Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Átírás

1 Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban metszi. 1. ábra A feladat Adott: O(0, 0, 0); ( X, 0, Z );. Keresett: az ( XY ) sík által a kúpból kimetszett alkotóknak az X tengellyel bezárt Ф szöge.. ábra

2 A megoldás Ehhez tekintsük a. ábrát is! Jelölések: O t; ( X, ) =. Kikötések: X > 0 ; Z 0 ; 0 < < 90. ( 1 ) A. ábra szerint: R t tg ; ( ) Z / cos sin ; ( 3 ) R most a ( ) és ( 3 ) képletekkel: Z / cos t tg sin ; ismét a. ábra szerint: Z sin, ( 5 ) t így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: sin / cos tg sin, tehát: tg tg tg sin, ( 6 ) tg ahol a. ábra elölnézeti képe szerint: Z tg. ( 7 ) X Az ismert azonosság szerint [ 1 ] : 1 cos ; ( 8 ) 1 tg most a. ábra elöl - és felülnézeti képéről: R cos R tg cos cos tg cos cos, t / cos t tehát: tg tgcos cos. ( 9 ) Egy másik ismert trigonometriai azonossággal és ( 6 ) - tal: ( 4 )

3 3 tg cos 1sin 1, tg majd ( 10 ) - zel is: tg tgcos tg 1 tg tg, tg ezután pedig ( 9 ) és ( 11 ) - gyel is: ( 10 ) ( 11 ) tg tgcos cos cos tg tg. ( 1 ) Most ( 8 ) - hoz: 1 tg (sin cos ) cos tg tg cos cos majd ( 8 ) és ( 13 ) - mal: cos cos. cos cos 1 tg sin sin cos 1 tg, ( 13 ) ( 14 ) Végül ( 14 ) - ből: cos arccos. cos ( 15 ) A bemenő adatokhoz visszatérve, tekintettel a ( 7 ) - tel is adódó 1 1 cos 1 tg Z 1 X ( 16 ) összefüggésre is, ( 15 ) és ( 16 ) - tal: Z arccos 1 cos. X ( 17 ) Ezzel a X, Z, kapcsolat felállításának feladatát megoldottuk.

4 4 Megjegyzések: M1. A. ábra felső, jobb oldali ábrarésze egy a ξ tengely irányából nézett merőleges párhuzamos vetület. M. A. ábra a feladatbeli általános esetet szemlélteti. Most nézzünk néhány speciális esetet! Ezeket a ( 1 ) képlet egy változatával tanulmányozhatjuk kényelmesen: tg tg tg. 1 tg Az ( 1 ) és ( 7 ) képletekkel: ( 1 / 1 ) 0. ( 18 ) Lényeges kérdés, hogy van - e δ - ra felső határ. Először ezt vizsgáljuk meg. A ( 1 / 1 ) képletben négy eset lehetséges. 1. eset: 0. ( e / 1 ) Ekkor ( 1 / 1 ) - ből:. ( a ). eset: 0. ( e / ) Ekkor ( 1 / 1 ) - ből: 0. ( b ) ( e / 3 ) 3. eset:. Ekkor ( 1 / 1 ) - ből: 0. ( c ) 4. eset:. ( e / 4 ) Ekkor ( 1 / 1 ) - ből azt kapjuk, hogy a négyzetgyök alatt negatív szám áll, vagyis nincs megoldása ( d ) feladatunknak, hiszen nincsen kimetszett alkotó sem. Azt találtuk, hogy ~ δ - ra létezik felső határ is, vagyis ( 18 ) - at is felhasználva: 0, ( 19 ) vagy ( 7 ) és ( 19 ) - cel: Z 0 arctg ; ( 0 ) X ~ a kimetszett alkotók száma:, 1, 0. M3. Most alkalmazzuk képletünket a. ábra esetére! Adatok: δ = 19, γ = 30.

5 5 A ( 1 / 1 ) képlettel: tg tg arctg. 1 tg ( 1 ) Behelyettesítve a fenti adatokat, a számított eredmény ld. a 6. oldali táblázatot is! : számított 3, 7. ( ) Az eredményt a. ábráról szögmérővel lemérve: szerkesztett 4. ( 3 ) ( ) és ( 3 ) szerint a szerkesztéssel és a számítással kapott eredmények jól egyeznek. M4. A 3. ábrán, melyet az internetről ingyenesen letölthető Graph programmal készítettünk, a ( 15 ) képlet függvényének alakját tanulmányozhatjuk. 35 I ( fok ) A ( 15 ) képlet grafikonja, γ = 30 esetén: piros vonal A 30 e. sugarú negyedkör: kék vonal f(x)=acos((cos(30))/(cos(x))) f(x)=sqrt(sqr(30)-sqr(x)) 5 delta ( fok ) ábra

6 6 Az a meglepő eredmény adódott, hogy a kapott grafikon közel áll egy negyedkörhöz. Hogy valójában nem az, azt a pontos kék negyedkör rárajzolásával mutattuk meg. x f(x) 0 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x f(x) 0 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Továbbá: a bal oldali táblázat a piros, a jobb oldali a kék grafikon értéktáblázata. Ezekből könnyen kivehető egy adott x δ értékhez tartozó függvényértékek eltérése. M5. Az a tény, hogy a piros és a kék függvénygörbék szinte teljesen egybeesnek, a következőképpen is elfogadhatóbbá tehető. A ( 1 / 1 ) formula szerint: tg tg tg. 1 tg Ha fennállnak a tg, tg, tg, tg 1 ( 1 / 1 ) ( 4 )

7 7 közelítő összefüggések, akkor ( 1 / 1 ) az alábbi alakba írható:, ( 5 ) ez pedig egy γ sugarú, pozitív ordinátájú körív egyenlete. A kék negyedkör egyenlete ugyanez, γ = 30 mellett. A ( 4 ) közelítésekhez felidézzük az [ 1 ] - ből vett idevágó ismereteket: ~ a tgx x formula hibahatára 1 %, ha 9,8 xfok 9,8 ; ~ a tgx x formula hibahatára 10 %, ha 9,6 x 9,6. fok M6. Az a tény pedig, hogy a ( Ф, γ, δ ) mennyiségek nem ívmértékben, hanem fokban szerepelnek a grafikonokon, azért nem okoz gondot, mert a radiánról fokra való átszámítás állandójával ( 5 ) - öt végigszorozva az egyenlet alakja változatlan marad: 180 rad rad rad ; rad fok, így rad rad rad fok rad rad rad rad fok fok azaz fok fok fok ; de., ( 6 ) ( 7 ) Önállóan megoldandó feladatok: Ö1.: Az érdeklődő Olvasó készítse el az ( e / 1), ( e / 3 ), ( e / 4 ) eseteknek a. ábra szerinti megfelelőit! ( A. ábra az ( e / ) esetet tartalmazza. ) Ö.: Az érdeklődő Olvasó írja fel az ( e / 1), ( e / 3 ), ( e / 4 ) esetekre vonatkozó specializált képleteket! Ö3.: Az érdeklődő Olvasó vizsgálja meg az adott feladatban a ( 4 ) közelítések, illetve a ( 6 ) és ( 7 ) feltételek teljesülésének meglétét, illetve hiányát!

8 8 Irodalom: [ 1 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 010. július 14. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár