Egy háromlábú állvány feladata. 1. ábra forrása:

Átírás

1 1 Egy háromlábú állvány feladata Az interneten találtuk az alábbi versenyfeladatot 1. ábra Az egyforma hosszúságú CA, CB és CD rudak a C pontban gömbcsuklóval kapcsolódnak, az A, B, D végükön sima vízszintes síkra támaszkodnak. A rudakat a közepükön lévő A 1, B 1, D 1 pontokban kötelekkel kötjük össze, melyek hossza fele a rudak hosszának. Határozzuk meg a kötelekben ébredő húzóerő nagyságát, ha a rudak homogének és M tömegűek! 1. ábra forrása: Most ezt oldjuk meg. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Erről a következőket olvashatjuk le: ~ a háromláb mind a négy csúcsa szabályos háromszögek csúcsai; ~ a szerkezet globális egyensúlyi feltétele alapján a támaszerők nagysága egyenlő a rudak súlyával; ~ az egy rúdra ható K kötélerők R eredője a háromláb függőleges szimmetriasíkjában hat.

2 2 A 2. ábra jobb felső ábrarésze alapján egy rúdra két erőpár működik, melyek egyensúlya alapján: ( 1 ) A 2. ábra jobb alsó ábrarésze alapján, koszinusz - tétellel: Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 2 ) ( 3 ) Ezután a 2. ábra bal oldali ábrarésze alapján: ( 4 ) Most az ATC derékszögű háromszögből Pitagorász tételével, ( 4 ) - gyel is: ( 5 ) Majd ( 4 ) és ( 5 ) szerint: ( 6 ) Ezután ( 3 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) Tehát a kötelekben a ( 7 ) szerinti nagyságú erő ébred. Első kiegészítésként határozzuk meg a 2. ábrán bejelölt ϕ és α szögek nagyságát is! Ismét a 2. ábra bal oldali ábrarésze alapján ( 6 ) - tal:

3 3 ( 8 ) majd ( 8 ) - cal is: ( 9 ) Második kiegészítésként írjuk le a rudak ( egyező ) igénybevételeit! Ehhez tekintsük a 3. ábrát! Itt azt mutatjuk meg, hogyan vesszük fel az egyenletesen megoszló súlyterhelés f intenzitását, hogyan bontjuk fel azt rúdra merőleges q és rúdirányú n összetevőkre, valamint ugyanezt a koncentrált G és R erőkre is. Az ( 1 ) és ( 6 ) képletekkel: ( 10 ) 2. ábra Most az 1. ábra és ( 5 ) alapján: ( 11 )

4 4 hasonlóan, ( 4 ) - gyel is: ( 12 ) A következő teendő: az igénybevételi függvények és ábráik előállítása. Kezdjük az N ( x ) normálerő - ábrával! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Egyensúlyi egyenlettel az I. szakaszon: figyelembe véve, hogy ( 13 ) ( 14 ) ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) most ( 11 ) és ( 15 ) szerint: ( 16 )

5 5 Egyensúlyi egyenlettel a II. szakaszon: ( 17 ) most ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 14 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 ) A ( 16 ) és a ( 18 ) képletek alapján, G = 1000 N, l = 10 m ( A ) adatokkal készült a 4. ábra 4. ábra Folytassuk a Q( x ) nyíróerő - ábrával! A nyíróerő - függvény felállításához egyensúlyi egyenletet alkalmazunk ld.: 5. ábra! Az I. tartószakaszra: ( 19 ) ámde: ( 20 )

6 6 5. ábra így ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 21 ) most ( 12 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) A II. tartószakaszra, szintén az 5. ábra alapján: ( 23 ) most ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 20 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) Az ( A ), ( 22 ) és ( 23 ) - mal készült nyíróerő - ábra a 6. ábrán szemlélhető meg.

7 7 6. ábra 7. ábra Most jöjjön a nyomatéki ábra! Az I. tartószakaszra az 5. ábra szerint: ( 25 )

8 8 majd ( 20 ) és ( 25 ) - tel: ( 26 ) ezután ( 12 ) és ( 26 ) - tal: ( 27 ) Az II. tartószakaszra az 5. ábra szerint: ( 28 ) most ( 10 ), ( 20 ) és ( 28 ) - cal: ( 29 ) majd ( 11 ), ( 12 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) Az ( A ), ( 27 ) és ( 30 ) - cal készült nyomatéki ábra a 7. ábrán szemlélhető. Ezzel a kiegészített feladatot is megoldottuk. Megjegyzések: M1. Egy további kiegészítés lehetne a feszültségek vizsgálata. Ez még az elsőrendű, azaz az alakváltozásoknak az igénybevételekre gyakorolt hatását figyelembe nem vevő elmélet alapján dolgozva is okozhatna gondokat. M2. A feladat jellegéből adódóan itt nemigen lehet sok mindent elhanyagolni;

9 9 pl. a rudak önsúlyát biztosan nem, hiszen a K kötélerőt éppen a G = Mg önsúlyterhek okozzák. Ennek megfelelően pl. az n normális megoszló terhelést sem hanyagolhatjuk el, amivel karcsú rudak esetében főként egy másodrendű elmélettel való számítás lehet esedékes. M3. Az igénybevételi ábrák jellege ugyanaz mindaddig, amíg elsőrendű elmélettel dolgo - zunk mint ahogy itt is tettük. Ennek megfelelően az ( A ) adatokat tisztán kényelmi szempontok szerint vettük fel, azért, hogy a Graph függvényábrázoló programot működ - tetni tudjuk. Ezt azért említjük, mert valójában az alábbi úton kellett volna járnunk: ~ a rúd súlya: G = Mg ; ~ a rúd tömege: M = Vρ, ahol ρ: a homogén rúd anyagának sűrűsége; ~ a rúd térfogata: V = Al ; ~ a rúd keresztmetszeti területe pl. téglalap keresztmetszeti síkidom esetén : A = bh. Ezek szerint egy téglalap keresztmetszetű rúd súlya: G = bhlρg. Ez a körülmény főként az itt nem folytatott szilárdsági számítások miatt válhat fontossá, hiszen a keresztmetszeti jellemzők a keresztmetszet alakjának függvényei, így egyáltalán nem mindegy, hogy kör vagy téglalap keresztmetszetű rúd feszültségi állapotát tanulmá - nyozzuk. Egyébként a rúd anyaga megválasztásának fontosságát sem feledhetjük! Ezek után vizsgáljuk meg, hogy fa gerendák egy adott esetében hová jutnánk! A példa egy légszáraz állapotú bükkfa gerenda, melynek adatai az alábbiak: ρ = 714 kg / m 3 ; l = 10 m ; b = 0,10 m ; h = 0,14 m ; g = 10 m / s 2. Ezekkel: G = bhlρg = 0,10 m x 0,14 m x 10 m x 715 kg / m 3 x 10 m / s 2 = 1001 N 1000 N. Élünk a gyanúperrel, hogy ez a gerenda igencsak karcsú lenne, deformációja pedig akár szabad szemmel is látható lehetne ami sok esetben nem igazán szerencsés körülmény. M4. A normálerő - ábrát a rúd felső vége felől kezdtük el felépíteni. Így volt kézenfekvő. M5. Az eredeti feladat egy versenyfeladat. Vajon mennyi időt adtak / kaptak rá? Bár a szimmetria jelentősen megkönnyíti a megoldást, azért bőven van lehetőség a rontásra. M6. Talán nem tűnik fel, de mostanában már nem nagyon igyekszünk az igénybevételi ábrákat gyalog előállítani. A Graph rajzoló - program megteszi ezt nekünk; ennek az az ára, hogy jól kell felírnunk és alkalmaznunk az igénybevételi függvények képleteit. Nem rossz üzlet, főleg, ha megértettük, hogy elértük a határainkat már ami a kézi ábra - készítést illeti. M7. Egy ténylegesen megvalósított esetben a C gömbcsuklós kapcsolat nem biztos,

10 10 hogy valóban gömbcsuklós lenne. Talán három hengeres csappal is jól elboldogulnánk. A 8. ábra szerinti háromláb fejkialakítása éppen ilyen. 8. ábra forrása: 9. ábra forrása:

11 11 M8. A 9. ábrán látható egy a feladatunkban mondotthoz hasonló típusú láncos rögzítés. Nem lehet túl gyakori megoldás, mert sokáig kellett keresnünk, míg rátaláltunk. M9. Ha már szóba hoztuk a kivitelezési kérdéseket, eszünkbe juthat, hogy értelme lehet nem csak kötéllel, hanem nyomásra is ellenálló rúddal dolgozni. Az érdeklődő Olvasó végiggondolhatja, hogy mi változna ezzel. Sződliget, december 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár