Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat"

Átírás

1 Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert

2 Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa

3 Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 alakú összeg, ahol a 0,..., a n D, és x pedig egy határozatlan (D tetszőleges integritástartomány, például Z, R, vagy C). Feltehető, hogy a n 0.

4 Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 alakú összeg, ahol a 0,..., a n D, és x pedig egy határozatlan (D tetszőleges integritástartomány, például Z, R, vagy C). Feltehető, hogy a n 0. Definíció (fokszám) Ha a n 0, akkor deg(p) = n.

5 Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 alakú összeg, ahol a 0,..., a n D, és x pedig egy határozatlan (D tetszőleges integritástartomány, például Z, R, vagy C). Feltehető, hogy a n 0. Definíció (fokszám) Ha a n 0, akkor deg(p) = n. Definíció (főpolinom) Ha a n = 1, akkor p főpolinom.

6 Elmélet II. Elméleti bevezető Tétel (maradékos osztás) Ha T test, akkor BÁRMELY f, g T [x] polinomra teljesül, hogy ha g 0, akkor létezik olyan q és r T [x]-beli polinom, melyre f = gq + r és deg(r) < deg(g).

7 Elmélet II. Elméleti bevezető Tétel (maradékos osztás) Ha T test, akkor BÁRMELY f, g T [x] polinomra teljesül, hogy ha g 0, akkor létezik olyan q és r T [x]-beli polinom, melyre f = gq + r és deg(r) < deg(g). Megjegyzés Q, R és C test.

8 Elmélet II. Elméleti bevezető Tétel (maradékos osztás) Ha T test, akkor BÁRMELY f, g T [x] polinomra teljesül, hogy ha g 0, akkor létezik olyan q és r T [x]-beli polinom, melyre f = gq + r és deg(r) < deg(g). Megjegyzés Q, R és C test. Megjegyzés Ha p és q két polinom, akkor deg(pq) = deg(p) + deg(q).

9 Tartalom 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa

10 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =?

11 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =?

12 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =? Válasz: 4x 2. Ezt írjuk az egyenlőség jel mögé. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2

13 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =? Válasz: 4x 2. Ezt írjuk az egyenlőség jel mögé. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 2. Szorozzuk meg g-t a kapott eredménnyel, és írjuk az f megfelelő fokszámú tagjai alá rendezve a kapott szorzatot.

14 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =? Válasz: 4x 2. Ezt írjuk az egyenlőség jel mögé. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 2. Szorozzuk meg g-t a kapott eredménnyel, és írjuk az f megfelelő fokszámú tagjai alá rendezve a kapott szorzatot. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2

15 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =? Válasz: 4x 2. Ezt írjuk az egyenlőség jel mögé. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 2. Szorozzuk meg g-t a kapott eredménnyel, és írjuk az f megfelelő fokszámú tagjai alá rendezve a kapott szorzatot. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3

16 1. példa (I. rész) 1. példa Feladat: f = 4x 3 + 2x 2 3x + 5, g = x 1, q, r =? (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) =? 1. Először a legnagyobb fokszámú tagra figyeljünk, f -ben és g-ben egyaránt. Tehát a feladat: 4x 3 : x =? Válasz: 4x 2. Ezt írjuk az egyenlőség jel mögé. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 2. Szorozzuk meg g-t a kapott eredménnyel, és írjuk az f megfelelő fokszámú tagjai alá rendezve a kapott szorzatot. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2

17 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van.

18 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2

19 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2

20 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2 6x 2

21 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2 6x 2 3x

22 1. példa (II. rész) 1. példa 3. f -ből vonjuk ki, ami alatta van. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5

23 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é.

24 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 f = ( 4x 2 + 6x + 3 ) g + 8 STOP

25 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5

26 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2

27 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x

28 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x

29 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x

30 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 f = ( 4x 2 + 6x + 3 ) g + 8 STOP

31 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5

32 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 3x

33 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 3x 3

34 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 3x 3 8

35 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 3x 3 8 = STOP

36 1. példa (III. rész) 1. példa 4. Most úgy folytatjuk, hogy a legalsó sort tekintsük az f -nek, és hajtsuk végre újra az 1-3. lépést, de az 1. lépésnél kapott eredményt a legfelső sorba jegyezzük fel. Addig csináljuk ezt az algoritmust, míg kivonás után egy olyan polinomot nem kapunk, melynek fokszáma kisebb mint g-é. (4x 3 +2x 2 3x +5) : (x 1) = 4x 2 +6x +3 4x 3 4x 2 6x 2 3x +5 6x 2 6x 3x +5 3x 3 8 = STOP f = ( 4x 2 + 6x + 3 ) g + 8

37 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =?

38 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) =

39 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2

40 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4

41 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3

42 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3

43 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3 2x 3

44 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2

45 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x

46 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 f = (2x 2 2x + 7)g + ( 8x + 10)

47 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10

48 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3

49 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2

50 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2

51 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2

52 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x

53 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 f = (2x 2 2x + 7)g + ( 8x + 10)

54 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10

55 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2

56 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2 +7x

57 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2 +7x

58 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2 +7x 8x

59 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2 +7x 8x +10

60 2. példa 2. példa Feladat: f = 2x 4 + 5x 2 x + 10, g = x 2 + x, q, r =? (2x 4 +5x 2 x +10) : (x 2 + x) = 2x 2 2x +7 2x 4 +2x 3 2x 3 +5x 2 x +10 2x 3 2x 2 7x 2 x +10 7x 2 +7x 8x +10 = STOP f = (2x 2 2x + 7)g + ( 8x + 10)

61 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =?

62 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) =

63 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2

64 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5

65 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3

66 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2

67 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2

68 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2 3x 3

69 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2

70 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x

71 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 f = ( x 2 1)g + ( x 2 + 6x 2)

72 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1

73 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3

74 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x

75 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3

76 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3

77 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3 x 2

78 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3 x 2 +10x

79 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3 x 2 +10x 4

80 3. példa 3. példa Feladat: f = x 5 5x 3 + 4x 1, g = x 3 + 2x 1, q, r =? ( x 5 5x 3 +4x 1) : (x 3 + 2x 1) = x 2 3 x 5 2x 3 +x 2 3x 3 x 2 +4x 1 3x 3 6x +3 x 2 +10x 4 = STOP f = ( x 2 3)g + ( x x 4)

81 Vége 3. példa Remélem, hogy a bemutató segített megérteni a dolgot!

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések

Részletesebben

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1) 3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Data Security: Public key

Data Security: Public key Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. A szakirány 11. előadás Ligeti Péter turul@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ turul Nagy hálózatok Nagy hálózatok jellemzése Internet, kapcsolati hálók, biológiai hálózatok,... globális

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Komputeralgebrai Algoritmusok

Komputeralgebrai Algoritmusok Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Testek március 29.

Testek március 29. Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon

Részletesebben

Diszkrét Matematika 2 (C)

Diszkrét Matematika 2 (C) Diszkrét Matematika 2 (C) 2014-15 / őszi félév Jegyzet Az esetleges elírásokért, hibákért felelősséget nem vállalok! Javításokat, javaslatokat a következő címre küldhetsz: blackhawk1990@gmail.com Diszkrét

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

ADATBÁZIS-KEZELÉS. Relációalgebra, 5NF

ADATBÁZIS-KEZELÉS. Relációalgebra, 5NF ADATBÁZIS-KEZELÉS Relációalgebra, 5NF ABSZTRAKT LEKÉRDEZŐ NYELVEK relációalgebra relációkalkulus rekord alapú tartomány alapú Relációalgebra a matematikai halmazelméleten alapuló lekérdező nyelv a lekérdezés

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Matematika, 1 2. évfolyam

Matematika, 1 2. évfolyam Matematika, 1 2. évfolyam Készítette: Fülöp Mária Budapest, 2014. április 29. 1. évfolyam Az előkészítő időszakot megnyújtottuk (4-6 hét). A feladatok a tanulók tevékenységére épülnek. Az összeadás és

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a . Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.

Részletesebben