FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2."

Átírás

1 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

2 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül POLINOMOK KONVOLÚVIÓJA Definíció Legyen f (x) = n 1 j=0 f jx j és g(x) = n 1 j=0 g jx j két R[x]-beli polinom. A két polinom konvolúviója a n 1 h = f n g = h k x k R[x] k=1 polinom, ahol h k = n 1 f i g j = f j g k j minden 0 k < n esetén. i+j mod n j=0)

3 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk;

4 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk;

5 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk; A konvolúció nem más, mint a polinomok R[x]/< x n 1 > gyűrűbeli szorzata, azaz f n g = fg mod (x n 1).

6 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom.

7 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás.

8 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás. Bizonyítás Mivel f g = fg + q(x n 1) valamilyen q R[x]-re, ezért (f g)(ω j ) = f (ω j )g(ω j ) + q(ω j )((ω j ) n 1) = f (ω j )g(ω j ).

9 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül EGY DIAGRAM Az R[x] R n -be képező, f -hez a ω hatványain felvett helyettesítési értékei vektorát rendelő leképezés homomorfizmus, ( R[x] ) 2 DFT ω DFT ω / <x n 1> R n R n konvolúció R[x] / <x n 1> DFT ω R n belső szorzat

10 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BEVEZETŐ PÉLDA Q[x] fölötti polinomok szorzása mod (x n u). f := x 3 + 1: g := 2 x x 2 + x + 1 m := x 4 u: expand(f*g) 2x 6 + 3x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1 quo(f g, m, x, r ) 2x 2 + 3x + 1 collect(expand(r), u) (2 x x + 1) u + 3 x x 2 + x + 1 Látszik, hogy ilyen speciális alakú modulus esetén a maradék úgy épül fel, hogy a magasabb fokú tagok együtthatói az eredeti polinom magasabb fokú együtthatói, az alacsonyabb fokszámúak pedig szintén ugyanezek az eredeti polinomból.

11 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok.

12 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. 2

13 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél. 2

14 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1.

15 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1. Hasonlóan belátható, hogy r 1 = F 0 F1. Tehát a maradék együtthatói az eredeti polinom együtthatóiból állnak, mint a fenti példában is.

16 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2.

17 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1.

18 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1. Vagyis az r 0 -t kell kiértékelni az ω páros hatványainál, r 1 -et pedig a párosaknál. Legyen r 1 (x) = r 1 (ωx). Felhasználva, hogy ω 2 n / 2 -edik egységgyök, az algoritmus egy átfogalmazását kaptuk.

19 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 1: (N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f (x) legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: A polinom Fourier transzformáltja begin if N = 1 then A 0 f 0 ; else r 0 N 2 1 i=0 (f i + f i+ N / 2 ) x i ; r 1 N 2 1 i=0 (f i f i+ N / 2 ) ω i x i ; Az algoritmus hívása rekurzive ω 2 -el; return (r 0 (1), r 1 (1), r 0 (ω 2 ), r 1 (ω 2 ),..., r 0 (ω N 2 )), r 1 (ω N 2 ) ;

20 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS HELYESSÉGE Tétel Legyen ω n-edik primitív egységgyök az R gyűrűben, n kettőhatvány. Ekkor az előző algoritmus helyesen számolja kia DFT ω -t, ehhez n log n gyűrűbeli összeadásra és n / 2 log n szorzásra van szükség.

21 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 2: FastConvolution(N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f, g legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: f g begin ω 2,... ω N 1 kiszámítása ; α DFT ω (f ); β DFT ω (g) ; γ α β ; return DFT 1 ω (γ) ; // pontonkénti szorzás

22 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök.

23 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök. Tétel Legyen R olyan kommutatív, mely támogatja az -t, n = 2 k valamilyen k N-el. Legyen továbbá f, g R[x] két polinom, melyekre deg (fg) < n. Ekkor az R[x]/< x n 1 >-beli konvolúcióhoz 3n log n R-beli összeadás, 3 2n log n + n 2 ω-hatvánnyal való szorzás, n R-beli szorzás és n db osztás szükséges, összesen 9 2n log n + O(n) művelet. Emiatt a polinomszorzás bonyolultsága 18n log n + O(n) művelet.

24 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás

25 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból.

26 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból. Legyen p n prím; ekkor a (c 1) m 1 j=1 cj = c m 1 összefüggést m = p, c = ω n p -re alkalmazva: ami egység. ω n p 1 p 1 = (ω n p ) j = (ω n p ) p 1 = ω n 1 = 2 j=1

27 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor:

28 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m;

29 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ).

30 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni;

31 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni; deg y h < t esetén h egyértelmű, továbbá deg x h < 2m.

32 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök;

33 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ;

34 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ; Mivel mindhárom polinom fokszáma kisebb, mint 2m, a mod (x 2m + 1) redukció csak algebrai nézőpont -váltást jelent, a struktúraváltással alkalmazható az.

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1) 3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben 1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.

Részletesebben

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1

Részletesebben

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n +

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

1. fejezet. Polinomok Polinomok szorzása

1. fejezet. Polinomok Polinomok szorzása 1. fejezet Polinomok 1.1. Polinomok szorzása Legyen F egy test és legyenek f, g polinomok F felett. Tegyük fel, hogy f = α 0 + α 1 x + + α n x n és g = β 0 + β 1 x + + β m x m, ahol α i, β i F. Legyen

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Számítógépes Hálózatok 2012

Számítógépes Hálózatok 2012 Számítógépes Hálózatok 22 4. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás Hálózatok, 22 Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

2. Komputeralgebra (Járai Antal és Kovács Attila)

2. Komputeralgebra (Járai Antal és Kovács Attila) 2. Komputeralgebra (Járai Antal és Kovács Attila) A különféle matematikai számítások elvégzésére képes informatikai eszközök nélkülözhetetlenek a modern tudományban és ipari technológiában. Képesek vagyunk

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem

Pécsi Tudományegyetem Számelmélet Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza a Számelmélet című VI. féléves tárgy kötelező elméleti anyagának a nagy részét. Tartalmaz továbbá olyan kiegészítő

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Visontay Péter (sentinel@sch.bme.hu) 2002. január. 1. Alapfogalmak

Visontay Péter (sentinel@sch.bme.hu) 2002. január. 1. Alapfogalmak Kódelmélet összefoglaló Visontay Péter (sentinel@schbmehu) 2002 január 1 Alapfogalmak Kódolás: a k hosszú u üzenetet egy n hosszú c kódszóba képézzük le Hibák: a csatorna két végén megjelenő c bemeneti

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

A polinomok gyökhelyeiről

A polinomok gyökhelyeiről Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gergely Alexandra Daniella A polinomok gyökhelyeiről Szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Budapest, 2014. 2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Polinomok

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9 Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével

Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Tengely Szabolcs tengely@science.unideb.hu http://www.math.unideb.hu/~tengely Tengely Szabolcs 2014.04.26 Matematikai problémák és a

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Az általános (univerzális) algebra kialakulása, Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: szerelőszalag ütemezése Mátrixok véges sorozatainak szorzása

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: szerelőszalag ütemezése Mátrixok véges sorozatainak szorzása PM-06 p. 1/28 Programozási módszertan Dinamikus programozás: szerelőszalag ütemezése Mátrixok véges sorozatainak szorzása Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. GYŰRŰ- ÉS TESTELMÉLET Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy

Részletesebben