FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
|
|
- Pál Vörös
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
2 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül POLINOMOK KONVOLÚVIÓJA Definíció Legyen f (x) = n 1 j=0 f jx j és g(x) = n 1 j=0 g jx j két R[x]-beli polinom. A két polinom konvolúviója a n 1 h = f n g = h k x k R[x] k=1 polinom, ahol h k = n 1 f i g j = f j g k j minden 0 k < n esetén. i+j mod n j=0)
3 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk;
4 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk;
5 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül MEGJEGYZÉSEK Ha érthető n helyett -ot írunk; Ha R n -beli vektoroknak tekintjük a polinomokat, akkor az f, g vektorok ciklikus konvolúciójáról beszélünk; A konvolúció nem más, mint a polinomok R[x]/< x n 1 > gyűrűbeli szorzata, azaz f n g = fg mod (x n 1).
6 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom.
7 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás.
8 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül A KONVOLÚCIÓ ÉS A DFT Legyen f, g R[x] két, legfeljebb n 1-edfokú polinom. Állítás DFT ω (f g) = DFT ω (f ) DFT ω (g), ahol a koordinátánkénti szorzás. Bizonyítás Mivel f g = fg + q(x n 1) valamilyen q R[x]-re, ezért (f g)(ω j ) = f (ω j )g(ω j ) + q(ω j )((ω j ) n 1) = f (ω j )g(ω j ).
9 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül EGY DIAGRAM Az R[x] R n -be képező, f -hez a ω hatványain felvett helyettesítési értékei vektorát rendelő leképezés homomorfizmus, ( R[x] ) 2 DFT ω DFT ω / <x n 1> R n R n konvolúció R[x] / <x n 1> DFT ω R n belső szorzat
10 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BEVEZETŐ PÉLDA Q[x] fölötti polinomok szorzása mod (x n u). f := x 3 + 1: g := 2 x x 2 + x + 1 m := x 4 u: expand(f*g) 2x 6 + 3x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1 quo(f g, m, x, r ) 2x 2 + 3x + 1 collect(expand(r), u) (2 x x + 1) u + 3 x x 2 + x + 1 Látszik, hogy ilyen speciális alakú modulus esetén a maradék úgy épül fel, hogy a magasabb fokú tagok együtthatói az eredeti polinom magasabb fokú együtthatói, az alacsonyabb fokszámúak pedig szintén ugyanezek az eredeti polinomból.
11 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok.
12 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. 2
13 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél. 2
14 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1.
15 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül A PÉLDA ÁLTALÁNOSÍTÁSA Legyen f R[x] egy legfeljebb n 1-ed fokú polinom, ahol n 2 páros egész, 1, ω,..., ω n 1 pedig az ω n-edik primitív egységgyöknek megfelelő Fourier-pontok. Osszuk el f -et maradékosan x n / 2 1-el és x n / el. f = q 0 (x n / 2 1) + r 0 = q 1 (x n / 2 + 1) + r 1, (1) ahol az q 0, q 1, r 0, r 1 R[x] polinomok n -nél kisebb fokszámúak. Ugyanakkor 2 f = F 1 x n / 2 + F 0 alakban írható, ahol az F 0, F1 R[x] polinomok fokszáma szintén kisebb n -nél.ebből F 2 1(x n / 2 1) = f F 0 F 1, ezért (x n / 2 1) f F 0 F 1, a maradékos osztás egyértelműsége miatt r 0 = F 0 + F 1. Hasonlóan belátható, hogy r 1 = F 0 F1. Tehát a maradék együtthatói az eredeti polinom együtthatóiból állnak, mint a fenti példában is.
16 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2.
17 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1.
18 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül KIÉRTÉKELÉS A FOURIER-PONTOKBAN Ha az (1)-be ω hatványait helyettesítjük: f (ω 2k ) = q 0 (ω 2k (ω nk 1) + r 0 (ω 2k ) = r 0 (ω 2k ), f (ω 2k+1 ) = q 1 (ω 2k+1 (ω nk ω n / 2 + 1) + r 1 (ω 2k+1 ) = r 1 (ω 2k+1 ), ahol 0 k < n / 2. Itt egyrészt azt használtuk ki, hogy ω nk = 1, másrészt a 0 = (ω n 1) = (ω n / 2 1) (ω n / 2 + 1) összefüggésben (ω n / 2 1) nem lehet zérusosztó, így ω n / 2 = 1. Vagyis az r 0 -t kell kiértékelni az ω páros hatványainál, r 1 -et pedig a párosaknál. Legyen r 1 (x) = r 1 (ωx). Felhasználva, hogy ω 2 n / 2 -edik egységgyök, az algoritmus egy átfogalmazását kaptuk.
19 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 1: (N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f (x) legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: A polinom Fourier transzformáltja begin if N = 1 then A 0 f 0 ; else r 0 N 2 1 i=0 (f i + f i+ N / 2 ) x i ; r 1 N 2 1 i=0 (f i f i+ N / 2 ) ω i x i ; Az algoritmus hívása rekurzive ω 2 -el; return (r 0 (1), r 1 (1), r 0 (ω 2 ), r 1 (ω 2 ),..., r 0 (ω N 2 )), r 1 (ω N 2 ) ;
20 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS HELYESSÉGE Tétel Legyen ω n-edik primitív egységgyök az R gyűrűben, n kettőhatvány. Ekkor az előző algoritmus helyesen számolja kia DFT ω -t, ehhez n log n gyűrűbeli összeadásra és n / 2 log n szorzásra van szükség.
21 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül AZ ALGORITMUS Algorithm 2: FastConvolution(N, ω, a(x)) Data: Adott N, kettőhatvány Data: ω primitív N-edik primitív egységgyök Data: f, g legfeljebb N 1-ed fokú polinom Result: f g begin ω 2,... ω N 1 kiszámítása ; α DFT ω (f ); β DFT ω (g) ; γ α β ; return DFT 1 ω (γ) ; // pontonkénti szorzás
22 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök.
23 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Motiváció osztás Az Gyűrűk algoritmus támogatás A gyors konvolúció nélkül BONYOLULTSÁG Definíció Azt mondjuk, hogy egy R kommutatív gyűrű támogatja az -t, ha R-ben minden k N esetén van 2 k -adik primitív egységgyök. Tétel Legyen R olyan kommutatív, mely támogatja az -t, n = 2 k valamilyen k N-el. Legyen továbbá f, g R[x] két polinom, melyekre deg (fg) < n. Ekkor az R[x]/< x n 1 >-beli konvolúcióhoz 3n log n R-beli összeadás, 3 2n log n + n 2 ω-hatvánnyal való szorzás, n R-beli szorzás és n db osztás szükséges, összesen 9 2n log n + O(n) művelet. Emiatt a polinomszorzás bonyolultsága 18n log n + O(n) művelet.
24 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás
25 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból.
26 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET I Legyen R olyan kommutatív gyűrű, melyben a 2 egység, n = 2 k, k N, valamint D = R[x]/ x n + 1. Állítás D-ben ω = x 2n-edik primitív egységgyök. Bizonyítás Az, hogy ω = x 2n-edik egységgyök, következik az x n 1 mod (x n + 1) és x 2n = (x n ) 2 1 mod (x n + 1) kongruenciákból. Legyen p n prím; ekkor a (c 1) m 1 j=1 cj = c m 1 összefüggést m = p, c = ω n p -re alkalmazva: ami egység. ω n p 1 p 1 = (ω n p ) j = (ω n p ) p 1 = ω n 1 = 2 j=1
27 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor:
28 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m;
29 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ).
30 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni;
31 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET II Ha f, g R[x] olyanok, hogy deg (fg) < n = 2 k, akkor elegendő fg-t kiszámítani mod (x n + 1). (Ez a negative wrapped convolution).!m = 2 n 2 és t = n m = 2 n 2. Ekkor: f = 0 j<t ˆf j x mj és g = 0 j<t ĝjx mj, ahol ˆf j, ĝ j R[x] és fokszámuk kisebb, mint m; Legyen f = 0 j<t ˆf j y j, g = 0 j<t ĝjy j R[x, y]. Ekkor f (x) = f (x, x m ), g(x) = g (x, x m ). f g = h + q (y t + 1), ezért fg h (x, x m ) mod (x n + 1), így elegendő f g mod (y t + 1)-et kiszámolni; deg y h < t esetén h egyértelmű, továbbá deg x h < 2m.
32 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök;
33 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ;
34 TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos Negative osztás wrapped Gyűrűk convolution támogatás nélkül AZ ÖTLET III Legyen ξ = x mod x 2m + 1 D = R[x]/ x 2m + 1. ξ negyedik primitív gyök; Ha most f = f mod (x 2m +) és hasonlóan g, h, akkor D[y]-ban f g h mod (y t + 1) ; Mivel mindhárom polinom fokszáma kisebb, mint 2m, a mod (x 2m + 1) redukció csak algebrai nézőpont -váltást jelent, a struktúraváltással alkalmazható az.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebben0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)
3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az
RészletesebbenDiszkrét matematika alapfogalmak
2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Részletesebbenmatematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária
ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET vázlat az előadáshoz matematika alapszak 2019-20, őszi félév Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária 1. Komplex számok Kanonikus alak, konjugált, abszolút
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
RészletesebbenPolinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu
Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenGonda János POLINOMOK. Példák és megoldások
Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c
RészletesebbenTestek március 29.
Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon
RészletesebbenFELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. Szerkeszt es alatt NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 2014.12.15 Tartalomjegyzék Bevezető 5 1. Alapfogalmak 7 1.1. Algebrai struktúrák.............................. 7 1.1.1. Az algebrai struktúra fogalma.................... 7
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBanach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Részletesebben1. Hatvány és többszörös gyűrűben
1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.
RészletesebbenSzerkeszt es alatt LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA EGYETEMI JEGYZET. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Algebra Tanszék
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA EGYETEMI JEGYZET Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Algebra Tanszék 2011 Ez a jegyzet a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen a Matematika Alapszak
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenPolinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n +
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenPolinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet
1. Bevezetés A félév anyaga Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és
Részletesebben7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció
7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív
Részletesebben7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció
7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenTERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNY EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Versenyfeladatok az általános- és középiskolában Szakdolgozat Domán Dániel Gergő Matematika BSC Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Dr. Kiss
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások
LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Részletesebben1. fejezet. Polinomok Polinomok szorzása
1. fejezet Polinomok 1.1. Polinomok szorzása Legyen F egy test és legyenek f, g polinomok F felett. Tegyük fel, hogy f = α 0 + α 1 x + + α n x n és g = β 0 + β 1 x + + β m x m, ahol α i, β i F. Legyen
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenKLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK
KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben