Érdekes geometriai számítások 10.

Átírás

1 1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más úton nyert összefüggéseinkkel, ami tetőgeometriai ismereteinket tovább gazdagíthatja. A kifejtéshez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a triéder / háromél egyik élére az A pontban egy merőleges síkot állítottunk, amely kimetszette a triéderből az ABC háromszöget, ezzel együtt pedig az A - nál lévő x lapszöget is. Közvetlen feladatunk: az x lapszög kifejezése az élek által bezárt α, β, γ szögekkel. Előkészítésként: ( 1 ) ( 2 ) Most írjuk fel kétféleképpen a BC távolság négyzetét! Koszinusz - tétellel: ( 3 ) ( 4 ) Most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) Majd ( 1 ), ( 2 ) és ( 5 ) - tel: egyszerűsítve:

2 2 azonos átalakítással: rendezve: innen: ( 6 ) Ez a keresett kifejezés. Alkalmazzuk ezt esetére! Ekkor ( 6 ) és ( 7 ) szerint: ( 7 ) ( 8 ) Most emlékeztetünk arra a tényre, hogy egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Érdekes geometriai számítások - 9. levezettük a téglalap alaprajzú, ϕ 1 és ϕ 2 tetőhajlású kontytetőre, hogy a szomszédos tetősíkok olyan ϕ szöget zárnak közre, melyre nézve fennáll, hogy ( 9 ) Minthogy az itteni jelöléssel x = ϕ, ezért ( 9 ) átírható: ( 10 ) Most a ( 8 ) és ( 10 ) egyenletek azonosságát kell belátnunk. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra

3 3 Eszerint: ( 11 ) ( 12 ) így ( 8 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: tehát: ( 13 ) vagyis ( 8 ) és ( 10 ) ugyanazt fejezik ki. A ( 13 ) képletből kapjuk még, hogy ( 14 ) Úgy tűnik, megint sikerült nagyobb rálátásra szert tennünk a közönséges kontytető esetére. Megjegyzések: M1. A fentiekkel látszólag nem vagyunk előrébb, mint korábban. Valójában igen, mert a ( 6 ) és a belőle származtatott ( 10 ) képletek előállításához nem kellett gömbháromszög - tani kifejezésekkel bajlódni. Ez komoly előny lehet a kezdő számára. M2. Az [ 1 ] munkában még további átalakításokat is végeznek a ( 6 ) képleten. Most ezt is megmutatjuk. Egy trigonometriai azonossággal [ 2 ] : ( 15 ) Majd ( 6 ) - ból: ( 16 ) ezután megint egy ismert azonossággal: most ( 16 ) és ( 17 ) - tel: ( 17 ) ( 18 ) Ismét egy azonossággal:

4 4 ( 19 ) majd ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) ezután ( 15 ) és ( 20 ) - szal: innen: ( 21 ) Gyökvonással: ( 22 ) Innen: majd ebből: ( 23 ) Hasonlóképpen levezethetően a másik két lapszögre fennállnak, hogy ( 24 ) valamint: ( 25 )

5 5 M3. Az utóbbi képletek nagyfokú szimmetriát mutatnak. Ha jók ez valószínű, hiszen nagyrészt az [ 1 ] forrásból származnak, akkor fenn kell állnia az alábbi típusú korláto - zásoknak: ( a ) ( b ) ( c ) ( a1,2 ) ( b1,2 ) ( c1,2 ) Képezve az ( a ), ( b ), ( c ) relációk összegét, kapjuk, hogy, vagy ( d1 ) A szemlélet alapján a ( d1 ) relációnál erősebb megszorítást is adhatunk: minthogy ( e ) így ( e ) - vel: ( d2 ) Azonban ismét a szemléletre alapozva további megszorítás is tehető; nevezetesen: a ( d ) képletekben szereplő szögösszeg a triéder oldalainak összege kisebb 2π - nél, azaz: ( d3 ) Ezt [ 3 ] ban úgy magyarázzák, hogy különben nem lehetne ilyen szögtartományok - ból a triédert összeragasztani. Egy másik szemléltető példa a 3. ábra szerinti. Itt a szögösszeg: ( d4 ) Ez ugyan nem bizonyítás, azonban látható belőle, hogy esetén a térbeli helyzet síkbelivé fajul, a triéderből monoéder lesz; ennek elkerülése végett ( d3 ), illetve ( d4 ) - nek fenn kell állnia.

6 6 3. ábra [ 1 ] ben az alábbi korlátozások olvashatók e feladat kapcsán: Ezek közül a harmadikat ( b1 ), a másodikat (d4 ) alatt találtuk meg. Az első pedig kiolvasható a ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ) képletekből, a ( k ) ( f1 ) ( f2 ) ( f3 ) típusú összefüggésekből. Azt találtuk, hogy a számítással kapott képletek taglalásával a triéder élei által bezárt szögek közötti relációkra deríthető fény. Ez nem annyira egyszerű feladat, mint ahogyan azt a fentiekben láthattuk is. M4. A triéder geometriájának vizsgálata során sok szerző a gömbháromszögtan megfelelő összefüggéseit alkalmazza. Erre láthatunk példát a [ 4 ] internetes anyagban is. Itt megtalálhatjuk pl. a ( d4 ) összefüggés igazolását is.

7 7 Irodalom: [ 1 ] R. V. Gangnusz ~ Ju. O. Gurvic: Geometrija, Csaszty 2. Sztyereometrija Moszkva, Knyiga po Trebovanyiju,? vagy: %22%D0%A0.%D0%92.+%D0%93%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BD%D1%83% D1%81%22&hl=hu&sa=X&ei=08UWVaGoJsjtO5_NgZgC&ved=0CB4Q6AEwAA#v=o nepage&q&f=false [ 2 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, [ 3 ] Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, [ 4 ] Sződliget, március 30. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár