A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához II. rész

Átírás

1 A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához II. rész A második feladat Az első feladat alapfeltevése az volt, hogy a gerendavég kellően merev, így a terhelések hatására is egyenes marad. A valóságos testek azonban deformálhatóak, így az ugyanolyan alakú és méretű, de eltérő anyagból készült gerendavégek várhatóan más és más alakváltozást, ezzel együtt pedig más és más erőjátékot produkálnak. A deformálhatóság figyelembe vételével megnő a lehetséges erőtani modellek száma. E második feladatunkban a gerendavéget a rugalmas ágyazású tartók elméletével vizsgáljuk. A feladat és részleges megoldásának lelőhelye: [ 1 ]. Az eredeti feladat leírása az alábbi ld. az 1. ábrát is, melynek forrása [ 1 ]! 1. ábra Adott: Egy acélgerenda, melyet a hosszban bebetonoztak, és amelyet a b hosszúságú kinyúló végén P koncentrált erő terhel. A beton a p k y törvényt követi, ahol p a bebetonozott tartóvég hosszegységére ható nyomás. Keresett: 1. A befogott rész rugalmas vonalának differenciálegyenlete.. A differenciálegyenlet általános megoldása.. Határfeltételek. 4. Az integrálási állandók feltételi egyenletei. 5. Az M hajlítónyomaték, a V nyíróerő és a p nyomás lefutásának vázlatos ábrázolása. Megoldás: Először levezetjük a probléma differenciálegyenletét, melynek során körvonalazódik az alkalmazott modell milyensége is. Ehhez tekintsük a. ábrát is! Itt feltüntettük: ~ az alkalmazott koordináta - rendszert, ~ a befogott gerendavégre ható erőket, ~ a befogott rész egy egyensúlyban lévő differenciális elemét.

2 . ábra Utóbbi egyúttal az igénybevételek pozitív előjelét is definiálja. Az alkalmazott koordináta - rendszer és előjelszabály figyelembe vételével kijelentjük, hogy a pozitív hajlítónyomaték negatív görbületet eredményez, és megfordítva, emiatt: EI y ''(x) M(x), ( 1 ) a Szilárdságtan tanítása szerint. Vetületi egyensúlyi egyenlettel: V V dvp 0, innen: dv(x) p(x). ( ) Nyomatéki egyensúlyi egyenlettel: M M dmv p 0, innen a szokásos érveléssel: dm(x) V(x). ( ) Az eddigiekhez hozzávéve a Winkler - hipotézisnek megfelelő p(x) k y(x) ( 4 ) egyenletet, előttünk állnak a feladat alapegyenletének összetevői. Most ( ) és ( ) - mal: dv(x) d M(x) p(x), ( 5 ) majd ( 1 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel:

3 d d k y(x) E I y''(x) E I y ''(x), innen: EI y''(x) " k y(x) 0. ( 6 ) Ha az EI hajlítómerevség a befogott rúdszakaszon állandó, akkor ( 6 ) - ból: IV EIy (x) k y(x) 0. ( 7 ) Itt a k ágyazási tényezőt állandó értékűnek tekintjük. A ( 7 ) egyenlet a feladat alapegyenlete: a befogott rész rugalmas vonalának differenciálegyenlete. A téma szakirodalma kiterjedt, ám attól hogy ismeretes, még nem lesz egyszerű ( 7 ) megoldása. Ha minden matematikai nehézségen túljutottunk, akkor még szükség lesz az anyagi tulajdonságokat hordozó k és E mennyiségek számértékére is. Jöjjön a ( 7 ) egyenlet általános megoldása! Például [ ] szerint: x x y(x) e C1 cos( x) C sin( x) e C cos( x) C4 sin( x), ahol k 4 E I 4. Hogy a ( 7 ) egyenlet megoldása ( 8 ), arról behelyettesítéssel győződhetünk meg. A feladat megoldásához szükség lehet az y, y, y deriváltakra is. Ezek [ ] alapján: x x dy(x) C1 e cos( x) sin( x) C e sin( x) cos( x) ; x x C e cos( x) sin( x) C4 e sin( x) cos( x) ( 10 ) ( 8 ) ( 9 ) ; e C sin( x) C cos( x) x d y(x) e C1 sin( x) C cos( x) x 4 ( 11 ) x d y(x) e C1 sin( x) cos( x) C cos( x) sin( x). x e C sin( x) cos( x) C4 cos( x) sin( x) ( 1 )

4 4 A ( C 1, C, C, C 4 ) integrálási állandók meghatározására 4 darab feltételi egyenletre van szükségünk. Ezekhez kellenek az alábbi egyenlet - alakok is; ( 1 ) - ből: M(x) y ''(x) ; E I ( 1 ) ( ) és ( 1 ) - mal: V(x) y'''(x). E I ( 14 ) Most már a feladat peremfeltételei, ( 1 ) és ( 14 ) - gyel is: ~ ha x 0, akkor M 0, azaz y" 0; ( 15 ) ~ ha x 0, akkor V 0, azaz y'" 0; ( 16 ) Pb ~ ha x a, akkor M P b, azaz y" ; ( 17 ) E I P ~ ha x a, akkor V P, azaz y'". ( 18 ) E I Most ( 11 ) és ( 15 ) - tel: C C4 0; ( 19 ) majd ( 1 ) és ( 16 ) - tal: C1 C C C4 0; ( 0 ) ezután ( 11 ) és ( 17 ) - tel: Pb C1 m C m1 C m4 C4 m ; ( 1 ) E I továbbá ( 1 ) és ( 18 ) - cal: P C1 m1 m C m1 m C m m4 C4 m m 4. E I ( ) A ( 1 ) és ( ) képletekben alkalmazott rövidítő jelölések: a a m1 e cos( a); m e sin( a); a a m e cos( a); m4 e sin( a). ( ) A ( 19 ), ( 0 ), ( 1 ), ( ) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva kapjuk a ( C 1, C, C, C 4 ) állandókat, melyekkel a p( x ), M( x ), V( x ) függvények is ismertté válnak. Egy hozzávetőleges ábrázolásuk az [ 1 ] - ből vett. ábrán szemlélhető.

5 5. ábra A. ábrán két dolog is feltűnik: ~ a befogott gerendaszakaszon a p( x ) megoszló terhelés már nem egyenes szerint változó; ~ a V( x ) és M( x ) függvények lefutása erősen emlékeztet az I. részben látottakra. A feladat végigszámolása, valamint az eredmények megszemlélése után az alábbiak juthatnak az ember eszébe: ~ az exponenciális és trigonometrikus függvényekkel való bánás gyalogosan igencsak nehézkes, ezért valami egyszerűbben kezelhető függvénytípus után kellene nézni; ~ a váltást az is indokolhatja, hogy az alkalmazott modell eléggé kezdetleges: nem veszi figyelembe a rövid gerendáknál erősebben érvényesülő nyírási alakváltozásokat; csak egy állandó értékű, vagyis a hossz mentén nem változó ágyazási tényezővel dolgozik, amely csak az eltolódásokat érzékeli, de az elfordulásokat nem, stb. Így arra juthatunk, hogy meg lehetne kísérelni létrehozni egy olyan modellt, mely a fenti negatívumok egy részét kiküszöböli, de még mindig elviselhető számítási munkával elfogadható eredményeket adhat. Ez úgy tűnik, meg is történt: a [ ] munkában például úgy járnak el, hogy a rugalmas ágyazás reakciójának függvényeként önkényesen egy általános harmadfokú parabolát vesznek fel, annak 4 darab ( a 0, a 1, a, a ) paraméterével. A hajlított gerenda 4 darab integrálási állandóját az ittenihez hasonló módon határozzák meg, az a i ( i = 0,, ) állandókra pedig további feltételeket írnak elő. Ebből kettő az ismert egyensúlyi egyenletek, a másik kettő viszont az ágyazás és a gerenda érintkezésével, besüllyedésével kapcsolatos. A hosszadalmas számítások eredményeit képletekkel, ill. táblázatokkal adják meg. Megjegyezzük, hogy az esetünkre vonatkozó számítások másképpen is berendezhetők; erre vonatkozóan a [ 4 ] és [ 5 ] munkákat ajánlhatjuk az Olvasó figyelmébe. A hivatkozott munkákban található képletekre érdemes lehet számítógépi programot írni. Nem véletlen, hogy a fenti számítási munka eredményeinek egy részét a szakirodalomból vettük át, a munka másik részét pedig az érdeklődő Olvasóra bíztuk. Sok sikert!

6 6 Irodalom: [ 1 ] Ludwig Föppl: Aufgaben aus Technischer Mechanik Unterstufe Verlag von R. Oldenburg, München und Berlin, 194. [ ] August Föppl: Vorlesungen über Technische Mechanik. Band: Festigkeitslehre 9. Auflage, Verlag von B.G. Teubner, Leipzig - Berlin, 19. [ ] I. A. Szimvulidi: Raszcsot inzsenyernüh konsztrukcij na uprugom osznovanyii Izd. 6., Moszkva, Vüszsaja Skola, [ 4 ] Széchy Károly: Alagútépítéstan Tankönyvkiadó, Budapest, [ 5 ] J. T. Oden: Mechanics of Elastic Structures McGraw - Hill Book Company, New York, Sződliget, 009. október 8. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár