A csavarvonal axonometrikus képéről

Átírás

1 A avarvonal axonometrikus képéről Miután egyre jobban megy a Graph ingyenes függvény - ábrázoló szoftver használata, kipróbáltuk, hogy tudunk - e vele avarvonalat ábrázolni, axonometrikusan. A válasz: tudunk. Most erről a kis kalandról számolunk be lelkes Olvasóinknak. Nemrég a már többször említett [ 1 ] - et lapozgattuk, ahol ezt találtuk 1. ábra. 1. ábra Ez felkeltette az érdeklődésünket: vajon meg tudnánk - e rajzoltatni a Graph - fal a mondott helyzetekben lévő merőleges vetületeket. Ugyanis emlékszünk, hogy egyik korábbi dolgozatunkban címe: A avarvonalról és a avarmenetről, jele: ( KD - 1 ) elég sokat dolgoztunk a avarvonal vetületi és kiterített ábráinak elkészítésekor ld.: 4. ábra! Gépesíteni kell a rajzolást! Az elvégzett munka eredményei az alábbi ábrákon szemlélhetők meg. A feladat lényege: belőni a avarvonal, ill. a merőleges axonometrikus ábrázolás paramétereit, az 1. ábra szövegének megfelelően. Ezt most részletesen kifejtjük. A közönséges avarvonal paraméteres egyenletrendszere, a mozgástani származtatás szerint, ha ( X, Y, Z ) egy P pont koordinátái ld. a 4. ábrát is! : X(t) rcost ; Y(t) rsin t ; ( 1 ) Z(t) u t. Az alkalmazott jelölések: r : az alapkör sugara; ω: a forgómozgás szögsebességének nagysága; u: a haladó mozgás sebességének nagysága; t : az idő. Az axonometrikus ábrázolással kapolatos összefüggéseinket egy korábbi dolgozatunkból vesszük, melynek címe: Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról, jele: ( KD - ). A avarvonal Z tengelye és a K axonometrikus képsík által bezárt szögre: cos q, ( ) z

2 ahol q z : a merőleges axononometria z tengelye menti rövidülési együtthatója ld.:. ábra!. ábra Ennek képlete, szintén ( KD - ) - ből átvéve azt: q 1tg tg, ( ) z ahol α, β: az ábrázolás szög - paraméterei ld.:. ábra!. ábra A avarvonal menetemelkedési szögére ld. a ( KD - 1) - ből átvett 4. ábrát is! :

3 v u haladó tg. vkör r 4. ábra ( 4 ) A fenti jelölésekkel az 1. ábra szövege szerint: hurkolt ciklois : ; úos ciklois : ; ( 5 ) nyújtott ciklois :. Most ( ) és ( ) szerint: arccosq z arccos 1tgtg. ( 6 ) Majd ( 4 ) - ből: u arctg. ( 7 ) r A feladat megoldása az ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ) képleteken alapul. Az egyszerűség kedvéért azt választjuk, hogy:. ( 8 ) Ekkor ( 6 ) - ból:

4 4 arccos 1 tg. ( 9 ) Az ábrázoláshoz megválasztjuk az α szöget: 0. ( 10 ) Ekkor ( 9 ) és ( 10 ) - zel: arccos 1tg 0 5, 6. ( 11 ) A hurkolt ciklois ábrázolásához felvett adatok és az eredmény az 5. ábrán látható. Közönséges avarvonal merőleges axonometrikus képe: hurkolt ciklois y ( m ) Adatok: r = 1 m; α = β = 0 ; u = 1 m/s; ω = 1/s. 5 4 x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4)+sqrt(/)*t x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4) Pontsor 1 1 x ( m ) ábra Az adatokkal és ( 7 ) - tel: u 1 m / s 1 arctg arctg arctg 6,57. r 1 1 m s ( 1 ) Most ( 11 ) és ( 1 ) összevetésével: 6,57 5, 6, vagyis ( 5 ) és ( 1 ) szerint valóban egy hurkolt cikloisnak kellett itt kirajzolódnia. Az ábrázolási képleteket ( KD - ) - ből átvéve : ( 1 )

5 5 1 1 x ' X Y, tg tg 1 1 tg tg tg tg y ' X Y 1 tg tg Z, tg tg 1 1 tg tg ( 14 ) ( 15 ) ahol x és y a képsíkon felvett merőleges tengelykereszt tengelyei, mint a. ábrán is. Most ( 8 ), ( 10 ), ( 14 ), ( 15 ) - tel: 1 1 x ' X Y, 1 1 ( 16 ) y' X Y Z. 6 6 Majd ( 1 ) és ( 16 ) - tal: x ' r cos t r sin t r sin t cos t ; ( 17 ) y' 1 1 rcos t rsin t u t ( 18 ) rsin tcos t ut. 6 Most azonos átalakítással: sin cos 1 1 sin cos sin sin cos cos 4 4 ( 19 ) cos cos sin sin cos Majd az adatokkal és ( 19 ) - cel: x ' cos t (m). 4 ( 0 ) Hasonlóképpen ( 18 ) - at is átalakítva, az adatokkal is: 1 y ' sin t t (m). 4 ( 1 ) A ( 0 ) és ( 1 ) egyenleteket az 5. ábrán is feltüntettük.

6 6 A úos ciklois ábrázolásához felvett adatok és az eredmény a 6. ábrán látható. Közönséges avarvonal merőleges axonometrikus képe: úos ciklois 5.5 y ( m ) Adatok: r = 1 m; α = β = 0 ; u = m/s; ω = 1/s x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4)+sqrt(/)*t*sqrt() x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4) Pontsor x ( m ) 6. ábra Az adatokkal és ( 7 ) - tel: u m / s 1 arctg arctg arctg 5, 6, r 1 1 m s ( ) azaz ( 11 ) és ( ) - vel: 5,6, ( ) vagyis ( 5 ) és ( ) szerint valóban egy úos cikloisnak kellett itt kirajzolódnia. A nyújtott ciklois ábrázolásához felvett adatok és az eredmény a 7. ábrán látható. Az adatokkal és ( 7 ) - tel: u m / s arctg arctg arctg 1 45, r 1 1 m s ( 4 )

7 7 Közönséges avarvonal merőleges axonometrikus képe: nyújtott ciklois 5.5 y ( m ) Adatok: r = 1 m; α = β = 0 ; u = m/s; ω = 1/s x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4)+sqrt(/)*t* x(t)=-cos(*t+pi/4), y(t)=-sqrt(1/)*sin(*t+pi/4) Pontsor x ( m ) 7. ábra azaz ( 11 ) és ( 4 ) - gyel: 45 5, 6, ( 5 ) vagyis ( 5 ) és ( 5 ) szerint valóban egy nyújtott cikloisnak kellett itt kirajzolódnia. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Megjegyezzük, hogy számításaink, ábráink nem bizonyítják, hanem inkább ak szemléltetik az 1. ábrán közölt kijelentések igazát. Annál is inkább, mert az elkészített avarvonal - vetületek ( 5., 6., 7. ábra ) nem egy avarvonal képei három képsík - állásnál, hanem három különböző avarvonal képe, egy képsík - állásnál. Irodalom: [ 1 ] Sződliget, 010. március 1. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár