megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Átírás

1 Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: 2.1. Tétel. Legyenek p és q különböző prímszámok, e pozitív egész, ln.k.o.(e, (p 1)(q 1)) = 1, és d legyen e modulo (p 1)(q 1) inverze, azaz ed 1 (mod (p 1)(q 1)). Ekkor bármely s nemnegatív egészre s ed s (mod pq). Bizonyítás. Mivel ed 1 (mod (p 1)(q 1)) így (1) (p 1)(q 1) (ed 1). Ha ln.k.o.(s, pq) = 1, akkor a kis FERMAT-tétel szerint s p 1 1 (mod p) és s q 1 1 (mod q). Így (1) miatt sed 1 1 (mod p) és s ed 1 1 (mod q), ahonnan pq (s ed 1 1) (s ed s), azaz valóban s ed s (mod pq). Ha ln.k.o.(s, pq) = p, akkor p s és ln.k.o.(s, q) = 1, így s q 1 1 (mod q), ahonnan (1) miatt s ed 1 1 (mod q) következik. Ekkor tehát p s és s ed 1 1 (mod q), ezért pq s(s ed 1 1) = s ed s, azaz valóban s ed s (mod pq). Az előző esethez teljesen hasonló bizonyítás adható ln.k.o.(s, pq) = q esetén, végül az ln.k.o.(s, pq) = pq eset nyilvánvaló. Nézzük meg, hogyan is működik az RSA módszer! Először is választunk két igen nagy prímszámot, p-t és q-t, majd kiszámoljuk ezek n = pq szorzatát. Ezután az üzenetet olyan k-betűs blokkokra bontjuk, hogy az üzenetelemek numerikus megfelelőinek maximuma legfeljebb n 1 legyen. (Azaz, ha például N betűs ábécét használunk k betűs blokkokkal, akkor N k n teljesüljön.) Ez biztosítja a kódolás egyértelműségét. Majd kiszámoljuk ϕ(n)-t, amit a p, q tényezők ismeretében könnyen megtehetünk: ϕ(n) = (p 1)(q 1) = n + 1 p q. Ezután kiválasztunk egy 1 és ϕ(n) közötti egész számot, amely relatív prím ϕ(n) = (p 1)(q 1)-hez, majd meghatározzuk d e 1 (mod ϕ(n))-t. Nyilvánosságra hozzuk az (n, e) kódoló kulcsot, a p, q, d számokat pedig titokban tartjuk. A kódoló transzformáció f(s) s e (mod n), amit bárki el tud végezni a kódkulcs ismeretében. A dekódoló transzformáció f 1 (t) t d (mod n), amelyet azonban csak a titokban tartott d segítségével lehet kiszámolni. A 2.1. Tétel szerint a két transzformáció egymásnak inverze, nevezetesen f után f 1 -et, vagy f 1 után f-et végrehajtva, az adott szövegelem ed-edik hatványát kapjuk. Mivel ed 1 (mod ϕ(n)), ez a hatvány a tétel szerint éppen magával a szövegelemmel, pontosabban annak numerikus megfelelőjével kongruens modulo n.

2 A fentiek alapján úgy tűnhet, mintha a sima s szövegelemek S halmaza és a t titkos szövegelemek T halmaza megegyezne. Mint fentebb már említettük, a kódolás egyértelműségéhez szükséges, ha a sima szövegelemek egy N betűs ábécé k betűs blokkjai, hogy az N k n egyenlőtlenség fennálljon. Azaz n értéke legalább annyi, mint ahány kódolandó sima szövegelem van. Mi a helyzet a titkos ábécével? Ezt úgy kell megválaszolnunk, hogy minden sima szövegelem kódjának legyen megfelelő betűkódja. Mivel a kódolásnál modulo n számolunk, ezt úgy érhetjük el, ha valamilyen módon kibővítjük a sima ábécét. Például úgy, hogy hosszabb l(> k) betűs blokkokat, vagy nagyobb N (> N) betűszámú ábécét választunk, hogy az N l n illetve az (N ) k n egyenlőtlenség teljesüljön. Összefoglalva tehát fenn kell állnia az N k n N l vagy az N k n (N ) k egyenlőtlenségnek. Példa. Álljon a sima szöveg a 26 betűs ábécé digráfjaiból, a titkos szöveg pedig ugyanezen ábécé trigráfjaiból. A kódoló kulcs legyen (n, e) = (2047, 179). (Példánkban és a feladatokban a könnyebb kiszámolhatóság kedvéért a gyakorlatban használt akár több száz jegyű számoknál jóval kisebbekkel dolgozunk.) A N E üzenet elküldéséhez a feladónak először meg kell határoznia az üzenet numerikus megfelelőjét: NE = = 342. Ezután ki kell számolnia s e (mod 2047) értékét, (hogy ezt hogyan lehet megtenni, arra később visszatérünk) ami 1261 = A titkos trigráf tehát BWN. A címzett ismeri n = 2047 = prímfelbontását, így ő meghatározhatja (például euklideszi algoritmus segítségével) e = 179 inverzét modulo ϕ(n) = = 1936, ami 441. Tehát a dekódoló kulcs (n, d) = (2047, 441). Ennek ismeretében kiszámíthatja t d (mod 2047) értékét, és így megtudhatja az üzenetet: 342 = = NE. Térjünk most rá arra, hogyan lehet a kódolás és dekódolás során fellépő nagy moduláris hatványokat kiszámolni. Ha nekilátnánk, és mechanikusan elvégeznénk először a hatványozást, akkor például s e = esetében egy 537 jegyű számot kapnánk, melynek még meg kellene határozni a 2047-tel való osztási maradékát. Ez igen sok számolást igényelne. Kevesebb számolással is célt érhetünk, ha alkalmazzuk az úgynevezett ismételt négyzetre emelés módszerét. Kövessük végig ezt (mod 2047) példáján! Az első lépésben felírjuk a kitevő kettes számrendszerbeli alakját: = , azaz 179 = = Ez alapján ( ) = A második lépésben újra és újra négyzetre emelve meghatározzuk 342 kettőhatvány kitevőjű hatványait, természetesen modulo 2047 számolva, és közben a ( ) felbontásban szereplőket mindig összeszorozzuk.

3 (A kongruenciák modulusa mindenütt 2047.) Végeredményül kapjuk tehát, hogy (mod 2047). Vajon csakugyan feltörhetetlen ez a kód? Az üzenet megfejtéséhez d-t kellene ismernie a feltöréssel próbálkozónak. Azonban csak e és n értékét ismeri, és tudja, hogy ed 1 (mod ϕ(n)) és n = pq alakú, de nem ismeri n tényleges felbontását, e nélkül pedig szinte reménytelen kiszámolnia ϕ(n) = (p 1)(q 1) = n + 1 p q értékét. A p és q prímek értékét tehát olyan nagyra kell választani, hogy az illetéktelen megfejtő számára reménytelen legyen n prímtényezős felbontásának meghatározása. Természetesen 2, 3,..., [ n] között biztosan meg lehet találni az n kisebbik prímosztóját, de ez rendkívül sok osztás elvégzését igényelné. A legkorszerűbb prímtényező meghatározási módszerekkel a számolás mennyisége ugyan lényegesen csökkenthető, de ha n több száz jegyből áll és még egyéb feltételek is fennállnak (p és q nincs egymáshoz túl közel, stb.) a legmodernebb szuperszámítógéppel is reménytelen a tényezők meghatározása.

4 Feladatok 1. Kódold a KÜLDJPÉNZT üzenetet RSA módszerrel, ha a sima szövegelemek a 30 betűs, a titkos szövegelemek a 35 betűs magyar ábécé digráfjai és p = 29, q = 37, e = 187! 2. A PWABSIVQ XRDQÜGFPÜ üzenetet kaptuk. Az üzenetegységek trigráfok, a sima ábécé 30, a titkos ábécé 31 betűs (30 betűs + szóköz = 31). A kódoló kulcs n = 27383, e = Dekódold az üzenetet, ha prímtényezői p = 139, q = 197! 3. Tegyük fel, hogy ellenfelünk a 30 betűs magyar ábécét használja, a sima szövegelemek trigráfok, a titkos szövegelemek négyes blokkok (tetragráfok). A nyilvános kódoló kulcs n = 36019, e = (a) Keresd meg n prímtényezőit és határozd meg a dekódoló kulcsot! (b) Fejtsd meg az AUGLAOQJÁGEÖAXAEABPE üzenetet!

5 A feladatok megoldásai 1. Mivel n = pq = = 1073, így a kódoló transzformáció t s 187 (mod 1073). A sima szövegelemek numerikus megfelelői Az e kulcs kettes számrendszerbeli alakjának ( = ) segítségével, az ismételt négyzetre emelés módszerével a titkos szövegelemek numerikus megfelelőire a következőket kapjuk: Mivel 393 = , 708 = , 812 = , 491 = , 622 = , a tikos szöveg ÍGŐGRFLÁOÚ. 2. Mivel n = = , így ϕ(n) = = A d dekódoló kulcs meghatározásához tehát e (mod )-at kell kiszámolnunk. Az euklideszi algoritmust alkalmazva kapjuk, hogy d = 1235, így a dekódoló transzformáció s t 1235 (mod 27383). Ezzel PWABSIVQ XRDQÜGFPÜ = = RÉSZVÉNYEKETELADNI. 3.(a) Az n = prímtényezői p = 181 és q = 199. Tehát ϕ(n) = = Ismerve a nyilvános e értéket, euklideszi algoritmus alkalmazásával d = (b) Az (a) rész alapján a dekódoló transzformáció s t 2639 (mod 36019). A titkos üzenetegységek numerikus megfelelői (négyes blokkok!) Az ismételt négyzetre emelés módszerével számolva a sima szövegelemek numerikus megfelelői Az üzenet tehát DEKODOTELLOPTÁK. (Lehet, hogy feleslegesen számoltunk ennyit?)