Monte Carlo módszerek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Monte Carlo módszerek"

Kornél Gál
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 25 KULLANCSLÁRVA vizsgálata: Erős hideg hatására nézzük a túlélést. Eredmény: 6 elpusztult, 9 élve maradt Hipotézis: a pajzs hosszának variabilitása egy általános genetikai variabilitást tükröz, míg az életben maradtaknál a variabilitás kisebb. Számoljunk varianciát a teljes mintára és az életben maradottakra, s utána F próba?? F = 3. De: A két variancia nem független becslés. Az eloszlás nem normális. Paraméteres nem megy Nem-paraméteres próba sincs Úgy tűnik: nincs teszt. Monte Carlo módszerek Statisztikai próbát szeretnénk végrehajtani akkor is, ha. A tesztelt statisztika eloszlása ismeretlen v. nem standard 2. A kérdéses változó eloszlása ismeretlen. 3. A függetlenség nem teljesül Vagyis az adatok valamilyen okból nem tesztelhetők semmilyen ismert módszerrel. Alapfeltevés: vö. szerencsejátékok!! A kapott eredmény egy, az egyenlően valószínű összes lehetséges eredményből Felírjuk az összes lehetséges kimenetelt, és megnézzük, ennek alapján a kapott eredmény nagyon valószínűtlen-e. Vagy: kombinatorikus megfontolások. H p > α, akkor elfogadjuk a H 0 -t. Ha p α, akkor a H et fogadjuk el. Ha az összes lehetséges kimenetel nem írható fel, v. nincsenek kombinatorikus megfontolások sem. Véletlenszerűen előállítunk nagyszámú eredményt, és az így kapott szimulált eloszlás alapján döntjük el a hipotézist.

Számoljunk varianciát a teljes mintára és az életben maradottakra, s utána F próba?? F = 3. De: A két variancia nem független becslés. Az eloszlás nem normális.

2 . Eakt v. aiomatikus randomizációs próbák a) R. A. Fisher esete Murial Bristollal: 8 csésze teából 4-be először a teát, a másik négybe először a tejet töltötték. Felismeri-e Ms. Bristol, hogy az összekevert 8 csésze tejes teából melyik miképpen készült? Eredmény: 3-at felismert a 4 tejet először csészéből, 3-at felismert a 4 teát először csészéből. Kérdés: véletlen-e ez a felismerési arány, azaz: H 0 = véletlenül is eltalálhat ennyit H = nem véletlen, ez az eredmény igen kis valószínűségű, tehát Ms. Bristol igenis felismeri a sorrendet. Megoldás: nézzük meg, mennyire valószínű, hogy 6 vagy ennél több találata van p( 3,3) = =, p(4,4) = vagyis 7/70 = b) Egy lisztbogár fajban több generáción át vizsgáljuk a mutánsok számának változását a szülőkhöz képest. Megvizsgáltuk a 2-8, és a generációt Eredmény: a vad típus csökken, a mutáns nő: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, azaz 8 esetben más változás: 8 9, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 azaz 0 esetben Kérdés: volt-e változás a két generációsor, a korai és késői között a tendenciában? 8 Az első típusú változásra a lehetséges esetek száma = 8 8! 0!8! = Kedvező esetek azok, ahol 7 korai és egy késői van, azaz minden korai és a féle késői közül valamelyik: p(7,) = /43758 = 0,00025 Hozzá kell adni a még kisebb valószínűségeket: esetleg a 0 korai és 8 késői: = 65 p = 65/ = 0,037 8 ez azonban nagyobb. p(7,)<<0,05 van különbség

Kérdés: véletlen-e ez a felismerési arány, azaz: H 0 = véletlenül is eltalálhat ennyit H = nem véletlen, ez az eredmény igen kis valószínűségű, tehát Ms. Bristol igenis felismeri a sorrendet.

3 2. Mintavételezéses randomizációs próbák Összes lehetőség nem felírható, a valószínűségi megfontolások se mennek A kullancsos példában: 25 = 9 25! 9! 6! > Ez túl sok, hogy mindet végigvegyük, és kiszámítsuk az F értéket. Elég egy véletlen minta belőle, pl. 500 véletlen kiválasztás. f 5% Kapcsolat a ismert tesztekkel Aranysakál állkapocs hossz: Null hipotézis: nincs különbség. Átlagok: male: 3. 4, female: Átlagok eltérése: 4.8, t = 3.48 Számoljuk ki a két statisztikát 5000 randomizációval. A kapott eredmény előfordulás, azaz P (A t esetében a tábl. alapján P = )

f 5% 4 5 6 7 8 9 0 Kapcsolat a ismert tesztekkel Aranysakál állkapocs hossz: Null hipotézis: nincs különbség. Átlagok: male: 3. 4, female: 08.6. Átlagok eltérése: 4.

4 Egyéb számítógép-intenzív módszerek ) Jackknife Egy statisztikát úgy becslünk, hogy egy-egy megfigyelés kihagyásával számolunk, ez gyakran csökkenti a TORZÍTÁST. Pl. Az átlag esete = n i= i / n Ha a j-edik értéket kivesszük, akkor j n = i= A két egyenletből kapjuk i j /( n ) j = n ( n ) j persze ez csak az átlagra adja vissza!! Általános eset: Van egy becslésünk a teljes mintára, θ, és a j eset elhanyagolásával θ j. Pszeudo-értékek kiszámítása: θ * j = nθ - (n ) θ -j Jackknife becslés az n darab pszeudo-érték alapján * θ = n j= θ / n * j Példa: Q/n a variancia torzított becslése, a Q/(n-) a torzítatlan. Ha a Q/n becslőfüggvényt a jackknife módszerrel elemezzük, vagyis θ* j = n [Q/n] - (n ) [Q/n] -j Akkor a θ* j pszeudo-értékek átlaga a torzítatlan becslést adja, vagyis Q/(n-)-et.

! Általános eset: Van egy becslésünk a teljes mintára, θ, és a j eset elhanyagolásával θ j.

5 Ökológiai példa: Egy terület fajszámát akarjuk megállapítani, n darab mintavételi egységet elhelyezve. Lesz olyan faj, amit nem találunk meg, az n kvadrát alapján megállapított fajszám tehát alulbecsül. kvadrátok fajok * n S = S + f n A fajszám jackknife becslése a fenti táblázatra: S* = [ 6 *(0*4 9*4) + (0*4 9*2) + 3*(0*4 9*3) ] / 0 = 8.5 Ha nincsenek csak kvadrátban talált fajok, akkor? 2. Bootstrap Pl. a torzítás mértéke állapítható meg ezzel a módszerrel. Lényege: az n elemű mintát az adott valószínűségi változó eloszlása legjobb jelzésének tekintjük, amelyben minden előfordulás egyformán valószínű. Vagyis a valódi populációt a minta jól közelíti. Vizsgáljuk a θ paramétert. Vegyünk sok n elemű mintát ebből a mintából, visszatevéssel, s számítsuk ki a bootstrap becslést, azaz a sok mintából származó értékek átlagát. Aranysakál példa: B. Efron Legyen D a két minta átlagának különbsége. Készítsünk 5000 bootstrap mintát külön-külön, s számítsuk ki a különbségeket. A bootstrap becslés Az eredeti becslés: 4.8 kis különbség van.

kvadrátok fajok * n S = S + f n A fajszám jackknife becslése a fenti táblázatra: S* = [ 6 *(0*4 9*4) + (0*4 9*2) + 3*(0*4 9*3) ] / 0 = 8.5 Ha nincsenek csak kvadrátban talált fajok, akkor? 2.

6 3. A jackknife és a bootstrap alkalmazása filogenetikai rekonstrukcióban Mennyire befolyásolja a fa alakját a kiválasztott génszekvencia. Bootstrap százalékok a törzsfán.

Hasonló dokumentumok

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication