Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1"

Átírás

1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás a valós számok halmazában? Válasz: tetszőleges a, b, c R választással (a + b) + c = a + (b + c) és (ab)c = a(bc). 2. Írja le a valós számokkal kapcsolatban a műveletek és a rendezés kapcsolatára vonatkozó axiómát! Válasz: bármely a, b, c R, a b esetén i) a + c b + c, ii) ha még 0 c is igaz, akkor ac bc. 3. Hogyan szól a disztributivitásra vonatkozó axióma? Válasz: bármely a, b, c R esetén (a + b)c = ac + bc. 4. Mikor nevez egy A R halmazt felülről korlátosnak? Válasz: az A R halmazt felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R szám, amellyel az x K egyenlőtlenség minden x A elemre teljesül. 5. Mikor nevez egy A R halmazt alulról korlátosnak? Válasz: az A R halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan M R szám, amellyel az x M egyenlőtlenség minden x A elemre teljesül. 6. Írja le a felső határ axiómát! Válasz: legyen az A R halmaz felülről korlátos és K := {K R : x K (x A)} az A felső korlátainak a halmaza. Ekkor a K halmaznak van legkisebb eleme. 7. Mi a szuprémum definíciója? Válasz: legyen az A R halmaz felülről korlátos és K := {K R : x K (x A)} az A felső korlátainak a halmaza. Ekkor sup A := min K (a K halmaz legkisebb eleme) az A halmaz felső határa (idegen szóval szuprémuma). 8. Mi az infimum definíciója? Válasz: legyen az A R halmaz alulról korlátos és M := {M R : x M (x A)} az A alsó korlátainak a halmaza. Ekkor inf A := max M (az M halmaz legnagyobb eleme) az A halmaz alsó határa (idegen szóval infimuma). 9. Írja le a teljes indukció elvét! Válasz: legyen N N olyan halmaz, amelyre 0 N és bármely n N esetén n + 1 N. Ekkor N = N. 10. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy α = sup A R! Válasz: az α = supa egyenlőség a következőkkel ekvivalens: x α (x A) és bármely ε > 0 esetén van olyan a A, amelyre a > α ε. 1

2 11. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy β = inf A R! Válasz: a β = inf A egyenlőség a következőkkel ekvivalens: x β (x A) és bármely ε > 0 esetén van olyan a A, amelyre a < β + ε. 12. Mit jelent az, hogy egy A R halmaz felülről nem korlátos? Válasz: az A R halmaz felülről nem korlátos, ha bármely K R esetén valamilyen x A elemmel x > K. 13. Mit jelent az, hogy egy A R halmaz alulról nem korlátos? Válasz: az A R halmaz alulról nem korlátos, ha bármely M R esetén valamilyen x A elemmel x < M. 14. Mikor nevez egy A C halmazt korlátosnak? Válasz: az A K halmazt korlátosnak nevezzük, ha van olyan q R, hogy x q (x A). 15. Írja le az Archimedes-tételt! Válasz: tetszőleges x, y R, x > 0 valós számokhoz létezik olyan n N természetes szám, hogy nx > y. 16. Hogyan szól a Dedekind-tétel? 17. Válasz: tegyük fel, hogy az A, B R halmazokra az alábbiak teljesülnek: minden a A és minden b B elemre a b. Ekkor valamilyen γ R valós számmal a γ b (a A, b B). Írja le a Cantor-tételt! Válasz: minden n N természetes szám esetén az a n, b n R, a n b n végpontokkal tegyük fel, hogy [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] (n N). Ekkor n=0 [a n, b n ]. 18. Fogalmazza meg a Bernoulli-tételt! Válasz: tetszőleges h R, h 1 valós szám és n N természetes szám esetén fennáll az alábbi egyenlőtlenség: (1 + h) n 1 + nh. Igaz továbbá, hogy az előbbi Bernoulli-egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn az (1 + h) n = 1 + nh egyenlőség, ha h = 0, vagy n = 0, vagy n = Mit mond ki a számtani-mértani középpel kapcsolatos állítás? Válasz: legyen n N és az a 0,..., a n R számokról tegyük fel, hogy valamennyien nem-negatívok: a k 0 (k = 0,..., n). Ekkor ( ) n+1 1 n a k n + 1 n a k. Az itt szereplő egyenlőtlenségben akkor és csak akkor írható egyenlőség, ha az a k (k = 0,..., n) számok mindannyian egyenlők: a 0 = a 1 = = a n. 20. Mit ért azon, hogy reláció? Válasz: valamely A, B halmazok esetén az A B Descartes-szorzat bármely részhalmazát (bináris) relációnak nevezzük. 21. Definiálja a reláció értelmezési tartományát! Válasz: valamely A, B halmazok és r A B reláció esetén a D r := {x A : létezik (x, y) r} halmaz az r reláció értelmezési tartománya. 22. Definiálja a reláció értékkészletét! Válasz: valamely A, B halmazok és r A B reláció esetén az R r := {y B : létezik (x, y) r} halmaz az r reláció értékkészlete. 2

3 23. Hogyan értelmezi a függvényt? Válasz: tekintsük az A, B halmazokat és az f A B relációt. Valamely x A elemre legyen f x := {y B : (x, y) f}. Azt mondjuk, hogy az f reláció függvény, ha tetszőleges x A választással az f x halmaz legfeljebb egy elemű. 24. Mi a függvényérték definíciója? Válasz: tekintsük az A, B halmazokat és az f A B függvényt. Ekkor minden x D f elemre egyértelműen létezik olyan y R f, amellyel (x, y) f. Az f(x) := y elemet az f függvény által az x-helyen felvett függvényértéknek (vagy helyettesítési értéknek) nevezzük. 25. Mit jelent az f A B szimbólum? Válasz: valamely A, B, halmazok esetén az f A B szimbólum egy olyan függvényt jelent, amelyre D f A és R f B. 26. Mit jelent az f : A B szimbólum? Válasz: valamely A, B, halmazok esetén az f : A B szimbólum egy olyan függvényt jelent, amelyre D f = A és R f B. 27. Mit ért azon, hogy két függvény egyenlő? Válasz: ha f, g A B egy-egy függvény, akkor az f = g egyenlőség a következőt jelenti: D f = D g és tetszőleges x D f esetén f(x) = g(x). 28. Definiálja halmaznak függvény által létesített képét! Válasz: tekintsük az f A B függvényt és legyen U D f. Ekkor az U halmaznak az f függvény által létesített képén az alábbi halmazt értjük: f[u] := {f(x) B : x U} (speciálisan f[ ] := ). 29. Definiálja halmaznak függvény által létesített ősképét! Válasz: tekintsük az f A B függvényt és legyen V R f. Ekkor a V halmaznak az f függvény által létesített ősképén az alábbi halmazt értjük: f 1 [V ] := {x A : f(x) V } (speciálisan f 1 [ ] := ). 30. Mikor nevez egy függvényt injektívnek? Válasz: az f A B függvény injektív, ha tetszőleges x, v D f, x v esetén f(x) f(v). 31. Definiálja az inverzfüggvényt! Válasz: ha az f A B függvény injektív, akkor az f 1 B A inverzfüggvény az a függvény, amelyre D f 1 = R f, R f 1 = D f és tetszőleges u D f 1, v R f 1 választással a v = f 1 (u) egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha u = f(v). 32. Mi a definíciója az összetett függvénynek? Válasz: legyen g A B és f C D egy-egy függvény, és tegyük fel, hogy R g D f. Ekkor az f g A D összetett függvény a következő: (f g)(x) := f (g(x)) ( x Df g := g 1 [D f R g ] ). 33. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény összegét? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f D g. Ekkor a D f D g x f(x) + g(x) K függvényt az f és a g összegének nevezzük, és az f + g szimbólummal jelöljük. 34. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény szorzatát? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f D g. Ekkor a D f D g x f(x) g(x) K függvényt az f és a g szorzatának nevezzük, és az f g szimbólummal jelöljük. 3

4 35. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény hányadosát? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f {t D g : g(t) 0}. Ekkor a D f {t D g : g(t) 0} x f(x) g(x) K függvényt az f és a g hányadosának nevezzük, és az f g szimbólummal jelöljük. 36. Hogyan értelmezi egy (valós vagy komplex értékű) függvény reciprokát? Válasz: tegyük fel, hogy az f függvény valós vagy komplex értékű, azaz R f K, továbbá {t D f : f(t) 0}. Ekkor a {t D f : f(t) 0} x 1 f(x) K függvényt az f reciprokának nevezzük, és az 1 f szimbólummal jelöljük. 37. Mit jelent az, hogy egy egyváltozós valós függvény monoton növő? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény monoton növő, ha tetszőleges x, t D f, x t helyeken f(x) f(t). 38. Mi a definíciója annak, hogy egy egyváltozós valós függvény szigorúan monoton növő? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény szigorúan monoton növő, ha tetszőleges x, t D f, x < t helyeken f(x) < f(t). 39. Mit ért azon, hogy egy egyváltozós valós függvény monoton fogyó? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény monoton fogyó, ha tetszőleges x, t D f, x t helyeken f(x) f(t). 40. Mikor mondja, hogy egy egyváltozós valós függvény szigorúan monoton fogyó? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény szigorúan monoton fogyó, ha tetszőleges x, t D f, x < t helyeken f(x) > f(t). 41. Mi a definíciója a sorozatnak? Válasz: az f függvényt sorozatnak nevezzük, ha D f = N. 42. Hogyan definiálja egy sorozat tagjait? Válasz: az f sorozat esetén f n := f(n) (n N) az f sorozat n-edik (vagy n-indexű) tagja. 43. Mit ért azon, hogy indexsorozat? Válasz: azt mondjuk, hogy a (ν n ) számsorozat indexsorozat, ha minden tagja természetes szám és ν n < ν n+1 (n N). 44. Hogyan definiálja egy sorozat részsorozatát? Válasz: tetszőleges x sorozat és bármely ν = (ν n ) indexsorozat esetén az x ν függvény is sorozat, amelyet az x sorozat ν indexsorozat által meghatározott részsorozatának nevezünk. Így az x ν sorozat n-edik tagja a következő: (x ν) n = (x ν)(n) = x(ν(n)) = x νn (n N). 45. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat monoton növő? Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N x n x n+1 (n N). 46. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat szigorúan monoton növő? R (valós) számsorozat monoton növő, ha Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N R (valós) számsorozat szigorúan monoton növő, ha x n < x n+1 (n N). 4

5 47. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat monoton fogyó? Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N x n x n+1 (n N). 48. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat szigorúan monoton fogyó? R (valós) számsorozat monoton fogyó, ha Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N R (valós) számsorozat szigorúan monoton fogyó, ha x n > x n+1 (n N). 49. Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról? Válasz: bármely x = (x n ) : N R számsorozatnak van monoton részsorozata, azaz létezik olyan ν indexsorozat, amellyel x ν monoton növő (vagy monoton fogyó). 50. Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat esetén valamely n N mellett x n az x sorozat csúcsa, ha x n x k (k N, k n). 51. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat felülről korlátos, ha egy alkalmas M R felső korláttal x n M (n N). 52. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat alulról korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat alulról korlátos, ha egy alkalmas M R alsó korláttal x n M (n N). 53. Mit ért azon, hogy egy (valós vagy komplex) számsorozat korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N K (valós vagy komplex) számsorozat korlátos, ha az értékkészlete korlátos halmaz, azaz van olyan K R szám, amellyel x n K (n N). 54. Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens? Válasz: egy x = (x n ) : N K számsorozatot konvergensnek nevezünk, ha van olyan α K, amellyel bármely ε > 0 számhoz létezik egy N N küszöbindex, hogy x n α < ε (n N, n > N). 55. Definiálja egy konvergens számsorozat határértékét! Válasz: ha az x = (x n ) : N K sorozat konvergens, akkor egyértelműen létezik olyan α K, amellyel bármely ε > 0 számhoz létezik egy N N küszöbindex, hogy x n α < ε (n N, n > N). Ezt az α-t az x sorozat határértékének (vagy limeszének) nevezzük. 56. Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól? Válasz: ha az x = (x n ) : N K sorozat konvergens, akkor tetszőleges ν indexsorozat esetén az x ν résszorozat is konvergens és lim(x ν) = lim x. 57. Milyen állítást ismer monoton sorozatok konvergenciájáról? Válasz: bármely monoton és korlátos x : N R sorozat konvergens. Ha x monoton növő, akkor lim x = sup R x, ha pedig monoton fogyó, akkor lim x = inf R x. 58. Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról? Válasz: ha az (x n ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. 59. A valós sorozatok segítségével mit tud mondani komplex sorozat konvergenciájáról és a határértékéről? Válasz: bármely z = (z n ) : N C komplex sorozatra fennáll a következő ekvivalencia: a z sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a Re z, Im z sorozatok konvergensek. Igaz továbbá, hogy ha a z sorozat konvergens és α := lim z, akkor Re α = lim(re z), Im α = lim(im z). 60. Hogyan szól a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel? Válasz: bármely korlátos z = (z n ) : N K sorozatnak van konvergens részsorozata. 5

6 61. Sorozatokkal kapcsolatban milyen állítást ismer majoráns kritérium néven? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N K sorozatokra teljesülnek az alábbiak: (y n ) nullasorozat és x n y n (m.m. n N). Ekkor (x n ) is nullasorozat. 62. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullasorozat szorzatáról? Válasz: bármely (x n ) nullasorozat és tetszőleges (y n ) : N K korlátos sorozat esetén (x n y n ) is nullasorozat. 63. Mit tud mondani nullasorozatok lineáris kombinációjáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) nullasorozatok és c K esetén (x n + cy n ) is nullasorozat. 64. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok lineáris kombinációjáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok és c K esetén (x n + cy n ) is konvergens és lim(x n + cy n ) = lim(x n ) + c lim(y n ). 65. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok esetén (x n y n ) is konvergens és lim(x n y n ) = lim(x n ) lim(y n ). 66. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról? Válasz: tegyük fel, hogy (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok és y n 0 lim(y n ) 0. Ekkor (x n /y n ) is konvergens és lim(x n /y n ) = lim(x n )/ lim(y n ). 67. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok konvergensek. Ekkor: i) ha x n y n (m.m. n N), akkor lim(x n ) lim(y n ); ii) ha lim(x n ) < lim(y n ), akkor x n < y n (m.m. n N). 68. Hogyan szól sorozatokkal kapcsolatban az ún. közrefogási elv? (n N), Válasz: az (x n ), (y n ), (z n ) : N R sorozatokról tegyük fel, hogy x n y n z n (m.m. n N), az (x n ), (z n ) sorozatok konvergensek és lim(x n ) = lim(z n ). Ekkor az (y n ) sorozat is konvergens és lim(y n ) = lim(x n ). 69. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak? Válasz: az (y n ) : N K sorozat Cauchy-sorozat, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N küszöbindex, amellyel y n y m < ε (n, m N, n, m > N). 70. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között? Válasz: az (y n ) : N K sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. 71. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak + a határértéke? Válasz: tekintsünk egy (x n ) : N R valós sorozatot. Azt mondjuk, hogy az (x n ) sorozatnak + a határértéke, ha tetszőleges p R valós számhoz létezik olyan N N küszöbindex, hogy x n > p (n N, n > N). 72. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak a határértéke? Válasz: azt mondjuk, hogy az (y n ) : N R sorozatnak a határértéke, ha bármely q R esetén van olyan N N, amellyel y n < q (n N, n > N). 73. Mikor mondja, hogy a (z n ) : N R sorozatnak van határértéke? Válasz: azt mondjuk, hogy a (z n ) : N R sorozatnak van határértéke, ha (z n ) konvergens, vagy létezik a lim(z n ) = + (vagy ) határérték. 74. Milyen tételt ismer monoton sorozatok határérékéről? Válasz: bármely monoton x = (x n ) : N R sorozatnak van határértéke. Ha (x n ) monoton növő, akkor lim(x n ) = sup R x, ha monoton fogyó, akkor lim(x n ) = inf R x. 6

7 75. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol az α + β R összeg értelmezve van. Ekkor az (x n + y n ) összeg-sorozatnak is van határértéke és lim(x n + y n ) = α + β. 76. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol az αβ R szorzat értelmezve van. Ekkor az (x n y n ) szorzatsorozatnak is van határértéke és lim(x n y n ) = αβ. 77. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol y n 0 (n N) és az α/β R hányados értelmezve van. Ekkor az (x n /y n ) hányados-sorozatnak is van határértéke és lim(x n /y n ) = α/β. 78. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) számsorozatokra, amelyeknek van határértéke, létezik az (x n /y n ) hányados-sorozat, de az (x n /y n ) sorozatnak nem létezik a határértéke! Válasz: legyen x n := 1/(n + 1), y n := ( 1) n /(n + 1) (n N). Ekkor a most definiált sorozatok nullasorozatok. Ugyanakkor x n /y n = ( 1) n (n N) miatt az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke. 79. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) számsorozatokra, amelyekre léteznek a lim(x n ), lim(y n ) határértékek, x n < y n (m.m. n N), de nem igaz, hogy lim(x n ) < lim(y n ). Válasz: legyen x n := 1/(n + 1) 2, y n := 1/(n + 1) (n N). Ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0, de x 0 = y 0, x n < y n (1 n N). 80. Mi a kapcsolat a konvergencia és a határérték szempontjából az (x n ), ( x n ) : N K sorozatok között? Válasz: ha az (x n ) : N K sorozat konvergens és α := lim(x n ), akkor az ( x n ) sorozat is konvergens és lim( x n ) = α. Ugyanakkor az x n := ( 1) n (n N) sorozatra (x n ) divergens, ( x n ) = (1) konvergens. 81. Tegyük fel, hogy az (x n ) : N R sorozat konvergens, α := lim(x n ) és a c R számmal x n c (m.m. n N). Mit tud mondani az α és a c viszonyáról? Válasz: ekkor α c. 82. Tegyük fel, hogy az (x n ) : N R sorozat konvergens, α := lim(x n ) és a c R számmal α < c. Mit tud mondani a c és az x n (n N) tagok viszonyáról? Válasz: ekkor x n < c (m.m. n N). 83. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = 0! Válasz: pl. x n := 1/n 2, y n := 1/n (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = lim(1/n) = Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = +! Válasz: pl. x n := 1/n, y n := 1/n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = lim(n) = Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n /y n ) = 0! Válasz: pl. x n := n, y n := n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n /y n ) = lim(1/n) = 0. 7

8 86 Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = +, de az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke! Válasz: pl. x n := n 2, ha n páros és x n := n, ha n páratlan, y n := n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = +, de x n y n = 1 (n páros) (1 n N) 1 n (n páratlan) miatt lim(x 2n /y 2n ) = 1, lim(x 2n+1 /y 2n+1 ) = 0, ezért az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke. 87. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = +! Válasz: pl. x n := n 2, y n := n (n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = lim ( n(n 1) ) = Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = 0! Válasz: pl. x n := n + 2, y n := n (n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = lim ( n + 2 n ) ( ) 2 = lim = 0. n n 89. Legyen q K. Mit tud mondani a (q n ) sorozatról konvergencia, ill. határérték szempontjából? Válasz: legyen q K. Ekkor q < 1 esetén a (q n ) sorozat konvergens és lim(q n ) = 0. Ha q > 1, akkor a (q n ) sorozat divergens és lim( q n ) = +. A q = 1 esetben a (q n ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha q = 1 és ekkor lim(q n ) = lim(1) = 1. A q R, q > 1 esetben lim(q n ) = +, míg q R, q < 1 esetén nincs határértéke a (q n ) sorozatnak. 90. Milyen állítást ismer monotonitás és korlátosság szempontjából az x n := (1 + 1/n) n (0 < n N) sorozatról? Válasz: az x n := (1 + 1/n) n (0 < n N) sorozat szigorúan monoton növő és felülről korlátos. 91. Hogyan szól az m a (2 m N, a > 0) létezésével kapcsolatban tanult tétel? Válasz: legyen 2 m N, a > 0 és tekintsük azt az (x n ) számsorozatot, amelyre x 0 := a, x n := 1 m ( ) (m 1)x n 1 + a xn 1 m 1 (0 < n N). Ekkor az (x n ) sorozat konvergens, γ := lim(x n ) > 0 és γ m = a. 92. Milyen konvergencia-tételt tanult az ( n a ) (a > 0) sorozatról? Válasz: bármely 0 < a R esetén az ( n a ) sorozat konverges és lim ( n a ) = Milyen konvergencia-tételt tanult az ( n n ) sorozatról? Válasz: az ( n n ) sorozat konverges és lim ( n n ) = 1. 8

9 94. Legyen P és Q egy-egy polinom, ahol Q legalább elsőfokú. Mit tud mondani határérték szempontjából a ( P(n)/Q(n) ) sorozatról? Válasz: legyen valamely 0 < N, M N esetén adott az N-ed fokú P polinom és az M-ed fokú Q polinom, ill. tekintsük az x n := P(n) (n N \ N Q ) Q(n) sorozatot, ahol N Q jelöli a Q polinom gyökeinek a halmazát. Ha N M P(x) = a k x k, Q(x) = b j x j j=0 (x K), akkor 1 o N = M esetén az (x n ) sorozat konvergens és lim(x n ) = a N bn ; 2 o N < M esetén az (x n ) sorozat konvergens és lim(x n ) = Hogyan definiálja az e számot? ( Válasz: e := lim 1 + n) 1 n. 96. Hogyan definiál egy végtelen sort? Válasz: legyen adott az (x n ) : N K számsorozat és jelöljük (x n )-nel azt az (S n ) sorozatot, amelyre S n := n x k (n N). A (x n ) sorozatot az (x n ) sorozat által meghatározott végtelen sornak nevezzük. 97. Mit ért végtelen sor összegén? Válasz: bármely (x n ) : N K számsorozat esetén az általa generált (x n ) végtelen sor is egy számsorozat. Ha ez a végtelen sor (számsorozat) konvergens, akkor n=0 x n := lim (x n ) a (xn ) végtelen sor összege. 98. Mondjon szükséges feltételt arra nézve, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens legyen! Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens. Ekkor (x n ) nullasorozat, azaz konvergens és lim(x n ) = Igaz-e az, hogy ha lim(x n ) = 0, akkor a (x n ) végtelen sor konvergens? (A válaszát indokolja meg!) Válasz: nem igaz, ui. lim(1/n) = 0, de a (1/n) harmonikus sor divergens Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra? Válasz: a (x n ) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N, hogy m x k < ε (n, m N, m > n > N). k=n Milyen állítást ismer a harmonikus sor és a szuperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban? Válasz: a (1/n) harmonikus sor divergens, a (1/n 2 ) szuperharmonikus sor konvergens Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek? Válasz: legyen (x n ) : N K, ekkor a (x n ) végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a ( x n ) végtelen sor konvergens. 9

10 103. Hogyan szól végtelen sorokkal kapcsolatban az összehasonlító kritérium? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K, (y n ) : N K sorozatokra az alábbiak teljesülnek: x n y n (m.m. n N). Ekkor: i) ha a (y n ) végtelen sor abszolút konvergens, akkor a (x n ) sor is abszolút konvergens; ii) ha a (x n ) végtelen sor nem abszolút konvergens, akkor a (y n ) sor sem abszolút konvergens Melyik végtelen sor összegeként állítottuk elő az e-t? Válasz: a ( ) 1 1 sor konvergens és n! n! = e. n= Mikor nevez két végtelen (szám)sort ekvikonvergensnek? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N K sorozatok tagjai majdnem mindenütt megegyeznek: x n = y n (m.m. n N). Ekkor a (x n ), (y n ) végtelen sorok ekvikonvergensek, azaz a (x n ) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha a (y n ) végtelen sor konvergens Írja le a Cauchy-féle gyök-kritériumot! ( n Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K sorozatra létezik a δ := lim xn ) Ekkor: 1 o ha δ < 1, akkor a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens; 2 o ha δ > 1, akkor a (x n ) végtelen sor divergens. határérték Írja le a D Alembert-féle hányados-kritériumot! Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K\{0} sorozatra létezik a γ := lim Ekkor: ( ) xn+1 határérték. x n 1 o ha γ < 1, akkor a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens; 2 o ha γ > 1, akkor a (x n ) végtelen sor divergens Milyen állítást tanult váltakozó előjelű sorokkal kapcsolatban? Válasz: tegyük fel, hogy 0 x n+1 x n (n N). Ekkor a ( ) ( 1) n x n Leibniz-sor konvergenciájának a szükséges és elégséges feltétele az, hogy az (x n ) sorozat nullasorozat legyen, azaz lim(x n ) = Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelelezését? Válasz: tekintsük az (x n ) : N K sorozatot, ill. az általa generált (x n ) végtelen sort. Legyen adott az m = (m n ) indexsorozat és tegyük fel, hogy m 0 = 0. Ekkor a σ n := m n+1 1 k=m n x k (n N) összegekkel definiált (σ n ) végtelen sort a (x n ) sor (m által meghatározott) zárójelezésének nevezzük Tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor (σ n ) zárójelezéseinek a konvergenciájáról? Válasz: ha a (x n ) végtelen sor konvergens, akkor bármely (σ n ) zárójelezett sora is konvergens és x k = n=0 σ n. 10

11 111. Tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor esetén valamely (σ n ) zárójelezett sor konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a (x n ) végtelen sor? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sorra és az (m n ) indexsorozatra teljesülnek a következő feltételek: 1 o lim(x n ) = 0; 2 o m 0 = 0 és sup{m n+1 m n R : n N} < + ; 3 o a (σ n ) = ( ) mn+1 1 k=m n x k zárójelezett sor konvergens. Ekkor a (x n ) végtelen sor is konvergens Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését? Válasz: legyen p : N N egy bijekció, (xn ) pedig egy végtelen sor. Ekkor a (x p(n) ) végtelen sort a (x n ) sor (p-által meghatározott) átrendezésének nevezzük Milyen tételt ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően? Válasz: tegyük fel, hogy (x n ) : N K és a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens. Ekkor bármely (x p(n) ) átrendezése is abszolút konvergens és n=0 x p(n) = n=0 x n Mikor nevez egy végtelen (szám)sort feltételesen konvergensnek, és milyen tételt ismer ilyen sorok átrendezéseivel kapcsolatban? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N R (valós) sorozat által generált (x n ) végtelen sor konvergens, de nem abszolút konvergens (röviden: feltételesen konvergens). Ekkor 1 o van olyan (x p(n) ) átrendezés, amelyiknek nincs határértéke; 2 o tetszőleges α R esetén megadható olyan (x p(n) ) átrendezés, amelynek van határértéke és a (x p(n) ) sor összege α-val egyenlő Hogyan értelmezi végtelen (szám)sorok téglányszorzatát? Válasz: az (x n ), (y n ) : N K sorozatok esetén legyen n n 1 z 0 := x 0 y 0, z n := x n y j + y n j=0 x k (1 n N). Ekkor a (z n ) sort a (x n ), (y n ) sorok téglányszorzatának nevezzük Milyen tételt ismer végtelen (szám)sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a (z n ) téglányszorzatuk is konvergens és n=0 z n = n=0 x n n=0 y n. Ha (x n ), (y n ) abszolút konvergensek, akkor (z n ) is abszolút konvergens Definiálja végtelen (szám)sorok oszlopszorzatát és sorszorzatát! Válasz: tételezzük fel, hogy a (x n ), (y n ) (szám)sorok konvergensek és legyen t n := x n y k, T n := y n x k (n N). Ekkor a (t n ) végtelen sort a (x n ), (y n ) sorok oszlopszorzatának, a (T n ) sort pedig a (xn ), (y n ) sorszorzatának nevezzük Milyen tételt ismer végtelen (szám)sorok oszlop(és sor)szorzatának a konvergenciáját illetően? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a (t n ), (Tn ) oszlop-ill. sorszorzatuk is konvergens és n=0 t n = n=0 T n = n=0 x n n=0 y n. Ha (xn ), (y n ) abszolút konvergensek, akkor (t n ) és (T n ) is abszolút konvergens. 11

12 119. Definiálja végtelen (szám)sorok Cauchy-szorzatát! Válasz: legyen valamely (x n ) számsor esetén c n := n j=0 x jy n j (n N). Ekkor a (c n ) sort a (x n ), (y n ) sorok Cauchy-szorzatának nevezzük Írja le a Mertens-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) sorok konvergensek és legalább az egyikük abszolút konvergens. Ekkor a (c n ) Cauchy-szorzatuk is konvergens és n=0 c n = n=0 x n n=0 y n. Ha (x n ) is és (y n ) is abszolút konvergens, akkor (c n ) is abszolút konvergens Milyen állítást tanult valós számok p-adikus tört-alakjával kapcsolatban? Válasz: tetszőleges 2 p N és α [0, 1] számhoz van olyan (x n ) : N {0,..., p 1} sorozat, x n amellyel α = p n+1. n= Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyök-kritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely (x n ) : N K sorozat esetén létezik a lim ( n x n ) = 1 határérték. Ekkor a (x n ) sor lehet konvergens is meg divergens is. Pl. legyen x n := 1 n, y n := 1 n 2, z n := ( 1)n n (1 n N). Ekkor lim ( n x n ) = lim ( n y n ) = lim ( n z n ) = 1, ugyanakkor a (x n ) sor divergens, a (yn ) sor abszolút konvergens, a (z n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens Mit jelent az, hogy a D Alembert-féle hányados-kritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely (x n ) : N K \ {0} sorozatra létezik a lim ( x n+1 / x n ) = 1 határérték. Ekkor a (x n ) sor lehet konvergens is meg divergens is. Pl. legyen x n := 1 n, y n := 1 n 2, z n := ( 1)n n (1 n N). Ekkor lim ( x n+1 / x n ) = lim ( y n+1 / y n ) = lim ( z n+1 / z n ) = 1, ugyanakkor a (x n ) sor divergens, a (y n ) sor abszolút konvergens, a (z n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens Mondjon példát olyan végtelen sorra, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens! Válasz: pl. a ( ( 1) n /n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens Legyen 2 p N. Mondjon olyan α [0, 1) számot, amelyre alkalmas, egymástól különböző (x n ), (y n ) : N {0,..., p 1} sorozatokkal α = x k p k+1 = y k p k+1! Válasz: legyen pl. α := 1 p és x 0 := 1, x n := 0 (1 n N), továbbá y 0 := 0, y n := p 1 (1 n N). Ekkor y k p k+1 = k=1 p 1 p k+1 = p 1 p /p = 1 p = x k p k+1. 12

13 126. Mit ért függvénysorozaton és függvénysoron? Válasz: nevezzünk egy (f n ) sorozatot függvénysorozatnak, ha minden n N esetén f n függvény és valamilyen D = halmazzal D fn = D (n N). Ha a szóban forgó (f n ) függvénysorozatra R fn K (n N) is igaz akkor az (f n ) függvénysorozat által meghatározott (f n ) függvénysor a következő függvénysorozat: (f n ) := ( n f k) Mi a hatványsor definíciója? Válasz: legyen adott az a K középpont és az (a n ) : N K együttható-sorozat, továbbá ezek segítségével tekintsük az alábbi függvényeket: f n (t) := a n (t a) n (t D := K, n N). Ekkor a (fn ) függvénysort (a középpontú, (a n ) együtthatós) hatványsornak nevezzük Hogyan szól a hatványsorok konvergencia-sugarát meghatározó tétel? 129. Válasz: bármely a, a n K (n N) esetén megadható olyan 0 r R, hogy 1 o ha r > 0, akkor minden x K, x a < r helyen a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen abszolút konvergens; 2 o ha r < +, akkor tetszőleges x K, x a > r mellett a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen divergens. Írja le a Cauchy-Hadamard-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy az (a n ) : N K sorozat esetén létezik a lim ( n a n ) határérték és legyen ( + lim ( n a n ) ) = 0 r := 1 lim ( ( n a n ) lim ( n a n ) ) > 0. Ekkor bármely a K mellett a ( a n (t a) n) hatványsorról a következőket mondhatjuk: 1 o ha r > 0, akkor minden x K, x a < r helyen a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen abszolút konvergens; 2 o ha r < +, akkor tetszőleges x K, x a > r mellett a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen divergens Definiája hatványsor összegfüggvényét! Válasz: tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara pozitív: r > 0. Ekkor az f(x) := a n (x a) n (x K, x a < r) n=0 függvényt a szóban forgó hatványsor összegfüggvényének nevezzük Milyen állítást ismer a hatványsorok középpontjának az eltolására vonatkozóan? Válasz: tekintsük a ( a n (t a) n) hatványsort, legyen r a konvergencia-sugara és tegyük fel, hogy r > 0. Ekkor bármely b K r (a) esetén léteznek a b k := n=k sorösszegek és tetszőleges 0 < ρ < r b a mellett n=0 ( ) n a n (b a) n k (k N) k a n (x a) n = b k (x b) k ( x Kρ (b) ). 13

14 132. Tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara egy pozitív szám. Illusztrálja példákkal, hogy az x K, x = r helyeken a szóban forgó hatványsor lehet abszolút konvergens, feltételesen konvergens, divergens! Válasz: tekintsük az alábbi példákat: a n1 := 1, a n2 := 1 n + 1, a n3 := 1 (n + 1) 2 (n N), ill. legyen a (i) := 0 (i = 1, 2, 3). Ekkor a ( a ni (t a (i) ) n) hatványsorok r i konvergenciasugarára r i = 1 (i = 1, 2, 3). Ha x K, x = 1, akkor ( x n /(n + 1) 2) abszolút konvergens, a ( t n /(n + 1) ) hatványsor t = 1-ben divergens, a t = ( 1)-ben konvergens, de nem abszolút konvergens, ill. a ( t n) hatványsor egyetlen x K, x = 1 esetén sem konvergens az x helyen Fogalmazza meg környezetekkel, hogy valamely A K halmaznak az α K torlódási pontja! Válasz: legyen A K, ekkor az α K torlódási pontja az A halmaznak, ha bármely K(α) környezetre ( K(α) \ {α} ) A Egyenlőtlenségekkel megfogalmazva mit jelent az, hogy valamely A K halmaznak az α K szám torlódási pontja? Válasz: legyen A K, ekkor az α K szám torlódási pontja az A halmaznak, ha tetszőleges ε > 0 esetén van olyan x A, hogy 0 < x α < ε Mikor mondja (egyenlőtlenségekkel megfogalmazva), hogy valamely A R halmaznak a + torlódási pontja? Válasz: legyen A R, ekkor a + torlódási pontja az A-nak, ha bármely p R esetén van olyan a A, hogy a > p Egyenlőtlenségekkel megfogalmazva mit jelent az, hogy valamely A R halmaznak a torlódási pontja? Válasz: legyen A R, ekkor a torlódási pontja az A-nak, ha bármely p R esetén van olyan a A, hogy a < p Mikor mondja, hogy valamely A C halmaznak a torlódási pontja? Válasz: legyen A C, ekkor a torlódási pontja az A C halmaznak, ha tetszőleges r > 0 esetén A {z C : z > r} Legyen A K, α K. Jellemezze az A K(α) metszetekkel azt a tényt, hogy α A! Válasz: bármely A K halmaz és α K esetén fennáll a következő ekvivalencia: α A akkor és csak akkor igaz, ha az α bármely K(α) környezetére az A K(α) metszet végtelen halmaz Legyen A K, α K. Jellemezze sorozatokkal azt a tényt, hogy α A! Válasz: legyen A K és α K. Az α akkor és csak akkor torlódási pontja A-nak, ha van olyan (x n ) : N A \ {α} sorozat, amelynek létezik határértéke és lim(x n ) = α Mikor nevez egy A K halmazt kompaktnak? Válasz: az A K halmazt kompakt, ha bármely (x n ) : N A sorozatnak van olyan ( x νn ) részsorozata, amely konvergens és lim ( x νn ) A Mikor mondja, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely a K 1 helyen van határértéke? Válasz: legyen f K 1 K 2 és a D f. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a helyen van határértéke, ha létezik olyan A K 2, amelyre tetszőleges K(A) K 2 környezetet is véve megadható az a-nak egy alkalmas k(a) K 1 környezete, amellyel f [( k(a) \ {a} ) ] D f K(A) teljesül. 14

15 142. Hogyan értelmezi egy f K 1 K 2 függvénynek az a D f helyen vett határértékét? Válasz: tegyük fel, hogy az f K 1 K 2 függvénynek az a D f helyen van határértéke. Ekkor egyértelműen létezik olyan A K 2, amelyre bármely K(A) K 2 környezethez van olyan k(a) K 1 környezet, hogy f(x) K(A) (a x k(a) D f ). Ezt az egyértelműen létező A K 2 számot, vagy valamelyik végtelent az f függvény a helyen vett határértékének nevezzük Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f K K, a D f K, A K. Ekkor: lim a f = A ε > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f K R, a D f K. Ekkor: lim a f = + p R δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) > p Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f K R, a D f K. Ekkor: lim a f = p R δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) < p Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f R K, + D f, A K. Ekkor: lim + f = A ε > 0 p R x D f, x > p : f(x) A < ε Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f R K, D f, A K. Ekkor: lim f = A ε > 0 p R x D f, x < p : f(x) A < ε Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, + D f. Ekkor: lim + f = + p R q R x D f, x > q : f(x) > p Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, + D f. Ekkor: lim + f = p R q R x D f, x > q : f(x) < p Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = + p R q R x D f, x < q : f(x) > p Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját! 152. Válasz: legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = p R q R x D f, x < q : f(x) < p. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet! Válasz: bármely f K 1 K 2 függvény és a D f esetén az f-nek az a helyen akkor és csak akkor létezik határértéke, ha tetszőleges (x n ) : N D f \ {a}, lim(x n ) = a sorozatra az ( f(x n ) ) sorozatnak van határértéke. Ha létezik az A := lim a f határérték, akkor az előbbiekben említett minden (x n ) sorozatra lim ( f(x n ) ) = A Milyen tételt ismer függvények összegének a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( ) D f D g és létezik az A + B K 2 összeg. Ekkor az f + g összegfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (f + g) = A + B. 15

16 154. Milyen tételt ismer függvények szorzatának a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( ) D f D g és létezik az AB K 2 szorzat. Ekkor az fg szorzatfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (fg) = AB Milyen tételt ismer függvények hányadosának a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( D f {x D g : g(x) 0} ) és létezik az A/B K 2 hányados. Ekkor az f/g hányadosfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (f/g) = A/B Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a határértékéről? Válasz: tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara nem nulla és legyen f(x) := n=0 a ( n(x a) n x Kr (a) ). Ekkor bármely b K r (a) esetén létezik a lim b f határérték és lim b f = f(b) = n=0 a n(b a) n Mit jelent az, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely a D f helyen nincs határértéke? Válasz: a határérték definíciója alapján azt, hogy bármely A K 2 esetén egy alkalmas K(A) K 2 környezettel akármilyen k(a) K 1 mellett valamilyen x ( k(a) \ {a} ) D f helyen f(x) / K(A) Mit jelent egyenlőtlenségekkel megfogalmazva az, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely véges a D f K 1 helyen nincs véges határértéke? Válasz: a határérték definíciója alapján azt, hogy bármely A K 2 esetén egy alkalmas ε > 0 számmal tetszőleges δ > 0 mellett egy x D f, 0 < x a < δ helyen f(x) A ε Mikor nevez egy függvényt valamely pontban folytonosnak? Válasz: azt mondjuk, hogy az f K 1 K 2 függvény az a D f pontban folytonos, ha minden ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 szám, amellyel bármely x D f, x a < δ esetén f(x) f(a) < ε Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és határérték között? Válasz: legyen f K 1 K 2 és a D f D f. Ekkor f C{a} azzal ekvivalens, hogy f-nek az a-ban létezik a határértéke és lim a f = f(a) Milyen tételt tanult a pontbeli folytonosság és a (függvények közötti) összeadás, szorzás, osztás közötti kapcsolatot illetően? Válasz: tegyük fel, hogy f, g C{a}. Ekkor f + g, fg C{a} és ha g(a) 0, akkor f/g C{a} Hogyan szól a pontbeli folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: legyen f K 1 K 2, a D f. Ekkor f C{a} azzal ekvivalens, hogy tetszőleges (x n ) : N D f, lim(x n ) = a sorozatra lim ( f(x n ) ) = f(a) Mit tud mondani az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? 164. Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, g C{a} és f C{g(a)}. Ekkor f g C{a}. Írja le a Bolzano-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely < a < b < + esetén az f : [a, b] R függvény folytonos és f(a) f(b) < 0. Ekkor van olyan ξ (a, b), amelyre f(ξ) = Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú? Válasz: legyen I R intervallum, h : I R. Azt mondjuk, hogy a h függvény Darbouxtulajdonságú, ha tetszőleges a, b I, a < b, h(a) h(b) esetén a h(a), h(b) végpontú intervallum minden y eleméhez van olyan ξ [a, b], hogy h(ξ) = y. 16

17 166. Mi a kapcsolat a Darboux-tulajdonság és a folytonosság között? Válasz: bármely I R intervallumon értelmezett h : I R folytonos függvény Darboux-tulajdonságú Mit tud mondani intervallumon értelmezett folytonos valós függvény értékkészletéről? Válasz: tegyük fel, hogy az f R R folytonos függvény értelmezési tartománya intervallum. Ekkor az értékkészlete vagy egy elemű halmaz, vagy intervallum Milyen tételt ismer kompakt halmazon folytonos függvény értékkészletéről? Válasz: ha az f K 1 K 2 függvény folytonos, és a D f értelmezési tartomány kompakt, akkor az R f értékészlet is kompakt Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: tegyük fel, hogy az f K R függvény folytonos és D f kompakt. Ekkor az R f értékkészletnek van legnagyobb és legkisebb eleme Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak? 171. Válasz: az f K 1 K 2 függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy f(x) f(t) < ε (x, t D f, x t < δ). Írja le a Heine-tételt! Válasz: ha az f K 1 K 2 függvény folytonos és D f kompakt, akkor f egyenletesen folytonos Mit tud mondani az inverzfüggvény folytonosságáról? Válasz: legyen az f K 1 K 2 függvény folytonos, invertálható és az értelmezési tartománya kompakt. Ekkor az f 1 inverzfüggvény is folytonos Mit tud mondani inverzfüggvény folytonosságáról az intervallumok segítségével? Válasz: tegyük fel, hogy az invertálható f R R függvény folytonos és az értelmezési tartománya intervallum. Ekkor az f 1 inverzfüggvény is folytonos. n Mivel egyenlő a δ n := e (0 < n N) különbség? k! Válasz: bármely 0 < n N esetén van olyan θ n (0, 1), amellyel δ n = θ n n n! Definiálja az exponenciális-, a szinusz- és a koszinuszfüggvényt! Válasz: legyen expx := exp(x) := e x := az exp : K K exponenciálisfüggvény, n=0 x n n! (x K) sin x := sin(x) := ( 1) n x2n+1 (2n + 1)! n=0 (x K) a sin : K K szinuszfüggvény, cosx := cos(x) := n=0 ( 1) n x2n (2n)! (x K) a cos : K K koszinuszfüggvény Mit jelent az, hogy az exponenciálisfüggvény multiplikatív? Válasz: exp(x + y) = (expx) (exp y) (x, y K) Hogyan szól az Euler-összefüggés? 17

18 Válasz: exp(ıx) = e ıx = cosx + ı sinx (x K) Írja le a sin, cos függvényekre vonatkozó összegzési tételeket! Válasz: bármely x, y K esetén sin(x + y) = sin xcosy + cosxsin y, cos(x + y) = cosxcos y sin xsin y Milyen állítást nevez Pitagoraszi-összefüggésnek a sin, cos függvényekre vonatkozóan? Válasz: bármely x K esetén cos 2 x + sin 2 x = 1. 18

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004

Kozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004 Kozma László Matematikai alapok 2. kiegészített kiadás Debrecen, 2004 Egyetemi jegyzet, kézirat, 2004 2. kiegészített kiadás Kiadó: Studium 96 Bt., Debrecen Nyomda: Alföldi Nyomda Rt., Debrecen Az összeállítás

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben