MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS"

Átírás

1 MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3. Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1

2 A jegyzet Bozzay Árpád és Varga Sándor B szakirányos hallgatók Modellek és algoritmusok 214/1 féléves előadásjegyzete alapján készült. Nem tartalmazza a megjegyzéseket, példákat, bizonyításokat, csupán a definíciókat, kimondott tételeket és állításokat. 1. Előadás 1.1. Inverz függvény tétel 1.1 Tétel (Globális). I R nyílt intervallum, f : I R. Tegyük fel, hogy f differenciálható, és f > az egész I-n. f 1 és differenciálható is, és (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)). 1.2 Tétel (Lokális). I R nyílt intervallum, f : I R. Tegyük fel, hogy a I, hogy f folytonosan differenciálható a-ban, és f (a) >. U = K(a), V = K(f(a)), f : U V bijekció, és (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) x V Általánosítás 1.3 Tétel (Inverz függvény tétel). Ω R n nyílt, f : Ω R n. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, a Ω, det f (a). bijekció, és U Ω nyílt, V R n nyílt, a U, f(a) V, f : U V (f 1 ) (x) = ( f (f 1 (x))) 1 (x V ) Implicit függvény tétel f R 2 R, H := {(x, y): f(x, y) = }. y kifejezhető-e? 1.4 Definíció. f R 2 R, H := {(x, y): f(x, y) = }. Ha U 1, U 2 nyílt halmazok, ϕ: U 1 U 2, hogy f(x, ϕ(x)) =, akkor ϕ kielégíti az f(x, y) = implicit egyenletet. 2. Előadás 2.1 Tétel (Implicit függvény tétel, speciális eset). Ω R 2 nyílt, f : Ω R. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, (a, b) Ω, f(a, b) =, δ 2 f(a, b). 2

3 i, U 1, U 2, R nyílt, a U 1, b U 2, ϕ: U 1 U 2 bijekció, ϕ(a) = b és f(x, ϕ(x)) = (x U 1 ), ii, ϕ folytonosan differenciálható, és ϕ (x) = δ 1f(x, ϕ(x)) δ 2 f(x, ϕ(x)) (x U 1 ). 2.2 Tétel (Implicit függvény tétel, általános eset). Ω 1 R n 1, Ω 2 R n 2, f : Ω 1 Ω 2 R n 2. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω 1 Ω 2 -n, ii, a Ω 1, b Ω 2, f(a, b) =, det δ 2 f(a, b). i, U 1 Ω 1, U 2 Ω 2 nyílt halmazok, ϕ: U 1 U 2 bijekció, ϕ(a) = b és ii, ϕ folytonosan differenciálható és f(x, ϕ(x)) = (x U 1 ), ( 1 ϕ (x) = δ 2 f(x, ϕ(x))) δ1 f(x, ϕ(x)) (x U 1 ). 2.3 Definíció. δ 2 f(a, b) = δ 1 f(a, b) = ( R n 2 y f(a, y)) ( R n 1 y f(x, b)) y=b x=a R n 2 n 2, R n 2 n Előadás 3.1. Feltételes szélsőérték 3.1 Definíció. f-nek feltételes lokális minimuma (maximuma) van a c H pontban a g i = feltételekre nézve, ha K(x), f(x) f(c) (f(x) f(c)) x K(c) H. 3.2 Tétel (Szükséges feltétel feltételes lokális szélőértékre). U R n nyílt, f, g i : U R, i = 1,..., m. Tegyük fel, hogy i, f, g i folytonosan differenciálható, i = 1,..., m, ii, f-nek létezik feltételes lokális szélsőértéke c H-ban, iii, g i(c) vektorok lineárisan függetlenek. λ 1,... λ m R, hogy L (c) =, ahol L(x) = f(x) + λ 1 g 1 (x) λ m g m (x). 3

4 3.3 Tétel (Elégséges feltétel feltételes lokális szélsőértékre). U R n nyílt, f, g i : U R, i = 1,..., m. Tegyük fel, hogy i, f, g i folytonosan differenciálható, i = 1,..., m, ii, L (c) =, c H, iii, g i(c) vektorok lineárisan függetlenek, iv, L (c) feltételesen pozitív definit, azaz L (c) h, h > g (c) h =, ahol g = g 1.. g m h R n \ {}, amelyre f-nek létezik feltételes lokális minimuma c-ben. 4. Előadás 4.1. Differenciálegyenletek 4.1 Definíció (Szakaszonként folytonosan differenciálható függvény). [α, β] R korlátos, zárt intervallum, ϕ: [α, β] R n szakaszonként folytonosan differenciálható, ha ϕ folytonos, és α = t < t 1 <... < t n = β, hogy ϕ (ti folytonosan differenciálható,t i+1 ) (i =,..., n 1). 4.2 Definíció (Összefüggő halmaz). D R n összefuggő halmaz, ha x, y D : ϕ: [α, β] D szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, hogy ϕ(α) = x és ϕ(β) = y ([α, β] R). 4.3 Definíció (Tartomány). D R n tartomány, ha D nyílt, és összefüggő. 4.4 Definíció (Differenciálegyenlet). D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos. Az x (t) = f(t, x(t)) egyenletet elsőrendű explicit differenciálegyenletnek nevezzük, ahol x: I R n folytonosan differenciálható, I R nyílt intervallum, és (t, x(t)) D t I. 4.5 Definíció (Kezdeti érték probléma). D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D, τ R, ξ R n. Az x (t) = f(t, x(t)) feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 4.6 Tétel (Peano egzisztencia tétel). D R n+1, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték problémának létezik megoldása. 4

5 5. Előadás 5.1 Definíció. D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos, (τ, ξ) D. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, ha ϕ és ψ is megoldás, akkor ϕ(t) = ψ(t) t D ϕ D ψ. 5.2 Definíció. Ha az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, akkor legyen ϕ = ϕ, azaz A ϕ neve teljes megoldás. D ϕ = I=Dϕ ϕ mo. I és ϕ(t) := ϕ(t), t D ϕ D ϕ. 5.3 Definíció. Az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, a (τ, ξ) D ponton, ha K(τ, ξ) D környezet, hogy a feladatot, illetve f-t erre szűkítve a kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg. 5.4 Megjegyzés. Ha x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ globálisan megoldható lokálisan megoldható, de ha lokálisan megoldható globálisan megoldható. 5.5 Tétel. Ha az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma (τ, ξ) D esetén lokálisan egyértelműen oldható meg, akkor globálisan egyértelműen is. 5.6 Definíció. D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos függvény kielégíti a 2. változójában a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) D pontban, ha környezet, és L >, hogy K(τ, ξ) D f(t, u) f(t, ū) L u ū (t, u), (t, ū) K(τ, ξ) (t R; u, ū R n ). 5.7 Tétel (Picard-Lindelöff tétel). Tegyük fel, hogy D R n+1 tartomány, f : D R n folytonos függvény kielégíti a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) D pontban. az x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg a (τ, ξ) pontban. 5.8 Tétel. x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték proléma ekvivalens az integrálegyenlettel. x(t) = ξ + t τ f(s, x(s))ds 5.9 Tétel. Ha a Picard-Lindelöff tétel feltételei (τ, ξ) D pontban teljesülnek, akkor x (t) = f(t, x(t)), x(τ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg (τ, ξ) D esetén. 5.1 Tétel. Ha f : D R n folytonosan differenciálható, akkor kielégíti a Lipschitz feltételt (τ, ξ) D-ben. 5

6 6. Előadás 6.1. Szeparábilis differenciálegyenlet 6.1 Definíció. I 1, I 2 R nyílt intervallum, f : I 1 R, g : I 2 R folytonos függvények. Az x (t) = f(t) g(x(t)) differenciál egyenletet szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek nevezzük. 6.2 Tétel. Ha / R g, akkor az x = f g x szeparábilis differenciálegyenlet az x(τ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 6.3 Definíció. I R nyílt intervallum, f, g : I R folytonos. Az x + fx = g differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 6.4 Tétel. Az x + f x = g lineáris differenciálegyenlet az x(τ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható. 6.5 Tétel. Legyen ψ az inhomogén egyenlet (x +f x = g) megoldása. ψ megoldása az inhomogén ψ = ψ + ϕ, ahol ϕ megoldása a homogén. 7. Előadás 8. Előadás 8.1. Az x = Ax homogén lineáris DER megoldása Csak akkor létezik megoldóképlet, ha A állandó mátrix, azaz a i,j állandó. 8.1 Tétel. Tekintsük az x = Ax differenciálegyenlet rendszert és legyen A állandó mátrix. Tegyük fel, hogy A-nak n db lineárisan független sajátvektora: s 1,..., s n, a hozzátartozó sajátértékek: λ 1,..., λ n. s i e λ it (i = 1,..., n) a differenciálegyenlet rendszer alaprendszere. 8.2 Megjegyzés. Hasonló tétel igaz, ha A-nak n db különböző sajátértéke Az x = Ax inhomogén lineáris DER megoldása Jelölje M ih az x = Ax + b egyenlet teljes megoldásainak halmazát. Legyen Ψ M ih. 8.3 Tétel. Ψ M ih Ψ = Ψ + ε, ahol ε M h. 8.4 Tétel. i, Az x = Ax + b differenciálegyenlet rendszer összes megoldása: ii, Ha Ψ(τ) = ξ, akkor t Ψ(t) = Φ(t) c + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds (c R n ). τ t Ψ(t) = Φ(t) Φ(τ) 1 ξ + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds. τ 6

7 8.3. Magasabb rendű differenciálegyenlet 8.5 Definíció. D R n+1 tartomány, h: D R folytonos. Az y (n) (t) = h(t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t)) feladatot n-ed rendű differenciálegyenletnek nevezzük. Jel: y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ). 8.6 Tétel. φ megoldása az y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ) differenciálegyenletnek Ψ megoldása az x = f (id, x) differenciál egyenlet rendszernek. 8.7 Definíció. Az y (n) = h (id, y, y,..., y (n 1) ), y(τ) = ξ 1, y (τ) = ξ 2,..., y (n 1) (τ) = ξ n feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 8.8 Tétel. A differenciálegyenlet rendszerekre tanult tételek (picard-lindelöff, Peano) igazak maradnak n-ed rendű differenciál egyenletekre is. 9. Előadás 9.1. Magasabbrendű lineáris differenciálegyenlet 9.1 Definíció. Legyen a,... a n 1, b: I R folytonos és korlátos függvények. az y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a y = b egyenletet n-ed rendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 9.2 Tétel. ϕ kielégíti az y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 1 y +a y = b lineáris differenciálegyenletet Ψ kielégíti az x = Ax + b lineáris differenciálegyenlet rendszert. 9.3 Definíció. A differenciálegyenlet homogén, ha b =, inhomogén különben. (ezmitőldef?:o) 9.4 Tétel. Tekintsük az y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a y = differenciálegyenletet. i, M h C h (I, R), M h altér, dim M h = h, ii, ϕ 1,... ϕ n M h lineárisan függetlenek t I-re det ϕ 1 (t)... ϕ n (t) ϕ 1(t)... ϕ n(t). 1 (t)... ϕ (n 1) (t) ϕ (n 1) (ezt valaki nézze már meg, mert a hozott anyag elég érdekes, van valahol "minden t eleme I-re" és egy "létezik t eleme I-re") 9.5 Tétel. Legyen Ψ M ih. Ψ M ih Ψ = Ψ + ϕ, ahol ϕ M h. n 7

8 9.6 Definíció. Az y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a y = differenciálegyenlet karakterisztikus polinomján a polinomot értjük. K(z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a 9.7 Tétel. ϕ(t) = e λt M h λ gyöke K-nak. 9.8 Tétel. Ha K-nak n db különböző gyöke, λ 1,... λ n, akkor ϕ i (t) = e λ it, i = 1,... n a differenciálegyenlet alaprendszere. 9.9 Definíció. Ha {ϕ 1,..., ϕ n } M h lineárisan függetlenek, akkor ezt a differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük. 9.1 Tétel. Tegyük fel, hogy K(z) = (z λ 1 ) m 1 + (z λ r ) mr, ahol λ 1,..., λ n különbözőek, és m m r = n. ϕ i,j (t) = t i e λjt, i = 1,..., r, i =,..., m j 1 alaprendszert alkot Tétel. Valós alaprendszer is van Az inhomogén állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása 9.12 Tétel. Ha c(t) kielégíti a Φ(t)c (t) = b(t) egyenletet, akkor c 1 (t)ϕ 1 (t) c n (t)ϕ n (t) M ih Tétel. Legyen P, Q polinom, α, β, c 1, 2, A, B R. Ha α + β i k-szoros gyöke k-nak (ha nem gyöke, akkor k = ) és ahol Q foka nagyobb mint P foka. 1. Előadás b(t) = P (t)e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt). ϕ(t) = t k Q(t)e αt (A cos βt + B sin βt) M ih, 1.1. Függvénysorozatok, függvénysorok A R, f n : A R, n N. 1.1 Definíció. Az (f n ) sorozatot függvénysorozatnak nevezzük, a f n sort pedig függvénysornak nevezzük, ahol ez alatt a függvénysorozatot értjük. ( n f k, ) n N 8

9 1.2 Definíció. Az (f n ) függvénysorozat konvergenciahalmaza: KH(f n ) := {x A: (f n (x)) konv. }, a f n függvénysorozat konvergenciahalmaza: ( ) KH fn := {x A: f n (x) konv. }. 1.3 Definíció. Az (f n ) pontonkéni limesze: lim f n : KH(f n ) R, x lim f n (x). A f n összegfüggvénye: n= ( ) f n : KH fn R, x f n (x). n= 1.4 Definíció. Az (f n ) függvénysorozat egyenletesen konvergens, ha ε > n, n, m n x A: f n (x) f m (x) < ε. 1.5 Tétel. Az (f n ) sorozat egyenletesen konvergens, akkor és csak akkor, ha f : A R, ε > n, n n x A: f n (x) f(x) < ε. Az (f n ) függvénysorozat egyenletes konvergenciájáról szóló tételben megjelenő f-et az (f n ) egyenletes hatásfüggvényének nevezzük. Jele: f n f. 1.6 Megjegyzés. f n f pontonként A-n, akkor és csakis akkor, ha x A, ε > n, n n : f n (x) f(x) < ε. 1.7 Tétel. f n f f n f pontonként A-n, de f n f f n f pontonként A-n. 1.8 Tétel. f n : A R. Tegyük fel, hogy f n C(A), n N, és (f n ) egyenletesen konvergens. f = lim f n C(A). 1.9 Tétel (Weierstrass-tétel). f n : A R. Tekintsük a f n függvénysort és a a n számsort. Tegyük fel, hogy sup f n () a n n N, és a n konvergens. x A f n egyenletesen konvergens. 1.1 Definíció. f n egyenletesen konvergens, ha (s n ) egyenletesen konvergens, ahol n s n := f k Tétel. f n : [a, b] R, n N. Tegyük fel, hogy f n R[a, b], n N, és (f n ) egyenletesen konvergens. f := lim f n R[a, b] és b a b f = lim f n. a 9

10 1.12 Tétel. f n : [a, b] R, n N. Tegyük fel, hogy f n R[a, b], n N, és f n egyenletesen konvergens. f := f n R[a, b] és n= b b f = f n. a n= a 1.13 Tétel. f n : (a, b) R, n N. Tegyük fel, hogy 1. f n D(a, b) ( n N, 2. x (a, b): (f n (x )) konvergens, 3. (f n) egyenletesen konvergens. 1. (f n ) egyenletesen konvergens, 2. f = lim f n D(a, b), 3. f = lim f n. 11. Előadás Fourier-sorok 11.1 Definíció. A n (a k cos kx + b k sin kx) polinomot trigonometrikus polinomnak nevezzük, a a k cos kx + b k sin kx sort pedig trigonometrikus sornak nevezzük Definíció. R 2π := {f : R R, f 2π-szerint periodikus és f R[, 2π]}, C 2π := {f : R R, f 2π-szerint periodikus és f C} Definíció. f, g R 2π ortogonális, ha f, g := fg = Definíció. A {ϕ n : n N} rendszer ortogonális, ha : n m ϕ n, ϕ m = ϕ n ϕ m = 1: n = m Tétel. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...} rendszer ortogonális Tétel. Az { 1, cos x, sinx cos 2x sin 2x,,...} 2π π π π π rendszer ortonormált. 1

11 11.7 Definíció. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...} rendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük Tétel. A trigonometrikus rendszer teljes C 2π -ben, azaz, ha h C 2π és akkor h. h(x) cos kxdx = h(x) sin kxdx = k, 11.9 Tétel. Ha a a k cos kx + b k sin kx sor egyenletesen konvergál, és f(x) = (a k cos kx + b k sin kx), akkor a = 1 2π a k = 1 π b k = 1 π f(x)dx, f(x) cos kx dx k 1 f(x) sin kx dx k Definíció. f R 2π. Az a := 1 2π a k := 1 π b k := 1 π f(x)dx, számokat f Fourier-együtthatóinak nevezük. A sort f Fourier-sorának nevezzük. f(x) cos kx dx k 1 f(x) sin kx dx k 1. a k cos kx + b k sin kx Tétel (Da-Boir Reymond, Fejér). f C 2π, hogy f Fourier-sora egy pontban divergens. 11

12 12. Előadás 12.1 Tétel. Az f C 2π Fourier sora a a k cos kx + b k sin kx. Ha a Fourier-sor egyenletesen konvergens, akkor f(x) = a k cos kx + b k sin kx Definíció. C 2 2π = {f : R R f 2π szeint periodikus, f C 2 }, azaz f kétszer folytonosan differenciálható Tétel. Ha f C 2 2π, akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergens, és f(x) = a k cos kx + b k sin kx Definíció. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, ha > t < t 1 <... < t n = 2π, hogy f (ti 1,t i ) folytonos (i = 1,..., n), és lim x+ f = f(x + ) és lim x f = f(x ) ( x [, 2π]) Tétel. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, 3. egy adott x [, 2π]-re f (x + ) = lim és f f(t) f(x) (x ) = lim. t x t x t x+ a k cos kx + b k sin kx = 12.6 Következmény. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [, 2π]-n, 3. f D(x) egy adott x-re. f(t) f(x) t x f(x + ) + f(x ). 2 a k cos kx + b k sin kx = f(x). 12

13 12.7 Tétel (Bessel-egyenlőség). Ha f R 2π, akkor n n min f(x) (a k cos kx + b k sin kx 2 = f(x) (a k cos kx + b k sin kx Tétel (Bessel-egyenlőtlenség). Ha f R 2π, akkor f 2 2 = 12.9 Tétel. Ha f R 2π, akkor L 2 normában, azaz ( f(x) 2 dx 2πa 2 ) + π a 2 k + b 2 k. k=1 (a k cos kx + b k sin kx) = f(x). lim f(x) n a k cos kx + b k sin kx 2 =. n Továbbá (Perseral formula) f(x) 2 dx = 2πa 2 + π (a 2 k + b 2 k). k= Tétel (Carlazon-tétel). Ha f R 2π, akkor majdnem minden x-re. (a k cos kx + b k sin kx) = f(x) ( ) 2, π x Tétel. Ha f(x) = 2 x [, 2π], f(x + 2π) = f(x). Ekkkor egyenletes. f(x) = π k=1 cos kx k 2 13

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció

Mátrix-exponens, Laplace transzformáció 2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax) III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Az előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása

Az előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása TTK, Matematikus alapszak, Differenciálegyenletek (előadás, gyakorlat) Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04. Követelmény: Előadás 4/0/0/v/4; Gyakorlat 0/020/f/2 Tananyag (általános megjegyzések).

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/2, elemző szakirány

Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/2, elemző szakirány A sebesség fogalmának szemléltetése az Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/, elemző szakirány. gyakorlat ẋ(t) = lim h 0 x(t+h) x(t) h képlet alapján, ahol t jelöli az időt, x pedig az elmozdulást.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve. TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben