A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról kezdőknek

Átírás

1 A rögzített tengely körül forgó tetek kiegyenúlyozottágáról kezdőknek Bevezeté A faiparban nagyon ok forgó mozgát végző gépelem, zerzám haználato, melyek rende működéének feltétele azok kiegyenúlyozottága. Ez olvaható az [ 1 ] műben: A gépre való felzerelé előtt gondokodni kell az öze körforgó zerzám tatiku kiegyenúlyozááról, az n > 1000 min 1 fordulatzámmal forgókat pedig dinamikuan i ki kell egyenúlyozni. Az idézett mondat mintegy feltételezi, hogy olvaója tiztában van a mondott kiegyenúlyozái módok mibenlétével, elméleti é gyakorlati tudnivalóival, így azok már nyilván nem zorulnak magyarázatra. A tapaztalatok zerint a helyzet nem ilyen rózá: a jelenlegi alap - é középfokú faipari zakképzé nem igazán teremti meg a lehetőégét a fenti jelenégekre vonatkozó elméleti tudnivalók kellő alapokat nyújtó, ámde nem túlzó kifejtéének. Valójában az történik, hogy a tanulót tájékoztatják a jelenégek létezééről, hatáairól, majd bemutatják a gyakorlatban vizonylag könnyen elvégezhető tennivalókat [ ]. Ez az eljárámód könnyen érthető: ~ nem bonyolódunk bele olyan kérdéekbe, melyekhez zükége előimeretekkel nem rendelkezünk; ~ az átadott főként gyakorlati imeretek birtokában mégiak lez valami fogalmunk a dolgokról. A mai zámítógépeített világban ok bonyolult fizikai jelenég vizonylag egyzerűen é vezélytelenül bemutatható, a jelenégek felzíne könnyen tanulmányozható. Ez jó. Az vizont már komoly gond, hogy egy mehanikai jelenéget azért nem tudunk zakzerűen megragadni, mert nem értünk a mehanika nyelvén. Meglepő (? ) tapaztalat, hogy a faipari tehnikui képzé előfeltételeként előírt középikolai érettégi teljeítée orán a tanulók túlnyomó többége elkerüli a Fizika tantárgyat, továbbá matematikai imereteik i erően hiányoak. Ez a tehnikui tanulmányok orán perze kiderül, így a tanárnak erően bezűkül a mozgátere. Vagy mégem olyan reménytelen a helyzet? Ebben a dolgozatban é talán máokban i azokat az eredményeket, tapaztalatokat igyekzünk özefoglalni, melyek birtokában talán mégiak vállalkozhatunk a ímbeli jelenégkör alapoabb megimertetéére, fogalmak é tények magyarázatára. Ennek előfeltétele az elemi matematika é a fizika bizonyo mértékű alkalmazáa, egy elvárható alapimeret - minimum megléte. Hogy ez mi é mennyi, az menet közben kiderül. Íráunk előorban a témakör feldolgozáában érintett tanároknak zól, é ak máodorban az erően érdeklődő középikolai tanulóknak. Mondanivalónk kifejtéét egyzerű modellekkel indítjuk, é ak fokozatoan, ki lépéekkel közeledünk az elvontabb, általánoabb fogalmakhoz, tételekhez. Vállalkozáunk igazából egy módzertani kíérlet arra, hogy hogyan pótoljunk egy a faipari zakképzében folyamatoan meglévő hiányt, lehetőleg nem túl nagy erőfezítéeket igénylő módon. Reméljük, kíérletünk ikere lez, melynek eredményeként felzáll a lila köd. Kezdődjenek a kalandok!

2 A úlyzómodell A úlyzó v. ö.: [ 3 ]! két golyó, mindegyikük tömege m, é egy tömeg nélkülinek képzelt merev karral vannak özekötve. A golyók tömegközéppontjainak távolága: r. A úlyzót úgy rögzítjük mereven a vízzinte helyzetű forgó tengelyhez, hogy ~ a kar forgá közben a forgátengelyre merőlege egyeneel adott α zöget zár be; ~ a golyók tömegközéppontjainak forgátengelytől mért kar menti távolága : r 1 é r, ahol r 1 + r = r. Mot megvizgálunk néhány elrendezéi alapeetet v.ö.: [ 4 ]!, é meghatározzuk a úlyzónak a forgátengely körüli forgáa orán a tengely apágyaiban ekkor ébredő támazerőket. Az alábbiakban feltételezzük a forgó tengely végtelen nagy merevégét. A forgá zögebeége: ω = állandó. A úlyzó úlya G, a tengelyé G t. 1. Statikuan é dinamikuan i kiegyenúlyozott úlyzó eete 1. ábra: ~ r 1 = r = r; ~ α = ábra Ekkor a Fizika tanítáa zerint az F entrifugáli erő nagyága [ 5 ] : F mr. ( 1 ) Minthogy az F é F erők azono nagyágúak, hatávonaluk egyező, nyílértelmük ellentéte, ezért kiegyenúlyozzák egymát, így a apágyakban ak a nyugalmi állapotban i működő G / nagyágú, függőlege hatávonalú, felfelé mutató nyílértelmű támazerők lépnek fel forgá közben é nyugalomban i, ahol G = G + G t. A tengely ~ úlyzó rendzer közö úlypontja S, amely forgá közben é nyugalmi helyzetében i a tér ugyanazon pontjában van.

3 3. Statikuan kiegyenúlyozatlan úlyzó eete. ábra: ~ r 1 > r ; ~ α = 0. t = 0; φ = 0 φ = ωt > 0. / a ábra A / a ábra a kiindulái elölnézeti, valamint a működébeli oldalnézeti képet mutatja. / b ábra

4 4 A. / b ábra a térbeli helyzetet zemlélteti. A. ábrán az e adat a úlyzó S úlypontjának távolága a tengely S t úlypontjától. Számítuk ki az e távolágot! A entrifugáli erők eredőjének nagyága: F F,1 F, mr1 mr m r1 r ; ( ) Márézt a úlyzóúlypontban működőnek gondolt m tömeggel ugyanez: F me ; ( 3 ) majd ( ) é ( 3 ) - ból: m r r me, amiből 1 r1 r e. ( 4 ) A. / a ábrát ezerint kézítettük el. A. / b ábra bal oldalán azt zemléltettük, hogy a úlyzóra ható F erőt a apágyakban ébredő F / nagyágú, a úlyzóval együtt forgó reakióerők egyenúlyozzák. A. / b ábra jobb oldalán a nyugvó é a forgó reakióerők vektori özegzéét zemléltettük. Innen közvetlenül leolvaható, hogy az eredő R reakióerők nagyága az G F R max, ( 5 ) é az G F R min ( 6 ) értékek között ingadoznak, a φ elfordulái zög függvényében. Pontoabban: a. / b ábra jobb oldalán található általáno háromzögből Pitagoráz tételével kapjuk, hogy G F F o in R, majd átalakítáok után G F G F R o. ( 7 ) Az eredő irányára pedig az F R in in egyenletből: F in in, R majd ( 7 ) - tel i:

5 5 F in arin. G F G F ( 8 ) o Még felhaználva az egyenlete körmozgára vonatkozó t ( 9 ) özefüggét i, ( 7 ), ( 8 ) é ( 9 ) - el: G F G F R(t) o t ; F in t (t) arin. G F G F o t ( 10 ) ( 11 ) A ( 10 ) é ( 11 ) képletek írják le a reakiók időfüggéét, eetünkben. Látjuk, hogy az 1. é a. eet között az a nagyon lényege különbég, hogy a. eetben a forgá miatt a apágyakban többlet támazerők lépnek fel, melyek a forgó tettel együtt forognak. Ezek a apágyakat é az egéz zerkezetet rázzák. Ha e többlet támazerőket ki akarjuk küzöbölni, akkor meg kell valóítanunk a. eet 1. eet, vagyi az e 0 átmenetet. Ezt a műveletet hívjuk tatiku kiegyenúlyozának. Ennek rézleteiről olvahatunk pl. a [ 6 ] műben. 3. Dinamikuan kiegyenúlyozatlan úlyzó eete 3. ábra: ~ r 1 = r = r; ~ α > 0. Ekkor a úlyzó úlypontja ugyan egybeeik a tengely úlypontjával, de a úlyzó karja nem merőlege a tengelyre. A 3./ a ábra zerint ekkor a két entrifugáli erő egyenlő nagyágú, ellentéte értelmű é párhuzamo nem egybeeő hatávonalú erő, azaz erőpár. Ennek forgatónyomatéka: M(F) F k; ( 1 )

6 6 φ = 180 φ = 0 3. / a ábra itt F m (ro ), ( 13 ) k rin, ( 14 ) így ( 1 ), ( 13 ), ( 14 ) - gyel: M(F) m (ro ) rin in o mr, vagy má alakban: M(F) in m r. ( 15 ) Minthogy erőpárt ak erőpárral lehet egyenúlyozni, ezért a ( C, C ) apágyreakiók i erőpárt képeznek, melynek nyomatéka: M(C) C l. ( 16 ) Itt a negatív előjellel azt fejeztük ki, hogy a C - k forgatónyomatéka ellentéte értelmű a úlyzóra ható forgatónyomatékkal. Egyenúly eetén: M(F) M(C) 0, ( 17 ) azaz ( 15 ), ( 16 ), ( 17 ) - tel: in mr Cl 0, innen pedig a apágyreakiók nagyága: r ( 18 ) l C in m. Értelemzerűen: C A = C B = C = C. A 3./ a ábra jól mutatja, hogy egy adott irányhoz képet 180 fokonként előjelet vált a tengelyre ható M(F) forgatónyomaték, miközben az erőpár íkjában maradva a C reakiók i körbeforognak. Utóbbi tény zemlélhető a 3. / b ábrán, ahol a apágyak által a tengelyre egyidejűleg kifejtett reakió - özetevőket i feltüntettük.

7 7 3. / b ábra A reakióerő nagyága é iránya a B támaznál ld. a 3. / b ábra jobb oldali rézét i! a korábbiak zerint: G B B B R C G C o, B B arin. G CB GCB o C in ( 19 ) ( 0 ) A reakióerő nagyága é iránya az A támaznál, a korábbiakhoz haonló zámítáal: G A A A R C GC o, ( 1 )

8 8 A A arin. G CA GCA o C in ( ) A ( 18 ) képletből kiolvaható, hogy a C forgó apágyreakióra vonatkozóan: C0, ha α 0. Ezt a műveletet hívjuk dinamiku kiegyenúlyozának. Ennek rézleteiről i olvahatunk a [ 6 ] munkában. 4. Statikuan é dinamikuan i kiegyenúlyozatlan úlyzó eete 4. ábra: ~ r 1 > r ; ~ α > 0. φ = 0 φ = ωt > 0 4. / a ábra A 4. / a ábra bal oldalán a φ = 0 zögadattal jellemzett függőlege íkban kapott erőtani képet rajzoltuk meg, a jobb oldalán pedig a φ > 0 adattal jellemezhető általánoabb helyzetre rajzoltunk egy oldalnézeti képet. Utóbbit arra i felhaználtuk, hogy a entrifugáli erők S t tengely - úlypontra való redukáláának eredményét feltünteük. A redukálá eredménye: az F erő é az M nyomatékú erőpár.

9 9 Ezek nagyágát az alábbiak zerint zámíthatjuk ki. F nagyága: F mr o ; ( 3 ) 1 1 F m r o ; ( 4 ) F F1 F ; ( 5 ) mot ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: F m r o m r o, 1 Tehát F m r1 r o. ( 6 ) M nagyága: M F r in F r in 1 1 m r o r in m r o r in 1 1 in 1 1 in o m r r m r r, in M mr1 r. ( 7 ) Mot ( 6 ) é ( 4 ) - gyel: F meo. ( 8 ) Ezután a 4. / a ábra bal oldali rézéről leolvauk, hogy r1 r e, ( 9 ) r r e, majd utóbbiak felhaználáával: r e r e, r r r e r e r re e r re e 1 r r r e. ( 30 ) 1 Mot ( 7 ) é ( 30 ) - al: in M m r e in mr e,

10 10 M in m r e. ( 31 ) Mot határozzuk meg a apágyakban ébredő reakióerőket! Előzör a úlyerőkkel kapolato tatiku reakiókat határozzuk meg ld. 4. / b ábra! Függőlege íkban Forgó íkban 4. / b ábra A bal oldali ábraréz zerint a úlyzó S úlypontja egy körpályát ír le a függőlege íkban, így a támazoktól való távolága forgá közben i ugyanaz marad. Így : G t GA G A; ( 3 ) G t G B G B. ( 33 ) Nyomatéki egyenúlyi egyenlettel: l GA lg ein 0, innen G e GA 1 in. l ( 34 ) Vetületi egyenlettel: GA GB G 0, innen GB G G A, majd ( 34 ) - gyel i: G e GB 1 in. l ( 35 )

11 11 Mot ( 3 ) é ( 34 ) - gyel: G t G e G A 1 in, l majd ( 33 ) é ( 35 ) - tel: G t G e GB 1 in. l ( 36 ) ( 37 ) Ezután a entrifugáli erőkkel kapolato reakiókat határozzuk meg. A jobb oldali ábraréz zerint: F Adin C A, ( 38 ) F Bdin C B. ( 39 ) Nyomatéki egyenlettel: M CB l 0, innen M C B. l ( 40 ) Figyelembe véve, hogy CA C B, ( 41 ) ( 7 ), ( 40 ) é ( 41 ) - ből kapjuk, hogy r e CA CB in m. l ( 4 ) Mot ( 8 ), ( 38 ) é ( 4 ) - vel: F r e Adin CA meo in m l r e l m e o in, r e l ( 43 ) Adin m e o in. Majd ( 8 ), ( 39 ) é ( 4 ) - vel:

12 1 F r e Bdin CB meo in m l r e m eo in, l r e Bdin m e o in. l ( 44 ) A térbeli vizonyokat a 4. / ábra zemlélteti. 4. / ábra Az eredő apágyreakiók nagyága é iránya a már látott módon zámítható. Megjegyezzük, hogy az ábrán feltüntetett Φ A é a Φ A * zögek közül a kényelmeebben haználhatót válaztjuk.

13 13 F F A A A A A R G C G C o ; ( 45 ) F CA in A F F GA C A G A C Ao arin. ( 46 ) Haonlóan: F F B B B B B R G C G C o ; ( 47 ) F CB in B F F GB C B G B C Bo arin. ( 48 ) Mot vegyük imét elő a F é M képleteit! Ezek: F meo. ( 8 ) M in m r e. ( 31 ) Az eddigiek alapján belátható, hogy a telje kiegyenúlyozá érdekében el kell végezni az F 0 é az M 0, ill. az ezekkel egyenértékű e 0 é az α 0 átmeneteket. Ezt a műveletet hívhatnánk özetett kiegyenúlyozának i. Ennek rézleteiről ld.[ 6 ]! Megjegyzéek: M1. A forgó tengelyt, melyre gondolatban a úlyzót zereltük, tökéleteen kiegyenúlyozottnak képzeljük. M.A úlyerőket a gyoran forgó gépelemek, zerzámok eetén el zokták hanyagolni a tehetetlenégi erők mellett, a úlyerők elenyéző hatáa miatt ld. [ 7 ]! M3. A [ 6 ] műben megjegyzik, hogy az ún. dinamiku kiegyenúlyozó gépek a tatiku kiegyenúlyozatlanág megzüntetéére i alkalmaak, így özetett kiegyenúlyozáról külön nem bezélünk.

14 14 Számpélda a úlyzómodellhez Az alábbiakban az özetett kiegyenúlyozatlanág eetére nézünk egy példát. Adatok: 3 1 l 0,90 m; r1 m; r m; = 45 ; 1 m 1 kg; G t 0 N; n = 1. Kereük: ~ a apágyakban fellépő erők legnagyobb é legkiebb értékeit, irányait; ~ a tatiku é dinamiku reakiók zázaléko arányát. Megoldá: ( 9 ) - ből: r1 r r m; ( a ) r r ( b ) 1 e m. A Fizikából imert képlet zerint: m G m g kg10 0 N. ( ) A ( 36 ), ( ), (b ) képletekkel: G m t G e 0 N 0 N G A 1 in 1 in 45 l 0,90 m 1 10 N 10 N 1 8,889 N, 0,90 G 8,889 N. ( d ) A A ( 37 ), ( ), ( b ) képletekkel: Gt G e 1 GB 1 in 10 N 10 N 1 31,111 N, l 0,90

15 15 GB 31,111 N. ( e ) A zintén a Fizikából imert képlettel: 1 1 n 1 6, 83, ( f ) majd a ( 8 ), ( b ), ( f ) képletekkel: 1 1 F meo 1 kg m 6, 83 39, 479 N, F 39,479 N. ( g ) Mot a ( 31 ), ( a ), ( b ), ( f ) képletekkel: 1 M in mr e in 90 1 kg m m 6, kg,5 m 39, ,697 Nm, M 98,697 Nm. ( h ) Mot a ( 40 ), ( 41 ) é ( h ) képletekkel: M 98,697 Nm CA CB C 109,663 N, l 0,90 m C C C 109,663 N. ( i ) A B A apágyreakiók nagyágát, irányát a 4. / ábra jobb oldali rézének egítégével zámítjuk ki. Az ( e ), ( g ), ( i ) képlettel i: F 39,479 N R B,max GB CB 31,111 N 109,663 N 160,514N, R 160,5 N. ( j ) B,max Szintén a zemlélet alapján: B,max 0. F 39,479 N R B,min GB CB 31,111 N 109, 663 N 98, 9 N, ( k )

16 16 R 98,3 N. ( l ) B,min Megint a zemlélet alapján: B,min 180. ( m ) F 39,479 N R A,max GA CA 8,889 N 109,663 N 98,813 N, R 98,8 N. ( n ) A,max A zemlélet alapján: A,max 0. ( o ) F 39, 479 N R 81,0 N. ( p ) R A,min G A CA 8,889 N 109,663 N 81,035 N, A,min A zemlélet zerint: A,min 180. ( q ) A tatiku é a dinamiku reakiók nagyágának zázaléko aránya, ( e ) é ( j ) - vel i: GB 31,111 N B ,39 %, R 160,5 N B,max B 19,39 %. Haonlóan: GA 8,889 N A , 00 %, R 98,813 N A,max A 9,00 %. Ezzel a zámpéldát megoldottuk. Megjegyezzük, hogy a fordulatzám növekedéével a dinamiku reakió - özetevők a fordulatzám négyzetével arányoan, rohamoan nőnek.

17 17 A valóágo forgórézekről A fentebb alkalmazott úlyzómodell nagy előnye, hogy a úlyzó úlypontjának helye, ill. exentriitáa / külpontoága ( e ) é a golyók középpontjait a úlyzórézek úlypontjait özekötő egyene iránya ( α ) közvetlenül, a zemlélet alapján i adódik. A valóágo, bonyolult alakú, egyenlőtlen tömegelozláú teteknél jóval özetettebb a zámítái feladat, hizen pl. az ottani megfelelő e é α mennyiégek i előzeteen meghatározandók, gyakran hozadalma zámítáal. A jelen bevezető, azaz kezdőknek, ill. kezdők tanárainak zánt dolgozat nem alkalma arra, hogy az említett zámítáok rézleteibe boátkozzunk. Helyette nézzünk meg néhány képet ld. [ 4 ]! Az ábrákon korongokat látunk, egy vízzinte forgátengelyre felerőítve. A korongok egyenlete tömegelozláúak. Az ábrákon C a korong tömegközéppontja, ill. úlypontja, O pedig a forgátengely é a korong középíkjának döfépontja. Az α zög a korong geometriai é fizikai forgátengelye által bezárt zög. A bal felő ábrán azt látjuk, hogy OC e = 0, α = 0 ; ez megfelel a fenti 1. eetnek: a korong tatikai é dinamikai zempontból egyaránt kiegyenúlyozott.

18 18 A bal aló ábrán azt látjuk, hogy e 0, α = 0 ; ez megfelel a fenti. eetnek: a korong tatikailag kiegyenúlyozatlan. A jobb felő ábrán azt látjuk, hogy e = 0, α 0 ; ez megfelel a fenti 3. eetnek: a korong dinamikailag kiegyenúlyozatlan. A jobb aló ábrán azt látjuk, e 0, α 0 ; ez megfelel a fenti 4. eetnek: a korong tatikailag é dinamikailag i kiegyenúlyozatlan. Mot képzeljük el, hogy a korong geometriai forgátengelye mentén több ugyanilyen korongot fűzünk fel! Ekkor a megfelelő ábrák egy egyene körhenger alakú tet kiegyenúlyozottágának, ill. kiegyenúlyozatlanágának lehetnek a zemléltető ábrái. A korong, a henger: forgátetek, így velük könnyebb boldogulni, a zemlélet zerint i. A tetzőlege alakú é tömegelozláú tetek eetében a helyzet lényegeen nehezebben tekinthető át. Ezzel a következő, már haladóknak zánt dolgozatunk foglalkozik. Özefoglalá A fentiek után már imerőek leznek az alábbiak. ~ Statikailag kiegyenúlyozatlan a merev fix tengely körül forgatott tet, ha a forgá miatt fellépő apágyreakiók egyirányú erők, melyek a tettel együtt forognak. ~ Dinamikailag kiegyenúlyozatlan a merev fix tengely körül forgatott tet, ha a forgá miatt fellépő apágyreakiók erőpárt képeznek, mely a tettel együtt forog. ~ Statikailag é dinamikailag i kiegyenúlyozatlan a merev fix tengely körül forgatott tet, ha a forgá miatt fellépő apágyreakiók közt erők é erőpár i zerepelnek, melyek a tettel együtt forognak. ~ Statikailag é dinamikailag i kiegyenúlyozott a merev fix tengely körül forgatott tet, ha a forgá miatt nem lépnek fel apágyreakiók. A forgórézek kiegyenúlyozáának az a élja, hogy a apágyakban nyugvó azaz nem forgó reakióerők ébredjenek. Ez azt jelenti, hogy a forgá miatt fellépő tehetetlenégi erők önmagukban egyenúlyban lévő erőrendzert alkotnak. Ha ikerült a kiegyenúlyozá, akkor a tet egy ún. zabad tengely körül forog. E élt rendzerint nem lehet tökéleteen megvalóítani, ak valamilyen mértékben megközelíteni. Ennek a feladatnak a leginkább az erre a élra zerkeztett kiegyenúlyozó gépek alkalmazáával lehet megfelelni. Példa erre az autóok által i imert entírozógép. Zárzó Ennek a dolgozatnak a élja a kiegyenúlyozá főbb fogalmainak bevezetée, a jelenég egyzerű modellen való tanulmányozáa révén. A leírához haznált ezközök az érettégire kézülők zámára imerőek, a felhaznált matematikai é fizikai imeretek egyzerűnek mondhatók. Azonban tudjuk, hogy a témakör alapoabb kifejtée, a fogalmak é tételek preízebb megfogalmazáa már nem ikerül a mehanika ezköztárának imerete, felhaználáa nélkül. Erre a feladatra e dolgozat máodik rézében kerülhet or.

19 19 Irodalom: [ 1 ] Lugoi Armand: Faipari zerzámok é gépek kézikönyve Műzaki Könyvkiadó, Budapet, 1987 [ ] Zarnai Szilárd: Faipari géptan I.. kiadá, Műzaki Könyvkiadó, Budapet, [ 3 ] Anderlik Előd ~ Feimer Lázló: Mehanika Palla Irodalmi é Nyomdai Rt., Budapet, [ 4 ] M. I. Baty ~ G. Ju. Dzanelidze ~ A. Sz. Kel zon: Teoretiezkaja mehanika v primerah i zadaah, II. 5. kiadá, Nauka, Mozkva, 197. [ 5 ] Szalay Béla: Fizika 4. kiadá, Műzaki Könyvkiadó, Budapet, [ 6 ] Ludvig Győző: Gépek dinamikája. kiadá, Műzaki Könyvkiadó, Budapet, [ 7 ] Muttnyánzky Ádám: Szilárdágtan Műzaki Könyvkiadó, Budapet, Sződliget, 009. február 15. Özeállította: Galgózi Gyula mérnöktanár

A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról kezdőknek

- IV.1 - mozgó süllyesztékfél. álló süllyesztékfél. 4.1 ábra. A süllyesztékes kovácsolás alapelve

Tartalomjegyzék. 6. T keresztmetszetű gerendák vizsgálata. 1.9. Vasalási tervek készítése...12. 2. Vasbeton szerkezetek anyagai,

2-17. ábra 2-18. ábra. Analízis 1. r x = = R = (3)

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Dinamika példatár. Szíki Gusztáv Áron

E E E W. Előszó. Kifejtés

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö

STNB221 segédlet a PTE Polláck Mihály Műszaki Kar hallgatóinak. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

2010/2011. tanév Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny II. forduló. 2011. január 31.

Bor Pál Fizikaverseny, középdöntő 2012/2013. tanév, 7. osztály

Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í

ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö