ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK"

Átírás

1 ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható. 1

2 1. Hogya szól a Beroulli-egyelőtleség? Mikor va egyelőség? Legye 1 N és 1 h R. Ekkor: (1 + h) 1 + h és = = 1 h = 0 2. Fogalmazza meg a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget! Mikor va egyelőség? Def.: Legye 1 N 0 x 1... x R. Ekkor x 1 x 2...x ( x 1+x 2...+x ) és = x 1 = x 2 =... = x 3. Írja le a valós számok közötti redezés és műveletek kapcsolatára voatkozó axiómákat! - x y x + z y + z x, y, z R - x y xz yz x, y R, z 0 4. Mit mod ki a teljességi axióma? Ha A, B R, A, B, a b a A, b B, akkor ξ R: a ξ b 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet = H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. A legkisebb felső korlát a szuprémum. Jele: sup H 6. Mit jelet az, hogy a H R halmaz iduktív? = H R iduktív halmaz, ha - 0 H - x H x + 1 H 7. Hogya értelmezi a természetes számok halmazát? Természetes számok halmaza a legszűkebb iduktív halmaz, azaz N = H H R H iduktív 8. Fogalmazza meg a teljes idukció elvét! Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A +1 is igaz N Ekkor A igaz N-re. 9. Mikor va egy = A R halmazak maximuma(miimuma)? = A R halmazak maximuma(miimuma), ha α A x α x A α A x α x A 10. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics miimuma! = A R ics miimuma, ha α A : x A x < α 2

3 11. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics maximuma! = A R ics maximuma, ha α A : x A x > α 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy = A R halmaz? = A R felülről (alulról) korlátos, ha ξ R : x ξ (x ξ) x A 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy = A R halmaz felülről em korlátos! = A R felülről em korlátos, ha ξ R : x A : x > ξ 14. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = sup A? = A R felülről korlátos, akkor sup A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x > ξ ε 15. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = if A? = A R alulról korlátos, akkor if A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x < ξ + ε 16. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik az arkhimédeszi tulajdosággal? a, b R, a > 0 N : b < a 17. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik a Cator-tulajdosággal? Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +1, b +1 ] [a, b ] N-re, akkor [a, b ]. N 18. Defiiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartomáya, és értékkészlete! reláció: r A B részhalmaz reláció értelmezési tartomáya: D r = {a A b B : (a, b) r} reláció értékkészelete: R r = {b B a A : (a, b) r} 19. Adja meg a függvéy defiicíóját! f A B függvéy, ha x D f! y R f : (x, y) f. 20. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített képét? f : A B, C A C halmaz képe: f[c] := {f(x) : x C} B. 21. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített ősképét? f : A B, D B D halmaz ősképe: f 1 [D] := {x A : f(x) D} A. 3

4 22. Mikor evezük egy függvéyt ivertálhatóak? f : A B ivertálható(ijektív), ha x, y D f, x y eseté f(x) f(y). 23. Defiiálja az iverz függvéyt! Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, azaz y R f! x D f : f(x) = y! Az f iverze f 1 : R f D f, y x. 24. Mi a bijekció defiicíója? f : A B bijekció, ha f ijektív és R f = B. 25. Írja le az öszetett függvéy fogalmát! Tegyük fel, hogy f : A B, g : C D olya függvéyek, melyekre R g D f Ekkor a két függvéy kompoziciója: f g = {x D g g(x) D f } B (f g)(x) := f(g(x)). 26. Defiiálja a következő fogalmakat: valós sorozat, sorozat -edik tagja, idex! Valós számsorozatok: a : N R függvéy a ( N) = (a ) a sorozat -edik tagja, az -edik tag idexe. 27. Mit jelet az, hogy egy (a ) : N R sorozat korlátos? Az a = (a ) sorozat: - felülről korlátos, ha k R : a k N - alulról korlátos ha k R : a k N - korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. 28. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) sorozat em korlátos! (a ) sorozat em korlátos k R N : a > k 29. Mit jelet az, hogy egy (a ) számsorozat idexsorozat? (a ) : N N sorozat idexsorozat, ha szigorúa mooto ő. 30. Egy (a ) sorozatról mikor modjuk, hogy a (b ) sorozat részsorozata? Azt modjuk, hogy (a ) sorozat a (b ) sorozat részsorozata, ha ν : N N idexsorozat, hogy a = b ν, azaz (a i ) = (b νi ) 31. Mit ért egy sorozat részsorozatá? a : N R sorozat, ν : N N idexsorozat Az a ν = (a ν ) sorozat az a részsorozata. a Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozatak va csúcsa? az (a ) sorozat csúcsa, ha 0 : a 0 a 33. Defiiálja az A R elem ε > 0 sugarú köryezetét! Az A R ε > 0 sugarú köryezete: k ε (A) = (A ε, A + ε) itervallum. Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε (+ ) = ( 1, + ) itervallum. ε Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε ( ) = (, 1) itervallum. ε 34. Mikor evezük egy (a ) valós sorozatot kovergesek? Az (a ) sorozat koverges, ha A R, ε > 0 0 N, 0 : a A < ε 4

