Diszkrét matematika 2.

Átírás

1 Diszkrét matematika 2. A szakirány 11. előadás Ligeti Péter turul@cs.elte.hu turul

2 Nagy hálózatok Nagy hálózatok jellemzése Internet, kapcsolati hálók, biológiai hálózatok,... globális jellemzés esélytelen lokális tulajdonságok mérése modellezés Vizsgált jellemzők maximális komponens mérete, maximális teljes részgráf (klikk) mérete,... fokszámeloszlás: p k = P (deg(v) = k) átlagos úthossz klaszterezettség: egy csúcs szomszédai milyen gyakran vannak összekötve centralitás mértékek: mik a fontos csúcsok

3 Erdős-Rényi modell Konstrukció G(n, p) gráf n csúcson minden lehetséges élet p valószínűséggel behúzunk a többitől függetlenül Tulajdonságok np < 1 : nagy valószínűséggel log n méretűnél nagyobb komponens np = 1 : maximális komponens mérete n 2/3 np > 1 : van óriás komponens ( cn méretű), a többi log n-es fokszámeloszlás: p k = ( n 1) k p k (1 p n 1 k ) átlagos úthossz: log n klaszterezettség: 1 n

4 Watts-Strogatz kis-világ modell Konstrukció n csúcs, V = {v 1,..., v n}, K átlagos fokszám, n K log n, p valószínűség 1. v i -t összekötünk k szomszédjával (fele előtte, fele utána) 2. v i, (v i, v j ) élt i < j esetén p valószínűséggel kicseréljük véletlen (v i, v l ) élre Tulajdonságok p = 0 : szabályos gyűrű-gráf, p = 1 : Erdős-Rényi gráf, 0 < p < 1 az érdekes fokszámeloszlás: p k = f(k,k) i=0 CK/2 i (1 p)i p K/2 i (pk/2) k K/2 i e (k K/2 i)! pk/2 átlagos úthossz: < log n kis-világ tulajdonság: lokálisan klaszterezett, klaszterezettség: 3(k 2) (1 p)3 4(k 1)

5 Barabási-Albert modell Konstrukció 1. kiindulunk egy összefüggő gráfból V = {v 1,..., v n} csúcsokon 2. hozzáadunk új csúcsokat, mindet m n korábbi csúcshoz kötünk, v i -hez deg(v i )-vel arányos valószínűséggel Tulajdonságok növekedés és preferenciális kapcsolódás fokszámeloszlás: p k k γ valamely γ R + értékre átlagos úthossz: klaszterezettség: log n log log n 1 n 0.75 néhány γ érték: INTERNET: 2.1, hivatkozások: 3, USA elektromos hálózat: 4

6 Diszkrét logaritmus Emlékeztető Legyen (G, ) csoport és K G. A K halmaz generátuma K = H G,K H H. Ha g G : G = g, akkor a csoport ciklikus és g a generátora. Ekkor G = n N + esetén G = {g, g 2, g 3,..., g n 1, g n = s} Definíció Legyen G = g, G = n N +. A h G elem diszkrét logaritmusa az a {0, 1,..., n 1} : g a = h. Példák G = {..., 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100, 1000,... }, a csoport (G, ) = G diszkrét logaritmusa 4. (Z, +) = 1 csoportban k Z diszkrét logaritmusa k (Z 5, ) is ciklikus. 3 Z 5 diszkrét logaritmusa 4. (Z 17, )-ben 13 diszkrét logaritmusa 4 (Z , )-ben 13 diszkrét logaritmusa... 1

7 Diszkrét logaritmus Diszkrét logaritmus probléma Legyen adott G = g, G = n N + nyilvános paraméterek. Feladat: adott h G elemnek számítsuk ki a diszkrét logaritmusát. Megjegyzés speciális esetekben könnyű kiszámítani általános, hatékony algoritmus nem ismert bizonyos csoportokban a legrosszabb eset, sőt az átlagos eset is nehéz... nehéz probléma kriptográfiai alkalmazások Példák, ahol nehéz (Z p, ), ahol p nagy prím (néhány-ezer bit elég) véges test feletti elliptikus görbék ciklikus részcsoportjai: rögzített a, b F p véges test feletti y 2 = x 3 + ax + b egyenlet megoldásai egy görbét határoznak meg, megfelelő művelettel csoport lesz

8 Diffie-Hellman-Merkle kulcscsere protokoll Kulcscserélés probléma Aliz és Bob egy nyilvános (nem-biztonságos) csatornán keresztül szeretnének egy közös titkos kulcsban megállapodni. Alapötlet: Protokoll: 1 Aliz és Bob megegyeznek a nyilvános paraméterekben (G = g, n = G, g) 2 Aliz választ egy véletlen titkos indexet: a {1,..., n} és elküldi Bobnak key a = g a -t 3 Bob választ egy véletlen titkos indexet: b {1,..., n} és elküldi Aliznak key b = g b -t 4 közös kulcs: key b a = keya b = gab Állítás Ha G-ben megoldható a diszkrét logaritmus probléma, akkor a nyilvános információkból ki lehet számítani a közös kulcsot. Alkalmazások https, SSL, TLS (p 2048 bit) VPN IPsec (p 2048 bit)

9 AES titkosítás Szimmetrikus kulcsú titkosítás Feladat: Aliz és Bob közötti kommunikáció titkosítása egy közös, véletlenszerű titkos kulcs segítségével úgy, hogy egy adott üzenet eltitkosításához és visszafejtéséhez ugyanazt a kulcsot használják. One-time pad s {0, 1} n közös titkos kulcs, m {0, 1} n üzenet eltitkosítás: c = m s (bitenkénti mod 2 összeadás) visszafejtés: c s = (m s) s = m Blokktitkosítók s {0, 1} n közös titkos kulcs, m {0, 1} üzenet, k N + blokkméret enc : {0, 1} n+k {0, 1} k titkosító fv, dec : {0, 1} n+k {0, 1} k visszafejtő fv. eltitkosítás/visszafejtés blokkonként: m = (m 1, m 2,... ), m i {0, 1} k eltitkosítás: ENC(s, m) = (enc(s, m 1 ), enc(s, m 2 ),... ) = (c 1, c 2,... ) = c visszafejtés: DEC(s, c) = (dec(s, c 1 ), dec(s, c 2 ),... ) = (m 1, m 2,... ) = m

10 AES titkosítás Emlékeztető Legyen (R, +, ) gyűrű és I R. Ekkor ({a + I : a R},, ) is gyűrű. Ezt faktorgyűrűnek nevezzük, jele röviden R/I. Állítás Legyen F test, f F [x] irreducibilis főpolinom. Ekkor az F/ f faktorgyűrű test. AES Advanced Encryption Standard Daemen és Rijmen által kidolgozott blokktitkosító algoritmus speciális esete 2001 óta az USA standard blokktitkosító blokkméret 128 bit, kulcsméret 128, 192 v 256 bit x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 polinom irreducibilis Z 2 feletti Z 2 / x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 egy 256-elemű test, ezt (is) használja az AES gyors, szoft/hardverben is jól implementálható nem ismert általános hatékony támadás

11 Titokmegosztás Emlékeztető (R, +, ) egységelemes integritási tartomány, ha f, g R[x], deg(f), deg(g) n polinomoknak n + 1 különböző helyen megegyezik a helyettesítési értéke, akkor f = g. Tétel (Lagrange-interpoláció) Legyen (R, +, ) test, c 0, c 1,..., c n, d 0, d 1,..., d n R : i j c i c j. Ekkor!f R[x] : deg(f) n, f(c i ) = d i, i = 0, 1,..., n. Bizonyítás f(x) = n i=0 d il i (x) jó lesz, amennyiben l i (x) = j i (x c j) j i (c i c j ).

12 Titokmegosztás k-küszöb titokmegosztás Legyen k, n N +, k n és S véges halmaz. Feladat: s F titkot szétosztani s 1, s 2,..., s n titokrészekre úgy, hogy (i) bármely k különböző s i ismeretében s hatékonyan kiszámítható (ii) k-nál kevesebb s i ismeretében semmi ne derüljön ki s-ről Shamir-féle titokmegosztás Legyen S = F, F = p véges test, ahol n p. válasszunk f F[x], deg(f) = k 1 polinomot véletlenül, amelyre f(0) = s. az i-edik titokrész legyen s i = f(i) (i) teljesül (Lagrange-interpoláció) (ii) is teljesül (véletlen választás + interpoláció) Alkalmazások kulcsok, indító kódok, banki hozzáférések elosztása cloud-computing, szenzor-hálózatok komplex kriptográfiai rendszerek alapvető építőköve

13 Nyelvek entrópiái Emlékeztető Egy k tagú eloszlás egy p 1,..., p k sorozat, ha p i R +, k i=1 p k = 1. Ennek az eloszlásnak az entrópiája H r(p 1,..., p k ) = k i=1 p i log r p i. Az entrópiára általános felső korlát: H r(p 1,..., p k ) log r k. Élő nyelvek entrópiái Nyelv abc méret Entrópia Entrópia/korlát izlandi angol magyar dán norvég eszperantó német spanyol finn olasz francia

14 CRC kódok Emlékeztető Legyen F véges test, F = q. Ekkor az F n elemei az egy n-dimenziós lineáris teret alkotnak. Ennek a térnek egy tetszőleges K altere egy lineáris kód, dim(k) = k. Definíció A K F n egyenletes kód ciklikus (vagy CRC) kód, ha u = (u 0, u 1,..., u n 1 ) F n (u K (u 1, u 2,..., u n 1, u 0 ) K) Megjegyzés K ciklikus K lineáris. (f 0, f 1,..., f n 1 ) f(x) = f 0 + f 1 x + + f n 1 x n 1 izomorfizmus F n és a legfeljebb n 1-ed fokú F[x]-beli polinomok között. (kódszavak polinomok) Tétel Legyen K egy lineáris ciklikus kód a fenti paraméterekkel és g K minimális fokú főpolinom. Ekkor g egyértelmű és deg(g) = n k h F n (h K g(x) h(x))

15 Lineáris CRC kódok Definíció A g(x) polinomot a K kód generátorpolinomjának nevezzük. Egy g(x) generátorpolinomú lineáris, ciklikus kód esetén a h(x) = xn 1 g(x) polinomot paritásellenőrző polinomnak nevezzük. Megjegyzés egyszerű dekódolás, sokféle generálás c(x) kódszópolinom (c(x)h(x) = 0 mod (x n 1) deg c n 1) g xg generátormátrix: G =. x k 1 g hardverben könnyen megvalósítható, gyors alkalmazási terület: hibajelzés

16 Bináris CRC kódok Generálás F = 2, K F n, dim(k) = k g(x) = g 0 + g 1 x + + g n k 1 x n k 1 + x n k m F k üzenet(polinom) segítségével végezzünk egy maradékos osztást: x n k m(x) = g(x)q(x) + r(x) a kódpolinom: c(x) = x n k m(x) r(x) F 2 [x] eulkideszi gyűrű, az euklideszi algoritmus hardverben hatékonyan implementálható CRC standardok Név Polinom Alkalmazás CRC-1 x + 1 paritásbit CRC-3 x 3 + x + 1 GSM (hang) CRC-5 x 5 + x USB tokenek CRC-8 x 8 + x 2 + x + 1 ATM header CCITT-16 x 16 + x 12 + x HDLC, XMODEM, 3GPP CCITT-32 x 32 +x 26 +x 23 +x 22 +x 16 +x 12 +x 11 + IEEE 802, ATM, ARJ, x 10 + x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 RAR, PKZip ISO-64 x 64 + x 4 + x x + 1 HDLC ISO 3309