Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10."

Átírás

1 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

2 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

3 A problémakör... Legyen A egy kommutatív normált gyűrű, és p, q A[[X]]. Legyen R p és R q, a megfelelő sorokhoz tartozó konvergenciasugár, p q pedig jelöli a p és q Cauchy-szorzatát. Tanulmányozzuk azt az esetet, amikor: R p q > min {R p, R q }

4 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

5 Hadamard tételei Értelmezés: Legyen ρ C[[X]], azaz ρ(x) = n=0 a nx n egy komplex hatványsor. Bevezetjük a következő jelöléseket: a m a m+1 a m+2... a m+p a m+1 a m+2 a m+3... a m+p+1 D m,p = a m+p a m+p+1 a m+p+2... a m+2p l p = lim sup D m,p 1 m m l = lim sup a m 1 m m

6 Hadamard tételei Tétel: [Hadamard tételei] l p l p+1 p N Annak az elégséges és szükséges feltétele, hogy létezik olyan p-ed fokú P polinom, melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré, a következő: l p < l p+1

7 Hadamard tételei Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve a következő A m rendszereket [A 1 m, A 2 m,..., A p m] ismeretlenekkel: a m+p + A 1 ma m+p A p ma m = 0 a A m : m+p+1 + A 1 ma m+p A p ma m+1 = 0... a m+2p 1 + A 1 ma m+2p A p ma m+p 1 = 0 kapjuk, hogy lim m [A 1 m, A 2 m,..., A p m] = [A 1, A 2,..., A p ]. Képezve a P (X) = 1 + A 1 X A p X p polinomot, a P ρ hatványsor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.

8 Alkalmazás Példa: A fenti tétel alkalmazásaként nézzük a következő példát. Legyen θ C[[X]] a következő hatványsor: θ(x) = 1 2X + X 2 + X 3 2X 4 + X 5 + X 6 2X 7 + X Határozzuk meg θ összegét tudva, hogy a keresett összegfüggvény racionális törtfüggvény ( R(X) P (X) alakú, ahol R es P polinomok). Megoldás: Komplex anaĺızisből tudjuk, hogy a θ sor konvergenciasugara egyenlő lesz a P polinom gyökeinek abszolút érténeinek minimumával. Annak függvényében, hogy hány ilyen minimális abszolút értékű gyök létezik, annyiad fokú lesz az Hadamard tételeiben szereplő legkisebb fokú P polinom.

9 Alkalmazás a n = { 1, ha n 3k + 2 vagy 3k alakú 2, ha n 3k + 1 alakú A fentiek alapján: l = 1 R = lim sup n a n 1 n = 1. Egyszerű számításokkal kapjuk:l 1 = lim sup m D m,1 1 m = l 2 = 1. Tehát nem létezik első fokú P polinom úgy, hogy a P θ sor konvergenciasugara nagyobb legyen mint a θ soré. Hasonló számítások után viszont : 0 = l 2 = lim sup m D m,2 1 m < l 3 = 1. Vagyis a keresett P polinom másodfokú.

10 Alkalmazás Keressük meg ezt a polinomot! Képezzük a következő egyenletrendszert: { 1 A 1 m 2 + A 2 m 1 = A 1 m 1 + A 2 m 1 = 0 Belátható, hogy a megoldások A 1 m = A 2 m = 1 m N, vagyis a keresett polinom: P (x) = X + 1 X 2 Szorozzuk össze a P polinomot a θ sorral: P θ(x) = 1 X = R(X). Ezzel megkaptuk θ összegét: θ(x) = 1 x 1 + x + x 2

11 Alkalmazás Megjegyzés: Általánosítás tetszőleges ρ komplex hatványsorra, melynek az összege racionális törtfüggvény : 1 i = 0, meghatározzuk ρ konvergenciasugarát( 1 l = R) 2 megkeressük a Hadamard tételében szereplő P i polinomot 3 összeszorozzuk a P i polinomot a ρ sorral, vagyis ρ = ρ P i 4 ha ρ egy polinom, akkor végeztünk, ha végtelen sor, akkor alkalmazzuk a 2. lépést miközben növeljük az i indexet 5 összegzünk: a keresett racionális törtfüggvény számlálója P 0 P 1... P i ρ lesz, míg nevezője P 0 P 1... P i.

12 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

13 Normált gyűrűk Értelmezés: Legyen (A, +, ) egy asszociatív gyűrű és N : A R egy pozitív függvény. Azt mondjuk, hogy (A, +,, N) normált gyűrű, ha teljesülnek a következő feltételek: N(0) = 0 és N(x) > 0 x A N( x) = N(x) x A N(x + y) N(x) + N(y) x, y A N(x y) N(x) N(y) x, y A

14 Normált gyűrűk N normát nem-archimédeszinek nevezzük, ha a harmadik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x + y) max {N(x); N(y)} x, y A N norma homogén a szorzásra nézve vagy abszolút érték, ha a negyedik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x y) = N(x) N(y) x, y A

15 Példák Példa: Normált gyűrűre a legegyszerűbb példa a valós vagy a komplex számok teste felruházva a szokásos abszolút értékkel. Legyen x Q tetszőleges és p N prím. Jelentse p : Q Q a következő függvényt: 1 x p = p ordp(x) ord p (x) Z-t úgy kapjuk, hogy x-et a következő alakba írjuk: x = p ordp(x) u v, ahol sem u sem v nem osztható p-vel, és legyen definíció szerint 0 p = 0 (pl = 1 2 ). Észrevehető, hogy Q p = (Q, +,, p ) egy normált test, melyben p norma nem- Archimédeszi. A fentihez hasonlóan megszerkeszthető Z p = (Z, +,, p ) kommutatív normált gyűrű is. Fontos megjegyzés, hogy p homogén a szorzásra nézve: x y p = x p y p x, y Q.

16 Normált Gyűrűk Tétel: Ha (A, +,, N)-ben N abszolút értek, akkor (A, +, ) integritástartomány. Bizonyítás: Feltételezzük, hogy nem igaz a tétel álĺıtása. Legyenek x, y A zérusosztók ú.h. x, y 0 és x y = 0. Ekkor N(x)N(y) = = N(x y) = N(0) = 0, tehát N(x) = 0 vagy N(y) = 0, ami ellentmondás.

17 Normált Gyűrűk Megjegyzés: Mivel A zerusosztómentes { következik, } hogy a megszerkeszthető f rac(a) = b a A, b A hányadostest és A frac(a). Legyen M : frac(a) R a következő függvény: ( a ) M b = N(a) N(b) Észrevehető, hogy M jólértelmezett függvény, amely abszolút érték f rac(a) fölött. Természetesen A topológiai teljessége nem elegendő a f rac(a) test teljességéhez a származtatott normával. Jelölje tehát a továbbiakban F rac(a) a f rac(a) test topológiailag teljes burkolóját, amely szintén test.

18 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

19 Hadamard tételei normált gyűrűkre Célkitűzés: Az előbbiekben ismertetett Hadamard eredmény kiterjesztése tetszőleges normált gyűrűre, melyben a norma abszolút érték. Jelölje ρ A[[X]] a továbbiakban a következő hatványsort: ρ(x) = c 0 + c 1 X + c 2 X c n X n +... Legyen 0 < l ρ < + a ρ hatványsor Cauchy-féle állandója, azaz l ρ = lim sup k c k 1 k. Ugyanakkor legyen r ρ = 1 l ρ a ρ konvergenciasugara.

20 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Legyen A ρ [X] és F rac(a) ρ [X] a következő két halmaz: { } A ρ [X] = θ A[X] l θ ρ < l ρ { } F rac(a) ρ [X] = θ F rac(a)[x] l θ ρ < l ρ A ρ [X] (F rac(a) ρ [X]) azon A[X]-beli (F rac(a)[x]-beli) polinomokat tartalmazza, melyeket összeszorozva ρ-val a kapott sor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.(pl. ha ρ(x) = 1 + X + X , akkor 1 X A ρ [X]). Belátható, hogy A ρ [X] F rac(a) ρ [X]. Tétel: A ρ [X] ideálja A[X]-nek (A ρ [X] A[X]). F rac(a) ρ [X] ideálja F rac(a)[x]-nek (F rac(a) ρ [X] F rac(a)[x]).

21 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Azt mondjuk, hogy P A[X] a ρ hatványsor egy minimálpolinomja, ha teljesíti az alábbi két feltételt: P 0 és l P ρ < l ρ Q A[X] ú.h. deg(q) < deg(p ) és l Q ρ < l ρ. Tétel: Legyenek P, Q A ρ [X] minimálpolinomok, ekkor a, b A ú.h. ap bq = 0.

22 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Jelölje P ρ azt a F rac(a) ρ [X]-beli minimális fokú polinomot, melynek szabad tagja 1. A következő tétel megmutatja, hogy ez a polinom egyértelmű. Tétel: Q A ρ [X] F F rac(a)[x] ú.h.q(x) = F (X)P ρ (X) A[X] Bizonyítás: Mivel F rac(a)[x] főideálgyűrű következik, hogy E F rac(a)[x] ú.h. F rac(a) ρ [X] = (E). Legyen P ρ = E e 0. Mivel A ρ [X] F rac(a) ρ [X] következik a tétel álĺıtása.

23 Hadamard tételei normált gyűrűkre Megjegyzés: A fenti álĺıtás következménye, hogy a A ρ [X] elemei egyértelműen meghatározottak P ρ által. A következőkben módszert adunk P ρ meghatározására (ha létezik ilyen polinom).

24 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Hozzárendeljük a ρ A[[X]] sorhoz a következő állandókat: c m c m+1 c m+2... c m+p c m+1 c m+2 c m+3... c m+p+1 D m,p = c m+p c m+p+1 c m+p+2... c m+2p l p = lim sup m l = lim sup m D m,p 1 m c m 1 m

25 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Legyen (A n ) n k a következő determináns-sorozat : c n+i n 1,1 c n+i n 1,2 c n+i n 1,2... c n+i n 1,p c n+i n 2,1 c n+i n 2,2 c n+i n 1,2... c n+i n 2,p A n = c n+i n p,1 c n+i n p,2 c n+i n p,2... c n+i n p,p ahol i n i,j N es in i,j k i, j {1, 2,..., p} (k tetszőleges pozitív szám). Azt álĺıtjuk, hogy: lim sup n A n 1 n l p Következmény: l p l p+1 p N

26 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Tételezzük fel, hogy létezik olyan P (X) = C 0 + C 1 X C p X p F rac(a)[x] polinom (C 0 0), melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Ekkor álĺıthatjuk, hogy: l p < l p+1 Tétel: Ha l p < l p+1 és l p 1 = l p, akkor létezik olyan P (Z) = 1 + C 1 Z C p Z p F rac(a)[x] polinom, melyre a P ρ sor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Megjegyzés: Könnyen igazolható, hogy: l p < l p+1 Q F rac(a) ρ [X] ú.h. deg Q = p Ez közvetlen következménye annak, hogy P ρ oszt minden F rac(a) ρ [X]-beli polinomot.

27 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: [Hadamard tételei normált gyűrűkre ] l p l p+1 p N Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve az alábbi A m egyenletrendszer-sorozatot [C 1 m, C 2 m,..., C p m] ismeretlenekkel: c m+p + C mc 1 m+p Cmc p m = 0 c A m : m+p+1 + Cmc 1 m+p Cmc p m+1 = 0... c m+2p 1 + Cmc 1 m+2p Cmc p m+p 1 = 0 lim m [C 1 m, C 2 m,..., C p m] = [C 1, C 2,..., C p ] F rac(a) p. Ha [C 1, C 2,..., C p ] frac(a) p Z A[X] ú.h. deg Z = p és Z a ρ sor minimálpolinomja

28 Példák Megjegyzés: Az l p 1 = l p és l p < l p+1 feltételek szükségesek, de ellentétben a komplex esettel, nem elégségesek a minimálpolinom létezéséhez, mint ahogy ezt az alábbi példa is igazolja. Példa: Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, az abszolút értékkel ellátva, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet határozza meg: z n = [e n ] Könnyen észrevehető, hogy l = e. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be az alábbi egyenlőtlenségeket: 1 < [e n+1 ] e[e n ] < e Következik, hogy [e n+1 ] e[e n ] < e n N.

29 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értéket: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = [e m [ ] e m+1 ] [ e [e m ] e m+1 ] [ e m+2] e [ e m+1] 2 [ e m+2] max { [ e m+2] e [ e m+1], [ e m+1] e [e m ] } Írhatjuk, hogy: l 1 = lim sup m 2e Következik, hogy deg(p ρ ) = 1. [e m+2] D m,1 1 m lim sup (2e [e m+2] ) 1 m = e < e 2 = l 2 m

30 Példák Keressük meg P ρ polinomot: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 A megoldás Cm 1 = z m+1 z m = [em+1 ] [e m ]. Könnyen észrevehető, hogy lim m Cm 1 = e, tehát: P ρ (X) = 1 ex Nyilvánvaló, hogy P ρ F rac(a)[x]\frac(a)[x] = R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy A ρ [X] a null-polinomon kívül nem tartalmaz semmit.

31 Példák Példa: Ez a példa megmutatja, hogy Q A ρ [X] minimálpolinom esetén nem mindig lesz deg(p ρ ) = deg(q). Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, ellátva az abszolút értékkel, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet szerint határozzuk meg: [ n ] z n = 2 Észrevehető, hogy l = 2. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be, hogy [ 2 n+1 ] 2[ 2 n ] < 2 n N.

32 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értékét: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = = [ 2 ] [ m ] m+1 2 [ 2 ] m 2 [ 2 ] [ m+1 ] m+2 2 [ 2 ] m [ m+2 ] 2 2 Tehát írhatjuk: l 1 = lim sup m vagyis deg(p ρ ) = 1. D m,1 1 m lim sup (2 2 [e m+2] ) 1 2 m = 2 < 2 = l 2 m

33 Példák Keressük meg P ρ -t: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 h 2 m+1 i A megoldás Cm 1 = [ 2 m ] lim m Cm 1 = 2, tehát:. Könnyen észrevehető, hogy P ρ (X) = 1 2X Feltételezzük, hogy létezik Q A ρ [X] minimálpolinom. Láttuk, hogy P ρ R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy deg(q) > deg(p ρ ). Legyen Q alakja a következő: Q(X) = 1 2X 2 = (1 2X)(1 + 2X) tehát Q lehet a ρ egy minimálpolinomja, és deg(q) = 2.

34 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

35 Banach-algebrák Jelentésen a továbbiakban (A, +,, ) egy kommutatív normált K fölötti Banach-algebrát (K = C vagy K = R). Azt mondjuk, hogy a egy A-beli hatványsor, ha a : K A: a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... x K Legyen p és q két A-beli hatványsor, melyeknek együtthatói (p m ) m N és (q m ) m N. Így azonosítható p és q a következő A -beli oszlopvektorokkal: p [p 0, p 1, p 2, p 3,...] t q [q 0, q 1, q 2, q 3,...] t

36 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen D : A M (A) a következő függvény: p p 1 p D(p) = p 2 p 1 p p 3 p 2 p 1 p Könnyen igazolható, hogy D algebramorfizmus A és M (A) között. A fent bemutatott D operátor segítségével értelmezünk egy műveletet az A halmazon: p q = D(p) q = D(q) p Könnyen ellenőrizhető, hogy (A, +,, K) kommutatív algebra voltából (A, +,, K) is kommutatív algebra.

37 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen l : A R a következő valós funkcionál : l(q) = lim sup q m 1 m m Megjegyzés: A továbbiakban a D(p) és l(p) jelölések helyett, D p és l p lesz használatos.

38 Banach-algebrák Tétel: p, q A esetén: l p+q max {l p, l q } Tétel: p, q A esetén: l p q max {l p, l q }

39 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen p A úgy, hogy + > l p > 0. Bevezetjük a következő három halmazt: U p = {q A l p q < l p } V p = {q A l q < l p, l p q < l p } W 1 = {q A l q < 1} Tehát U p azon q hatványsorok halmaza, melyekre a p q sor konvergenciaköre nagyobb mint a p soré (l p q < l p ). Hasonlóan, V p azon q hatványsorokat tartalmazza, melyeknek megvan az előbb elmondott tulajdonságuk és konvergenciasugaruk nagyobb mint a p soré (l q < l p ), végül W 1 pedig azokat, amelyeknek konvergenciasugaruk szig. nagyobb mint 1.

40 Banach-algebrák Tétel: U p résztere A -nek. Tétel: V p résztere U p -nek. V p és W 1 részalgebrái A -nek.

41 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen ρ A ú.h. + > l ρ > 0. Jelentse T ρ : A A a következő függvényt: T ρ (q) = [ q 0, q 1 l ρ, q 2 l 2 ρ, q 3 l 3 ρ, q ] t 4 lρ 4,... Egyértelmű, hogy T ρ algebraautomorfizmus, tehát U ρ T ρ (U ρ ), illetve V ρ T ρ (V ρ ). Legyen U ρ = T ρ (U ρ ), V ρ = T ρ (V ρ ) és ρ = T ρ (ρ) = [ ρ0 l 0 ρ, ρ 1 l 1 ρ, ρ 2 l 2 ρ, ρ 3 l 3 ρ, ρ 4 l 4 ρ,...] t A. Tétel: U ρ D 1 ρ (W 1 ) és V ρ W 1 D 1 ρ (W 1 )

42 Banach-algebrák Megjegyzés: Az előző paragrafus utolsó tétele szerint V ρ algebrailag megegyezik W 1 D 1 ρ (W 1 )-el, tehát elegendő egy normát bevezetni az utóbbi halmazon, amelyet bijektíven átvihetünk az előbbire.

43 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen W1 : W 1 R + a következő függvény: { } q W1 = inf q n (1 + ε) n ε R + n=1 Tétel: (W 1, +,, W1 ) kommutatív normált algebra. Tétel: (V p, +,, W1 ) kommutatív normált algebra.

44 Hadamard tétele Banach-algebrákra? Sejtés[Hadamard tétele Banach-algebrákra?]: D ρ Toeplitz-operátor folytonos a V ρ halmazon W1 M ρ R ú.h. D ρ (q) W1 M ρ q W1 q V ρ

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n +

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1) 3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben