Polinomok maradékos osztása

Átírás

1 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd

2 Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik pontosan egy olyan A polinom valamint pontosan egy olyan R polinom, amelyre deg(r) < deg(q) és P(x) R(x) = A(x) + Q(x) Q(x). Bizonyítás Az ismert maradékos osztási eljárással, 10 helyébe x-et helyettesítve.

3 A nevező gyöktényezős felbontása Innentől feltesszük, hogy deg(p) < deg(q) = N. Az algebra alaptétele szerint léteznek olyan w 1,..., w N C nem feltétlenül különböző számok és a 0 R, amelyre Q(x) = a 0 (x w 1 ) (x w N ). Mivel Q valós együtthatós, azért minden w gyökére w is gyöke, és w és w multiplicitása megegyezik. Vegyük észre, hogy (x w)(x w) = x 2 2R(w)x + w 2 szintén valós együtthatós. Legyen q = 2R(w), s = w 2, ekkor a polinom diszkriminánsa q 2 4s < 0.

4 A nevező gyöktényezős felbontása, folyt. Csoportosítva az azonos gyököket és párosítva a konjugált gyökpárokat, kapjuk a következő felbontást: Q(x) = a 0 (x w 1 ) m1 (x w κ ) mκ (x 2 +q 1 x+s 1 ) n1 (x 2 +q λ x+s λ ) n λ, ahol a 0 R a Q főegyütthatója, w 1,..., w κ R a különböző valós gyökök, rendre m 1,..., m κ multiplicitással, a x 2 + q l x + s l másodfokú tényezők páronként különbözők, n l multiplicitásúak, és minden l-re q 2 l 4s l < 0. Továbbá, a fokok egyenlősége miatt N = m m κ + 2(n n λ ).

5 Racionális törtfüggvény részlettörtekre bontása Tétel Ekkor P/Q egyértelműen felbomlik a következő alakú ún. részlettörtek vagy parciális törtek összegére: minden 1 k κ és 1 m m k esetén valamely a k,m R-re; a k,m (x w k ) m minden 1 l λ és 1 n n k esetén valamely b l,n, c l,n R-re. b l,n + c l,n x (x 2 + q l x + s l ) n

6 A határozatlan együtthatók módszere Módszer az a k,m, b l,n, c l,n R megtalálására: a kívánt P(x) Q(x) = k,m a k,m (x w k ) m + l,n b l,n + c l,n x (x 2 + q l x + s l ) n egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk Q-val, így kapunk egy polinom-egyenletet. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha mindkét oldalon x minden hatványának azonos az együtthatója. A bal oldalon x k együtthatója meghatározott P által; a jobb oldalon pedig lineáris kifejezés a keresett együtthatókban. A kapott lineáris egyenletrendszert megoldjuk az a k,m, b l,n, c l,n ismeretlenekben.

7 Valós gyökökhöz tartozó részlettörtek integrálása Láttuk: a dx = a ln x w + c, (x w) a (x w) m dx = a + c ha m > 1. (1 m)(x w) m 1

8 Konjugált gyökpárokhoz tartozó részlettörtek integrálása, I. Mivel azért az y = x+ q 2 s q2 4 x 2 + qx + s = b x 2 + qx + s dx = helyettesítéssel = b s q2 4 b ( x + q ) 2 q s s q2 4 1 y 2 s q dy arctan(y) + c b = arctan s q2 4 x + q 2 s q2 4 + c.

9 Konjugált gyökpárokhoz tartozó részlettörtek integrálása, II. Legyen most c 0, ekkor b + cx x 2 + qx + s dx = c 2 = c 2 2x + 2b c x 2 + qx + s dx 2x + q x 2 + qx + s + q x 2 + qx + s dx = c 2 ln(x 2 + qx + s) + c 2b c q 2 x 2 + qx + s dx, utóbbi integrál pedig már olyan alakú, mint az előző pontban. 2b c

10 Konjugált gyökpárokhoz tartozó részlettörtek integrálása, III. Amennyiben n 2, akkor b l,n + c l,n x (x 2 + q l x + s l ) n meghatározása egy rekurzió ismételt alkalmazásával visszavezethető a b + cx x 2 + qx + s dx meghatározására.

11 Exponenciális függvény racionális törtfüggvényének integrálása Álĺıtás Exponenciális függvény racionális törtfüggvényének integrálása a t = e x helyettesítéssel visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. Bizonyítás Legyenek P, Q polinomok, deg(p) < deg(q). Ekkor x = ln(t) miatt ẋ(t) = 1 t és P(e x ) Q(e x ) dx = P(t) tq(t) dt.

12 Szögfüggvények racionális törtfüggvényének integrálása Álĺıtás Szögfüggvények racionális törtfüggvényének integrálása a t = tan ( ) x 2 helyettesítéssel visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. Bizonyítás A sin x = 2t 1 + t 2, cos x = 1 t2 1 + t 2 ẋ(t) = 2 d arctan(t) dt = t 2. szögfüggvény-azonosságok miatt minden a, b R \ {0}-re sin(ax) és cos(bx) helyettesíthető t egy racionális törtfüggvényével.