Lépcső beemelése. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.

Átírás

1 1 Lépcső beemelése Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával. 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt példákat látunk előregyártott vasbeton szerkezeti elemek kötéllel / lánccal történő emelésére, valamint az emeléshez alkalmazott elemekre és kapcsolódásukra. Itt látható egy lépcsőelem emelése is. Erről eszünkbe jutott egy feladat / feladat - család.

2 Előtte azonban vessünk egy pillantást a nálunk is meglévő megoldásokra ld.:. ábra!. / 1 ábra forrása: / ábra forrása:

3 3 Az 1. és. ábráról leolvasható geometriai sajátosságok az alábbiak: ~ ~ darab kötéllel / lánccal emelik a lépcsőelemet / lépcsőt; ~ a megfogási pontokat a lépcsőn szimmetrikusan helyezték el az előregyártás során; ~ két hosszabb és két rövidebb kötéllel / lánccal végzik az emelést. Ezeken alapul az alábbi feladat. A feladat Egy súlyú lépcsőelemet kell 4 db kötéllel beemelnünk a helyére. A kötelek a lépcsőhöz fix bekötési pontokon, a daru horgához gyűrűkkel kapcsolódnak. A hosszabbik kötélpár köteleinek hossza L 1, a rövidebbeké L. A szimmetrikusan elhelyezett alsó és felső bekö - tési pontok egymástól a lépcső szélességi irányában mért távolsága b, lépcső hossza mentén mért távolsága t. A lépcsőfokok belépési szélessége s, fellépési magassága m. Határozzuk meg: 1.) a felemelt lépcsőelem alsó síkjának a vízszintes síkkal bezárt szögét tetszőleges de értelmes kötélhossz - választás esetén;.) az emelő kötélágak jellemző szögeit; 3.) azokat a kötélhosszakat, melynél a felemelt lépcsőelem már az emelés során a beépítési hajlásszögét veszi fel; 4.) a kötélerők nagyságát! A megoldás Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt a feltételezett / elvárt geometriai és statikai helyzetet vázoltuk: ~ az L 1 hossúságú kötelek bal oldali síkja és az L hosszúságú kötelek jobb oldali síkja az E emelési ponton átmenő függőleges síkkal α ~ α szöget, egymással α szöget zárnak be; ~ a bal oldali kötélsíkban a kötelek egymással β, a jobb oldali kötélsíkban γ szöget zárnak be, szimmetrikusan. Ha ez a geometriai helyzet, akkor a statikai helyzet az alábbi. A 3. ábra jobb felső részletrajza szerint a kötélsíkokba eső S 1 és S összetevőkre, illetve részeredőkre: S 1 sin α + S sin α = 0 S 1 = S = S ; ( 1 ) F S cos α = 0, F = 0 S = F cos α = cos α, tehát: S =. ( ) cos α

4 4 3. ábra Az oldalsíkokban teljesen hasonlóan eljárva, ( 1 ) és ( ) - vel is: K 1 = K = S 1 cos β = K 1 = K = S cos β = cos α cos β = 4 cos α cos β, tehát: 4 cos α cos β. ( 3 ) Teljesen hasonlóan eljárva: K 3 = K 4 =. ( 4 ) 4 cos α cos γ Most előállítjuk az alakzat jellemző szögeit. Ehhez segédmennyiségek a 3. ábra szerint: l 1 = L 1 b ; l = L b. ( 5 ) α, β, γ meghatározása A 3. ábra P 1 P E háromszögéből koszinusztétellel: t = l 1 + l l 1 l cos α cos α = l 1 +l t, l 1 l

5 5 α = 1 arccos l 1 +l t l 1 l, ( 6 / 1 ) vagy ( 5 ) - tel is: α = 1 arccos L 1+L b t L 1 b L b. ( 6 / ) Ismét a 3. ábráról: sin β = b L 1, ( 7 / 1 ) β = arcsin b L 1 ; ( 7 / ) hasonlóan: sin γ = b L, ( 8 / 1 ) γ = arcsin b L. ( 8 / ) ϕ meghatározása Most megint a 3. ábra jobb felső részével: l 1 + l sin α = t cos φ, ( 9 / 1 ) l 1 l cos α = t sin φ. ( 9 / ) A ( 9 ) képletekből: cos φ = l 1+l t φ = arccos l 1+l t Hasonlóan: sin α, ( 10 / 1 ) sin α. ( 10 / )

6 6 sin φ = l 1 l t φ = arcsin l 1 l t cos α, ( 11 / 1 ) cos α. ( 11 / ) Vagy még ( 10 / 1 ) és ( 11 / 1 ) - gyel: cos φ = 1 l1+l = t sin φ tg φ l1 l tg φ = l 1 l l 1 +l t 1 φ = arctg l 1 l l 1 +l sin α cos α = l 1+l l 1 l tg α, ebből: tg α, ( 1 / 1 ) 1 tg α. ( 1 / ) Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! δ 1 és δ meghatározása 4. ábra

7 7 E szögek az L 1, illetve L hosszúságú kötelek hajlása a súly függőlegeséhez. Az EQ 1 szakasz hossza kétféleképpen is: EQ 1 = L 1 cos δ 1 = L 1 cos β cos α, cos δ 1 = cos α cos β, ( 13 / 1 ) ebből: δ 1 = arccos cos α cos β. ( 13 / ) Hasonlóan az EQ szakasz hossza kétféleképpen is: EQ = L cos δ = L cos γ cos α, cos δ = cos α cos γ, ( 14 / 1 ) ebből: δ = arccos cos α cos γ. ( 14 / ) A ϕ 0 hajlásszöghöz szükséges kötélhosszak meghatározása A lépcső hajlása beépített állapotában: tg φ 0 = m s, ( 15 / 1 ) φ 0 = arctg m s. ( 15 / ) Most pl. ( 1 / 1 ) és ( 15 / 1 ) - gyel: tg φ = l 1 l 1 = tg φ l 1 +l tg α 0 = m, s l 1 l l 1 +l 1 tg α = m s ; ( 16 ) majd ( 5 ) és ( 16 ) - tal: L 1 b L b L 1 b + L b = m s tg α, ( 17 ) ezután ( 6 / ) és ( 17 ) - tel:

8 8 L 1 b L b +L b t = m tg 1 arccos L 1. ( 18 ) L 1 b + L b s L 1 b L b Adott b, t, m, s esetén is ez 1 db egyenlet a db keresett mennyiségre, L 1 és L - re. Valószínűleg akkor járunk el a legegyszerűbben, ha a ϕ 0 szög mellett még egy másik szög - adatot is felveszünk, pl. az α = α 0 szöget. Ekkor ( 9 ) - ből: l 1,0 + l,0 sin α 0 = t cos φ 0, ( 9 / 1* ) l 1,0 l,0 cos α 0 = t sin φ 0. ( 9 / *) l 1,0 + l,0 = t cos φ 0 sin α 0, ( 19 / 1 ) l 1,0 l,0 = t sin φ 0 cos α 0 ; ( 19 / ) Most ( 19 ) egyenleteit összeadva: l 1,0 = t cos φ 0 sin α 0 + sin φ 0 cos α 0 l 1,0 = t cos φ 0 α 0 sin α 0 = t cos φ 0 cos α+sin φ 0 sin α sin α 0 cos α 0 = t cos φ 0 α 0 sin α 0,. ( 0 ) Majd ( 19 ) egyenleteit egymásból kivonva: l,0 = t cos φ 0 sin α 0 sin φ 0 cos α 0 = t cos φ 0 cos α sin φ 0 sin α sin α 0 cos α 0 = t cos φ 0+α 0 sin α 0, l,0 = t cos φ 0+α 0 sin α 0. ( 1 ) Ekkor a keresett kötélhosszak, melyekkel ϕ = ϕ 0 beáll: L 1,0 = b + l 1,0 = b + t cos φ 0 α 0 sin α 0 L,0 = b + l,0 = b + t cos φ 0+α 0 sin α 0, φ0 = arctg m s, φ0 = arctg m s, α 0 felvéve ; ( ), α 0 felvéve. ( 3 ) pl.: α 0 = 45 ( * ) esetén ( * ), ( ) és ( 3 ) - mal is: L 1,0 = b + t cos φ 0 45 sin 45 = b + t cos φ 0 45, φ 0 = arctg m s ; ( 4 )

9 9 L,0 = b + t cos φ 0+45 sin 45 = b + t cos φ , φ 0 = arctg m s. ( 5 ) ε meghatározása A teljesebb megoldás kedvéért, a 3. ábra alapján, ismét koszinusztétellel: ε = arccos L 1 +L t L 1 L. ( 6 ) Ezzel kitűzött feladatainkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. A feladat megoldása során azzal a feltevéssel éltünk, hogy a geometriai helyzet a 3. ábra szerinti. E nagyfokú szimmetria felvétele meglehet nem teljesen magától érte - tődő. A valóságban lehet tenni a szimmetria biztosításáért. Tudjuk, hogy a csigán átvetett kötél ágaiban egyenlő nagy kötélerők ébrednek, nyugalmi egyensúly esetén. Most képzel - jük el, hogy a kampók, gyűrűk, stb. helyett csigákon vezetjük át a köteleket 5. ábra. 5. ábra Ekkor a csigák biztosítják, hogy a csigán átfutó kötél mindkét ágában ugyanakkora húzó - erő ébredjen. A 3. ábra szerinti kialakítást talán tekinthetjük úgy is, mint az 5. ábra szerinti megoldás egyfajta határesetét. Az 5. ábra esetéhez viszonylag jól közelít az 1. ábra köze - pén látható, a lépcsőelem emelésére vonatkozó felfüggesztési megoldás.

10 10 M. A ( 0 ) és ( 1 ) képletek a 3. ábra alapján szinusztétellel közvetlenül is adódnak. M3. A ( 18 ) képlet úgy használható, hogy pl. L 1 - et felvesszük, majd e képletből L - t meghatározzuk. Ezt a munkát célszerű lehet grafikusan végezni. M4. Meglepő, hogy szinte semmi használhatót nem találtunk az interneten sem jelen témánkban. Ennek talán az lehet a magyarázata, hogy a négyköteles függesztés a nem csigás, azaz a nem változható kötélág - hosszak esetében statikailag egyszeresen határo - zatlan a feladat; ugyanis a 4 kötélerő meghatározásához a térbeli közös metszéspontú erő - rendszer számítása során csak 3 db egyensúlyi egyenletünk van, a negyedik egyenlet elő - állítása az alakváltozások vizsgálatát is igényli. M5. Az alakváltozások vizsgálatára már statikailag határozott esetekben is szükség lehet, ha a kötelek nem merevek, hanem nagy megnyúlások állhatnak elő. Ilyenek pl. a gumikö - telek is. Ekkor ugyanis az egyensúly a megváltozott kötélhosszak mellett áll be. Ez bizo - nyára szintén nem annyira egyszerű, bár nem túl gyakori feladat. M6. Nem tehetünk úgy, mintha nem tudnánk róla, hogy a beemelés jócskán mozgásokkal is jár. A statikai vizsgálat eredményei ezért inkább csak a nyugvó, illetve a gyorsulásmen - tesen mozgó elemekre lehetnek érvényesek. M7. Úgy láttuk egy régi munkahelyen, hogy az emelési feladatokhoz kötél - készlet állt rendelkezésre. Ha nincs raktáron a pont jó hosszúságú, állapotú, végein összekapcso - lásra alkalmas kötél - készlet, akkor venni vagy készíteni / készíttetni kell. Ehhez viszont meg kell tudni adni bizonyos adatokat. Meglehet, ez a dolgozat is segítheti ezt a munkát. Igaz, kísérletezéssel is előrébb lehet jutni, de így is előrelátóan kell a munkát megszervez - ni, a hozzávalókat beszerezni. Forrás: [ 1 ] M. I. al pjerin ~ N.. Dombrovszkij: Sztroityelnüje masinü, Csaszty I. 3. kiadás, Moszkva, Vüszsaja skola, Sződliget, Összeállította: algóczi yula ny. mérnöktanár