A fűrészmozgás kinetikai vizsgálata

Átírás

1 A fűrészmozgás kinetikai vizsgálata Az alábbi dolgozat az ban Sopronban, a kandidátusi fokozat elnyerése céljából írt értekezésem alapján készült, melynek címe: Balesetvédelmi és környezetkímélő eljárások az erdészeti anyagmozgatásban. Az eredeti munkámat némiképpen átdolgoztam, felújítottam, főként a számítástechnikai lehetőségek fejlődése okán. A fadöntés mechanikájának általam megismert szakirodalma meglepő módon nemigen foglalkozik egy alapvető jelenség mechanikai vizsgálatával: a fűrésznek a rönkben történő előrehaladásával. Hangsúlyozom: az előrehaladásról, tehát a fűrészélre merőleges irányú mozgásról van szó; a fűrészfogaknak a fához viszonyított relatív mozgásával bő irodalom foglalkozik: [ 1 ], [ ]. Pontosabban a következő függvények meghatározásáról van itt szó: ~ = ( t ) : a fűrészél helyzetének időbeli változása, ~ v = v ( ): a fűrészél sebességének változása a koordináta függvényében. A második függvénnyel foglalkozunk először. 1. ábra Az 1. ábra alapján az m tömegű fűrészre felírt kinetikai alapegyenlet: m FE, ( 1 ) ahol F: a fűrészt előtoló erő, E: a faanyag által a fűrészre kifejtett ellenállás tengellyel párhuzamos összetevője. Ez utóbbi erőről feltételezhető, hogy nagysága arányos a fűrészél által kijelölt pillanatnyi húrhosszal. Tehát, ha az átvágandó fatörzs keresztmetszete R sugarú kör, akkor E c h. ( ) A ( ) képletben c : állandó, mértékegysége kg s.

2 Az 1. ábra szerint: h R, ( 3 ) így az alapegyenlet ( 1 ), ( ), ( 3 ) - mal: m Fc R. ( 4 ) Most ( 4 ) bal oldalát átalakítva: dv dv d dv m m m m v, ( 5 ) dt d dt d így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: dv m v F c R. ( 6 ) d Integrálva ld.: [ 3 ]! : v Fc R d m v dv, R 0 1 v F c R R arcsin m, R R R v F Rc R R arcsin m, R tehát a keresett v = v ( ) függvény: R m R v F R c R R arcsin. ( 7 ) A v = v ( ) függvény grafikonját különböző c értékek esetén a. ábra szemlélteti egy konkrét ( F, m, R ) adathármas: F = 40 N, m = 8 kg, R = 0,1 m esetén. F Megmutatható, hogy a c - nél nagyobb ( de nem túl nagy ) c értékek esetén a R görbéknek az = 0 helyre szimmetrikusan helyi szélsőértékük van. A maimum, ill. a minimum helye: F F R, ill.: R. 4c 4c ( 8 ) A grafikonok szerint nagy c értékek esetén vagyis, ha az anyag ellenállása nagy a fűrészelési folyamat leáll, a sebesség - grafikon megszakad.

3 3 c = 0 kg / s c = 50 kg / s c = 100 kg / s c = 150 kg / s c = 00 kg / s c = 10 kg / s c = 0 kg / s c = 30 kg / s c = 35 kg / s c = 37 kg / s c = 37,5 kg / s c = 37,30 kg / s c = 37,317 kg / s c = 37,5 kg / s c = 38 kg / s c = 40 kg / s c= 50 kg / s c = 54,77 kg / s c = 300 kg / s A v( ) sebesség - függvény paraméterezése Adatok: F = 40 N; m = 8 kg; R = 0,1 m. v ( m / s ) ( m ) -0.. ábra d Mivel v v, a változókat szétválasztva és integrálva, ( 7 ) - tel kapjuk, hogy: dt t d dt. R R ( 9 ) 0 F Rc R R arcsin m R A bal oldalon álló integrált a Graph grafikus szoftver segítségével határozzuk meg: előállítjuk az 1 / v() függvényt 3. ábra, melynek grafikon - alatti területe szolgáltatja a rönk átvágásához szükséges T időt. A c = 37 kg /s paraméterhez tartozó átvágási idő: T 1. s.

4 4 F = 40 N; m = 8 kg; R = 0,1 m; c = 37 kg / s 4 1 / v( ) [ s / m ] [ m ] f()=(0.5*(40*(+0.1)-37*(*sqrt(0.01-^)+0.01*asin(/0.1)+0.01*pi/)))^(-1/) - 3. ábra A t = t ( ) függvényt, valamint ennek inverzét, a keresett az = ( t ) függvényt célszerű grafikusan előállítani, szintén a Graph szoftver használatával. A t = t ( ) függvényt úgy állítjuk elő, hogy egymás után képezzük a Ri f 1 t( f ) d v() ( 10 / 1 ) a R függvény - értékeket, ahol R, i 0,1,,...,n. ( 10 / ) n 0,1 m Példaképpen legyen 0,01 m! 0 Ezzel készítettük az alábbi táblázatot, melynek utolsó idő - adata: az átvágási idő.

5 5 i a [ m ] f [ m ] t ( a, f ) [ s ] 0-0, , , ,09 0, , ,08 0, , ,07 0, , ,06 0, , ,05 0, , ,04 0, , ,03 0, , ,0 0, , ,01 0, , ,00 0, , ,01 0, , ,0 0, , ,03 0, , ,04 0, , ,05 0, , ,06 0, , ,07 1, , ,08 1, , ,09 1, , ,10 1, A táblázat alapján készült grafikon a 4. ábrán szemlélhető. A grafikon szintén a Graph - fal készült, harmadfokú interpoláció alkalmazásával. Nyilvánvaló, hogy a 4. ábra az = ( t ) grafikont is tartalmazza; ez érzékelhető, ha fejünket 90 fokkal jobbra billentve szemléljük a 4. ábrát. Megjegyzem, hogy az alkalmazott függvények meglehetősen érzékenyek a bennük szereplő állandók értékére, így valóságközeli eredmények esetleg csak többszöri próbálkozás után állnak elő. A számított eredményeket érdemes kísérletileg ellenőrizni. Irodalom: [ 1 ] Hajdu Endre: Fűrészelési folyamatok kinematikai vizsgálata Erdészeti és Faipari Egyetem Kiadványai, Sopron, [ ] Szerk. Lugosi Armand: Faipari kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban

6 6 1.5 t ( ) [ s ] [ m ] Pontsor ábra Készítette: Hajdu Endre Sopron, 010. február 1.