Sztochasztikus rákos folyamatok

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sztochasztikus rákos folyamatok"

Ernő Kovács
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül harcban állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz tartozó állatok, akik a stratégiai játékok szerint megküzdenek egymással az élelemért (egzisztenciáért). Ezáltal előbb-utóbb héják vagy galambok lesznek. A galambok meghátrálnak a kihívás elől, nem harcolnak, feladják a küzdelmet, a héják viszont kíméletlen módon a befejezésig harcolnak, s ha vesztenek, súlyos sérülésekkel távoznak. Erről csupán azért tettünk itt említést, mert a stratégiai játékok is jó modelljei lehetnek a rákos folyamatok jellemzésének. (Lásd még [1].) Ebben a dolgozatban a matematika eszközeinek felhasználásával a rákos sejtek szaporodásának, a szaporodás visszaszorításának, meggátolásának egy-egy lehetséges matematikai modelljét mutatjuk be. Tesszük ezt azért is, hogy jobban megértsük azt az organizmust, amely az emberi élet velejárója. Lényegét tekintve azt tesszük, mint amit eddig is tettünk, csak más megvilágításban és más eszközökkel. Mivel a probléma tárgyalása és leírása sokkal mélyebb matematikai ismereteket igényel, ezért nem térünk ki egzakt bizonyításokra e helyen csupán a végeredményeket közöljük hasznos tudnivalókként. Különben is az eljárás, melyet itt bemutatunk, más interpretációban ugyan, de megtalálható a szerző [2] alatti dolgozatában. A matematika különböző területeken történő alkalmazásakor igen gyakori a hasonlóságon alapuló egyezés (analógia); tulajdonképpen mi is ezt használjuk itt ki. Modellezünk analógia alapján, mely lényeges szerepet játszik a problémamegoldásban. (A [2] alapulvételéből láthatóan plagizálás ténye nem áll fenn; miután ez is a szerző önálló munkája, a benne közölt eredményként kapott összefüggésekkel együtt!) Az itt közöltek nemcsak prosztatarák, hanem mindenféle rákos folyamat leírására, jellemzésére és követésére alkalmazhatók. Ehhez azonban további speciális matematikai szakismeretekre van szükség, mivel a gyakorlat számára igen bonyolult formulákhoz jutunk. 1

(egzisztenciáért). Ezáltal előbb-utóbb héják vagy galambok lesznek.

2 Rákos sejtek szaporodási folyamata Jelölje ξ t a t időpillanatban a rákos sejtek számát. (Nyilvánvaló, hogy ξ t valószínűségi változó, ami azt jelenti, hogy véletlentől függő számértékeket vesz fel.) 1. Modell Tegyük fel, hogy: 1 o Ha a t időpontban a rákos sejtek száma ξ t =k, akkor annak a valószínűsége, hogy a t+ t időpontban a rákos sejtek száma ξ t+ t =k+1 lesz, ηt α-1 t + o( t) -vel egyenlő, vagyis P{ξ t+ t =k+1 ξ t =k}= ηt α-1 t + o( t) (k=0,1,2 ), ahol o( t) ( kis ordó t ) t olyan függvénye, melyre o( t)/ t 0, midőn t 0. 2 o Ha a t időpontban a rákos sejtek száma ξ t =k, akkor annak a valószínűsége, hogy a t+ t időpontban a rákos sejtek száma ξ t+ t =k-1 lesz, kγt α-1 t + o( t), vagyis P{ξ t+ t =k-1 ξ t =k}= kγt α-1 t + o( t) ahol α, η és γ pozitív konstans. (k=1,2 ), Legyen P{ξ t =k}=p k (t), vagyis jelölje P k (t) annak a valószínűségét, hogy a t időpontban a rákos sejtek száma pontosan k. Tegyük fel, hogy 3 o 1,ha k0 P 0 0,ha k0. Ezen feltételek alapján valószínűségszámítási meggondolásokkal (részletesebben lásd [2]) egy differenciálegyenlet-rendszerhez jutunk, melynek megoldásaként kapjuk, hogy P k (t) Poissoneloszlást követ, vagyis (1) P t! e (k=0,1,2 ), ahol (2) λt 1e!, s itt 1e! tulajdonképpen nem más, mint egy Weibull-eloszlásfüggvény (lásd [3]). Ha M(t) jelöli a ξ t várható értékét, akkor a várható érték definíciója szerint: 2

egyenlő, vagyis P{ξ t+ t =k+1 ξ t =k}= ηt α-1 t + o( t) (k=0,1,2 ), ahol o( t) ( kis ordó t ) t olyan függvénye, melyre o( t)/ t 0, midőn t 0.

3 (3) MtM#ξ % '( kp t 1e!λt. Ha t, akkor (4) lim, P t -. / (5) lim, Mt.! e. (Vegyük észre, hogy (4) és (5) α-tól független; ilyenkor a szerep η-ra és γ-ra hárul!) A (3) alatti összefüggés diszkutálásából adódik, hogy rögzített t mellett, ha γ 0, akkor Mt, 0 t0. Ha η, akkor M(t). Ha η 0 (vagy γ ), akkor M(t) 0. Rákos betegek esetében általában η értéke nagy, γ értéke kicsiny! A 2 o is kifejezi és mutatja: a legsúlyosabb helyzet akkor áll elő, ha γ 0. Kedvezőbb a helyzet, ha α 0, η/γ pedig relatíve nem nagy. (Ez jóindulatú daganatra utal!) A modell rávilágít arra is, hogy rákos sejtek az élő szervezetben olyan mértékben is jelen lehetnek, hogy számuk kicsinysége folytán nem tudjuk őket észlelni. Ezek a szervezetet nem képesek jelentősen megkárosítani, velük élünk anélkül, hogy tudnánk róla. Különösen a kezdeti stádiumban a paraméterek számszerű értéke akár jelentősen is ingadozhat, s nem könnyű az ingadozás mértékéről információt szerezni. Mindez egyben arra is utal, hogy a modell a valóságot jól jellemzi és hűen követi. A rákkutatás során a három paraméter kedvezőbb irányú változtatásának hatásos módszerét kell keresni és megtalálni. Rákos sejtek csökkenési folyamata Tételezzük föl, hogy sikerült olyan gyógymódot találni, amely a rákos sejtek csökkenési folyamatát indítja el. Ez bekövetkezhet akkor is, ha az 1. Modellben szereplő η, γ és α paraméterek kedvező irányban megváltoznak, illetve megváltoztathatók. Az alábbiakban olyan modellt konstruálunk (alkotunk és hozunk létre), amely a rákos folyamat csökkenő tendenciáját más feltételek mellett mutatja be. (Lásd idevágóan is a [2] alatti hivatkozást, alkalmazásként még [4]-t!) 3

Rákos betegek esetében általában η értéke nagy, γ értéke kicsiny! A 2 o is kifejezi és mutatja: a legsúlyosabb helyzet akkor áll elő, ha γ 0. Kedvezőbb a helyzet, ha α 0, η/γ pedig relatíve nem nagy.

4 2. Modell Jelölje most χ t a t időpontban a rákos sejtek számát. Tegyük fel, hogy: 4 o P#χ 23 k41 χ k%kβδt4 o( t) 5 o P#χ 23 k1 χ k%kµtδt4 o( t) Legyen P{χ t =k}=v k (t), 6 o 1,ha k1 V 0 0,ha k1. V k (t)-ről belátható, hogy P k (t)-hez hasonló differenciálegyenlet-rendszerrel jellemezhető. Ennek megoldásaként kapjuk, hogy ; < (6) V ( t1 : <µ =2> µ (7) V t :?;@A A ;< µ =2> < = =2>!B (k=1,2, ) ( ahol AtβD e Most µe?; < <µ dx µ@?; < ; Bte ( <µ, vagyis AtβD Bxdx. (8) M#χ %Ht '( kv t és így H(0)=1. e µ < < 2J H(t) a maximumát a t ( J µ helyen veszi fel, és ekkor ; < (9) H#t ( %e<µ. H(t) a 0<t<t 0 intervallumon monoton növekvő, t 0 <t< intervallumon monoton csökkenő. Ha t 0 nem túl nagy, és ha nem lép föl további áttételes rendellenesség, a gyógyító mód kifejezetten hatásosnak bizonyulhat. 4

B (k=1,2, ) ( ahol AtβD e Most µe?; < <µ dx µ@?; < ; Bte ( <µ, vagyis AtβD Bxdx. (8) M#χ %Ht '( kv t és így H(0)=1. e µ < < 2J H(t) a maximumát a t ( J µ helyen veszi fel, és ekkor ; < (9) H#t ( %e<µ.

5 A kapott eredmények gyakorlati felhasználása kezdetben számos nehézséggel jár. De már ebben a formában is segítik és hozzájárulnak a rákkutatás szabatosabb és precízebb matematikai eljárásainak kialakításához, a tennivalók fölismeréséhez és cselekvéssé formálásához. Budapest, május 24. Dobó Andor Hivatkozás [1] Dobó Andor: Ésszerű-e mindig az ésszerű önérdek?, Magyar Tudomány, 1990/11. [2] Dobó Andor: Matematikai vizsgálatok a számítógépek várható számának alakulásával kapcsolatban, Szigma, szám. [3] Gnyegyenko, B. V. Beljajev, J. K. Szolovjev, A. D.: A megbízhatóságelmélet matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [4] Dobó Andor: Egy járvány lefolyása matematikai módszerek és számítógépek igénybevételének lehetősége mellett, Egészségügyi gazdasági szemle, szám. 5

Budapest, 2012. május 24. Dobó Andor Hivatkozás [1] Dobó Andor: Ésszerű-e mindig az ésszerű önérdek?, Magyar Tudomány, 1990/11.

Hasonló dokumentumok

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,