III.7. PRÍM PÉTER. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 III.7. PRÍM PÉTER Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Számelmélet: osztó, többszörös, prímtényezős felbontás, legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó. Előzmények Cél Oszthatóság, prímtényezős felbontás, legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó. Váljon a prímtényezős felbontás felírása rutinszerű műveletté. Osztók, többszörösök keresése. Ismerje fel a tanuló az osztók, többszörösök kitevőinek vizsgálatával, hogyan keressük meg a számok legkisebb közös többszörösét és legnagyobb közös osztóját. A feladatsor alkalmas a szövegértés fejlesztésére is. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben + Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet Együttműködés Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásakor ajánlott az egyéni munka, minden feladat utáni közös megbeszéléssel, koncentrálva az 1. c),. b), 3. c), 4. d) és 4. f) feladatokra. Érdemes megbeszélni, hogy a 3. feladatban a legkisebb közös többszörösről, a 4. feladatban pedig a legnagyobb közös osztóról van szó. Bőven van gyakorlási lehetőség a feladatokban, ezért érdemes akár minden alkalommal felhívni a figyelmet a kitevőkre, és megbeszélni, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással az egyes kifejezésekben. Mivel a feladatok nagy része egyszerű, így a szöveg megértése és a matematikai tartalom kicsomagolása után várhatóan mindenkinek kis segítséggel meg kell tudni oldania azokat. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.7. Prím Péter 1.oldal/

2 PRÍM PÉTER Feladat sor A BÉRLET 1. Katinka úszni jár, és rendszeresen bérletet vesz. Amikor elhasználta az egyik bérletet, megveszi a következőt. A bérletet nem lehet átvinni egyik évről a másikra. a) mehet úszni egy évben, ha egy bérlet öt alkalomra, valamint feltételezzük, hogy minden bérletet teljesen elhasznál, és egy héten legfeljebb kétszer megy b) Hányszor mehet, ha egy bérlet 1 alkalomra, és legfeljebb háromszor megy egy héten Prím Péter, Katinka barátja, nevéhez híven a válaszait prímszámok segítségével adja meg: mindig egy-egy prímszám vagy egy prímfelbontás a válasza. Ő is elgondolkodott, hogy Katinka hányszor mehetett úszni, de a lehetséges válaszokat prímpéteresen írta fel. c) Milyen válaszokat írt fel Prím Péter, és milyen következtetést vonhatunk le belőle? MINDENKI MÁSKÉPP CSINÁLJA. Ági is jár úszni, de ő egy másik uszodába. a) hat egy bérlet, illetve hány bérletet vehetett, ha egy évben 180-szor volt úszni, és minden bérletet elhasznált, amit vett? b) Hogyan írná fel a 180-at, illetve a fenti kérdésre adható válaszokat Prím Péter, és milyen következtetést vonhatunk le ebből? NYARAL JUNK! 3. Ági és Katinka a barátnőikkel, összesen tizenketten, együtt fognak nyaralni, és az ottani uszodába is el szeretnének menni. Közös bérleteket vesznek, mivel nem lesznek ott olyan sokáig, hogy mindenki elhasználjon egy-egy bérletet. a) Melyik fajtából hány bérletet kellene legalább venniük, ha a kapható bérletek 8, 1 vagy 18 alkalomra nak? (Minden bérletet teljesen el akarnak használni, és mindig együtt mennek az uszodába. Egy bérletet több ember is használhat.) Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait! III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.7. Prím Péter.oldal/

3 3 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet nak a bérletek? b) Prím Péter ismét egy külön táblázaton dolgozott. Hogy néz ki Péter táblázata? Összesen hány alkalomra nak a bérletek? 3 c) Milyen következtetést vonhattak le Péter táblázatából? d) Ha lenne alkalomra ó bérlet is, abból hányat kellene venniük legalább, hogy együtt mehessenek úszni, s mindegyik bérletet teljesen kihasználják? e) Ha három barátnő vesz valahány darab tizenkét alkalomra ó bérletet, akkor legkevesebb hány bérletet kell venniük, hogy teljesen kihasználhassák, s hányszor mehetnek így f) És ha tizenöt barátnő vesz valahány darab öt alkalomra ó bérletet? KELL EGY CSAPAT! 4. Egy másik baráti társaság szintén vásárol néhány bérletet. Mindegyiket teljesen elhasználják, és ők is együtt mennek uszodába. a) nak a bérletek, és hány főből áll ez a társaság, ha öt darab nyolc alkalomra ó bérletet vesznek? b) Prím Péter ismét önállóan gondolkozott ugyanezen a kérdésen, és észre is vett valamit. Mit írt Péter a füzetébe, és vajon mit vett észre? c) nak a bérletek, és hány főből áll ez a társaság, ha négy darab tizenöt alkalomra érvényes bérletet vesznek? d) Prím Péter tovább gondolkozott ezen a kérdésen, és ismét rájött valamire. Mit írt Péter a füzetébe, és vajon mire jött rá? e) Legfeljebb hányan lehettek a társaságban, ha egyik nyáron 40, egy másik nyáron pedig 60 alkalomra ó bérletcsomagot vásároltak? f) Péter is felírta az adatokat és a válaszát: 60 = =... Ennyi fős a társaság:... Írd fel Te is Péter válaszait, és most már Tiéd a következtetés joga, Péter megpihen. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.7. Prím Péter 3.oldal/

4 MEGOLDÁSOK a) Mivel , egy évben legfeljebb 104-szer mehetne úszni, de egy bérlet 7 alkalomra, ezért, 10, 1, 0,, 30, 3, 40, 4, 0,, 60, 6, 70, 7, 80, 8, 90, 9 vagy 100 alkalommal mehet. 36 b) Mivel 16 17, egy évben legfeljebb 16-szor mehet úszni, vagyis 1, 4, 36, 7 48, 60, 7, 84, 96, 108, 10, 13, 144 vagy 16 alkalommal. c) Prím Péternek az a) kérdéshez írt válaszai: Prím Péternek az b) kérdéshez írt válaszai: Minden prímnek a kitevője nagyobb vagy egyenlő, mint a 1 prímfelbontásában szereplő prímeké.. a) 180-nak keressük az osztóit:, 3, 4,, 6, 9, 10, 1, 1, 18, 0, 30, 36, 4, 60, 90, 180 alkalomra hat a bérlet. Ugyanezek a válaszok a másik kérdésre, a 180 kivételével, és hozzájön még az 1 is. b) Csak a 180 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és minden prímnek kisebb vagy egyenlő a kitevője, mint a 180 prímtényezős alakjában. 3. a) nak a bérletek? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.7. Prím Péter 4.oldal/

5 b) Prím Péter táblázata: nak a bérletek? c) Az első két oszlopban levő prímek közül mindig a nagyobb kitevőjűt kell venni, és azokat össze kell szorozni. d) Ezzel nem tudnak spórolni. Meg kellene venniük a 1 bérletet, mivel nincs közös osztója az -nek és a 1-nek, vagyis relatív prímek. e) Egy bérletet kell venniük, s azzal négyszer mehetnek úszni f) Három bérletet kell venniük, s azzal egyszer mehetnek az uszodába. 4. a) 40 alkalomra nak. Tehát a második kérdésre a válasz a 40 osztói:, 4,, 8, 10, 0, 40 az 1 kivételével. b) Csak a 40 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és a jobb oldalon lévő prímek kitevői kisebb vagy egyenlők, mint a 40 felbontásában. c) 60 alkalomra nak. Tehát a második kérdésre a válasz a 60 osztói:, 3, 4,, 6, 10, 1, 1, 0, 30, 60 az 1 kivételével. d) Csak a 40 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és a jobb oldalon lévő prímek kitevői kisebbek vagy egyenlők, mint a 60 felbontásában. e) 0-an. f) A 0 prímtényezős felbontásában az egyes prímtényezők kitevői a megfelelő közös prímtényezők kitevői közül a lehető legnagyobbak, vagyis a 40 és 60 megfelelő közös prímtényezőinek kisebbik (nem nagyobbik) kitevőjével egyeznek meg. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás III.7. Prím Péter.oldal/