VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények a derékszögű háromszögben. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában. Előzmények Szinusz- és koszinusztétel, Pitagorasz-tétel, trigonometrikus összefüggések derékszögű háromszögekben. Cél Gyakorlati problémából kiinduló modellalkotás fejlesztése, adott valós elrendezéshez matematikai modell készítése, távolságok meghatározása a szögfüggvények segítségével. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató Ragaszkodjunk hozzá, hogy a tanulók minden feladat megoldása előtt készítsenek ábrát, azon jelöljék be és nevezzék el a feladat megoldása szempontjából fontos pontokat. Keressenek olyan háromszögeket, melyekben elég adatot ismerünk ahhoz, hogy a többi szöget és oldalt meghatározzuk. A feladat megoldása során fokozottan ügyeljünk a diákok figyelmes, értelmező szövegolvasására, mert e nélkül nehéz megfelelően elképzelni a szituációt, és megfelelő ábrát készíteni. Az első feladat két alkérdése a derékszögű háromszögben egyetlen szögfüggvény alkalmazásával megválaszolható. A. a) feladat bizonyos szempontból kakukktojás, hiszen nem használ szögfüggvényeket, csak Pitagorasz-tételt. Témájában azonban a feladatsorba illeszkedik, s felhívhatja a figyelmet a várakozásoktól eltérő megoldási módszerekre, ami az érettségi felkészülés időszakában feltétlenül hasznos. A. b) és a 3. feladatban a szinusz- és koszinusztételre van szükség, a 3. b) feladat ezen belül szokatlannak s így nehéznek számít. Érdemes arra figyelni, hogy a feladatok valóságosnak tekinthető szituációkat modelleznek, olyan adatokból indulnak ki, melyek ténylegesen mérhetőek lennének. Így a megoldások végén is célszerű meggondolni, életszerű-e az a végeredmény, amit kaptunk. Figyeljünk arra VII.10. Tornyosuló problémák 1.oldal/5

2 is, hogy milyen pontossággal érdemes megadni a válaszokat. (Számítások közben végzett kerekítésekből eredő hibák felnövekedése.) A megoldás során érdemes figyelni a térbeli helyzet szöveg alapján való helyes elképzelésének készségére a tanulóknál. Figyeljük, hogy tudnak-e a feladatnak megfelelő ábrát készíteni! Fontos megfigyelni, hogy milyen a tanulóknak a térbeli helyzet látványszerű ábrázolásának készsége; szögfüggvények, szinusz- és koszinusztétel használatában való jártassága. Megfigyelhető ennél a feladatsornál a tanulók realitásérzéke az eredmények megadásánál. A trigonometriából minimális alapismeretekkel rendelkezőknek is meg kell tudniuk oldani az első feladatot. A. a)-hoz noha csak Pitagorasz-tételen alapul már egy ügyes ötletre is szükség van. A. b) és a 3. a) feladat egy újabb szintet jelent, de a szinusz- és koszinusztételt készségszinten alkalmazóknak nem okozhat gondot néhány lépésben megtalálni a megoldást. Valószínűleg elsőre sokan nem a legrövidebb utat fogják megtalálni, ekkor érdemes végiggondolni, hogy hogyan lehetett volna kevesebb lépésben eljutni a végeredményhez. A 3. a) feladat megoldása gondot okozhat a tanulók egy részének, ebben az esetben érdemes tanári segítséget adni hozzá. A 3. b) feladat megoldása a legjobbaknak sikerülhet. VII.10. Tornyosuló problémák.oldal/5

3 TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK Feladat sor Ebben a feladatsorban hat különböző helyzetben hat különböző épület magasságát kell meghatároznunk. 1. a) Megmérjük egy torony árnyékának hosszát, ez 10,5 méternek adódik. Tudjuk továbbá, hogy a napsugarak ekkor kb. 75 o -os szögben érik a talajt. Milyen magas a torony? b) Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy 30 méter hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél 68 o -os szögben hajlik a talajhoz. Milyen magasan van az ablak?. a) Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy ismeretlen hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél vége 7,5 méterre található a ház falától. A kötélhez újabb 5 méternyi kötelet betoldva és ismét megfeszítve a kötél vége ezúttal 19 méterre található a ház falától. Milyen magasan van az ablak, és milyen hosszú volt eredetileg a kötél? b) Egy folyótól nem messze álló kilátó tetejéről a 0 méter széles folyó innenső partjának legközelebbi pontja 38 o -os, a túlsó partjának legközelebbi pontja 9 o -os depresszió szög alatt látszik (azaz a vízszinteshez képest ennyi fokkal kell lefelé néznünk). Milyen magas a kilátó? 3. a) Egy számunkra megközelíthetetlen hegy tetején álló adótorony magasságát szeretnénk meghatározni. Ezért felvesszük az egymástól 90 méterre lévő A és B pontokat úgy, hogy a B pontból az A pont és a torony (ebben a sorrendben) egy irányban látszódjanak. Az A pontból a torony alját 41 o 30'-es, a tetejét 49 o -os, a B pontból a torony alját 34 o 15'-es emelkedési szögben látjuk (azaz a vízszinteshez képest ennyi fokkal kell felfelé néznünk). Milyen magas az adótorony, és milyen magas a hegy, amelynek a tetején áll? (Segítség: Milyen messze van az A pont a torony T tetejétől? Jelölje a torony alját a hegy tetején a T pont, a TT egyenesnek a vízszintes talajjal való metszéspontját pedig H. Vizsgáld az ATT és AHT háromszögeket!) b) Egy folyó túlsó partján álló kilátó magasságát kell meghatároznunk. Ezért az innenső parton felvesszük az A és a B pontokat úgy, hogy a köztük levő távolság 50 méter legyen. Az A pontból 6 o -os, a B pontból 38 o -os emelkedési szögben látszik a torony teteje, valamint megmérjük, hogy az A pontból milyen szögben látszik a torony talppontját és a B pontot öszszekötő szakasz. Ez a szög 96 o -osnak adódik. Milyen magas a kilátó? (A feladat megoldását a mellékelt vázlatrajz segíti.) VII.10. Tornyosuló problémák 3.oldal/5

4 MEGOLDÁSOK t 1. a) Legyen a torony magassága t. tg75, ebből t 10,5 tg75 39, (m). 10,5 Tehát 39, méter magas a torony. t b) Jelöljük az ablak földtől számított távolságát t-vel. Erre teljesül, hogy sin Ebből t 30 sin 68 7, 8 (m). Tehát 7,8 m magasan van az ablak.. a) Az ablak magasságát t-vel, a kötél hosszát k-val jelölve: t k 7,5 ( k 5) 19. A k-ra kapott egyenletből 0 10k ,5, amiből k 8 méter. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy t 7 méter magasan van az ablak. b) A kilátótorony tetejét jelölje T, alját T, a folyó innenső partjának legközelebbi pontja legyen A, a túlsó part legközelebbi pontja legyen B. Ezekkel a jelölésekkel TAT ) = 38 o, tehát TAB ) = 14 o, TBT ) = 9 o, ATB ) = 9 o. A TAB háromszögben felírható a szinusztétel a TA oldalra: TA sin 9 sin 9, s ebből TA 0 71 (m). 0 sin 9 sin 9 TAT háromszögből TT ' TAsin 38 43,7 méter magas a kilátó. (A többi távolság: T A 55,9 m; TB 75,9 m.) Megjegyzés: Természetesen a feladat megoldható a színusztétel alkalmazása nélkül is a TT és TA-ra felírt egyenletrendszerrel: tg38 TA. tg9 TA 00 Ezt a megoldást most nem részletezzük. VII.10. Tornyosuló problémák 4.oldal/5

5 3. a) Az adótorony tetejét jelölje T, alját T, a toronynak a talaj síkjára eső merőleges vetülete pedig legyen H. T AH ) = 41,5 o, tehát T AB ) = 138,5 o. T BA ) = 34,5 o, míg AT B ) = 7,5 o. A T AB háromszögben felírható a szinusztétel a T A oldalra: T ' A sin 34,5 sin 34,5, s ebből T ' A ,4 (m). 90 sin 7,5 sin 7,5 A hegy magassága a T HA háromszögből: T ' H T ' A sin 41, 5 66 m. A TT A háromszögben T AT ) = 7,5 o és T TA ) = 41 o. TT ' sin 7,5 sin 7,5 Itt a szinusztétellel:, s ebből TT ' 401,4 79,9 (m). T ' A sin 41 sin 41 Tehát 79,9 méter magas az adótorony. (A többi távolság: HA 300,6 m; AT 458, m; BT 47,6 m; BT 51,7 m.) Megjegyzés: A szinusztételt mellőző számítás itt már jóval bonyolultabb lenne! b) A kilátótorony tetejét jelölje T, alját pedig T, a TT távolság pedig legyen t. Ekkor T ' A 0,53t és T ' B 1,80t. tg6 tg38 Az ABT háromszögben a T B oldalra felírva a koszinusztételt: 1,80 0,53t 50 0,53t 50cos96 t ; 1,638t 0,83t 500 5, 558t ; 1,356t 5,558t A megoldóképletből t 40,954 vagy t 45,054. A negatív gyök nyilván nem megoldás, a kilátó tehát kb. 45 méter magas. VII.10. Tornyosuló problémák 5.oldal/5