Egy újabb látószög - feladat

Átírás

1 1 Egy újabb látószög - feladat A feladat Adott az O középpontú, R sugarú körön az α szöggel jellemzett P pont. Határozzuk meg, hogy mekkora ϑ szög alatt látszik a P pontból a vízszintes átmérő - egyenes egy AB sza - kasza, ahol a B pont a vízszintes körátmérő jobb oldali végpontja lásd 1. ábra! A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 1. ábra 2. ábra Eszerint koszinusz - tétellel írhatjuk, hogy ( 1 )

2 2 szintén a 2. ábra alapján: ( 2 ) folytatva: ( 3 ) hasonlóan: Most ( 1 ) - et átrendezve: ( 4 ) ( 5 ) Majd ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: ( 6 ) ( 7 )

3 3 A ( 7 ) egyenlet a válasz a feltett kérdésre. Speciális esetek S1.) ( 1 * ) ekkor ( 6 ) és ( 1* ) - gal: azaz: ( a ) a szemlélettel egyezően. S2.) ( 2* ) ekkor ( 6 ) és ( 2* ) - gal: ( b ) a szemlélettel egyezően. S3.) ( 3* ) ekkor ( 6 ) és ( 3* ) - gal: ( c ) a szemlélettel egyezően. S4.) ( 4* ) ekkor ( 6 ) és ( 4* ) - gal:

4 4 ( d ) a szemlélettel egyezően. S5.) ( 5* ) ekkor ( 6 ) és ( 5* ) - gal: ( e ) a szemlélettel egyezően. S6 / 1.) ( 6* / 1 ) ekkor ( 6 ) és ( 6* ) - gal: ( f / 1) a szemlélettel csaknem egyezően. S6 / 2.) ( 6* / 2 ) ekkor ( 6 ) és ( 6* / 2 ) - vel:

5 5 ( f / 2 ) S7.) ( 7* ) ekkor ( 6 ) és ( 7* ) - gal: ( g ) itt 3 eset lehetséges: a) b) c) ( g1 ) ( g2 ) ( g3 ) a szemlélettel egyezően, bár azt kissé próbára téve. A speciális esetek belátásához érdemes ábrát készíteni. Ezt már rábízzuk az érdeklődő Olvasóra. Fentiekben τ egy dimenzió nélküli szám. A τ*r mennyiséggel adjuk meg az A pont O - tól mért előjeles távolságát ( koordinátáját ). A 2. ábrán τ jobbról balra növekszik. Megjegyzések: M1. Felvetődött, hogy szinusz - tétellel gyorsabban eredményre juthatnánk. Nézzük! A 2. ábra alapján: ( 8 ) most R / a - t ( 3 ) - ból véve: ( 9 )

6 6 majd ( 8 ) és (9 ) - cel: ( 10 ) A ( 10 ) képlet szerkezetében hasonlít ( 6 ) - ra. Azonos átalakításokkal ( 10 ) - ből ( 6 ) nyerhető. Ennek részleteit az érdeklődő Olvasóra bízzuk. Viszont érdekes lehet a ( 6 ) és ( 10 ) képletekből egy újabbat létrehozni: képezve ( 10 ) és ( 6 ) hányadosát: ( 11 ) ebből: ( 12 ) Speciális esetek: s1 ) ( s1* ) ekkor ( 11 ) és ( s1* ) szerint: ( A ) s2 ) ( s2* ) ekkor ( 11 ) és ( s1* ) szerint: ( B ) s3 ) ekkor ( 11 ) és ( s3* ) szerint: ( s3* ) ( C )

7 7 s4 ) ( s4* ) ekkor ( 11 ) és ( s4* ) szerint: ( D ) s5 ) ( s5* ) ekkor ( 11 ) és ( s5* ) szerint: ( E ) s6 ) ekkor ( 11 ) és ( s6* ) szerint: ( s6* ) ( F1 ) Majd: ( F2 ) Hasonló áll elő (s1* ) - nál, ha α 0.

8 8 s7 ) ( s7* ) ekkor ( 11 ) és ( s7* ) szerint: ( G / 1 ) Majd: ( G / 2 ) Összehasonlítva a S és a s jelű speciális eseteket, megállapíthatjuk, hogy a ( 6 ) és a ( 11 ) képletek speciális esetei többnyire egyeznek; eltérés közöttük csak a kényes egybeeső pontok azaz P = A 1 gyakorlatilag nem igazán érdekes ( G ) esetében lép fel, továbbá a ( 11 ) alapján számított ϑ szög ( E ) szerint negatív előjelű is lehet. M2. Érdemes megemlíteni, hogy a speciális esetek taglalásánál sokat segít a szemlélet. Másképpen fogalmazva: támaszkodni kell a szemléletre is. Például ilyenek az s4 ) és s5 ) esetek is. M3. A τ = +1 eset Thalész tételének felel meg. Erről így ír [ 1 ]: azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott szakasz derékszögben látszik, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, kivéve a szakasz végpontjait. Eszerint nem erőltetik, hogy a kör átmérőjének végpontjaiból milyen szög alatt látszik a kör átmérője. Ezek után mi sem erőltetjük annak eldöntését, hogy mely képleteink a job - bak, ebben a szélső helyzetben. Ezek szerint átírva ( 12 ) - t: ( 13 ) M4. Egy példa Adatfelvétel: ( % ) A ( 13 ) és ( % ) - kal adódik a 3. ábra.

9 9 3. ábra Számunkra az arctg - függvény főértéke érdekes 4. ábra. 4. ábra

10 10 A 4. ábra a 3. ábra kinagyításával készült. Értékkészlete: Javasoljuk, hogy az Olvasó ellenőrizze a 4. ábrát a jellegzetes értékek alapján! M5. A 3. és 4. ábra a Graph egy független változós függvényt rajzoló programmal készült. Ez rendelkezik implicit függvényt rajzoló alprogrammal, így nem kellett az arctg ~ függ - vény különböző görbeágainak illesztésével foglalkoznunk 5. ábra, csak a főértéket kinagyítanunk 4. ábra. Ugyanis a ( 13 ) és ( % ) szerinti (! ) függvény grafikonja az 5. ábra szerint szakadásos ( türkiz vonalak ), amit ki kell egészíteni ( piros vonalak ). Ugyanis a szemlélet alapján τ > 1 esetén ϑ nem negatív, hanem pozitív. 5. ábra Így azonban megjelenik egy másik felesleges rész. Ez az, amit a (!! ) implicit függvénnyel dolgozó Graph szerencsésebben kezel 3. ábra. M6. Sajnos, az általunk talált ingyenes, F( x, y, z ) = 0 implicit függvényeket rajzoló programok nem hozták azt az eredményt, amit a Graph hozott az f ( x, y ) = 0 esetben. Ehhez tekintsük a 6. ábrát is!

11 11 6. ábra forrása: [ 2 ] Itt is ábrázoltuk a nullára redukált alakban megadott (!! ) függvényt. Ezen jól látszik, hogy olyan típusú ugrás / szakadás van benne, mint az 5. ábra türkiz görbéjében. Ezzel nem érdemes komolyan folytatni az ábrázolást, hiszen a zavaró részek is bonyolódnak benne: még zavaróbbak lesznek 7. ábra. 7. ábra forrása: [ 2 ]

12 12 Más, az interneten található ingyenes szoftverrel még idáig sem jutottunk el. Szomorú. Emiatt ( jelenleg ) nem tudjuk a teljes ( 13 ) függvényt ábrázolni. Nem jobb a helyzet a ( 6 ) és ( 10 ) függvények inverzének ábrázolásával sem. Így maradt az a megoldás, hogy α egy - egy rögzített értékére ábrázoljuk a ( 13 ) függvényt, ahogyan azt a 3. és 4. ábrán be - mutattuk. Tény, hogy ezt könnyebb is értelmezni. M7. A ( 6 ) és ( 10 ) függvények egyenértékűségének belátásához alkalmazzuk a azonosságot is! M8. Az M5 - ben említett kiegészítés alapja a következő összefüggés: ámde (!! ) és ( ) szerint: ( ) ( ) így ( ) alapján képezve az inverz függvényt: azaz ( ) és ( ) szerint: ( ) ( ) ahol a pozitív szögértékek elérése céljából τ > 1 - re a + előjelet választottuk. M9. Bár sokat számoltunk, azért nem feledkezhetünk meg a szerkesztéses, illetve rajzos megoldásról sem. Szemléletessége és egyszerűsége miatt lehet vonzó alternatíva. M10. Úgy tűnik, kitaláltunk egy könnyű feladatot, melyről azt gondolhattuk, hogy gyorsan végzünk vele. Kiderült, hogy a szemléltetéssel kapcsolatban meglepően komoly technikai gondjaink támadtak, melyekre nem találtunk megnyugtató megoldást, legfeljebb csak tűr - hetőt. Furcsa, pedig nem is atomreaktort terveztünk. Talán majd legközelebb ( Ahogy a klasszikus rajzfilmben mondja a rosszfiú: Next time Gadget, next time! ).

13 13 Források: [ 1 ] Reiman István: Matematika Typotex Kiadó, Budapest, [ 2 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár