t-próba menüponton az Excelben, az Y alapadatok helyett azok logaritmusát kell bevinnünk 3. Ha az egymintás t-próba nem szerepel az Excel menüsorában, az elemzés elvégezhetı a kétmintás párosított t-próba programmal is oly módon, hogy valamelyik oszlopot a feltételezett a 0 -lal töltjük fel
19 Kétmintás t-próba nem párosított adatokra Két alapsokaságot (Y1 és Y2) hasonlítunk össze, ismeretlen sokasági átlagaik µ 1 ill. µ 2, szórásaik б 1 ill. б 2. A két sokaságból n 1 ill. n 2 elemő mintát veszünk (nem párosíthatók), a minta-átlagok és szórások y 1, s 1 ill. y 2, s 2 A null-hipotézis (alapesetben) H 0 : µ 1 = µ 2,(de lehet µ 2 -µ 1 = a 0 is, ha azt várjuk, hogy µ 2 a 0 -lal nagyobb mint µ 1 ) A t-próba (alapesetben) itt is abból áll, hogy a két mintaátlag eltérését elosztjuk ezen eltérés szórásával, a hányados t-eloszlású vagy legalábbis közelítıleg az, a szabadságfok n 1 + n 2 2
20 Kétmintás t-próbák nem párosított adatokra: kiegészítések Elıször mindenképpen ellenırízni kell a két szórás hibahatáron belüli egyezését (Excel: kétmintás F-próba a szórásnégyzetekre ) Ha a szórások egyezése elfogadható, akkor a kétmintás t- próba egyenlı szórásokkal menüpontot választjuk az Excelben Ha a szórások szignifikánsan eltérnek, akkor a kétmintás t- próba nem egyenlı szórásokkal menüpontot választjuk vagy a Wilcoxon-Mann-Whitney féle rangpróbát alkalmazzuk (ld. késıbb)
21 Megjegyzés: elıfordul, hogy az alkalmazó nempárosított t-próbát használ párosított adatok elemzésekor, ez baj Ha párosított adatokra a nem-párosított kétmintás t-próbát alkalmazzuk, az egyedek közötti nagyságrendi eltérések figyelmen kívül maradnak, ezek beépülnek a hibaszórásba, azt növelik, a t-érték csökken, végülis az esetleges szignifikancia ködbe vész
22 Egytényezıs variancia-analízis A kétmintás t-próbával két sokasági átlag eltérését vizsgálhatjuk minták alapján Három, vagy több minta átlagának statisztikai összehasonlítását már Variancia Analízisnek nevezik, a kétmintás t-próba ennek speciális esete Az X kvalitatív befolyásoló, ható ismérv neve tényezı, ezt a továbbiakban célszerően A -val jelöljük (Y pedig a kvantitatív eredményváltozó) Az A tényezı változatai (szintjei) A 1, A 2, A 3,, A k, ezek lehetnek települések, évek, csoportok, kezelések stb.
23 KÖSZÖNÖM TÜRELMÜKET
Statisztikai alapismeretek (folytatás)
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai
RészletesebbenStatisztika, próbák Mérési hiba
Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:
RészletesebbenStatisztikai módszerek
Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai
RészletesebbenVariancia-analízis (VA)
Variancia-analízis (VA) 5. elıadás (9-10. lecke) VA lényege, alkalmazásának feltételei, adat-transzformációk 9. lecke Variancia-analízis lényege Szórások egyezésének ellenırzése A Variancia-Analízis (VA)
RészletesebbenKVANTITATÍV MÓDSZEREK
KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...
Részletesebben1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?
Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 6.
Matematikai statisztikai elemzések 6. Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós regresszió Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 6.: Regressziószámítás:
RészletesebbenDefiníció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3.
. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés
Részletesebben1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x.
. Sugár Szarvas fgy., 86. o. S3. feladat Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került 9 könyv licitálási adatai alapján vizsgáljuk a könyvek kikiáltási és ún. leütési ára ezerft közötti sztochasztikus
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenDr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások
Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek
RészletesebbenAlapfogalmak áttekintése. Pszichológiai statisztika, 1. alkalom
Alapfogalmak áttekintése Pszichológiai statisztika, 1. alkalom Hipotézisek Milyen a jó null hipotézis?? H0: Léteznek kitőnı tanuló diszlexiások.? H1: Nem léteznek. Sokkal inkább: H0: Nincs diszlexiás kitőnı
RészletesebbenStatisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák
Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák A tanult paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Egymintás U próba Kétmintás U próba Egymintás T próba Welch próba (Kétmintás T próba) F próba Grubbs próba
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenII. A következtetési statisztika alapfogalmai
II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai
RészletesebbenEloszlás-független módszerek (folytatás) 15. elıadás (29-30. lecke)
Eloszlás-független módszerek (folytatás) 15. elıadás (29-30. lecke) Kétirányú osztályozás (függetlenség és homogenitás) Speciális eset: 2 2-es táblázatok Három-irányú osztályozás 29. lecke Függetlenség-
RészletesebbenA mintavétel bizonytalansága
A mintavétel bizonytalansága Farkas Zsuzsa, Prof. Dr. Ambrus Árpád FarkasZs@nebih.gov.hu, AmbrusArp@nebih.gov.hu NÉBIH ÉKI A termék megfelelőség ellenőrzése - A mintavétel és az analitikai vizsgálati eredmények
RészletesebbenKecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba
Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/
RészletesebbenElméleti összefoglalók dr. Kovács Péter
Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...
RészletesebbenVariancia-analízis (folytatás)
Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)
RészletesebbenFELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE
FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi
RészletesebbenAdatok statisztikai feldolgozása
Adatok statisztikai feldolgozása Kaszaki József Ph.D Szegedi Tudományegyetem Sebészeti Műtéttani Intézet Szeged A mérési adatok kiértékelése, statisztikai analízis A mért adatok konvertálása adatbázis
Részletesebben1.9. A forgácsoló szerszámok éltartama
1. oldal, összesen: 8 1.9. A forgácsoló szerszámok éltartama A forgácsoló szerszámok eredeti szabályos mértani alakjukat bizonyos ideig tartó forgácsolás után elvesztik. Ilyenkor a szerszámokat újra kell
RészletesebbenKorreláció és Regresszió
Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia
RészletesebbenA.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés
A.. Nyomott rudak A... Bevezetés A nyomott szerkezeti elem fogalmat általában olyan szerkezeti elemek jelölésére használjuk, amelyekre csak tengelyirányú nyomóerő hat. Ez lehet speciális terhelésű oszlop,
RészletesebbenEloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok
Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenIlleszkedésvizsgálat χ 2 -próbával
Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok 1. házi feladat
Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
RészletesebbenHipotézisvizsgálat. A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit,
II. Hipotézisvizsgálat Lényege: A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, majd az állításunk helyességét vizsgáljuk. A hipotézisvizsgálat eszköze: a statisztikai próba Menete: 1.Hipotézisek matematikai
RészletesebbenAprítás 2012.09.11. Ipari gyógyszertechnológiai laboratórium gyakorlatai I. félév. Az aprítást befolyásoló tényezők GYAKORLATOK
0.09.. Ipari gyógyszertechnológiai laboratórium gyakorlatai I. félév KÖVETELMÉNYEK. A hallgató a gyakorlatra felkészülten érkezik. A művelet típusa. Eredményt befolyásoló paraméterek (általában idő, sebesség,
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenMINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia
MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenÁltalános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
RészletesebbenGyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára
Gyakorló feladatok Anyagmérnök hallgatók számára. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 7 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 9 elemű véletlen
RészletesebbenValószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030
Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.
RészletesebbenBemenet modellezése II.
Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenPopulációbecslések és monitoring 2. előadás tananyaga
Populációbecslések és monitoring 2. előadás tananyaga 1. A becslések szerepe az ökológiában. (Demeter és Kovács 1991) A szabadon élő állatok egyedszámának kérdése csak bizonyos esetekben merül fel. De
RészletesebbenEloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke)
Eloszlás-független módszerek 13. elıadás (25-26. lecke) Rangszámokon alapuló korrelációs együttható A t-próbák és a VA eloszlásmentes megfelelıi 25. lecke A Spearman-féle rangkorrelációs együttható A Kendall-féle
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenSZENT ISTVÁN EGYETEM, GÖDÖLLŐ Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskola. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI
SZENT ISTVÁN EGYETEM, GÖDÖLLŐ Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskola DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI A TERMŐFÖLD KÖZGAZDASÁGI ÉRTÉKE ÉS PIACI ÁRA Készítette: Naárné Tóth Zsuzsanna Éva Gödöllő
RészletesebbenSTATISZTIKA PRÓBAZH 2005
STATISZTIKA PRÓBAZH 2005 1. FELADATSOR: számítógépes feladatok (még bővülni fog számítógép nélkül megoldandó feladatokkal is) Használjuk a Dislexia Excel fájlt (internet: http:// starts.ac.uk)! 1.) Hasonlítsuk
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 6. heti eladshoz
Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.
Részletesebbenstatisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007
A statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 2 tartalomjegyzék 1. Alapok (egymintás elemzések Alapstatisztikák Részletesebb statisztikák számítása Gyakorisági eloszlás, hisztogram készítése Középértékekre
RészletesebbenMonte Carlo módszerek
25 KULLANCSLÁRVA vizsgálata: Erős hideg hatására nézzük a túlélést. Eredmény: 6 elpusztult, 9 élve maradt Hipotézis: a pajzs hosszának variabilitása egy általános genetikai variabilitást tükröz, míg az
RészletesebbenVarga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.
Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Takács László
SZAKDOLGOZAT Takács László 2012 SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Geometria Tanszék Matematika Bsc_LAK SZAKDOLGOZAT Kísérlettervezés latin négyzetek felhasználásával Készítette:
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz
RészletesebbenBevezetés az ökonometriába
Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: mintavételi vonatkozások és modelljellemzés Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Harmadik
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis
RészletesebbenA kereslet elırejelzésének módszerei ÚTMUTATÓ 1
A kereslet elırejelzésének módszerei ÚTMUTATÓ 1 A programozást elvégezték és a hozzá tartozó útmutatót készítették: dr. Gelei Andrea és dr. Dobos Imre, egyetemi docensek, Budapesti Corvinus Egyetem, Logisztika
RészletesebbenNormál eloszlás. Gyakori statisztikák
Normál eloszlás Átlag jól jellemzi az adott populációt folytonos eloszlás (pl. lottó minden szám egyszer fordul elő) kétkúpú eloszlás (IQ mindenki vagy zseni vagy félhülye, átlag viszont azt mutatja,
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenSTATISZTIKA I. Tantárgykódok. Oktatók. Időbeosztás. Tematika. http://www.agr.unideb.hu/~huzsvai. 1. Előadás Bevezetés, a statisztika szerepe
Tantárgykódok STATISZTIKA I. GT_APSN018 GT_AKMN021 GT_ATVN020 1. Előadás Bevezetés, a statisztika szerepe Oktatók Előadó: Dr. habil. Huzsvai László tanszékvezető Gyakorlatvezetők: Dr. Balogh Péter Dr.
RészletesebbenBiostatisztika Bevezetés. Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
Biostatisztika Bevezetés Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Az orvosi, biológiai kutatások egyik jellemzője, hogy a vizsgálatok eredményeként
RészletesebbenReiczigel Jenő, 2006 1
Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
RészletesebbenStatisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban. Szentesi Péter
Statisztikai módszerek alkalmazása az orvostudományban Szentesi Péter Az orvosi munkahipotézis ellenőrzése statisztikai módszerekkel munkahipotézis mérlegelés differenciáldiagnosztika mi lehet ez a más
RészletesebbenI. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak- vagy laborgyakorlatokról
BABEŞ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM KOLOZSVÁR KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR SZAKIRÁNY: KÖZÖS TÖRZS EGYETEMI ÉV: 2009/2010 FÉLÉV: IV I. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak-
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanfinanszírozás és befektetés 5. Befektetések értékelése, ingatlanbefektetések
RészletesebbenSZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ
SZENT ISTVÁN EGYETEM YBL MIKLÓS ÉPÍTÉSTUDOMÁNYI KAR EUROCODE SEGÉDLETEK A MÉRETEZÉS ALAPJAI C. TÁRGYHOZ A segédlet nem helyettesíti az építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezésére vonatkozó
Részletesebbenkonfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14.
Valószínűség, pontbecslés, konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra
RészletesebbenStatisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti
Részletesebben2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs
SPC 5 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer Dr. Illés Balázs BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ELEKTRONIKAI TECHNOLÓGIA TANSZÉK Az SPC alapjai SPC (Statistical Process Controll) =
RészletesebbenAz adatmátrix, az adatok átalakítása
2 Az adatmátrix, az adatok átalakítása (Az elsõ bátortalan lépések... de még sok minden rejtve marad) A mintavételezés során, mint láttuk, a mintavételi egységeket változók segítségével írjuk le. A kapott
RészletesebbenVargha András PSZICHOLÓGIAI STATISZTIKA DIÓHÉJBAN 1. X.1. táblázat: Egy iskolai bizonyítvány. Magyar irodalom. Biológia Földrajz
Megjelent: Vargha A. (7). Pszichológiai statisztika dióhéjban. In: Czigler I. és Oláh A. (szerk.), Találkozás a pszichológiával. Osiris Kiadó, Budapest, 7-46. Mi az, hogy statisztika? Vargha András PSZICHOLÓGIAI
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenMátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
RészletesebbenRegressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon
Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenA BETON NYOMÓSZILÁRDSÁGI OSZTÁLYÁNAK ÉRTELMEZÉSE ÉS VÁLTOZÁSA 1949-TŐL NAPJAINKIG
1 Dr. Kausay Tibor A BETON NYOMÓSZILÁRDSÁGI OSZTÁLYÁNAK ÉRTELMEZÉSE ÉS VÁLTOZÁSA 1949-TŐL NAPJAINKIG A beton legfontosabb tulajdonsága általában a nyomószilárdság, és szilárdság szerinti besorolása szempontjából
RészletesebbenPÉCSI NEMZETI SZÍNHÁZ NONPROFIT KFT
PÉCSI NEMZETI SZÍNHÁZ NONPROFIT KFT KIEGÉSZÍTŐ MELLÉKLET 2014. Pécs, 2015. március 31. Rázga Miklós ügyvezető igazgató Tartalom Tartalom:...2 I. ÁLTALÁNOS RÉSZ...3 A Társaság bemutatása...3 A Társaság
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenSztochasztikus rákos folyamatok
Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül harcban állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz
RészletesebbenA 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
RészletesebbenÉrtelmezési szempontok
Értelmezési szempontok Értelmezési szempontok (Technikai és értelmező kézikönyv, 3. old.) Alapelv: a WSC-V fontos kvalitatív és kvantitatív információval szolgál a vsz. kognitív funkcióiról, ezek önmagukban
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Részletesebben14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban
KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenSTATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.
Egymiá u-róba STATISZTIKA 0. Előad adá Köéérék-öehaolíó eek Teelhejük, hogy a való íűégi váloók éréke megegyeik-e e egy kokré érékkel. Megválahajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ 0 Feléel: el:
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenHomeManager - leírás. advix software solutions. http://www.advix.hu
by advix software solutions http://www.advix.hu Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 Bevezető... 3 Áttekintés... 3 Felhasználási feltételek... 3 Első lépések... 4 Indítás... 4 Főképernyő... 4 Értesítés
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenXIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus. A véletlen nyomában
XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus A véletlen nyomában Mi is az a véletlen? 1111111111, 1010101010, 1100010111 valószínűsége egyaránt 1/1024 Melyiket
RészletesebbenBARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI. Takács Viola
BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI Takács Viola Iskolakultúra könyvek 20. Sorozatszerkesztõ: Géczi János Szerkesztõ: Sz. Molnár Szilvia BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI TAKÁCS VIOLA iskolakultúra
RészletesebbenPostai szolgáltatások stratégiai tervezése hasonlóságelemzéssel
Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Tudományos Diákköri Konferencia 2009. november 25. Postai szolgáltatások stratégiai tervezése hasonlóságelemzéssel Készítette: Vernyik Mónika,
RészletesebbenPANNON EGYETEM GEORGIKON KAR
PANNON EGYETEM GEORGIKON KAR ÁLLAT- ÉS AGRÁR KÖRNYEZET-TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Környezettudományok Tudományág Iskolavezetı: Dr. habil. Anda Angéla Az MTA doktora Témavezetı: Dr. habil. Anda Angéla Az
RészletesebbenGAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
RészletesebbenElőadó: Dr. Bukovics Ádám
SZÉCHYI ISTVÁ GYT TARTÓSZRKZTK III. lőadó: Dr. Bukovics Ádám Az ábrák forrása: 6. LŐADÁS [] Dr. émeth Görg: Tartószerkezetek III., Acélszerkezetek méretezésének alapjai [2] Halász Ottó - Platth Pál: Acélszerkezetek
Részletesebben4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése
4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése A kártyákat háromféle módon alkalmazhatjuk. Az elızetes adatfelvétel során a fı feladat az eloszlás paramétereinek (µ és σ ) becslése a további ellenırzésekhez.
RészletesebbenMatyusz Zsolt A 2009-ES VERSENYKÉPESSÉGI ADATFELVÉTEL VÁLLALATI MINTÁJÁNAK ALAPJELLEMZİI ÉS REPREZENTATIVITÁSA
BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM VÁLLALATGAZDASÁGTAN INTÉZET VERSENYKÉPESSÉG KUTATÓ KÖZPONT Matyusz Zsolt A 2009-ES VERSENYKÉPESSÉGI ADATFELVÉTEL VÁLLALATI MINTÁJÁNAK ALAPJELLEMZİI ÉS REPREZENTATIVITÁSA TM1.
RészletesebbenDÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN ELŐSZÓ
Dr. Gyarmati József mk. őrnagy ZMNE BJKMK Katonai Logisztikai Minőségügyi és Közlekedésmérnöki Tanszék DÖNTÉSI MODELL KIALAKÍTÁSA KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁS SORÁN Absztrakt A cikk egy olyan algoritmust mutat
RészletesebbenSZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara
Részletesebben