Az ablakos problémához

Átírás

1 1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot egy m mélységű ablakmélyedésben úgy, hogy a felülnézeti négyzet középpontja a káva szélén ( az x tengelyen ) legyen, miközben a négyzet A csúcsa, illetve egy oldala érintkezzen a mélyedés falával ( az y tengellyel )! Ezután mozgassuk el a hasábot, úgy, hogy az ablak e egyenesének az α nyitási szöge a lehető legnagyobb legyen! 1. ábra A négyzet középpontjának a hasáb súlypontja vetületének azért kell az x ten - gelyen maradnia, mert ha kijjebb kerül, akkor a hasáb leesik, ha meg beljebb van, akkor pedig a lehetségesnél kisebb lesz / lehet a nyitási szög. Az itteni vizsgálódás egy kicsit más irányt vesz, mint az eredeti [ 1 ]. Először is felírjuk az α nyitási szög meghatározására szolgáló egyenleteket. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a 0 indexes kezdeti helyzetben a négyzet / a hasáb nekisimul a falnak / az y tengelynek, így az ablak α 0 szöggel nyit - ható kék négyzet. Ezután a négyzetet elmozdítjuk az x tengely mentén úgy, hogy S súlypontjának elmozdulása δs, majd egy φ szöggel el is forgatjuk, hogy az A csúcs az y tengelyen maradjon piros négyzet. Ekkor az ablak síkjának felülnézetét ábrázoló e egyenes α szögére felírható a következő egyenlet:

2 , 2, ( 1 ) ahol x B és y B a B négyzetcsúcs koordinátái. Utóbbiakra kapjuk, hogy = cos45 + cos45 +; ( 2 ) = sin45 +. ( ) Most ( 1 ), ( 2 ) és ( ) - mal: tehát:!"#$% &' *!"#$% &' ()!$% '& ()!$% &'=, ()!$% '&()!$% &' *!"#$% &'. ( 4 ) ()!$% '&()!$% &' Most kifejtjük a szögfüggvényeket: sin45 +=sin45 cos+cos45 sin = - cos+sin, 2 cos45 =cos45 cos+sin45 sin = - cos+sin, 0 ( 5 ) cos45 +=cos45 cos sin45 sin = - cos sin. / 01 Majd ( 4 ) és ( 5 ) - tel: tehát: * ()!'&!"#' ()!'&!"#'& ()!'!"#'= * ()!'&!"#' * = ()!'&!"#', ()!' ()!' ()!' - 1+tg. ( 6 ) Áttérve az inverz függvényre, és az értelmezési tartományt kijelölve:,5 =arctg8-1+tg9, ()!' < ( 7 ) A ( 7 ) képlet által leírt összefüggés a pozitív forgatás esetét jellemzi. Ábrázoljuk a ( 7 ) függvény grafikonját, különböző m értékekre 2. ábra!

3 alfa ( fok ) f(x)=atan(1/(2*cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(1/(sqrt(2)*cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(1/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(sqrt(2)/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan( /(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan((1/12)/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) 5 0 m = d / 2, ( piros ) m = d / 2, ( kék ) m = d, ( fekete ) m = 1 / 12 d, ( türkizkék ) m = d / [2(2-1 )], ( bordó ) m = 2 d. ( zöld ) fi ( fok ) / 1. ábra alfa ( fok ) f(x)=atan(5/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(50/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(500/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(2.5/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=atan(2/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) m = 2 d, ( lila ) m = 2,5 d, ( zöld ) m = 5 d, ( piros ) m = 50 d, ( kék ) m = 500 d. ( fekete ) / 2. ábra

4 4 A lényeges látnivalók: ~ m = d / 2 esetén nincs pozitív ablaknyitási szög, azaz az egyoldalra nyíló ablak zárva marad; ~ m = d / 2 esetén 45 - os elforgatási szögnél az ablak bezárul; ~ efölötti m - értékeknél, pl. m = d esetén az ablak már végig nyitható; ~ a nyitási szög maximuma először az elforgatásmentes alaphelyzetben tapasztalható; ~ = > =?-@ esetén a kezdő és a véghelyzet egyaránt maximális nyitási szöget ad; ~ ennél nagyobb m - értékekre a végső helyzetben lesz a nyitási szög maximális; ~ m / d esetén α 90, egyre kevésbé függve a φ elforgatási szögtől. Ezek szerint a nyitásában akadályoztatott, egyoldalra nyíló ablak működési tartományai a pozitív forgatás esetében így alakulnak: I. == : az ablak zárva marad. II. <=< : az ablak nyitható, úgy, hogy?-@ B.) a maximális ablaknyitási szög =0 - nál van, C.) == - nél és =45 - nál az ablak bezárul. III. = > = IV. => V.?-@ esetén az ablaknyitási szög =0 és =45 elforgatási szögnél veszi fel két, egymással megegyező legnagyobb értékét.?-@ esetén az ablaknyitási szög =45 elforgatási szögnél veszi fel a legnagyobb értékét. esetén Az említett m h határ - mélység képletének levezetése így alakul: ~ az 5 ablaknyitási szög tangense =0 - nál, ( 7 ) szerint: tg5=0 = - ; ( 8 / 1 ) ~ az 5 ablaknyitási szög tangense =45 - nál, ( 7 ) szerint: tg5=45 =2 1 ; ( 8 / 2 ) ~ e két nyitási szög egyenlősége esetén: tg5=0 =tg5 =45, ( 8 / ) majd ( 8 / 1 ), ( 8 / 2 ), ( 8 / ) - mal: = > = = &- I =1, I. ( 8 )?-@

5 , 5 Még további, az 1. ábrán szereplő mennyiségek képletét is felírjuk: M N =, M = ( 9 ) cos45.o Ezekkel: PM=M M N = cos45 = 8cos45-9, tehát: PM= 8cos45-9. ( 10 ) Továbbá ( 7 ) és ( 8 ) - cal: P5 =5 N 5 =arctgq - R arctg8 ()!' - 1+tg9, tehát: P5=arctgQ - R arctg8-1+tg9. ( 11 ) ()!'. Egy másik lehetséges esetet mutat a. ábra, melyet a negatív forgatás kifejezéssel írunk le.. ábra

6 6 E forgatás és eltolás eredményeként az ablak egyenese egybeesik a négyzet egyik oldalával. Ennek során kiindulunk az ( 1 ) képletből, amihez itt a. ábra szerint: = + cos45, ( 12 ) ()!' = sin45. ( 1 ) Most ( 1 ), ( 12 ) és ( 1 ) - mal: Figyelembe véve a =!"#$% ' STUV & ()!$% '. ( 14 ) sin45 =sin45 cos cos45 sin= -, cos sin, cos45 =cos45 cos+sin45 sin = - ( 15 ) cos+sino képleteket is, ( 14 ) - ből kapjuk, hogy ()!'!"#' tehát: STUV & ()!'!"#' ()!'&!"#'= STUV & ()!'&!"#' = * ()!'!"#', * ()!'!"#'. ( 16 ) &()!'&!"#' STUV Ismét a. ábra alapján írhatjuk, hogy == WX + XY, ( 17 ) majd pedig WX=, tg, ()!' XY =. O ( 18 ) ()!' Most ( 17 ) és ( 18 ) - cal: == 1+tg. ( 19 ) ()!'

7 7 Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel: STUV -&Z['()!'!"#'. ( 20 ) Azonos átalakításokkal: STUV & U\]V STU V ()!'!"#' = tovább alakítva: ()!' Q majd: STU V -R&!"#' Q STU V &-R, ()!' Z[ '&!"#' &Z[ ' vagyis: tg, STUV^U\]V STU V ()!'!"#', = Z[ '&Z[' &Z[ ' -&Z[ '&-&Z[' =tg Z['&&Z[ ' &Z[ '&Z[' =tg, innen: α =. ( 21 ) A ( 21 ) összefüggést közvetlenül leolvashatjuk a. ábráról. A hozzá vezető számítást azért részleteztük, hogy lássuk, működnek - e a képleteink. A ( 21 ) egyenlet szerint elegendő meghatározni a feladat paramétereinek megfelelő φ 1 szögértéket. Ehhez a ( 19 ) képletből indulunk ki: ábrázoljuk azt 4. ábra. Ehhez bevezettük az =, = jelöléseket, amikkel a ( 19 ) képlet átírva az alakot ölti. E függvény képét a 4. ábrán piros színű folytonos vonallal = -&Z[ ()! húztuk ki értelmezési tartományában. Majd a. ábra méreteivel: m = 6,5 cm, d = 6,0 cm, így az ábrázoláshoz y = 1 / 6. A piros grafikont elmetszettük az y 1 = 1 / 6 egyenletű vízszintes egyenessel, amely az x 1 = 6, eredményt szolgáltatta. Ez jól egyezik a. ábráról lemérhető α 7 eredménnyel. Most nézzük meg, hogy milyen m* - érték tartozik az x 2 = 45 - os határhoz! A Graph szoftver szolgáltatásával: y 2 = 2,8284, majd ehhez m* = d / 2 y 2 = 8,4852 cm káva - mélység tartozik 5. ábra.

8 8 0 y f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) f(x)=1/6 r(t)= /cos(t) f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) Adat: y 1 = 1 / 6 ; Eredmény: x 1 = 6, Adat: x 2 = 45 ; Eredmény: y 2 = 2, x ( fok ) ábra 5. ábra

9 9 Az 5. ábra arra is figyelmeztet, hogy a valóságban nem mellékes az ablak, illetve az ablak - káva szélessége sem; ugyanis megeshet, hogy a rövid ablakszárny lecsúszik a hasáb B csúcsáról. Ekkor persze még jobban kitárható. Megjegyzések: M1. A ( 9 ) ~ ( 11 ) képleteknek a negatív forgatás esetére vonatkozó megfelelőit az Olvasó már saját maga is felírhatja. M2. A 6. ábrán kinagyítottuk a 4. ábra kezdetét. Innen már leolvasható, hogy y = 1 - től, azaz m = d / 2 - től indul a piros vonal..2 y f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) f(x)=1/6 r(t)= /cos(t) f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) x ( fok ) ábra M. Érdekessége miatt határozzuk meg a fenti m / d = 6,5 / 6 = 1 / 12, vagyis az m = 1 / 12 d értékre is a pozitív forgatással adódó maximális ablaknyitási szöget! A 2. / 1. ábra türkizkék grafikonjáról a Graph szolgáltatásával leolvasható, hogy ekkor az ablaknyitási szög maximuma φ = 0 - nál lép fel, és α max + = 0,2564. Ugyanehhez az m / d paraméterhez negatív forgatás esetén a 4. ábra szerint a φ max = α max - = 6,549 eredmény tartozik.

10 10 Eszerint az m / d = 1 / 12 paraméter - érték választása esetén a negatív forgatással kapjuk a legnagyobb ablaknyitási szöget. M4. Az ábrák és képletek egy része lényegében megegyezik az [ 1 ] - ben látottakkal. Az itteniek a kifejtés jellegében mások. M5. A tárgyalt ablakos feladat lényeges mondanivalói az alábbiak. ~ Az ÉLET a mindennapi tevékenységeink során is ellát minket geometriai, illetve matematikai feladványokkal, csak észre kell venni és meg kell oldani azokat. Esetünkben hasonló volt a helyzet, amikor egy bútor sarkon való befordulásának, vagy egy íves ajtó íves falkávában való elakadásának esetét vizsgáltuk meg. ~ Most is megfontolásra javasolható, hogy a belső és külső építészek tárgyelhelyezési optimalizálási feladataikhoz vegyék igénybe a matematika segítségét is. Ennek megvalósítását jelentősen segítik a már régóta meglevő, akár ingyenesen is megszerezhető szoftverek. Esetünkben ilyen a Graph, melynek alkalmazásával rengeteg és alig szemléletes számítást spóroltunk meg. Összefoglalás A fenti, Hajdu Endrétől származó ablaknyitási probléma megoldása során jórészt a forrásra támaszkodva igyekeztünk megtalálni a maximális ablaknyitási szögeket eredményező eseteket, helyzeteket. Ennek érdekében felírtuk az alapegyenleteket a pozitív és a negatív forgatás esetére is. A grafikus kiértékelés során az adódott, hogy egy rögzített, véges nagyságú m / d paraméter esetében az ablaknyitási szög maxi - mumainak száma a pozitív forgatás esetében 1 vagy 2 lehet; utóbbi esetben a két maximum értéke egymással megegyezik; a negatív forgatás esetében 1 lehet. A maximumok nagyságát legkönnyebben grafikus úton állapíthatjuk meg, a szemlélet alapján. A pozitív és a negatív forgatás eredményeinek összehasonlításával állapít - ható meg a lehető legnagyobb ablaknyitási szöget eredményező helyzet, valamint a hozzá tartozó nyitási szög is. A meglepően bonyolultnak mondható feladat konkrét gyakorlati jelentőséggel is bír.

11 11 Forrás: [ 1 ] Hajdu Endre: EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Kézirat, Sopron, április Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár