FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2."

Átírás

1 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

2 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül POLINOMOK KONVOLÚVIÓJA Definíció Legyen f (x) = n 1 j=0 f jx j és g(x) = n 1 j=0 g jx j két R[x]-beli polinom. A két polinom konvolúviója a n 1 h = f n g = h k x k R[x] k=1 polinom, ahol h k = n 1 f i g j = f j g k j minden 0 k < n esetén. i+j mod n j=0)

3 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk;

4 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk;

5 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk; A konvolúció nem más, mint a polinomok R[x]/< x n 1 > gyűrűbeli szorzata, azaz f n g = fg mod (x n 1).

6 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom.

7 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás.

8 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás. Bizonyítás Mivel f g = fg + q(x n 1) valamilyen q R[x]-re, ezért (f g)(ω j ) = f (ω j )g(ω j ) + q(ω j )((ω j ) n 1) = f (ω j )g(ω j ).

9 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül EGY DIAGRAM Az R[x] R n -be képező, f -hez a ω hatványain felvett helyettesítési értékei vektorát rendelő leképezés homomorfizmus, ( R[x] ) 2 DFT ω DFT ω / <x n 1> R n R n konvolúció R[x] / <x n 1> DFT ω R n belső szorzat

10 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BEVEZETŐ PÉLDA Q[x] fölötti polinomok szorzása mod (x n u). f := x 3 + 1: g := 2 x x 2 + x + 1 m := x 4 u: expand(f*g) 2x 6 + 3x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1 quo(f g, m, x, r ) 2x 2 + 3x + 1 collect(expand(r), u) (2 x x + 1) u + 3 x x 2 + x + 1 Látszik, hogy ilyen speciális alakú modulus esetén a maradék úgy épül fel, hogy a magasabb fokú tagok együtthatói az eredeti polinom magasabb fokú együtthatói, az alacsonyabb fokszámúak pedig szintén ugyanezek az eredeti polinomból.

11 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok.

12 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. 2

13 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél. 2

14 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1.

15 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1. Hasonlóan belátható, hogy r 1 = F 0 F1. Tehát a maradék együtthatói az eredeti polinom együtthatóiból állnak, mint a fenti példában is.

16 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2.

17 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1.

18 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1. Vagyis az r 0 -t kell kiértékelni az ω páros hatványainál, r 1 -et pedig a párosaknál. Legyen r 1 (x) = r 1 (ωx). Felhasználva, hogy ω 2 n / 2 -edik egységgyök, az algoritmus egy átfogalmazását kaptuk.

19 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 1: (N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f (x) legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: A polinom Fourier transzformáltja begin if N = 1 then A 0 f 0 ; else r 0 N 2 1 i=0 (f i + f i+ N / 2 ) x i ; r 1 N 2 1 i=0 (f i f i+ N / 2 ) ω i x i ; Az algoritmus hívása rekurzive ω 2 -el; return (r 0 (1), r 1 (1), r 0 (ω 2 ), r 1 (ω 2 ),..., r 0 (ω N 2 )), r 1 (ω N 2 ) ;

20 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS HELYESSÉGE Tétel Legyen ω n-edik primitív egységgyök az R gyűrűben, n kettőhatvány. Ekkor az előző algoritmus helyesen számolja kia DFT ω -t, ehhez n log n gyűrűbeli összeadásra és n / 2 log n szorzásra van szükség.

21 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 2: FastConvolution(N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f, g legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: f g begin ω 2,... ω N 1 kiszámítása ; α DFT ω (f ); β DFT ω (g) ; γ α β ; return DFT 1 ω (γ) ; // pontonkénti szorzás

22 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök.

23 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök. Tétel Legyen R olyan kommutatív, mely támogatja az -t, n = 2 k valamilyen k N-el. Legyen továbbá f, g R[x] két polinom, melyekre deg (fg) < n. Ekkor az R[x]/< x n 1 >-beli konvolúcióhoz 3n log n R-beli összeadás, 3 2n log n + n 2 ω-hatvánnyal való szorzás, n R-beli szorzás és n db osztás szükséges, összesen 9 2n log n + O(n) művelet. Emiatt a polinomszorzás bonyolultsága 18n log n + O(n) művelet.

24 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás

25 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból.

26 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból. Legyen p n prím; ekkor a (c 1) m 1 j=1 cj = c m 1 összefüggést m = p, c = ω n p -re alkalmazva: ami egység. ω n p 1 p 1 = (ω n p ) j = (ω n p ) p 1 = ω n 1 = 2 j=1

27 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor:

28 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m;

29 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ).

30 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni;

31 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni; deg y h < t esetén h egyértelmű, továbbá deg x h < 2m.

32 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök;

33 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ;

34 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ; Mivel mindhárom polinom fokszáma kisebb, mint 2m, a mod (x 2m + 1) redukció csak algebrai nézőpont -váltást jelent, a struktúraváltással alkalmazható az.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b). 1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Fourier transzformáció

Fourier transzformáció a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1) 3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

Polinomok, Lagrange interpoláció

Polinomok, Lagrange interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

1. Polinomok számelmélete

1. Polinomok számelmélete 1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)

Részletesebben

matematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária

matematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET vázlat az előadáshoz matematika alapszak 2019-20, őszi félév Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária 1. Komplex számok Kanonikus alak, konjugált, abszolút

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

Testek március 29.

Testek március 29. Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon

Részletesebben

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. Szerkeszt es alatt NAGY ATTILA

LINEÁRIS ALGEBRA. Szerkeszt es alatt NAGY ATTILA LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 2014.12.15 Tartalomjegyzék Bevezető 5 1. Alapfogalmak 7 1.1. Algebrai struktúrák.............................. 7 1.1.1. Az algebrai struktúra fogalma.................... 7

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben 1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.

Részletesebben

Szerkeszt es alatt LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA EGYETEMI JEGYZET. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Algebra Tanszék

Szerkeszt es alatt LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA EGYETEMI JEGYZET. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Algebra Tanszék LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA EGYETEMI JEGYZET Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Algebra Tanszék 2011 Ez a jegyzet a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen a Matematika Alapszak

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n +

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet

Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet 1. Bevezetés A félév anyaga Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és

Részletesebben

7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció

7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció 7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív

Részletesebben

7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció

7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció 7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

A gyakorlati jegy

A gyakorlati jegy . Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság 1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNY EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Versenyfeladatok az általános- és középiskolában Szakdolgozat Domán Dániel Gergő Matematika BSC Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Dr. Kiss

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

1. fejezet. Polinomok Polinomok szorzása

1. fejezet. Polinomok Polinomok szorzása 1. fejezet Polinomok 1.1. Polinomok szorzása Legyen F egy test és legyenek f, g polinomok F felett. Tegyük fel, hogy f = α 0 + α 1 x + + α n x n és g = β 0 + β 1 x + + β m x m, ahol α i, β i F. Legyen

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben