Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai analízis 1. Szász Róbert"

Átírás

1 Matematikai analízis Szász Róbert

2

3 . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0, ha x y és d(x, x) = 0, ( ), x, y X. 2. d(x, y) = d(y, x), ( ) x, y X. 3. d(x, y) d(x, z) + d(zz, y), ( ) x, y, z X. Az (X, d) struktúrát metrikus térnek nevezzük...2. Értelmezés. Legyen (X, d) egy metrikus téren r > 0. Az U(x 0, r) = {x X d(x, x 0 ) < r} halmazt x 0 középpontú r sugarú nyílt gömbnek nevezzük. A v X halmaz környezete az x 0 pontnak, ha létezik r > 0 úgy, hogy U(x 0, r) V. Egy olyan halmazt, amely minden elemének környezete nyílt halmaznak nevezünk. Az x 0 pont környezeteinek a halmazát v (x0 )-val jelöljük...3. Példa. Az R valós számok halmazán a d(x, y) = x y képlettel értelmezett d : R R [0, +, ) függvény metrika. A valós számhalmaz nyíl intervallumai nyílt halmazok az (R, d) metrikus térben...4. Értelmezés.. Az x 0 X pont az A halmaz torlódási pontja, ha bármely v V (x 0 ) esetén (V \ {x 0 }) A. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát jelölje A és legyen à = A A az A halmaz lezártja. 3

4 2. Az A X halmaz korlátos, ha létezik a A és r > 0 úgy, hogy A U(a, r). 3. Az A halmaz sűrű az metrikus térben, ha bármely vagy eleme A-nak vagy torlódási pontja A-nak. 4. Egy halmaz zárt, ha a komplementuma nyílt. 5. Az A halmaz perfekt, ha zárt és minden pontja torlódási pontja A-nak. A {G i } i I nyílt halmazrendszer lefedése A-nak, ha A G i. i I..5. Értelmezés. Az A halmaz akkor kompakt, ha bármely nyílt lefedéséből kiválasztható egy véges lefedés...6. Tétel.. Ha az A halmaz kompakt, akkor zárt. 2. Ha az A halmaz kompakt és B A, B zárt, akkor B is kompakt...7. Tétel. Az (X, d) metrikus térben {K α } α I legyen kompakt halmazok rendszere. Ha a {K α } α I halmazrendszer bármely véges sok halamzból álló részrendszerének metszete nem üres, akkor K α. α I. a) Igaz-e, hogy R 2 bármely nyílt G részhalmazának minden pontja torlódási pontja G-nek? b) Válaszoljukn erre a kérdésre, ha G zárt halmaz. 2. Legyen Y egy tetszőleges végtelen halmaz. Tetszőleges x, y Y esetén, x y d(x, y) = 0, x = y. Igazoljuk, hogy d metrika. Mik lesznek a nyílt halmazok a metrika által generált topológia esetén? Melyek lesznek a zárt halmazok? 3. Tetszőleges x, y R esetén

5 d i : R 2 [0, + ), i =, 4 d (x, y) = (x y) 2 d 2 (x, y) = x y d 3 (x, y) = x 2 y 2 x y d 4 (x, y) = + x y Döntsük el, hogy melyik metrika és melyik nem. 4. Adjuk meg R-nek egy olyan kompakt részhalmazát, amelynek torlódási pontjai megszámlálható halmazt képeznek. 5. Adjuk meg a (0, ) intervallumon egy nyílt lelefedését, amiből nem választható ki véges lefedés. 6. A racionális számok Q halmaza a d(p, q) = p q távolságfüggvénnyel metrikus tér. Legyen A = {p Q : 2 < p 2 < 3}. Igazoljuk, hogy a d által generált topológiában A zárt és korlátos. Igazoljuk, hogy A-nak van olyan nyílt lefedése, ami nem tartalmaz véges lefedést. 7. Legyen X egy normált vektortér a valós számtest felett. Ha x, y X és x + y = x + y, igazoljuk, hogy ax + by = a x + b y bármely a, b [0, + ). 8. Ha X egy normált vektortér a valós számtest felett x, y X és a R, akkor lim ( (n + a)x + y nx + y ) = a x. n 9. Legyen X egy normált vektortér a valós számtest felett. Ha bármely x, y X esetén a x y x + y x + y egyenlőtlenségekben legalább egy egyenlőség fennáll, akkor dim(x) =.

6 0. Ha x, x 2,..., x p R n, x p =, k =, p és létezik λ k [0, ] úgy, p p hogy λ k =, λ k x k = 0, akkor k= k= x i x j 2(p ). i<j p. Ha x k R n, k =, p olyan vektorok, hogy x k =, k =, p és p p x k = 0, akkor x x k p bármely x R n. k= k=.2. Sorozatok a valós számrendszerben.2.. Értelmezés. Az (a n ) n számsorozatnak a határértéke a, ha bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy minden n n(ε) esetén a n a < ε. Ha az (a n ) n sorozatnak van egy véges határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az (a n ) n sorozat konvergens Értelmezés. Ha az (a n ) n sorozat azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy minden m > n n(ε) indexre igaz az a n a m < ε egyenlőtlenség, akkor az (a n ) n sorozatot Cauchy, típusúnak nevezzük Tétel. Minden Cauchy típusú sorozat konvergens Értelmezés.. Az (a n ) n sorozat növekvő, ha a n+ a n, ( ) n N és csökkenő, ha a n+ a n, ( ) n N. Ha egy sorozat növekvő vagy csökkenő akkor azt mondjuk, hogy monoton. 2. Az (a n ) n sorozat korlátos, ha létezik olyan M > 0 valós szám, hogy a n M. ( ) n N.

7 .2.5. Tétel. (majorálás) Ha a n a α n, ( ) n N és lim n α m = 0, akkor az (a n ) n sorozat konvergens és.2.6. Tétel. (fogó kritérium) lim a n = a n Ha (a n ) n, (b n ) n, (c n ) n olyan sorozatok, hogy a n b n c n, ( ) n N és lim n a n = lim n c n = α, akkor lim n b n = α. A valós számrendszert úgy értelmezzük, hogy (R, +, ) egy olyan teljesen rendezett kommutatív test, amelyben minden Cauchy típusú sorozatnak van határértéke.. Igazoljuk, hogy a valós számrendszerben minden monoton és korlátos sorozatnak van határértéke. 2. (Bolzano-Weierstrass tétel) Bizonyítsuk be, hogy R-ben minden korlátos és végtelen halmaznak van legalább egy torlódási pontja. 3. Igazoljuk, hogy minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata 4. (Cezaro-Stolz tétel) Igazoljuk, hogy ha a) b n+ > b n, ( )n N b) lim n b n = c) lim n a n+ a n b n+ b n = x, a n akkor lim = x is teljesül. n b n 5. A 4. feladat segítségével igazoljuk, hogy ha lim a n = x, akkor n a + a a n a) lim = x. n n

8 Ha még azt is feltételezzük, hogy a n > 0, ( ) n N, akkor b) lim n n a a 2... a n = x. 6. Az 5. feladat b) pontjának a felhasználásával igazoljuk, hogy ha (a n ) n egy olyan valós számsorozat, hogy a n > 0, ( ) n N és akkor lim n n an = x. a n+ lim = x, n a n 7. Igazoljuk a Cezaro-Stolz tétel következő változatát: a) (b n ) n szigorúan csökkenő b) lim b n = lim a n = 0 n n c) lim n a n+ a n b n+ b n = x a n akkor lim = x. n b n 8. Igazoljuk, hogy ha p N, akkor p + 2 p n p a) lim n n p+ = p + ( p b) lim n + 2 p n p n n p+ ) p + Számítsuk ki a határértékeket: c) lim n d) lim n ( n e k= n+ k= ) k + ln l n c n k e n k k= e) Ha x 0 = a > 0, x n+ = x n + x 2 n +x n+ határértéket. = 2 határozzuk meg a lim n x n 3 n f) Ha a =, a n+ = + a2 n n, számítsuk ki a a n, a + a a n ln n határértékeket.

9 g) Ha a =, a n+ = a n + a n 2n + ). számítsuk ki a n 2n, n ln n (a n+ i) Számítsuk ki n n ln 2 n a határértékeket. 9. Ha x k >, k =, n bizonyítsuk be, hogy ( + x ) x n n + x + x x n. n 0. Legyen y n = ( + n) n, zn = ( + n) n+. a) Esetleg felhasználva a 9.-es feladatot igazoljuk, hogy az (y n ) n sorozat szigorúan növekvő és a (z n ) n sorozat szigorúan csökkenő. b) Ebbből bizonyítsuk be, hogy: n + + ln(n + ) > > ln(n + ). n {. Határozzuk meg a 2 n + } 3 m : m, n N halmaz torlódási pontjait. 2. Ha = A R, = B R, akkor sup{x + y R : x A, y B} = sup A + sup B inf{x + y R : x A, y B} = inf A + inf B Ha (a n ) n és (b n ) n két valós számsorozat, akkor sup{a n + b n : n N } sup{a n : n N } + sup{b n : n N } inf{a n + b n : n N } inf{a n : n N } + inf{b n : n N }.3. Valós számsorok konvergenciája.3.. Értelmezés. A n = a n sor akkor és csak akkor konvergens, n ha az A n = a k egyenlőséggel értelmezett (A n ) n részletösszegek sorozata konvergens k=

10 .3.2. Tétel. A a n sor akkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy ha m > n n(ε), akkor a n + a n a m < ε Következmények.. Ha a lim a n = 0. n a n sor konvergens, akkor 2. A lim a n = 0 feltétel nem elegendő a konvergenciához. n a n =, n, lim = 0 és lim n n n n n = Tétel. (Cauchy) Ha az (a n ) n sorozat esetén konvergens, l > esetén divergens Tétel. (D Alembert) Ha az (a n ) n sorozat esetén konvergens, l > esetén divergens. lim n lim n infty n an = l <, akkor a Példa erre a n sor a n+ a n = l <, akkor a a n sor.3.6. Tétel. (Raabe) ( ) Ha a lim u a = határérték létezik, akkor l < esetén a n a n a n sor konvergens l > esetben divergens Tétel. Legyen az (a n ) n egy pozitív tagú, csökkenő sorozat. Akkor a a n és a 2 n a 2 n ugyanolyan típusú konvergencia szempontjából Tétel. Ha az (a n ) n és (b n ) n pozitív tagú sorozatok és akkor a lim n a n és lim a n b n = α (0, + ), b n ugyanolyan típusú.

11 .3.9. Tétel. (Dirichlet) Ha az (a n ) n sorozat pozitív tagú, csökkenő és továbbá a c n = lim a n = 0, n n b n sorozat korlátos, akkor a k= a n b n sor konvergens Következmények. (Leinbnitz) Ha az (a n ) n sorozat pozitív tagú csökkenő és ( )n a n konvergens. lim n a n = 0, akkor a. Tanulmányozzuk a következő valós számsorok konvergenciáját: a) b) c) d) e) f) g) n n ( ) n n ( ) n ln(n + ) n! ( n 2n + ) n ( n α, α R n ln 2 (n + ) n!e n n n 2. Ha az (a n ) n sorozat csökkenő és a a n sor konvergens igazoljuk, hogy na n = Egy ellenpélda segítségével bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) n sorozat csökkenp és na n = 0 akkor még nem következik a a n sor konvergenciája.

12 4. Igazoljuk, hogy ha a a n pozítiv tagú sor divergens és a n = 0, akkor ahol n k= a k sk 2 =, ahol s n = n a k. s n k= 5. Legyen a n egy pozítiv tagú konvergens sor. Igazoljuk, hogy a an n sor is konvergens. 6. Legyen a a n egy divergens sor és a n > 0, n N. a) Igazoljuk, hogy a b) Jelölje s n = n a k. k= Mutassuk meg, hogy a n + a n sor is divergens. a n+ s n+ + a n+2 s n a n+p s n+p és ebből vezessük le, hogy a s n s n+p a n s n sor is divergens. c) A b) pontot felhasználva továbbá az előző fejezet 0. b) és 3. e) eredményét tetintetbe véve igazoljuk, hogy a sor divergens. n=2 n ln n d) Igazoljuk, hogy a n s n s n s 2 és ebből vezessük le, hogy a n a n s 2 sor konvergens. n e) Mit mondhatunk a a n és a n + na n + n 2 sorokról. a n 7. Tegyük fel, hogy a n > 0, n N és a a n sor konvergens. Legyen r n = a p. p=n

13 a) Igazoljuk, hogy ha n > m, akkor a m r m + a m+ r m a n r n > r n r m, ebből pedig következtessünk a b) Bizonyítsuk be, hogy és igazoljuk, hogy a a n rn < 2( r n r n+ ) a n r n sor divergenciájára. a n rn sor konvergens. 8. Legyen a n > 0, n N. Ha a a n sor konvergens, igazoljuk, hogy a a n n sor is konvergens. 9. Igazoljuk, hogy ha a a n sor konvergál és a (b n ) n sorozat monoton és korlátos, akkor a n b n sor is konvergál. 0. A a n és b n sorok Cauchy szorzatának nevezzük a A n sort, n=0 n=0 ahol A n = a 0 b n + a b n + a 2 b n a n b 0. Igazoljuk, hogy ha az eredeti két sor abszolút konvergens, akkor a Cauchy szorzat is abszolút konvergens és a n n=0 n=0 b n = A n.. Tegyük fel, hogy P n > 0, P P 2 P n... és a ε n P n sor konvergens, ahol ε n {, }, n N. n=0 Igazoljuk, hogy (ε + ε ε n )P n = Adott az (a n ) n sorozat a n > 0, ( )n N. n=0 a) Ha létezik n 0 N és α (0, + ) úgy, hogy n n 0 esetén ln a n ln n + α,

14 akkor a a n sor konvergens. b) Ha létezik n 0 N és α (0, + ) úgy, hogy n n 0 esetben akkor a a n sor divergens. ln a n ln n, sorok konver- (ln n)) ln(ln n) 3. Tanulmányozzuk a n=3 (ln(ln n)) ln n és genciáját a 2. tétellel. n=3 4. Milyen α (0, + ) értékek esetén konvergens a ( ) [ n] 5. Adott az (a n ) n sorozat úgy, hogy a n > 0 ( )n N. Ha a a n sor konvergens, igazoljuk, hogy a n n a an n sor is konvergens. 6. Legyen (a n ) n egy csökkenő pozitív tagú sorozat és p, q (0, + ), p + q =. n α sor. a) Igazoljuk, hogy ha a sor is konvergens. n=2 a n n p (ln n) q sor konvergens, akkor a n=2 a p n n b) Igaz-e a fordított állítás?.4. Hatványsorok.4.. Tétel. Adott a akkor a a n (x x 0 ) n hatványsor. Ha n=0 R = lim n an = lim n n a n+ a n a n (x x 0 ) n hatványsor x x 0 < R esetén konvergens és x n=0 x 0 > R esetén divergens.,

15 .4.2. Tétel. Az f(x) = a n (x x 0 ) n egyenlőséggel értelmezett függvény n=0 az x x 0 < R egyenlőtlenséggel meghatározott tartományon deriválható és az f (x) = aa n (x x 0 ) n hatvénysornak ugyanaz a konvergencia tartománya. Határozzuk meg a következő sorok konvergencia intervallumát és vizsgáljuk meg a konvergenciát a konvergencia tartomány határpontjaiban x n a n, a, b (0, + ) + bn n n n! xn n n e n n! xn (n!) 2 2 n2 x n Határozzuk meg a következő függvénysorok konvergenciatartományát: n=0 n=+ 2n + e nx 3 n2 3 3n (n!) 3 (3n)! ( ) 2 x n 2 + x cos n x 8. Adottak a következő hatványsorok A(x) = + x3 3! + x6 6! + x9 9! x3n (3n)! +... B(x) = x! + x4 4! + x7 7! x3n+ (3n + )! +... C(x) = x2 2! + x5 5! + x8 8! x3n+2 (3n + 2)! +...

16 Igazoljuk, hogy az F (x) = e x 2 max { A(x) ex 3, B(x) ex 3, C(x) ex 3 függvény periodikus és F (x) > 0, ( )x R. 9. Igazoljuk, hogy a) b) c) (2n )!! ( ) = (2n)!! 2 (2n )!! (2n + 2)!! = 2 ( ) n (2n )!! (2n + 2)!! = Az (a n ) n 0 sorozat az a 0 = a n+ n + rekurzióval értelmezzük. Igazoljuk, hogy a számítsuk ki azt. ( n n k=0 k=0 (n k)a k k + } ), n N a k határérték létezik és 2k. a) Határozzuk meg a konvergencia intervallumát az f(x) = C2n n xn hatványsornak. n=0 b) Számítsuk ki a C2n n xn összeget, ha x a konvergenciaintervallumban van. n=0 c) Írjuk fel zárt alakban a összeget. n k=0 C k 2k Cn k 2(n k) 2. Számítsuk ki a következő hatványsorok összegét. a) f(x) = x + x3 3 + x b) f(x) = + x2 2! + x4 4! +... c) f(x) = + 2 x x x3 +...

17 3. Adott az f(x) = n=0 (2n + )C2n n x n hatványsor. a) Igazoljuk, hogy a konvergenciasugara R = 4. b) Igazoljuk, hogy 4 x arctg, x(4 x) 4 x x (0, 4) f(x) = 2 ln x 4 x, x(x 4) 2 x + 4 x x ( 4, 0).5. Egyenletes konvergencia.5.. Értelmezés. Legyen A R n és X egy halmaz. Adott az f : X A R n függvény. Legyen F (x) = lim y y 0 f(x, y) minden x X. Azt mondjuk, hogy az f(x, y) függvény egyenletesen tart az F (x) függvényhez az X halmazon, amikor y y 0, ha bármely ε > 0 esetén létezik v V (y 0 ) úgy, hogy F (x) f(x, y) < ε, ( ) x X és ( ) y V A Értelmezés. Legyen X egy halmaz f n : X R m n N egy függvénysorozat és F : X R m egy függvény. Az (f n ) n függvénysorozat egyenletesen tart az F függvényhez amikor n, ha ( ) ε > 0 esetén ( ) n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy ha n n(ε), akkor f n (x) F (x) < ε, ( ) x X. Egy függvénysor akkor egyenletesen konvergens egy X halmazon, ha a részletösszegek sorozata egyenletesen konvergens az X halmazon Tétel.. Ha az X metrikus téren folytonos függvények sorozata egyenletesen konvergens, akkor a határértékfüggvény is folytonos az X metrikus téren. 2. Ha egy függvénysor olyan függvényekből áll, amelyek folytonosak egy X metrikus téren és a függvénysor egyenletesen konvergens az X metrikus téren, akkor az összegföggvény is folytonos.

18 . Adott az f 0 (x) = x, x [0, π], f n+ (x) = sin f n (x), n 0 függvénysorozat. Igazoljuk, hogy az (f n ) n 0 függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [0π] intervallumon. Az (f n ) n függvénysorozatot a következőképpen értelmezzük: 2. f n : [0, ] R, f n = x n, n N. Igazoljuk, hogy az (f n ) n függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [0, ] intervallumon. nx 3. Igazoljuk, hogy az f n : [0, ] R f n (x) = + n 2 x 2, n függvényekből álló (f n ) n függvénysorozat konvergens, de nem egyenletesen konvergens. 4. Igazoljuk, hogy a (x n x 2n x n + x 2n 2 ) függvénysor konvergál a [0, ] intervallumon, de nem egyenletesen. 5. Adott az (a n ) n csökkenő valós számsorozat. Igazoljuk, hogy a következő állítások ekvivalensek: a) A a n sin nα egyenletesen konvergál R-en. b) na n = 0 6. Igazoljuk, hogy a sin nx függvénysor egy f : R R folytonos n 4 + x2 függvényhez konvergál a valós számok halmazán. 7. Az f : R R függvényt az f(x) = cos nx 2 n egyenlőséggel értelmezzük. Igazoljuk, hogy f folytonos. 8. Egyenletesen konvergens-e a halmazán? n=0 x n függvénysor a valós számok 9. Határozzuk meg a konvergencia halmazukat a következő függvénysoroknak: a) ln ( + ( 2 ) n ) n

19 b) c) n! xn n=0 cos nx e nx 0. Legyen f : [0, ] R egy folytonos függvény, ekkor (2 n+ )!! (2n)!! 0 f(t)[ (x t) 2 ] n dt = f(x) és rögzített ε ( 0, 2) esetén a konvergencia egyenletes az [ε, ε] intervallumon.. Ha f : [a, b] R egy folytonos függvény és b a xn f(x)dx = 0, bármely n N, akkor f(x) = 0 bármely x [a, b]. 2. Adott a > 0. Legyen f : [0, a] R egy folytonos függvény. Ha létezik M > 0 úgy, hogy a 0 enx f(x)dx M bármely n N esetén, akkor f(x) = 0 bármely x [0, a]. 3. Adott b >. Ha az f : [, b] R függvény folytonos és létezik M > 0 úgy, hogy b x n f(x)dx M bármely n N esetén, akkor f(x) = 0, bármely x [, b]. 4. Ha az f n : [a, b] R függvénysorozat pontonként konvergál az f : [a, b] R folytonos függvényhez és az (f n ) n függvénysorozat minden tagja monoton, akkor a konvergencia egyenletes az [a, b] intervallumon. 5. Ha az f n : [a, b] R függvénysorozat pontonként konvergál az f : [a, b] R függvényhez és f n (x) f n+ (x) bármely n N esetén és bármely x [a, b], akkor a konvergencia egyenletes. 6. Az f n : [0, ] R, n N függvénysorozatot az f (x) = 0, f n+ (x) = f n (x) + 2 [x f 2 n(x)], n 2 x [0, ] rekurziós képlettel értelmezzük. Igazoljuk, hogy az (f n ) n függvénysorozat egyenletesen konvergál az f : [0, ] R, f(x) = x függvényhez a [0, ] intervallumon.

20 7. A Banach féle fixponttétellel igazoljuk, hogy az x 3 +0x 2 = 0 egyenletnek van egy valós gyöke a [0, ] intervallumban. Számítsuk ki a gyököt három tízedesnyi pontossággal. 8. Igazoljuk, hogy ha (X, d) egy kompakt metrikus tér, és az f : X X függvényre d(f(x), f(y)) < d(x, y), bármely x y, x, y X, akkor az f függvénynek pontosan egy fixpontja van X-ben. Függvények határértéke és folytonossága.5.4. Értelmezés. Legyen (X, d) és (Y, ρ) két metrikus tér, A X, B Y és x 0 A. Az f : A Bfüggvénynek l a határértéke az x 0 pontban, ha bármely ρ > 0 esetén, létezik δ > 0 úgy, hogy azon x A pontok esetén, amelyekre 0 < d(x 0, x) < δ, következik, hogy ρ(f(x), l) < ε Tétel. Legyen f : A B a.5.4 Értelmezésben szereplő függvény és x 0 A. Az f függvénynek akkor és csak akkor a határértéke az x 0 pontban, ha bármely (x n ) n A sorozat esetén, amelyre lim n x n = x 0 és x n x 0, ( ) n N következik, hogy lim n f(x n) = l Értelmezés. Legyen A és B a.5.4 Értelmezésben szereplő halmaz. Az f : A B függvény akkor folytonos az x 0 A pontban, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy minden olyan x A-ra, amelyre igaz, hogy d(x 0, x) < δ következik, hogy ρ(f(x 0 ), f(x)) < ε. Egy függvény folytonos egy halmazon, ha folytonos a halmaz minden pontjában Tétel. Ha az f : X Y folytonos függvény és A X egy kompakt halmaz, akkor f(a) is kompakt az (Y, ρ) metrikus térben Értelmezés. Az f : X Y függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy ha d(x.x ) < δ, akkor ρ(f(x), f(x )) < ε Tétel. Ha az f : X Y függvény folytonos és (X, d) kompakt, akkor f egyenletesen folytonos.

21 .5.0. Értelmezés. Legyen A R n és x 0 A. Az f : A R m függvénynek l a határértéke az x 0 pontban, ha bármely ε > 0 esetén, létezik δ > 0 úgy, hogy bármely olyan x A pontra amelyre x x 0 < δ következik, hogy f(x) l < ε. Annak jelölésére, hogy az x 0 pontban f-nek l a határértéke a szimbólumot használjuk. lim f(x) = l x x Értelmezés. Az f : A R m függvény az x 0 A pontban folytonos, ha lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Értelmezés. Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az f : X R m függvény egyenletesen folytonos X-en, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy d(x, y) < δ f(x) f(y) < ε Tétel. Ha az (X, d) metrikus tér kompakt és az f : X R m egy folytonos függvény, akkor f egyenletesen folytonos.. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát a) u = (x 2 + y) 2 b) u = arcsin y x c) u = sin(x 2 + y 2 ) z d) u = arccos x 2 +y 2 2. Határozzuk meg az f(x, y) függvényt, ha f ( x + y, y ) = x 2 y 2 x

22 3. Igazoljuk, hogy az függvény esetében lim x 0 f(x, y) = ( lim f(x, y) y 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 és a lim f(x, y) határérték mégsem létezik. x 0 y 0 ( ) = 0 és lim lim f(x, y) = 0 y 0 y 0 4. Az f(x, y) = (x+y) sin x sin y függvény esetében az iterált határértékek nem léteznek. Igazoljuk, hogy lim(x + y) sin x sin y = 0. x 0 y 0 5. Igazoljuk, hogy az f : R 2 R, { x 2 y, ha x 2 + y 2 0 x f(x, y) = 2 +y 2 0, ha x 2 + y 2 = 0 függvény nem folytonos az (0, 0) pontban. 6. Igazoljuk, hogy az f : R 2 R, { x 2 y 2, ha x 2 + y 2 0 x f(x, y) = 2 +y 2 0, ha x 2 + y 2 = 0 függvény folytonos R 2 minden pontjában. 7. Adott G R 2, G tartomány és az f : G R egy függvény. Igazoljuk, hogy ha az f függvény folytonos az x változó szerint a G tartományon, az y változó szerint Lipschitz tualjdonságú, akkor f folytonos a G tartományon. 8. Legyen A R n egy nemüres, konvex zárt halmaz és x R n. Igazoljuk, hogy A-ban létezik egy és csak egy olyan y elem, amelyre igaz, hogy x y = inf{ x z, z A}. Igazoljuk, hogy az f(x) = y, f : R n A képlettel értelmezett függvény folytonos. 9. Az f : R n R n olyan folytonos függvény, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy f f = f. Igazoljuk, hogy f(r n ) zárt halmaz.

23 0. Az f : R n R n függvény esetén a G(f) = {(x, y) R n R n : f(x) = y} halmazt az f függvény grafikonjának nevezzük. Igazoljuk, hogy ha f folytonos, akkor G(f) az R n R n halmaznak egy zárt részhalmaza. A parciális derivált és a differenciál.5.4. Értelmezés. Adott A R n, B R m. Legyen x 0 A A. Az f : A B függvény akkor differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy ϕ : R n R m lineáris függvény úgy, hogy f(x) f(x 0 ) ϕ(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 A ϕ : R n R m függvényt ϕ = D(x 0 )-val jelöljük Értelmezés. Legyen A R n, x 0 Int (A). Ha létezik f(x, x 2,..., x n ) f(x 0, x 20,..., x n0 lim x i x i0 x i x i0 határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x i változó szerinti parciális deriváltnak nevezzük az x i változó szerint az x 0 = (x 0, x 20,..., x n0 ) pontban és l = f x i (x 0 ) kifejezéssel jelöljük Tétel. Legyen A R n, B R m, x 0 Int (A). Ha az f : A B függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor a ϕ : R n R m, ϕ = Df(x 0 ) differenciál mátrixa: f (x 0 ) x f 2 (x J f = 0 ) x. f m (x 0 ) x f x 2 (x 0 )... f 2 x 2 (x 0 )..... f m (x 0 )... x 2 f (x 0 ) x n f 2 (x 0 ) x n. f m (x 0 ) x n Ezt a mátrixot az f függvény Jacobi mátrixának nevezzük az x 0 pontban. Az f : A R vektor változós, valós függvény esetén a jelölés: ( ) f f grad f(x 0 ) = V f(x 0 ) = (x 0 )... (x 0 ). x x n = l

24 Ebben az esetben azt a sormátrixot az f függvény gradiensének nevezzük az x 0 pontban Tétel. Legyen A R n, B R m, x 0 Int (A). Ha az f : A B függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor f folytonos is x 0 -ban. A tétel fordítottja nem igaz.. Adott az f : R 2 R, f(x, y) = e x 2 +y 2, x 2 + y 2 0 0, x 2 + y 2 = 0 Vizsgáljuk meg, hogy az f függvény differenciálható-e az O(0, 0) pontban. 2. Differenciálható-e az f(x, y) = 3 x 3 + y 3 függvény az origóban 3. Határozzuk meg a következő függvények I. és II. rendű parciális deriváltjait. a) u(x, y) = xy + x y b) u(x, y) = c) u(x, y) = x y cos x2 y d) u(x, y) = arctg x+y xy ( ) x e) u(x, y) = arcsin. x 2 +y 2 f) u(x, y, z) = x y z. 4. Ha az u = f(x, y, z) függvény kielégíti az x u x + y u y + z u z differenciálegyenletet, akkor f n-ed fokú homogén függvény. = nu 5. Legyen f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ), x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 0 0, ha x 2 + y 2 = 0 Igazoljuk, hogy 6. Adott f(x, y) = 2 f x y (0, 0) 2 f (0, 0). y x { 2xy, x 2 +y 2 ha (x, y) (0, 0) 0, ha (x, y) = (0, 0)

25 Igazoljuk, hogy f f x és y az R2 halmaz minden pontjában létezik, annak ellenére, hogy f nem folytonos a (0, 0) pontban. 7. Legyen f(x, y) = { x 3, x 2 +y 2 ha (x, y) (0, 0) 0, ha (x, y) = (0, 0). a) Igazoljuk, hogy f x és f y korlátos függvények. b) Legyen u egy R 2 -beli egységvektor. Igazoljuk, hogy a D u f iránymenti derivált létezik és normája legfeljebb egy. 8. Állítsuk elő a megjelőlt parciális deriváltakat: a) b) c) d) e) f) 3 u x 2, u = x ln(x, y) y 3 u x y z, u = exyz 4 u x y ξ η, u = ln (x ξ) 2 +(y η) 2 m+n u x m y n, m+n u x m y n, p+q+r u x p y q z r, u = x+y x y u = (x2 + y 2 )e x+y u = xyzex+y+z 9. Határozzuk meg a kijelölt differenciálokat a) d 3 u, u = x 3 + y 3 3xy(x y) b) d n u, u = ln(x + y) c) d 3 u, u = xyz d) d n u, u = e x+y 0. Igazoljuk, hogy a megadott függvény teljesíti a kijelölt differenciálegyenletet:

26 a) u = a (x b) 2 t e 4a 2 t, b) u = ln (x a) 2 + (y b) 2, u t = a2 2 u x 2 2 u x u y 2 = 0 c) u = c e ar + c 2 e ar, u + 2 u = a 2 u r x 2 y 2 z 2 r = x 2 + y 2 + z 2 d) z = x n f ( y x 2 ), x z z x + 2y y = uz e) z = yf(x 2 y 2 ) y 2 z z + xy x y = xz Implicit függvények deriváltakat ha az y(x) függvényt a követ-. Határozzuk meg a dy dx és d2 y dx 2 kező egyenlőség értelmezi: a) y = x + ln y b) x 2 2xy + y 2 + x + y 2 = 0 c) ln x 2 + y 2 = arctg y x d) 2 + xy = ln(e xy e xy ) = 0 2. A z(x, y) függvényt a következő egyenlőséggel értelmezzük: a) x 2 + 2y 2 + z 2 3xyz 2y + 3 = 0 b) x cos y + y cos z + z cos x =. Az egyes esetekben határozzuk meg a αz αx, z y parciális deriváltakat. 3. A z(x, y) függvényt az x 2 + y 2 z 2 xy = 0 egyenlőség értelmezi. Határozzuk meg a ]paz x z = esetben. z és y parciális deriváltakat az x =, y = 0, 4. Ha a z(x, y) függvényt a 2x 2 + y 2 + z 2 8xz z + 8 = 0

27 egyenlőség értelmezi határozzuk meg dz és d 2 z differenciálokat az x = 2, y = 0, z = esetben. 5. Igazoljuk, hogy az x 2 + y 2 + z 2 = ϕ(ax + by + cz) egyenlőséggel értelmezett z(x, y) függvény teljesíti a differenciálegyenletet. (cy bz) z + (az cx) z x y = bx ay 6. Ha F ( x z, y z ) = 0, ahol F egy kétváltozós differenciálható függvény, akkor az adott egyenlőséggel értelmezett z(x, y) implicit függvény teljesíti a differenciálegyenletet. x z x + y z y = z 7. Az y és z függvények az x változótól függnek és az x 2 +y 2 z 2 = 0 valamint az x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 4 egyenlőségekkel értelmezettek. Határozzuk meg dy dx, dx dx, d2 y dx 2, d2 z x 2 deriváltakat az x =, y = 0, z = esetben. 8. Az u és v függvények az x és y változóktól függnek és az egyenlőségekkel értelmezettek. Határozzuk meg a u x, v x, u y, v y x = ϕ(u, v) és y = ψ(u, v) parciális deriváltakat. 9. A z függvény az x és y változóktól függ. Határozzuk meg a dz differenciált, ha x = e u+v, y = e u v, z = uv. 0. Ha z = F (r, ϕ) és x = r cos ϕ, y = r sin ϕ határozzuk meg a z x parciális deriváltakat. A változócsere módszere. (2x ) 2 y + (2x )y + y = 0 differenciáegyenlet esetén végezzük el a 2x = e t változócserét.

28 2. Írjuk át az y z x x z y = 0 differenciálegyenletet az u és v változókra ha u = x és v = x 2 + y Írjuk fel a u x = v (Cauchy-Riemann) y u y = v x differenciálegyenleteket polárkoordináták esetén. 4. Írjuk fel a 2 u x u y 2 = 0 polárkoordináták esetén. (Laplace egyenletet) 5. Írjuk fel az x 2 2 u x 2 u = xy, v = x y. y 2 2 u y 2 = 0 egyenletet az u és v változókkal, ha 6. Végezzük el az egyenletekbe a megadott változócserét. a) y z x x z y = (y x)z u = x 2 + y 2, v = x + y, w = ln z (x + y) b) 2 z x z x y + 2 z y 2 = 0 u = x + y, v = y x, w = z x c) 2 z x z x y 3 2 z y 2 = 0 ξ = x + y η = y 3x A helyettesítés módszere a) Egyváltozós eset: Ha y egy adott függvény x-ben és x = ϕ(t), akkor: dy dx = ϕ (t) d 2 y dx 2 = dy dt (ϕ (t)) 3 [ ϕ (t) d2 y dt 2 ϕ (t) dy dt ]

29 b) A kétváltozós eset Legyen G, D R 2 két nyílt halmaz. f : D R, z = f(x, y) φ : G D, φ = (ϕ, ψ) x = ϕ(u.v) Y = ψ(u, v), (u, v) G. Feltételezzük, hogy az f, ϕ, ψ függvényeknek léteznek a megfelelő rendű parciális deriváltjaik. A feladat z, hogy fejezzük ki parciális deriváltakat a parciális deriváltak segítségével. z x, z y, 2 z x 2, 2 z x y, z u, z v, 2 z u 2, 2 z u v, stb. stb. Erre a problémára a következő két képlet vezethető le: ( z x = ψ D(ϕ,ψ) v z u ψ v z ) u D(u,v) ( z ϕ = y v z u ϕ v z ), u D(ϕ,ψ) D(u,v) D(ϕ, ψ) ahol D(u, v) = J φ a φ leképezés Jacobi mátrixa. c) Független változók és függvények hlyettesítése x = f(u, v, w), y = g(u, v, w), z = h(u, v, w) u és v új független változók és w = w(u, v) ezeknek a változóknak egy függvénye. A z x, z y z x z x,... stb- parciális deriváltakra a ( f u + f w w ) u ( f v + f w w v + z ( g y ) + z y u + g w w ) u ( g v + g w w ) v = h u + h w w u = h v + h w w v.

30 .5.8. Példa. Az x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 = 0 egyenletbe végezzük el az x = u, y = uv változócserét. Megoldás u = x, v = y x z x = z u + z ( ) y v x 2 = z u v z u v z y = z u 0 + z v x = u z v 2 ( z x 2 = u v ) ( z u v u v ) z = 2 z u v u 2 + v z u 2 v 2 v 2 z u u v + v2 2 z u 2 v 2 2 z y 2 = ( ) z = 2 z u v u v u 2 v 2 Az előbbi egyenlőségeket alkalmazva a differenciálegyenlet így alakul át: ( u 2 2 z u 2 2 v 2 z u u v + v2 2 z u 2 v 2 + 2v ) ( z u 2 + 2u 2 2 z v v u u v z u 2 v v 2 ) z u 2 v 2 ( + u 2 v 2 2 ) z u 2 v 2 = 0 u 2 2 z u 2 2uv 2 z u v + v2 2 z v 2 + 2v z v + 2uv 2 z z 2v u v v 2v2 2 z v 2 + v2 2 z v 2 = 0 u 2 2 z u = 0 z(u, v) = uϕ(v) + ψ(v) 2 ( y z(x, y) = xϕ + ψ x) ( y x).. Új változók bevezetésével alakítsuk át a következő közönséges differenciál-egyenleteket: a) ( x 2 )y xy + n 2 y = 0 ha x = cos t b) y + y thx + m2 ch 2 x y = 0, x = ln ( ) t 2 c) y + y p(x) + q(x)y = 0, y = u e 2 x x 0 P (t)dt d) x y + xyy 2y 2 = 0, x = e t, y = u(t)e 2t e) ( + x 2 )y = y, x = tg t, y = u cos t

31 f) y + (x + y)( + y ) 3 = 0 x = u + t, y = u t ahol minden pontnál u = u(t). 2. Legyen φ háromváltozós homogén függvény. A φ(y, y, y ) = 0 egyenletbe vezessük be az y = e x x 0 u(t)dt helyettesítést. Alakítsuk át az (x z) z x + y z y = 0 egyenletet úgy, hogy x-et függvénynek tekintjük mégpedig x = x(u, v), ahol u = y z, v = y + z az új független változók. Geometriai alkalmazások x = x(t). Az y = y(t) t I egyenletekkel adott görbe érintője az z = z(t) M(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) pontban: x x(t 0 ) x (t 0 ) = y y(t 0) y (t 0 ) = z z(t 0) z. (t 0 ) A normálsík egyenlete ugyanebben a pontban: x (t 0 )(x x(t 0 )) + y (t 0 )(y y(t 0 ) + z (t 0 )(z z(t 0 )) = Az x = x(u, v) y = y(u, v) (u, v) D egyenletekkel adott felület érintősík- z = z(u, v) ja az M(x 0, y 0, z 0 ) pontban ahol x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ), z = z(u 0, v 0 ) : x x 0 y y 0 z z 0 x u (u y 0, v 0 ) u (u z 0, v 0 ) u (u 0, v 0 ) = 0. x v (u y 0, v 0 ) v (u z 0, v 0 ) v (u 0, v 0 )

32 Az M(x 0, y 0, z 0 ) pontban a normális egyenlete: x x 0 y z u u y z v v = y y 0 z x u u z x v v = z z 0. x y u u x y v v Ha a felület egyenlete F (x, y, z) = 0 implicit egyenlettel, adott, akkor az érintősík egyenlete: F x (x x 0) + F y (y y 0) + F z (z z 0) = 0 és a normális egyenlete: x x 0 F x 3. Ha a Γ(α) síkgörbesereg az = y y 0 F y = z z 0. F z f(x, y, α) = 0, α I egyenlettel adott, akkor a Γ(x), α I burkológörbéjének egyenlete: f(x, y, α) = 0 f (x, y, α) = 0. α 4. Ha az S(α), α I felületsereg az F (x, y, z, α) = 0, α I egyenlettel adott, akkor a burkolófelület egyenlete: F (x, y, z, α) = 0 f (x, y, z, α) = 0. α 5. Ha a Γ görbe egyenlete r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t I, akkor Γ a görbe görbülete az M(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) pontban: k = r (t 0 ) r (t 0 ) r (t 0 ) Írjuk fel az alábbi görbék érintőegyenesének és normálissíkjának egyenletét a megadott pontokban

33 a) y = x, z = x 2 M(,, ) b) x 2 + z 2 = 0, y 2 + z 2 = 0 M(,, 3) c) x 2 + y 2 + z 2 = 6, x + y + z = 0 M(, 2, ) d) x = t, y = t 2, z = t 3 görbén melyik az a pont amelybe húzott érintő párhuzamos az x + 2y + z = 4 síkkal. 7. Bizonyítsuk be, hogy az x = ae t cos t, y = ae t sin t, z = ae t görbe az x 2 + y 2 = z 2 kúp minden alkotóját ugyanakkora szög alatt metszi. Írjuk fel az alábbi felületek megadott pontjában az érintősík és a normális egyenletét: a) z = x 2 + y 2, M(, 2, 5) b) x 2 + y 2 + z 2 = 69, M(3, 4, 2) c) z = arctg y x, M (,, π ) 4 d) z = y + ln x z, M(,, ) e) 2 x z + 2 y z = 8, M(2, 2, ) f) x = 2 cos ψ cos ϕ, y = 2 cos ψ sin ϕ, z = sin ψ, M(ϕ 0, ψ 0 ). görbén melyik az a pont amelybe húzott érintő párhuzamos az x+2y + z = 4 síkkal. Differenciál, gradiens, rotáció, divergencia. Legyen D R 3, f : D R, h R 3, h =. Az f függvény differenciálja az (x 0, y 0, z 0 ) pontban egy ϕ : R 3 R 3 lineáris leképezés, amely teljesíti f(x, y, z) f(x 0, y 0, z 0 ) ϕ(x x 0, y y 0, z z 0 ) lim = 0 (x,y,z) (x 0,y 0,z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 )

34 egyenlőséget. A (ϕ) lineáris leképezés mátrixa: A(ϕ) = grad f = ( f x, f y, f ). z 2. Az f függvény h = (h, h 2, h 3 ) irány menti deriváltja az (x 0, y 0, z 0 ) pontban: f h (x 0, y 0, z 0 ) = f x (x 0, y 0, z 0 ) h + f y (x 0, y 0, z 0 ) h 2 + f z (x 0, y 0, z 0 ) h Egy adott V : D R 3, V = (P, Q, R) függvény divergenciája: 4. A V függvény rotorja: div V = P x + Q y + R z. i j k rot V =. x y z P Q R Megjegyzés: div (rot V ) = Az f : R 2 R függvény, az f(x, y) = egyenlőtlenséggel értelmezzük. Igazoljuk, hogy 2 f x y (0, 0) 2 f y x (0, 0). { xy x 2 y 2, x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) 6. Legyen z = f(u, v), u = g(x, y), v = h(x, y). Ha g, h C (D) és f C ( ), akkor grad z = f f grad u + u v, grad v.

35 7. Igazoljuk, hogy az u(x, y, z) = ln(x 2 +y 2 +z 2 ), x 2 +y 2 +z 2 0 függvény teljesíti az összefüggést. u = 2 ln 2 ln(grad u) 2 8. Határozzuk meg az u =, x 2 +y 2 +z x2 +y 2 +z 2 0 függvény deriváltját 2 a gradiensének az irányában. 9. Adott az u(x, y, z) = ax+by+cz függvény. Határozzuk meg a x 2 +y 2 +z 2 div (grad u) kifejezést. 0. Adott a w(x, y, z) = f(x y, x + z), f C 2 (D), D R 2. Határozzuk meg a div (grad w) kifejezést. ( ). Igazoljuk, hogy az M 0 2, 3 2 pont az x 2 + y 2 2x = 0 körön van. Határozzuk meg a z(x, y) = arctg y x függvény iránymenti deriváltját az M 0 pontban az érintő irányaiban. 2. Határozzunk meg egy f : R 3 R függvényt úgy, hogy f(x) x, bármely x R 3, x = x 2 + x2 2 + x2 3 és grad f(0) = Adott az f : R n R függvény. Ha f(x) x 2 igazoljuk, hogy f-nek léteznek a parciális deriváltjai az origóban. 4. Adott az u : R 3 + R, u(x, y, z) = ln(x x y y z z ) függvény. Határozzuk meg a d n u differenciált. A Taylor képlet Legyen D R n, f : D R, egy n + -szer differenciálható függvény. Az x 0 pont környezetében létezik θ (0, ) úgy, hogy: f(x) = f(x 0 ) +! Df(x 0) (x x 0 ) n! Dn f(x 0 )(x x 0 ) n + + (n + )! Dn+ f(x 0 ) + θ(x x 0 ))(x x 0 ) n+.

36 Az R = kifejezést maradék tagnak nevezzük. (n + )! Dn+ f(x 0 + θ(x x 0 ))(x x 0 ) n+ A Taylor képlet formálisan így írható: f(x) = f(x 0 ) + n k= ( x x + x 2 x ) k x n f(x) + R. x n. Állítsuk elő a Taylor-formula szerint az f(x, y) = 2x 2 xy y 2 6x 3y + 5 függvényt az A(, 2) pont környezetében. 2. Írjuk fel az f(x, y) = x y függvényre a Taylor-képletet az A(, ) pont körül a másodrendű tagokig. 3. Írjuk fel az f(x, y) = x 2 y 2 függvény Mac-Laurin-sorát a harmadfokú tagig. 4. Fejtsük Mac-Laurin-sorba a következő függvényeket a) f(x, y) = ( = x) n ( + y) n b) f(x, y) = e x sin y c) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) d) f(x, y) = ln( + x + y) e) f(x, y) = ln( + x) ln( + y). 5. Írjuk fel a következő függvény Mac-Laurin sorának első három tagját: f(x, y) = 0 ( + x) t2y dt. 6. A z = z)x, y) függvényt a z 3 2xz + y = 0 egyenlőséggel (impliciten) értelmezzük. Ha x = y =, akkor z =. Írjuk fel a z függvény A(, ) pont körüli kifejtésének első három tagját.

37 függvényt fejtsük Mac-Laurin sorba a má- 7. Az f(x, y) = arctg +x+y x+y sodrendű tagokig 8. Az f : R R függvény első és másodrendű deriváltjai legyenek folytonosak R-en. Ha f, f, f korlátos is R-en, akkor M 2 4M 0 M 2, ahol M k = sup f (k) (x), k {0,, 2}. x R 9. Az f : [0, + ) R függvény akárhányszor deriválható. Ha ( ) k f (k) (x) 0, ( ) x [0, + ), k N, akkor a g(x) = +f(x) x függvény esetén is igaz, hogy ( ) k g (k) (x) 0, ( ) x [0, + ), k N. 0. Adottt az f : R R k-szor deriválható függvény. Ha tetszőleges adott r valós szám esetén lim x xr f(x) = 0 és lim x xr f (k) (x) = 0, akkor lim x xr f (p) (x) = 0, bármely p {0,, 2,..., k}. Többváltozós függvények szélsőértékei Az f : D R, D R n függvénynek helyi maximuma van az x 0 = (x 0 x x n0 ) pontban, ha létezik egy v V(x 0 ) környezet úgy, hogy f(x) f(x 0 ), ( ) x V. f-nek helyi minimuma van az x 0 pontban, ha f(x) f(x 0 ), ( ) x V Tétel. Az f : D R függvénynek helyi maximuma van az (x 0 ) pontban, ha f f f (x 0 ) = 0, (x 0 ) = 0,..., (x 0 ) = 0 (.) x x 2 x n és az f függvény Hesse mátrixa 2 f 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 )... (x 0 ) x x x 2 x x n 2 f 2 f 2 f H f = (x 0 ) x 2 x x 2 (x 0 )... (x 0 ) 2 x 2 x n f 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 )... x n x x n x 2 x 2 (x 0 ) n

38 negatív definit kvadratikus alakot származtat és minimuma van, ha H f pozitív definit kvadratikus alakot származtat. Azokat az x 0 pontokat ahol a (.) egyenlőségek teljesülnek stacionárius pontoknak nevezzük. A kétváltozós eset: Ha az (x 0, y 0 ) pont az f(x, y) kétváltozós függvénynek egy stacionárius pontja, akkor f-nek a) minimuma van, ha D > 0, A > 0; b) maximuma van, ha D.0, A < 0; c) nincs szélsőértéke, ha D < 0, ahol A = 2 f x 2 (x 0, y 0 ), B = 2 f x y (x 0, y 0 ), A = 2 f y 2 (x 0, y 0 ) és D = AC B 2. Az f(x, x 2,..., x n ) függvény ϕ k (x, x 2,..., x n ) = 0 k =, m, m < n feltételek melletti szélsőértékét meghatározhatjuk úgy, hogy meghatározzuk az L(x, x 2,..., x n, λ,..., λ m ) = f(x,..., x n ) + függvény szélsőértékét. m λ k ϕ k (x,..., x n ) A H L Hesse mátrix által generált kvadratikus alak elpjelét úgy vizsgáljuk, hogy figyelembe vesszük, hogy dx,..., dx n változók eleget tesznek a n ϕ k dx j = 0 feltételeknek. x j j= Weierstrass. Egy korlátos és zárt tartományon differenciálható függvény felveszi a legnagyobb és legkisebb értékét, vagy valamelyik stacionárius pontban vagy a tartomány határán. k=. Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit: a) z(x, y) = x 2 y 3 (6 x y)

39 b) z(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 c) z(x, y) = xy x 2 y 2 d) z(x, y) = e x2 y (5 2x + y) e) z(x, y) = x 2 + xy + y 2 4 ln x 0 ln y f) z(x, y) = x 2 2y + ln x 2 + y arctg y x g) u(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 2xy + 2z h) u(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z ; x, y, z (0, + ) i) u(x, y, z) = xy 2 z 3 (0 x 2y 3z) j) u(x, y, z) = sin x + sin y + sin z sin(x + y + z) x, y, z [0, π] k) u(x, x 2,..., x n ) = x + x 2 x + x 3 i =, n. x xn x n + 2 x n 2. Keressük meg a z = z(x, y) implicit függvények szélsőértékeit: a) x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 0 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0 c) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 z 2 ) x i (0, + ), 3. Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit a megadott feltételek mellett: a) z(x, y) = x + y, x 2 + y 2 = b) u(x, y, z) = x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 = c) z(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2, 4x 2 + y 2 = 25 d) z(x, y) = cos 2 x + cos 2 y, x y = π 4 e) u(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, x2 + y2 + z2 = a 2 b 2 c 2 f) u(x, y, z) = xyz, x 2 + y 2 + z 2 =, x + y + z = 0 g) u(x, y, z) = xy + yz, x 2 + y 2 = 2, y + z = 2 x, y, z (0, + ) h) u(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x2 n, x + x x n = i) u(x, x 2,..., x n ) = α x + α 2 x α n x n, β x +β 2 x β n x n = α i, β i, x i (0, + ), i =, n.

40 4. Határozzuk meg a következő függvényeknek a megadott tartományokon felvett legnagyobb és legkisebb értékét: a) z(x, y) = x 2 + y 2 = 2x + 6y, x 2 + y 2 25 b) z(x, y) = x 2 xy + y 2, x + y c) u(x, y, z) = x + y + z, x 2 + y 2 z d) z(x, y) = x 2 2xy + 6y + 4x, x 6, y 7 5. Igazoljuk, hogy ha x, y, z [, 2], akkor x y 2 + z 2 + y x 2 + z 2 + z x 2 + y Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z R +, akkor ( ) x 2 y 2 z 2 x 6 + z 3 y 3 + y 6 + x 3 z 3 + z 6 + x 3 y Igazoljuk, hogy ha a, b, c R és a 2 + b 2 + c 2 =, akkor a + b + c 2abc Ha x, y, z (0, + ) és x 3 + y 3 + z 3 = 3, akkor x 4 y 4 + x 4 z 4 + y 4 z Legyenek az a i,j, i, j =, n adott valós számok. Igazoljuk, hogy az f : R n R n f(x, x 2,..., x n ) = a ij x i x j i,j= függvénynek a G = {x R n : x = } gömbre való leszűkítésének a maximuma és minimuma az A = [a ij ] i=,n mátrix legnagyobb illetve legkisebb sajátértéke. ( x az x euklideszi normája) 0. Határozzuk meg az f : R n R, f(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x2 n függvény minimumát, ha n a ij x j = b i, i m és rang [a ij ] i=,m = j= j=,n m n.

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30. Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Írta: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben