Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Átírás

1 Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja [ 1 ], [ ]. Felmerült a gondolat, hogy az tten eredményeket más, polgár célú alkalmazásokban s hasznosítan lehetne. Ebből született meg egyebek mellett a cérnás mérés alapötlete. Az alábbakban ennek az elmélet alapjat foglaljuk össze. A koordnáta - meghatározás alapképletenek levezetése Mostanság, a GPS - alapú helymeghatározó eszközök széles körű polgár célú elterjedésével egyre többen és egyre vlágosabban látják az lyen rendszerek működésének a lényegét. Ebben sok segítséget ad az nternet s [ 3 ],[ 4 ], stb. A helymeghatározás geometra lényegét az 1. ábra segít megvlágítan forrása: [ 1 ]. 1. ábra Az alap: a térbel ívmetszés. Ennek lényege, hogy 3 smert térbel helyzetű O 1, O, O 3 ponttól egydejűleg meghatározzuk a keresett koordnátájú mozgó M pont D 1, D, D 3 távolságát. Az 1. ábra szemlélete alapján: a D 1 és D sugarú gömbök egy körben metszk egymást, amt a D 3 sugarú gömb pontban metszhet. A metszéspont közül az egyket valamlyen feltétel szernt kzárva kapjuk az egyetlen megoldást, azaz a pont térbel helyét. A különböző t dőpontokban végzett mérések eredményenek számítással történő kértékelése után rendelkezésünkre áll a M pontok egymásutánja, azaz a mozgó pont pályája, majd sebessége, stb., az adott koordnáta - rendszerben. A számítást egy ( OXYZ ) térbel derékszögű koordnáta - rendszerben végezzük ld.. ábra!

2 . ábra A feladat megfogalmazása: Adott: O 1 ( X 1, Y 1, Z 1 ) O (X, Y, Z ) O 3 ( X 3, Y 3, Z 3 ) D 1, D, D 3. Keresett: M ( X, Y, Z ). Megoldás: Ehhez tekntsük a 3. ábrát s! A 3. ábra alapján: D = l + D. ( 1 ) Innen: D =D l. ( ) 3. ábra

3 1,,3 1,,3 3 X Y Z X Y Z D D l j k j k X X Y Y Z Z. X X Y Y j Z Z k j D k ( 3 ) 1,,3 Innen: 1,,3 D D D X X Y Y Z Z. ( 4 ) Most másképpen alakítva ( ) - t: D l X X Y Y Z Z D D l D D l l nnen: D D l XX YY Z Z. ( 5 ) tehát Természetesen ( 4 ) - ből s megkaphatjuk ( 5 ) - öt, a kjelölt műveletek elvégzésével. Most ( 5 ) szernt, = 1,, 3 - mal: D D l X X Y Y Z Z ( 6 ) D D l XX YY Z Z ( 7 ) D D l XX YY Z Z. ( 8 ) Ezután képezzük az alább különbségeket! D D 1 D l1 X X1 Y Y1 Z Z1 D l X X Y Y Z Z l1 l X X1 X Y Y1 Y Z Z1 Z, tehát D1 D l1 l X X1 X Y Y1 Y Z Z1 Z. ( 9 ) Hasonlóképpen: D1 D3 l1 l3 X X1 X3 Y Y1 Y3 Z Z1 Z 3 ( 10 ) D D3 l l3 X X X3 Y Y Y3 Z Z Z 3. ( 11 ) Innen rendezéssel: 1 XX1 X YY1 Y ZZ1 Z D D1 l1 l ( 1 ) 1 XX1 X3 YY1 Y3 ZZ1 Z3 D3 D1 l1 l 3 ( 13 ) 1 XX X3 YY Y3 ZZ Z3 D3 D l l 3. ( 14 )

4 4 Most bevezetjük a 1 c1 D D1 l1 l ( 15 ) 1 c D3 D1 l1 l 3 ( 16 ) 1 c3 D3 D l l3 ( 17 ) rövdítő jelöléseket, majd ( 1 ), ( 13 ), ( 14 ) és ( 15 ), ( 16 ), ( 17 ) képletekkel: XX X YY Y ZZ Z c ( 18 ) X X X Y Y Y Z Z Z c ( 19 ) X X X Y Y Y Z Z Z c. ( 0 ) A most kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, amt könnyen beláthatunk, ha képezzük különbségüket vszont lneársak, vagys a keresett koordnáták négyzetet tartalmazó tagok nem szerepelnek bennük. A megoldás lényege: két smeretlent kfejezünk egy harmadkkal. Először küszöböljük k Z - t, így: ( 18 ) x ( Z Z 3 ) ( 0 ) x ( Z 1 Z ) elvégezve a kjelölt műveleteket és rendezve: X k a Y, ( 1 ) ahol 1 1 c1 Z Z3c3 Z1 Z X X Z Z X X Z Z k ( ) Y1 Y Z Z3Y Y3 Z1 Z X X Z Z X X Z Z a ( 3 ) Másodszor: küszöböljük k X - et, így: ( 18 ) x ( X 1 X 3 ) ( 19 ) x ( X 1 X ) elvégezve a kjelölt műveleteket és rendezve: Z k b Y, ( 4 ) ahol c1 X1 X3 c X1 X X X Z Z X X Z Z k ( 5 ) X1 X3Y1 Y X1 XY1 Y3 X X Z Z X X Z Z b ( 6 )

5 5 Az Y koordnáta meghatározására a ( 4 ) képlettel, = 1 - re: D X X Y Y Z Z ( 7 ) most ( 1 ), ( 4 ) és ( 7 ) képletekkel, behelyettesítés, átalakítások és rendezés után: D1 l1 k1 k X1 k1 Z1 k 0. a b 1 Y X a Y Z b k a k b Y ( 8 ) Most tekntsük azt a specáls esetet, amkor a távmérő egységek mnd ugyanazon a vízszntes síkon helyezkednek el, azaz: Y 1* Y * Y 3* 0. ( S 1 ) Ekkor ( 3 ) és ( 6 ) matt a* = b* = 0, ( S 1 / 1 ) így ( S 1 ), ( S 1 / 1 ) és ( 1 ), ( 4 ), ( 8 ) - cal: X* k 1 ( 9 ) Z* k ( 30 ) Y* D l k k X k Z k, ( 31 ) ahol fgyelembe vettük az Y* 0 korlátozást s. Egy specáls eset Vegyük fel úgy az elrendezést, hogy az O távmérő egységek egy szabályos háromszög csúcsan helyezkedjenek el ld. 4. ábra! A csúcsok koordnátá: 3 X1 lcos30 l 1 Z1 lsn30 l X X 1 Z Z 1 X3 0 Z3 l. ( * ) 4. ábra

6 6 Az l 1 = l = l 3 = l ( l ) összefüggés matt ( 15 ), ( 16 ) és ( 17 ) - ből: 1 c 1* D D 1 ( 38 ) 1 c * D3 D 1 ( 39 ) 1 c 3* D3 D. ( 40 ) Most ( ) és ( * ) képletekkel: c 1 * k 1* 3l ( 41 ) majd ( 38 ) és ( 41 ) - gyel: D D1 k 1*. 3 l ( 4 ) Ezután a ( 5 ) és ( * ) képletekkel: c * c 1 * k * 3l ( 43 ) továbbá a ( 38 ), ( 39 ) és ( 41 ) képletekkel: D3 D D1 k *. 6l ( 44 ) Most ( 9 ) és ( 4 ) - vel: D D1 X * 3 l ( 45 ) majd ( 30 ) és ( 44 ) - gyel: D3 D D1 Z* 6l ( 46 ) végül ( 31 ), ( l ), ( 45 ), ( 46 ) képletekkel s: D 1 D D3 Y * l X * Z*. 3 ( 47 ) Az M pont távolsága az orgótól, általában: D X Y Z, ( 48 ) lletve az tten specáls esetben: D * X * Y * Z *. ( 49 ) Most teszteljük képletenket néhány különleges helyzetben!

7 7 a.) D1 D D 1 : ekkor ( 45 ) szernt X * 0, azaz az M pont a függőleges YZ síkban található. D D D D : ekkor ( 45 ) és ( 46 ) szernt X * 0, Z* 0, valamnt b.) ( 47 ) és ( 49 ) szernt D* Y* D13 l. Az utóbb esetet szemléltet az 5. ábra. A cérnás mérésről 5. ábra Most képzeljük el, hogy a mozgó M ponthoz az MO cérnákat erősítjük, melyeket az alsó végükön súllyal megfeszítünk ld. 6. ábra! Itt a kezdet helyzetet szemléltettük. 6. ábra

8 8 A cérnákhoz erősített mutató segítségével a skáláról leolvashatjuk a cérna D mérő - hosszának ΔD megváltozását, amellyel D, új = D + ΔD. Ezzel az új mérőhosszal kszámítjuk az M pont helyének új koordnátát, majd az új és a rég koordnáták különbsége megadja az egyes tengelyek ment u, v, w elmozdulás - komponenseket. Ehhez ld. a 7. ábrát s! 7. ábra A 7. ábráról leolvasható, hogy u X X ( 50 ) új új rég v Y Y ( 51 ) rég w Zúj Z rég. ( 5 ) Az eredő elmozdulás nagysága: f u v w ( 53 ) az eredő elmozdulás rányát megadó összefüggések: u cos(x,f ) f v cos(y,f ) f ( 54 ) w cos(z,f ). f

9 9 ( 53 ) és ( 54 ) - ből látható, hogy a keresett szögek közt fennáll az alább összefüggés: cos (X, f ) cos (Y,f ) cos (Z,f ) 1. ( 55 ) Ezzel meghatároztuk a mozgó M pont elmozdulását, nagyság és rány szernt. Megjegyzések: M1. A 6. ábra kapcsán említett mutató, skála, stb. csak a szemléltetést szolgálta. Egy valóságos elmozdulásmérés során akár század - mllméteres pontosságú mérőeszközre s szükség lehet. M. A fentek alapul szolgálhatnak a sebességek, stb. meghatározásához s. M3. Látható, hogy az ( 50 ), ( 51 ), ( 5 ) képletekkel számítható elmozdulás - komponensek tetszőlegesek. Ez a körülmény különösen alkalmassá tehet módszerünket nagy elmozdulásokkal járó kísérletek elvégzéséhez és kértékeléséhez s. Irodalomjegyzék [ 1 ] Red. A. A. Dmtrjevszkj: Ballsztka navgacja raket Moszkva, Masnosztroene, [ ] Red. E. I. Krneckj: Osznovü szpütanj letatelnüh apparatov Moszkva, Masnosztroene, [ 3 ] [ 4 ] Sződlget, 008. augusztus 8. Összeállította: Galgócz Gyula mérnöktanár