5 35. Mit jelet az, hogy egy (a ) sorozat diverges? Az (a ) sorozat diverges, ha em koverges, azaz A R, ε > 0, 0 N, 0 : a A ε 36. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz- e az hogy 0 N, hogy ε > 0-ra és 0 -ra a A < ε? (válaszát idokolja!) Ebből az következe, hogy mide 0 eseté a = A. Az állítás em igaz, mert létezik olya sorozat, amelyek a határértéke A R, de em igaz, hogy a sorozat értéke mide 0 -ra egyelő A-val. 37. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az (a ) sorozat koverges? Nem, pl. az (a ) = ( 1) sorozat diverges, de az A = 1 szám mide köryezetébe a sorozatak végtele sok tagja esik. 38. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozat (+ )-hez tart? (a ) sorozat a (+ )-hez tart, ha P R, 0 N, 0 : a > P 39. Mi a defiíciója aak, hogy az (a ) sorozatak a határértéke? (a ) sorozat határértéke, ha P R, 0 N, 0 : a < P 40. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak va határértéke? Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) 41. Adott (a ) : N R, A R eseté mi a defiíciója a lim(a ) = A egyelőségek? ε > 0 0 N N, 0 : a K ε (A) 42. Fogalmazza meg a sorozatok kovergeciájára voatkozó szükséges feltételt! Ha (a ) koverges (a ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó közrefogási elvet! (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 44. Milye állításokat ismer a határérték és a redezés között? 1. Közrefogási elv(redőr elv): (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 2. (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b i, A > B N N, N : a > b ii, N N, N : a b A B 45. Igaz-e, az hogy, ha az (a ) és a (b ) sorozatokak va határértéke és a > b mide -re, akkor lim(a ) > lim(b )? Nem, em igaz. Ellepélda: (a ) := 1, (b ) := 1, Ekkor (a ) > (b ), de lim a = lim b = 0 Megj.: A feltevés csak a másik iráyba igaz: (a ) és (b ) sorozatok, létezik határértékük, ekkor: lim(a ) > lim(b ) N, N : a > b 5

6 46. Modja ki a mooto sorozatok kovergeciájára és határértééke voatkozó állításokat! Ha (a ) mooto ő, és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto fogy és alulról korlátos, akkor koverges is, és lim a = if{a : N} Ha (a ) mooto ő, és felülről em korlátos, akkor diverges, és lim a = Ha (a ) mooto fogy és alulról em korlátos, akkor diverges, és lim a = 47. Milye műveleti tételeket ismer koverges sorozatokra? Tfh. (a ) és (b ) koverges sorozat, és lim a = A, lim b = B (A, B R). Ekkor: i, (a + b ) is koverges és lim(a + b ) = A + B ii, (a b ) is koverges és lim(a b ) = AB iii, ha ( b ) 0 ( N) B 0, ekkor: a is koverges és lim a = A b B b 48. Igaz-e az, hogy ha (a ) koverges és (b ) diverges, akkor (a + b ) is diverges? Ige, igaz, mert ha (a + b ) koverges lee, akkor (a + b a ) = (b ) is koverges lee. 49. Fogalmazza meg a sorozatok összegéek határértékére voatkozó állítást! Tfh. lim a = A R, lim b = B R! Ha A + B értelmes, akkor lim(a + b ) = A + B 50. Táblázattal szemlétetsse a sorozatok szorzatáak a határértékére voatkozó állítást! A > 0 A = 0 A < 0 A = A = B > 0 A B A B A B + B = 0 A B A B A B B < 0 A B A B A B + B = + + B = Fogalmazza meg a Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! korlátos sorozatak koverges részsorozata. 52. Defiálja a Cauchy-sorozatot! (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m < ε 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em Cauchy-sorozat! (a ) sorozat em Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m ε 54. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritériumot! (a ) : N R sorozat koverges (a ) Cauchy-sorozat. 55. Hogya értelmezzük az e számot? Az a = (1 + 1 ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim(1 + 1 ) 2, 71 6

7 56. Milye állítást ismer a (q ) mértai sorozat határértékvel kapcsolatosa? 0, ha q < 1 lim q 1, ha q = 1 =, ha q > 1, ha q Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökéek a létezésére voatkozó tételt! Tfh. m 2 m N! Ekkor i, A > 0!α > 0 : α m ( = A ) A ii, Ha a 0 > 0, a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat koverges és lim a = α 58. Legye A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelyek határértéke m A? a 0 > 0 ( ) A a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat határértéke: lim a = α, ahol α = m A. 59. Mi a végtele sor defiíciója? Az (a ) sorozat által meghatározott a végtele soro az s sorozatot értjük, ahol s = a 0 + a a 60. Mit jelet az, hogy a a végtele sor koverges, és hogya értelmezzük az összegét? a koverges, ha (s ) koverges és a = lim s R a végtele sor összege 61. Milye tételt ismer q R eseté a q geometriai sor kovergeciájáról? q sor koverges q < 1 Ekkor q = 1 1 q 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Teleszkópikus sor: 1 (+1) 1 Összege: = 1 (+1) 63. Fogalmazza meg a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergreciakritériumot! a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : a +1 + a a m < ε 64. Ismer-e sorok kovergeciájára voatkozó szükgséges feltételt? Ha a koverges, akkor lim a = Igaz-e az, hogy ha lim(a ) = 0, akkor a a sor koverges? Nem, em igaz: lim a = 0 a koverges Ellepélda: a = 1 : lim 1 = 0, de 1 diverges. 7

8 66. Fogalmazza meg a em-egatív tagú sorok kovergeciájára voatkozó tételt! a pozitív tagú sor koverges (s ) korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó összehasolító kritériumot! Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. 68. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó gyökkritériumot! (Cauchy-féle gyökkritérium) Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 69. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó háyadoskritériumot! (D Alambert-féle háyados kritérium) Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a +1 a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 70. Mik a Leibiz-tipusú sorok és milye kovergeciatételt ismer ezekkel kapcsolatba? Leibiz tipusú sorok : Legye 0 a +1 a N. Ekkor a ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Tétel: Tegyük fel, hogy ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Ekkor: i, ( 1) +1 a koverges lim a = 0 ii, Ha α = ( 1) +1 a és s = ( 1) k+1 a k, akkor s α a ( 1) k=1 71. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyik koverges, de em aboszulút koverges! ( 1) +1 koverges, de em abszolút koverges, hisze 1 diverges. 72. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyikek az összege az e szám! 1 = e! 8

9 73. Modja ki a tizedestörtekről a tételeket! i, Tfh (a ) : N {0, 1,..., 9} Ekkor a koverges és α = a [0, 1] ii, Ha α [0, 1], akkor (a ) : N {0, 1,..., 9}, hogy α = 74. Mit evez egy számsor zárójelezett soráak? Legye (m ) : N + N + idexsorozat, azaz szigorúa mooto övekvő és m 0 = 0. Legye α = (a m a m a m ) Ekkor α a a sor egy zárójelezése. 75. Hogya szólak a végtele sorok zárójelezésére voatkozó tételek? i, Ha a koverges, akkor (m ) : N + N + idexsorozatra α is koverges, és a = α ii, Tegyük fel, hogy (m ) : N + N + idexsorozat. 1, (m m 1 ) sorozat korlátos 2, lim a = 0 3, α koverges Ekkor a is koverges, és a = α 76. Mit evez egy végtele sor átredezéséek? Ha (p ) : N + N + bijekció, akkor a p a a sor átredezése. 77. Fogalmazza meg a feltételese koverges sorok átredezésére voatkozó Riematételt! Tegyük fel, hogy a sor feltételese koverges. Ekkor: i, A R (p ) : N + N + bijekció hogy A = ii, (p ) : N + N + bijekció, hogy a p diverges. a p 78. Milye állítást ismer abszolút koverges sorok átredezésévével kapcsolatba? Ha a abszolút koverges, akkor (p ) : N N bijekcióra a p is abszolút koverges és a = a p. 79. Defiiálja a a, b sorok tégláyszorzatát! a és b két sor. Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := 80. Defiiálja a a, b sorok Cauchy-szorzatát! a és b két sor. Ekkor a c sort Cauchy-szorzatak evezzük, ahol c := max(i,j)= i+j= a 10 a i b j a i b j 9

10 81. Adjo meg olya végtele sorokat, amelyek Cauchy-szorzata diverges! ( 1) 1 sorak ömagával vett Cauchy-szorzata diverges. 82. Fogalmazza meg az abszolút koverges sorok szorzatára voatkozó Cauchytételt! Ha a és b abszolút koverges, akkor t tégláy-szorzat és c Cauchy-szorzat is abszolút koverges, és t = c = ( a )( b ) 83. Fogalmazza meg a Mertes-tételt! Ha a abszolút koverges, és b koverges, akkor c Cauchy-szorzat koverges és c = ( a )( b ). 84. Írja le a hatváysor defiícióját! α, a R A α (x a) sort a közepű hatváysorak evezzük. 85. Fogalmazza meg a hatváysorok kovergecia sugaráról az általáosított Cauchy- Hadarmard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort! Ekkor a következő 3 tulajdoság egyike áll fet: i, 0 < R <, hogy x a < R eseté α (x a) sor abszolút koverges. Ha x a > R, akkor a α (x a) sor diverges. ii, A hatváysor csak x = a eseté koverges. Ekkor R = 0. iii, A hatváysor x R eseté abszolút koverges. Ekkor R =. Ahol R a hatváysor kovergeciasugara. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort. Tegyük fel, hogy lim α = A R (A 0) Legye 1 : 0 < A < A R := : A = 0 0 : A = Ekkor x a < R eseté α (x a) abszolút koverges és x a > R eseté α (x a) diverges. 87. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum! (x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 10

11 88. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum! ( ( 1) x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum! ( x ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum! ( x 2 ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyik csak az a = 2 potba koverges! (x 2). 92. Defiiálja az exp függvéyt! Expoeciális függvéy: exp(x) := x! = 1 + x + x2 2! + x3 3! Defiiálja a si függvéyt! Sziusz függvéy: si(x) := ( 1) x2+1 = x x (2+1)! 3! 94. Defiiálja a cos függvéyt! Kosziusz függvéy: cos(x) := ( 1) x2 = 1 x2 (2)! 2! + x4 4! Írja fel a si (x + y)-t si x, cos x, si y, cos y segítségével! si(x + y) = si x cos y + cos x si y 96. Mit jelet az, hogy a R torlódási potja a H R halmazak? Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. 97. Mivel egyelő az R, a Q és az ({ 1 N}) halmaz? R = R, Q = R, { 1 N} = {0} 98. Adott f R R, a D f, A R eseté mi a defiíciója a lim a f = A egyelőségek? Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim f = A. a 99. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett véges határérték defiícióját! a R, A R : ε > 0 δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε 11

12 100. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett plusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P 101. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett míusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P 102. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végteelbe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) A < ε 103. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) A < ε 104. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) > P 105. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) < P 106. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) > P 107. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) < P 108. Írja le a határértékre voatkozó átviteli elvet! f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a 109. Mit tud modai a hatváysor összegfüggvéyéek a határértékéről? α (x a) hatváysor kovergeciasugara R > 0, f(x) = α (x a) x K R (a), b K R (a). Ekkor lim b f = f(b) 110. Mit lehet modai mooto övekedő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto övekedő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} 12

13 111. Mit lehet modai mooto csökkeő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto csökkeő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 limf = if{f(x) a+0 x > a, x (α, β)} limf = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 2012 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia 13

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Határérték-tételek véletlen mezőkre

Határérték-tételek véletlen mezőkre Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben