Differenciálegyenletek
|
|
- Áron Vass
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 / 34
2 3.1 Differenciálegyenlet fogalma Probléma. Legyen f : D R 2 R adott függvény. Keresendő egy I intervallum és egy ϕ : I R függvény melyre (x, ϕ(x)) D, ha x I, ϕ differenciálható az I intervallumon, ϕ (x) = f (x, ϕ(x)), ha x I teljesül. Ezt a problémát közönséges, elsőrendű, explicit differenciálegyenletnek nevezzük és röviden y (x) = f (x, y(x)) ill. y = f (x, y) (1) -nal jelöljük. A ϕ függvényt az (1) egyenlet megoldásának mondjuk az I intervallumon. Példa. Ha y = 2x + 3, akkor integrálással y(x) = x 2 + 3x + C ahol C egy tetszőleges konstans, így a differenciálegyenletünknek végtelen sok megoldása van. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 2 / 34
3 3.2 Kezdeti érték probléma Probléma. Legyen (x 0, y 0 ) D adott pont, keresendő az (1) differenciálegyenlet egy olyan ϕ : I R megoldása, melyre x 0 I, ϕ(x 0 ) = y 0. Ezt a problémát az (1) egyenletre vonatkozó kezdeti érték problémának nevezzük és y (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 ill. y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 (2) -lal jelöljük. x 0, y 0 -t kezdeti értékeknek nevezzük, a fenti ϕ : I R függvényt az (2) kezdeti érték probléma megoldásának mondjuk az I intervallumon. Példa. Ha y = 2x + 3, y(1) = 2 akkor integrálással y(x) = x 2 + 3x + C ahol C az integrációs konstans, a kezdeti feltételből 2 = y(1) = 4 + C, C = 2, a kezdeti érték probléma egyetlen megoldása y(x) = x 2 + 3x 2. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 3 / 34
4 3.3 Geometriai jelentés: iránymező Adott az y = f (x, y) differenciálegyenlet, ahol f : D R 2 R. Minden (x, y) D pontban kiszámolva f (x, y) értékét, az y (x)-szel, vagyis a ponton átmenő megoldás érintőjének iránytangensével azonos. D minden pontjában rajzolhatunk egy, a ponton átmenő f (x, y) iránytangensű kis egyenesszakaszt. Ezen szakaszok összeségét nevezzük a differenciálegyenlethez tartozó iránymezőnek. Az egyenlet megoldása olyan függvény melynek érintője minden pontban az iránymező illető ponthoz tartozó eleme (a megoldás illeszkedik az iránymezőre ). Az iránymező segitségével a kezdeti érték probléma egy közelítő megoldását is megkaphatjuk: a kezdeti pontból kiindulva az iránymező elemein haladunk, és olyan törtvonalat kapunk, mely közel van a megoldáshoz, a közelítés annál jobb, minél kisebb darabjait vesszük az iránymezőnek. Ez az Euler-féle törtvonalak módszere. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 4 / 34
5 Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 5 / 34
6 3.4 A megoldás egzisztenciája és unicitása Picard-Lindelöf egzisztencia- és unicitástétel Tegyük fel, hogy f : Q R folytonos a Q := { (x, y) R 2 : x x 0 a, y y 0 b } ((x 0, y 0 ) középpontú, 2a, 2b oldalú) téglalapon (ahol x 0, y 0 R, a, b > 0 adottak), továbbá teljesíti az f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) k y 1 y 2 ((x, y 1 ), (x, y 2 ) Q) u.n. Lipschitz feltételt, ahol k egy konstans. Akkor az y (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 kezdeti érték problémának pontosan egy megoldása van az I = [x 0 h, x 0 + h] intervallumon, ahol { h = min a, b }, M = max f (x, y). M (x,y) Q Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 6 / 34
7 3.4 A megoldás egzisztenciája és unicitása A fenti Picard-Lindelöf tétel lokális jellegű, a kezdeti pont egy környezetében állítja a megoldás létezését és egyértelműségét. Igazolható, hogy f folytonossága már elegendő az egzisztenciához, a Lipschitz feltétel az unicitást biztosítja. A tételnek van globális változata is. Picard-Lindelöf egzisztencia- és unicitástétel (globális) Tegyük fel, hogy f : D R folytonos a D R 2 nyílt összefüggő (azaz bármely két D-beli pont összeköthető D-ben lévő törtvonallal) halmazon és teljesíti az f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) k y 1 y 2 ((x, y 1 ), (x, y 2 ) D) Lipschitz feltételt, ahol k egy konstans. Akkor bármely (x 0, y 0 ) D esetén az y (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 kezdeti érték problémának pontosan egy megoldása van, mely határtól határig halad (utóbbi kifejezés azt jelenti, hogy a megoldás gráfja D minden korlátos zárt részhalmazából (x 0 mindkét oldalán) kilép ). Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 7 / 34
8 3.5 Integrálással megoldható egyenletek Szeparábilis egyenletek A szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenlet általános alakja y = g(x)h(y) (3) ahol g : [a, b] R, h : [c, d] R adott folytonos függvények, és h(y) 0 a [c, d] intervallumon, (azaz az elsőrendű explicit egyenlet jobboldalán álló f függvény most felírható f (x, y) = g(x)h(y) alakban, csak x-től és csak y-tól függő függvények szorzataként). Ha ϕ : I R egyenletünk megoldása az I [a, b] intervallumon, akkor átrendezéssel ϕ (x) = g(x) x I. h(ϕ(x)) Mindkét oldalt integrálva, (és a baloldalon az ϕ(x) = y helyettesítést alkalmazva) ( kapjuk, hogy ϕ ) (x) h(ϕ(x)) dx = dy = g(x)dx + C. h(y) y=ϕ(x) Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 8 / 34
9 3.5.1 Szeparábilis egyenletek Bevezetve a H(y) = dy h(y) jelölést, azt kapjuk, hogy az y = ϕ(x) megoldás a H(y) = g(x)dx + C (implicit) egyenletből y = H 1 ( ) g(x)dx + C C R. (4) Itt C egy tetszőleges konstans, a H 1 inverz függvény létezik, mert H (y) = 1 h(y) 0, y [c, d] így a folytonosság miatt H vagy mindenütt pozitív vagy negatív, ezért H invertálható. A megoldás azon x [a, b] pontokban érvényes, ahol az (4) képletnek értelme van (ez függhet C választásától is). Ha van olyan y 0 ]c, d[ pont ahol h(y 0 ) = 0 úgy láthatjuk hogy az y(x) = y 0 konstans függvény is megoldása egyenletünknek. Ekkor a fenti számolással az egyenlet (4) megoldása a [c, y 0 [, ]y 0, d] alkalmas részintervallumain érvényes. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 9 / 34
10 3.5.1 Szeparábilis egyenletek Az előző számolások igazolják a szeparábilis egyenletek megoldására az alábbi módszert. Az egyenletet dy dx = g(x)h(y) alakba írjuk, majd a változókat formálisan szétválasztjuk (dx és g(x) egyik oldalra, dy és h(y) a másik oldalra kerül): dy dy = g(x)dx, majd integrálunk h(y) h(y) = g(x)dx + C, és megkaptuk az általános megoldást implicit alakban. A (3) egyenletre vonatkozó y = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 0 kezdeti érték probléma megoldása a C konstansnak a kezdeti feltételből való kiszámolásával kapható meg, vagy pedig határozott integrálokat írva a megoldás képletében: y dy h(y) = x g(x)dx. y 0 x 0 Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 10 / 34
11 3.5.2 Homogén fokszámú egyenletek A homogén fokszámú egyenletek általános alakja ( y ) y = h x (5) ahol h : [a, b] R adott folytonos függvény. Helyettesítsünk (5)-ben u(x) = y(x) x -et, akkor y(x) = xu(x), y (x) = u(x) + xu (x) így u + xu = h(u) vagy u = h(u) u, x ami szeparábilis egyenlet az u ismeretlen függvényre nézve. Ezt megoldva y(x) = xu(x) adja az eredeti egyenlet megoldását. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 11 / 34
12 3.5.3 Lineáris egyenletek Az elsőrendű lineáris egyenletek általános alakja y + p(x)y = f (x) (6) ahol p, g : [a, b] R adott folytonos függvények, p az y együtthatója, f az egyenlet szabad tagja. A (6) egyenletet homogénnek nevezzük, ha f (x) = 0, x [a, b], ellenkező esetben a (6) egyenlet inhomogén. Foglalkozzunk először a y + p(x)y = 0 (7) homogén egyenlet megoldásával. Ez szeparábilis egyenlet, amiből dy dx = p(x)y, szétválasztva a változókat és integrálva kapjuk, hogy dy y = p(x)dx, vagy ln y = p(x)dx + ln C 1 ahol C 1 > 0 egy pozitív konstans. Az y = 0 konstans függvény is megoldás. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 12 / 34
13 3.5.3 Lineáris egyenletek A logaritmus jelet elhagyva y = C 1 e p(x)dx vagy y = ±C 1 e p(x)dx. Utóbbi megoldáshoz a zérus megoldást hozzávéve kapjuk, hogy a (7) homogén egyenlet minden megoldása (általános megoldása) y = Ce p(x)dx alakú, ahol C R tetszőleges konstans. A (6) inhomogén egyenletnek létezik y = C(x)y h (x) alakú megoldása, ahol C(x) alkalmas függvény és y h (x) = e p(x)dx a homogén egyenlet egy (partikuláris) megoldása. Ez a módszer a konstansvariálás. Az y = C (x)y h (x) + C(x)y h (x) deriváltakat (6)-ba behelyettesítve, átrendezés után kapjuk, hogy C y h + C(y h + py h) = f vagy C y h = f, C(x) = f (x) ( ) y h (x) dx = f p(x)dx (x)e dx. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 13 / 34
14 3.5.4 Bernoulli egyenlet Ha az utolsó integrálban integrációs konstanst is felveszünk akkor az y = C(x)e p(x)dx képlet a (6) egyenlet általános megoldását adja, egyébként csak az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását kapjuk. A Bernoulli egyenlet általános alakja y + p(x)y = f (x)y(x) α (8) ahol p, f : [a, b] R adott folytonos függvények, α R adott konstans. Megjegyezzük, hogy bizonyos α R értékekre csak pozitív megoldásfüggvényeket kereshetünk, mivel ekkor csak ezekre van a jobboldali y(x) α hatvány értelmezve. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 14 / 34
15 3.5.4 Bernoulli egyenlet α = 1 esetén (8) lineáris inhomogén egyenlet, így feltehető, hogy α 1. Vezessünk be új ismeretlen u függvényt az y(x) = u(x) n képlettel, ahol n értékét később határozzuk meg. Az y = nu n 1 u deriváltat (8)-ba helyettesítve nu n 1 u + pu n = fu nα vagy nu n 1 u + p n u = f n unα n+1. Utóbbi egyenlet lineáris inhomogén lesz, ha nα n + 1 = 0. Mivel α 1, innen kapjuk, hogy n = 1 1 α választással u-ra lineáris inhomogén egyenletet kapunk, melyet u-ra megoldunk, majd (8) megoldását az y(x) = u(x) n = u(x) 1 1 α képlettel kapjuk. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 15 / 34
16 3.6 Másodrendű egyenletek Ebben a részben másodrendű differenciálegyenletekkel foglalkozunk, de értelemszerű módosításokkal eredményeink magasabbrendű egyenletekre is érvényesek. Probléma. Legyen f : D R 3 R adott függvény. Keresendő egy I intervallum és egy ϕ : I R függvény melyre ϕ kétszer differenciálható az I intervallumon, (x, ϕ(x), ϕ (x)) D, ha x I, ϕ (x) = f (x, ϕ(x), ϕ (x)), ha x I teljesül. Ezt a problémát közönséges, másodrendű, explicit differenciálegyenletnek nevezzük és röviden y (x) = f (x, y(x), y (x)) ill. y = f (x, y, y ) (9) -vel jelöljük. A ϕ függvényt az (9) egyenlet megoldásának mondjuk az I intervallumon. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 16 / 34
17 3.6 Másodrendű egyenletek Probléma. Legyen most adott egy (x 0, y 0, y 1 ) D pont. Keresendő a (9) egyenletnek egy olyan ϕ : I R megoldása, melyre x 0 I, ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1. Ezt a problémát az (9) egyenletre vonatkozó kezdeti érték problémának nevezzük és y (x) = f (x, y(x), y (x)), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 illetve y = f (x, y, y ), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 (10) -gyel jelöljük. x 0, y 0, y 1 -et kezdeti értékeknek nevezzük, a fenti ϕ : I R függvényt az (10) kezdeti érték probléma megoldásának mondjuk az I intervallumon. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 17 / 34
18 3.6 Másodrendű egyenletek: egzisztencia és unicitás Másodrendű egyenletekre az elsőrendűekre vonatkozóhoz hasonló egzisztencia és unicitástétel érvényes. Egzisztencia és unicitástétel másodrendű explicit differenciálegyenletekre Ha f : D R 3 R folytonos a nyílt és összefüggő D halmazon, és eleget tesz a f (x, y 1, z 1 ) f (x, y 2, z 2 ) k( y 1 y 2 + z 1 z 2 ), ((x, y 1, z 1 ), (x, y 2, z 2 ) D) Lipschitz feltételnek (ahol k egy konstans), akkor bármely (x 0, y 0, y 1 ) D esetén az y = f (x, y, y ), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 kezdeti érték problémának az x 0 pont egy környezetében egyértelmű megoldása van. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 18 / 34
19 3.6 Hiányos másodrendű egyenletek Az y = f (x, y, y ) differenciálegyenletet hiányosnak nevezzük, ha a jobboldalon álló f függvény nem függ valamelyik változójától. Három ilyen egyenlettípus van. f nem függ x-től: y = f (y, y ). Ilyenkor az invertálható megoldásokat határozhatjuk meg az y = p(y) helyettesítéssel. Ekkor y = p (y)y = p (y)p(y), így p-re a p p = f (y, p) elsőrendű egyenletet kapjuk. A megoldásként kapott p-vel felírt y = p(y) szeparábilis egyenletből határozzuk meg y-t. f nem függ y-tól: y = f (x, y ). Az y = p(x) helyettesítést alkalmazva, y = p (x), így egyenletünk a p = f (x, p) elsőrendű egyenletbe megy át. A megoldásként kapott p-vel felírt y = p(x) egyenletből y = p(x)dx. f nem függ y -től: y = f (x, y). Erre nincs általános módszer, minden ilyen egyenletet egyedileg kell vizsgálni. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 19 / 34
20 3.7 Másodrendű lineáris egyenletek, egzisztencia és unicitás A másodrendű lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + p(x)y + q(x)y = f (x) (11) ahol p, q, f : [a, b] R adott folytonos függvények. p, q az y, y együtthatói, f az egyenlet szabad tagja. A (11) egyenletet homogénnek nevezzük, ha f (x) = 0, x [a, b], ellenkező esetben inhomogénnek mondjuk. Egzisztencia és unicitástétel lineáris egyenletekre Tegyük fel, hogy p, q, f : [a, b] R folytonos függvények. Akkor tetszőleges x 0 [a, b], és y 0, y 1 R mellett a (11) másodrendű lineáris egyenletre vonatkozó y + p(x)y + q(x)y = f (x), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 (12) kezdeti érték problémának létezik pontosan egy megoldása, mely az egész [a, b] intervallumon értelmezve van. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 20 / 34
21 3.7 Másodrendű homogén lineáris egyenletek A megoldás szerkezete Ha y 1 (x), y 2 (x) a y + p(x)y + q(x)y = 0 (x [a, b]) homogén egyenlet megoldásai, akkor tetszőleges C 1, C 2 R konstansok esetén az y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) is megoldása ennek az egyenletnek. Wronski determináns Legyenek y 1 (x), y 2 (x) differenciálható függvények az [a, b] intervallumon, akkor a W y1,y 2 (x) = y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) (x [a, b]) determinánst e függvények Wronski determinánsának nevezzük. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 21 / 34
22 3.7 Másodrendű homogén lineáris egyenletek Liouville tétele Ha y 1 (x), y 2 (x) a y + p(x)y + q(x)y = 0 (x [a, b]) homogén egyenlet megoldásai, akkor a W y1,y 2 a Wronski determinánsukra érvényes a W y1,y 2 (x) = W y1,y 2 (x 0 )e x p(x)dx x 0 (x 0, x [a, b]) un. Liouville formula. (Így W y1,y 2 vagy mindenütt zérus vagy sehol sem). Függvények lineáris függetlensége, függősége Az y 1, y 2 : [a, b] R függvényeket lineárisan függetleneknek nevezzük [a, b]-n, ha c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = 0 (x [a, b]) csak c 1 = c 2 = 0 esetén teljesül. Az y 1, y 2 függvényeket lineárisan függőknek nevezzük nem lineárisan függetlenek (ekkor egyik függvény a másik konstansszorosa). Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 22 / 34
23 3.7 Másodrendű homogén lineáris egyenletek Lineáris függetlenség kapcsolata a Wronski determinánssal Ha W y1,y 2 (x 0 ) 0, akkor y 1, y 2 lineárisan függetlenek. Ha W y1,y 2 (x 0 ) = 0, és y 1, y 2 egy homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásai, akkor y 1, y 2 lineárisan függők. Így, ha y 1, y 2 egy homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásai, akkor y 1, y 2 akkor és csakis akkor lineárisan függetlenek, ha W y1,y 2 (x 0 ) 0 valamely x 0 pontban. A homogén egyenlet általános megoldása Ha y 1 (x), y 2 (x) az y + p(x)y + q(x)y = 0 (x [a, b]) homogén egyenlet két lineárisan független megoldása, akkor egyenletünk minden y megoldása (általános megoldása) felírható y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) (x [a, b]) (13) alakban, ahol C 1, C 2 R konstansok. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 23 / 34
24 3.7 Másodrendű konstansegyütthatós homogén lineáris egyenletek Tekintsük az y + py + qy = 0 (x [a, b]) (14) homogén egyenletet, ahol most p, q konstansok. (14)-nek mindig van y(x) = e λx alakú megoldása, alkalmas λ konstanssal. Ugyanis az y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx deriváltakat (14)-be helyettesítve, e λx ( λ 2 + pλ + q ) = 0, vagy λ 2 + pλ + q = 0. (15) Azt kaptuk, hogy az y(x) = e λx, (λ R) függvény akkor és csakis akkor megoldása a (14) homogén egyenletnek, ha a λ konstans kielégíti a (15) másodfokú algebrai egynletet, amit (14) karakterisztikus egyenletének nevezünk. A homogén egyenlet általános megoldásához két lineárisan független megoldásra van szükségünk, ezeket az alábbi módon kaphatjuk meg. Jelölje D = p 2 4q a (15) egyenlet diszkriminánsát. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 24 / 34
25 3.7 Másodrendű konstansegyütthatós homogén lineáris egyenletek Ha D > 0, akkor (15)-nek két különböző λ 1 λ 2 valós megoldása van. y 1 (x) = e λ1x, y 2 (x) = e λ2x linárisan független megoldásai (14)-nek, mert Wronski determinánsuk W y1,y 2 (x) = e λ 1x e λ 2x λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2x = (λ 2 λ 1 )e (λ 1+λ 2 )x 0 (x [a, b]) (14) általános megoldása y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x, (C 1, C 2 R). Ha D = 0, akkor (15)-nek egy kétszeres valós megoldása van λ 1 = λ 2. Ekkor y 1 (x) = e λ 1x mellett (mint az könnyen ellenőrizhető) y 2 (x) = xe λ 1x is megoldás. E függvények lineárisan függetlenek (mert Wronski determinánsuk nem nulla), így (14) általános megoldása y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 xe λ 1x, ahol C 1, C 2 R. Ha D < 0, akkor (15)-nek két konjugált komplex megoldása van λ 1,2 = α ± iβ, ahol i 2 = 1. Most y 1 (x) = e αx cos(βx) és y 2 (x) = e αx sin(βx) lesznek lineárisan független megoldások. (14) általános megoldása y(x) = C 1 e αx cos(βx) + C 2 e αx sin(βx), ahol C 1, C 2 R. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 25 / 34
26 3.7 Másodrendű inhomogén lineáris egyenletek A megoldás szerkezete Az y + p(x)y + q(x)y = f (x) (x [a, b]) (16) inhomogén egyenlet (ahol p, q, f folytonosak) minden megoldása (általános megoldása) y(x) = y(x) + y h (x) alakba írható, ahol y az inhomogén egyenlet egy (partikuláris) megoldása, y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) a megfelelő homogén egyenlet (vagyis y + p(x)y + q(x)y = 0) általános megoldása (vagyis y 1 (x), y 2 (x) a homogén egyenlet lineárisan független megoldásai, C 1, C 2 R konstansok). Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 26 / 34
27 3.7 Másodrendű inhomogén lineáris egyenletek Ha y 1 (x), y 2 (x) a homogén egyenlet két lineárisan független megoldása, akkor az inhomogén egyenletnek mindig van y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) (17) alakú megoldása, alkalmas C 1 (x), C 2 (x) függvényekkel. Ez a konstansvariálás módszere. (17)-ből y (x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) + C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x), próbáljuk meg C 1 (x), C 2 (x)-t úgy választani, hogy C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x) = 0 (18) legyen. Ekkor y (x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + C 1(x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x). E deriváltakat a (16)-ba visszahelyettesítve, átrendezés után C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) +C 1 (x)[y 1 (x) + p(x)y 1 (x) + q(x)y 1(x)] +C 2 (x)[y 2 (x) + p(x)y 2 (x) + q(x)y 2(x)] = f (x). A két szögletes zárójelben álló összeg zérus lévén, innen C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) = f (x). (19) Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 27 / 34
28 3.7 Másodrendű inhomogén lineáris egyenletek A konstansvariálás tétele Legyen y 1 (x), y 2 (x) az y + p(x)y + q(x)y = 0 homogén egyenlet két lineárisan független megoldása, akkor az y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) függvény megoldása az y + p(x)y + q(x)y = f (x) inhomogén egyenletnek, ha a C 1 (x), C 2 (x) függvények kielégítik a (18),(19) egyenleteket: C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x) = 0 C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) = f (x). Ez (minden x [a, b] pontban) egy lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszer, mely egyértelműen megoldható a C 1 (x), C 2 (x) ismeretlenekre, mivel a rendszer determinánsa éppen a W y1,y 2 (x) Wronski determináns, ami az y 1 (x), y 2 (x) megoldások lineáris függetlensége miatt sehol sem nulla. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 28 / 34
29 3.7 Másodrendű inhomogén lineáris egyenletek A Cramer szabály alapján amiből C 1 (x) = C 1 (x) = y 2(x)f (x) W y1,y 2 (x), C 2 (x) = y 1(x)f (x) W y1,y 2 (x), y2 (x)f (x) W y1,y 2 (x) dx + c y1 (x)f (x) 1, C 2 (x) = W y1,y 2 (x) dx + c 2 ahol c 1, c 2 tetszőleges konstansok. E függvényekkel (17) az inhomogén egyenlet általános megoldását adja, míg, ha integrációs konstansokat nem írjuk be a képletbe, akkor (17) az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását adja. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 29 / 34
30 3.7 Másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén egyenletek Most a (12) egyenletben a p, q együtthatók adott konstansok, f : [a, b] R adott folytonos függvény: y + py + qy = f (x) (x [a, b]). (20) Láttuk, hogy a megfelelő homogén egyenlet általános megoldása könnyen meghatározható. Az inhomogén egyenlet megoldására két lehetőségünk van. Bármely f (x) szabad tag esetén alkalmazhatjuk a konstansvariálást az inhomogén egyenlet egy partikuláris vagy általános megoldásának kiszámítására. Tegyük fel, hogy az f (x) szabad tag speciális alakú, f (x) = e αx (P(x) cos(βx) + Q(x) sin(βx)), (21) ahol α, β R valós konstansok, P, Q valósegyütthatós polinomok. Ekkor alkalmazható a határozatlan együtthatók módszere (ld. a következő tételeket). Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 30 / 34
31 3.7 Másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén egyenletek Az inhomogén egyenlet megoldásának felbontása Ha y i (x) az y + py + qy = f i (x) (x [a, b]). egyenlet megoldása i = 1, 2,..., n mellett, akkor az y i (x) = y 1 (x) + y 2 (x) + + y n (x) függvény megoldása az egyenletnek. y + py + qy = f 1 (x) + f 2 (x) + + f n (x) A (20) inhomogén egyenlet megoldásának alakja (x [a, b]). Ha λ := α ± iβ a homogén egyenlet λ 2 + pλ + q = 0 karakterisztikus egyenletének r-szeres megoldása (r = 0, 1,... akkor a (20) egyenletnek (21) alakú szabad ( tag mellett van ) y(x) = x r e αx P(x) cos(βx) + Q(x) sin(βx), (22) alakú partikuláris megoldása, ahol P(x), Q(x) polinomok, melyek fokszáma a P(x), Q(x) polinomok fokszáma közül a nagyobbik. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 31 / 34
32 3.8 Példák a határozatlan együtthatók módszerére Első példaként tekintsük az y 3y + 9y = f (x) egyenletet. A karakterisztikus egyenlet λ 2 3λ + 9 = 0, megoldása λ 1,2 = 3. Ha f (x) = (x + 3)e 5x, akkor (21)-ben α = 5, β = 0, P(x) = x + 3 elsőfokú, Q(x) = 0-nak vehető, mivel szorzója sin 0x = 0.. λ = α ± iβ = 5 nem megoldása a karakterisztikus egyenletnek, így r = 0, van y(x) = (Ax + B)e 5x alakú megoldás, ahol A, B konstansok. E konstansokat az egyenletbe való behelyettesítéssel és együtthatóösszehasonlítással könnyen meghatározhatjuk. Ha f (x) = (x 2 + 3)e 3x, akkor (21)-ben α = 3, β = 0, P(x) = x másodfokú, Q(x) = 0-nak vehető, mivel szorzója sin 0x = 0. λ = α ± iβ = 3 kétszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, így r = 2, van y(x) = x 2 (Ax 2 + Bx + C)e 3x alakú megoldás, ahol A, B, C konstansok. E konstansokat az egyenletbe való behelyettesítéssel könnyen meghatározhatjuk. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 32 / 34
33 3.8 Példák a határozatlan együtthatók módszerére Második példaként tekintsük az y 4y + 13y = f (x) egyenletet. A karakterisztikus egyenlet λ 2 4λ + 13 = 0, megoldása λ 1,2 = 2 ± 3i. Ha f (x) = e 2x (x + 3) sin 3x, akkor (21)-ben α = 2, β = 3, P(x) = x + 3 elsőfokú, Q(x) = 0 nulladfokú. λ = α ± iβ = 2 ± 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, így r = 1, van y(x) = xe 2x ((Ax + B) sin 3x + (Cx + D) cos 3x) alakú megoldás, ahol A, B, C, D konstansok. E konstansokat az egyenletbe való behelyettesítéssel könnyen meghatározhatjuk. Ha f (x) = (2x + 3) sin 3x, akkor (21)-ben α = 0, β = 3, P(x) = 2x + 3 harmadfokú, Q(x) = 0 nulladfokú. λ = α ± iβ = ±3i nem megoldása a karakterisztikus egyenletnek, így r = 0, van y(x) = (Ax + B) sin 3x + (Cx + D)) cos 3x) alakú megoldás, ahol A, B, C, D konstansok. E konstansokat az egyenletbe való behelyettesítéssel könnyen meghatározhatjuk. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 33 / 34
34 3.8 Példák a határozatlan együtthatók módszerére Harmadik példaként tekintsük az y + y 2y = f (x) egyenletet. A karakterisztikus egyenlet λ 2 + λ 2 = 0, megoldása λ 1 = 1, λ 2 = 2. Ha f (x) = (x + 3)e 2x + 2 sin 3x, akkor az f 1 (x) = (x + 3)e 2x -nek megfelelő megoldás y 1 (x) = (Ax + B)e 2x, az f 2 (x) = 2 sin 3x-nek megfelelő megoldás y 2 (x) = C sin 3x + D cos 3x. Először A, B-t majd C, D-t határozzuk meg, ezen értékekkel y(x) = (Ax + B)e 2x + C sin 3x + D cos 3x megoldása lesz az inhomogén egyenletnek. Ha f (x) = (x + 3)e 2x + 5 cos 3x, akkor az f 1 (x) = (x + 3)e 2x -nek megfelelő megoldás y 1 (x) = x(ax + B)e 2x, az f 2 (x) = 5 cos 3x-nek megfelelő megoldás y 2 (x) = C sin 3x + D cos 3x. Meghatározzuk A, B-t majd C, D-t, az így kapott értékekkel y(x) = x(ax + B)e 2x + C sin 3x + D cos 3x az inhomogén egyenlet megoldása lesz. Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 34 / 34
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenDifferenciál egyenletek
Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 27 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenFeladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenAnalízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük
Ismertető A Matematika 2. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis 2. tárgyához
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenAz előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása
TTK, Matematikus alapszak, Differenciálegyenletek (előadás, gyakorlat) Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04. Követelmény: Előadás 4/0/0/v/4; Gyakorlat 0/020/f/2 Tananyag (általános megjegyzések).
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben
Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Részletesebben