ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA"

Diána Gáspár
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 ALAPOGALMAK ERŐRENDSZEREK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA Egy testre általában nem egy erő hat, hanem több. Legalább két erőnek kell hatni a testre, ha az erő- ellenerő alaptétel alapján járunk el. A testek vizsgálatához az erőket összegezni kell, így jellemezhetővé válik a test. Le lehet írni a test mozgását, viselkedését. Az erőrendszerek eredőjének meghatározásához a következő alapfogalmak ismerete szükséges. MEREV TEST: olyan test, mely pontjainak a távolsága terhelés hatására sem változik. A statikában a testeket merev testeknek tekintjük. RUGALMAS TEST: olyan test, mely pontjaink a távolsága terhelés hatására megváltozik. Ilyen testeknek tekintjük a szerkezeteke a szilárdságtanban. TESTMODELL: a testmodellen egy szerkezet lényeges tulajdonságait kiemeljük a többit, a vizsgálat szempontjából nem fontos tulajdonságot elhanyagoljuk. ANYAGI PONT: Az anyagi pont egy tömeggel rendelkező kiterjedés nélküli testmodell. Ezt a modellt abban az esetben alkalmazzuk, ha a test kiterjedése nem fontos, például egy kötél vizsgálata a ráfüggesztett tömeggel. Itt a felfüggesztett tömeg kiterjedése másodlagos, ezért a kötél végén egy anyagi pontot helyezünk el, akkora tömeggel, mint amekkora tömeggel a test rendelkezik. RÚD: A rúd modellt olyan testeknél szoktuk alkalmazni, melyeknek egyik mérete (hoszsza) lényegesen nagyobb, mint a másik (keresztmetszet). Egy híd például statikai vizsgálat során rudakból épül fel. A statikai rudak megtámasztásra szolgálnak. Az erőrendszerek eredőjének meghatározáskor célszerű felvenni egy koordinátarendszert. A koordinátarendszer segítségével meg lehet egységesen és egyértelműen állapítani a pozitív és negatív irányokat. KÖZÖS HATÁSVONALON ELHELYEZKEDŐ ERŐK EREDŐJE A közös hatásvonalon elhelyezkedő erők értelme és nagysága különböző lehet. Az alábbi példában összesen 5 erő hat egy csapra. Meg kell határozni, hogy az 5 erő közös hatásként, milyen irányú erő fog hatni rá. Az erők nagysága: 1 = 200 N 2 = 600 N 3 = 500 N 4 = 400 N 5 = 250 N

2 Megoldás szerkesztéssel: A feladatot szerkesztéssel megoldva fel kell venni egy erőléptéket. Itt azt kell megadni, hogy ábrán 1 cm-nyi távolság hány kn-nak felel meg. Célszerű olyan értéket választani, hogy az erővektorok hossza egész szám legyen. Miután az erőléptéket kiválasztottuk meghatározzuk, hogy az erővektoroknak milyen hosszúságú szakasz fog megfelelni. Ezután megrajzolunk egy viszonyítási vonalat, amitől felmérjük az első erőt, majd párhuzamosan eltolva felrajzoljuk ez erőket egymás végpontjába. Az utolsó erő végpontja és a viszonyítási vonal közötti távolságban fog elhelyezkedni az eredő erő. Ezt a távolságot lemérve és a lépték alapján visszaszámolva megkapjuk ez eredő nagyságát! Megoldás számítással: A számításhoz ki kell jelölni az irányokat. Ehhez egy koordináta rendszert kell felvenni a szerkezetre. Y X A felvett koordináta rendszer alapján meghatározható, hogy melyik erő hat pozitív és melyik erő hat negatív iránya: Pozitív erők: 1= 200 N 2= 600 N Negatív irányba mutató erők: 3= N 5= N 4= 400 N Az erők összegét számítással úgy lehet meghatározni, hogy előjelhelyesen összeadjuk azokat. Ez az összefüggés képlettel kifejezve a következő ábrán látható:... R 1 2 n Ebbe az összefüggésbe behelyettesítve az előbb meghatározott erőket: R ( 500) 400 ( 250) A zárójeleket felbontva és az összeadásokat elvégezve a következő eredményt kapjuk: R N

3 KÖZÖS PONTBAN METSZŐDŐ ERŐRENDSZER EREDŐJE Ilyen feladat a gyakorlatban nagyon sokszor fordul elő. Ilyen példa egy cölöp, amire ki van kötve négy hajó. A négy hajó a kikötőben három irányba húzza a cölöpöt. Ha a cölöpöt egy anyagi pontnak tekintjük, akkor a négy erő erre a pontra hat, és az erők hatásvonalának a metszéspontja a cölöp középpontja. Az erők nagysága és a vízszintessel bezárt szögük: 1 = 60kN 2 = 35kN 3 = 60kN 4 = 66kN α1 = 45 o α2 = 117 o α3 = 260 o α 4 = 335 o Megoldás szerkesztéssel: A szerkesztéses megoldásnál célszerű a felfűzéses módszert választani, aminek a megoldása a következő ábrán látható: A megoldás során az első erőt megrajzoljuk léptékhelyesen, majd a következő erőt felrajzoljuk az előző erő végpontjába. A negyedik erő felrajzolása után az első erő kezdőés az utolsó erő végpontját összekötve kapjuk meg az eredő erő hosszát és irányát. Az erőlépték alapján az eredő hosszából meghatározható annak nagysága. Megoldás számítással: Korábbi tanulmányainkban foglalkoztunk már erő felbontásával vízszintes és függőleges irányra. A felbontás előtt ki kell jelölni az x és y irányokat. Célszerű a koordináta rendszer origóját az erők közös metszéspontjába felvenni. Ezután a szinusz és koszinusz szögfüggvények összefüggéseit kell használni az erők vízszintes és függőleges erőinek meghatározásakor, mivel az erő nagysága és a vízszintessel bezárt szöge ismert. A számítások eredményei táblázatos formában összefoglalva:

4 i α [ [kn] ix iy ] cos α sin α [kn] [kn] ,7071 0, ,426 42, ,4539 0, , , ,1736-0, ,416-59, ,9063-0, , ,8916 A táblázat ix illetve iy oszlopában lévő értékeket összeadva megkapjuk R erő vízszintes és függőleges irányú összetevőjének nagyságát: 1x 1y 2x 2 y... nx... ny 42,426 ( 15,8865) (10,416) 59, ,93kN 42,426 31,185 ( 59,088) ( 27,8916) 13,37kN Korábbi tanulmányaink során már meghatároztuk azt, hogy egy erő a vízszintes és függőleges irányú összetevőivel derékszögű háromszöget alkot, ahol az erő nagysága az átfogó, a vízszintes és függőleges irányú komponensek pedig a befogók. Mivel itt ismert az eredő erő két öszszetevője, ezért a nagyságát Pitagorasz tétel segítségével meg lehet határozni: R R 75,93 ( 13,37) 77, 09 kn Az utolsó lépésben az eredő erő vízszintessel bezárt szögét kell meghatározni, mivel a nagyságát ismerjük már, de az irányát még nem. Ezt az előbb leírt derékszögű háromszögből határozhatjuk meg, tangens szögfüggvény segítségével: tg R tg R R 0 350,014 13,37 0, ,93

5 PÁRHUZAMOS HATÁSVONALÚ ERŐK EREDŐJE A párhuzamos erők eredőjének meghatározása két adatot kell meghatározni. Egyrészt az eredő erő nagyságát, másrészt az eredő erőnek a helyét. A következő ábrán egy párhuzamos erőkből álló erőrendszer látható. Egy kötélre két testet rögzítünk egymástól l távolságra. A kötelet úgy kell rögzíteni, hogy elbírja a rá akasztott testeket. Ehhez tudnunk kell azt, hogy a két tömeg által keletkezett erő közös hatásaként mekkora erő terheli a kötelet és az hol helyezkedik el a kötél végpontjaitól. A feladatot szerkesztéssel fogjuk megoldani, méghozzá a kötélsokszög módszerrel. A kötélsokszög szerkesztés lépései: 1. Eredő erő megszerkesztése Az eredő erő a két súly összege lesz. Az eredő nagyságának meghatározásához először fel kell venni egy erőléptéket. Ezután az erőket fel kell mérni felfűzéses módszer segítségével egymás után, majd az első erő kezdő- és az utolsó erő végpontját összekötve lemérhetjük az eredő erő nagyságát, a lépték segítségével pedig visszaszámolhatjuk azt kn-ba. 2. Az erők léptékhelyes felrajzolása A két erőt léptékhelyesen felvesszük a megadott távolságra egymástól. ontos, hogy itt már az erők közötti távolságot is arányosan kell jelölni, ezért az erőlépték mellé felveszünk egy hosszléptéket. A két erő távolságát úgy kell léptékezni, hogy a szerkesztés kényelmesen kiférjen. A távolságot kerek értékre kell megválasztani, így könnyebb lesz az arányítás a szerkesztés végén.

6 3. Pólustávolság felvétele Mechanika tantárgyi segédlet A pólustávolságot az egymás alá felvett két erő mellé veszszük fel egy tetszőleges. A póluspontot lehetőleg úgy vegyük fel, hogy az első és az utolsó kötéloldal megközelítőleg derékszöget zárjon be és a távolság kerek cm legyen! 4. Pólussugarak megszerkesztése A pólussugarakat úgy keletkeznek, hogy a póluspontot öszsze kell kötni az erők kezdő és végpontjával. 5. Kötéloldalak szerkesztése A pólussugarakat el kell tolni a következő szabály szerint: Az I jelű pólussugarat az első erő hatásvonalára kell tolni úgy, hogy elmesse a hatásvonalat. Ahol az I jelű pólussugár elmetszi az első erő hatásvonalát, abból a pontból megrajzoljuk a II jelű pólussugarat úgy, hogy elmesse a második erő hatásvonalát. Abból a pontból, ahol elmetszi a második erő hatásvonalát a második pólussugár, abból a pontból megrajzoljuk a III jelű pólussugarat. Ahol az I jelű pólussugár elmetszi a III jelű pólussugarat ott lesz az eredő erő hatásvonalának egy pontja. Az eredő erő hatásvonala (er) megrajzolható, mivel az párhuzamos az 1 és 2 jelű erővel. Az ábráról lemérve valamelyik erő hatásvonalának és az errel jelölt eredő erő hatásvonalát meghatározható az eredő erő helye. Az eredő erő nagysága G1 és G2 erő nagyságának előjelhelyes összege lesz, ami a kötélsokszögből leolvasható.

7 A szerkesztési lépések végrehajtása egy ábrán:

8 GYAKORLÓ ELADATOK Határozza meg az eredő erő nagyságát és irányát a következő ábra és a táblázatban szereplő adatok segítségével! A feladatot szerkesztéssel és számítással oldja meg! Ssz [kn] [kn] [kn] [kn] [kn] 1 0,2 0,6 0,52 0,45 0, Határozza meg a következő erők eredőjét, ha ismert az erők nagysága és iránya! A feladatot szerkesztéssel (felfűzéses módszer) és számítással is oldja meg! Ssz. 1 α1 2 α2 3 α3 4 α4 5 α5 [kn] [ ] [kn] [ ] [kn] [ ] [kn] [ ] [kn] [ ] 1 0,2 15 0,6 30 0, , , Határozza meg az eredő erő nagyságát kötélsokszög módszer segítségével! Ssz. l1 l2 l3 G1 G2 [m] [m] [m] [kn] [kn] ,5 3 0,

Hasonló dokumentumok

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk