ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
|
|
- Lőrinc Lukács
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható. 1
2 1. Hogya szól a Beroulli-egyelőtleség? Mikor va egyelőség? Legye 1 N és 1 h R. Ekkor: (1 + h) 1 + h és = = 1 h = 0 2. Fogalmazza meg a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget! Mikor va egyelőség? Def.: Legye 1 N 0 x 1... x R. Ekkor x 1 x 2...x ( x 1+x 2...+x ) és = x 1 = x 2 =... = x 3. Írja le a valós számok közötti redezés és műveletek kapcsolatára voatkozó axiómákat! - x y x + z y + z x, y, z R - x y xz yz x, y R, z 0 4. Mit mod ki a teljességi axióma? Ha A, B R, A, B, a b a A, b B, akkor ξ R: a ξ b 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet = H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. A legkisebb felső korlát a szuprémum. Jele: sup H 6. Mit jelet az, hogy a H R halmaz iduktív? = H R iduktív halmaz, ha - 0 H - x H x + 1 H 7. Hogya értelmezi a természetes számok halmazát? Természetes számok halmaza a legszűkebb iduktív halmaz, azaz N = H H R H iduktív 8. Fogalmazza meg a teljes idukció elvét! Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A +1 is igaz N Ekkor A igaz N-re. 9. Mikor va egy = A R halmazak maximuma(miimuma)? = A R halmazak maximuma(miimuma), ha α A x α x A α A x α x A 10. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics miimuma! = A R ics miimuma, ha α A : x A x < α 2
3 11. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics maximuma! = A R ics maximuma, ha α A : x A x > α 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy = A R halmaz? = A R felülről (alulról) korlátos, ha ξ R : x ξ (x ξ) x A 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy = A R halmaz felülről em korlátos! = A R felülről em korlátos, ha ξ R : x A : x > ξ 14. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = sup A? = A R felülről korlátos, akkor sup A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x > ξ ε 15. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = if A? = A R alulról korlátos, akkor if A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x < ξ + ε 16. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik az arkhimédeszi tulajdosággal? a, b R, a > 0 N : b < a 17. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik a Cator-tulajdosággal? Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +1, b +1 ] [a, b ] N-re, akkor [a, b ]. N 18. Defiiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartomáya, és értékkészlete! reláció: r A B részhalmaz reláció értelmezési tartomáya: D r = {a A b B : (a, b) r} reláció értékkészelete: R r = {b B a A : (a, b) r} 19. Adja meg a függvéy defiicíóját! f A B függvéy, ha x D f! y R f : (x, y) f. 20. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített képét? f : A B, C A C halmaz képe: f[c] := {f(x) : x C} B. 21. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített ősképét? f : A B, D B D halmaz ősképe: f 1 [D] := {x A : f(x) D} A. 3
4 22. Mikor evezük egy függvéyt ivertálhatóak? f : A B ivertálható(ijektív), ha x, y D f, x y eseté f(x) f(y). 23. Defiiálja az iverz függvéyt! Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, azaz y R f! x D f : f(x) = y! Az f iverze f 1 : R f D f, y x. 24. Mi a bijekció defiicíója? f : A B bijekció, ha f ijektív és R f = B. 25. Írja le az öszetett függvéy fogalmát! Tegyük fel, hogy f : A B, g : C D olya függvéyek, melyekre R g D f Ekkor a két függvéy kompoziciója: f g = {x D g g(x) D f } B (f g)(x) := f(g(x)). 26. Defiiálja a következő fogalmakat: valós sorozat, sorozat -edik tagja, idex! Valós számsorozatok: a : N R függvéy a ( N) = (a ) a sorozat -edik tagja, az -edik tag idexe. 27. Mit jelet az, hogy egy (a ) : N R sorozat korlátos? Az a = (a ) sorozat: - felülről korlátos, ha k R : a k N - alulról korlátos ha k R : a k N - korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. 28. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) sorozat em korlátos! (a ) sorozat em korlátos k R N : a > k 29. Mit jelet az, hogy egy (a ) számsorozat idexsorozat? (a ) : N N sorozat idexsorozat, ha szigorúa mooto ő. 30. Egy (a ) sorozatról mikor modjuk, hogy a (b ) sorozat részsorozata? Azt modjuk, hogy (a ) sorozat a (b ) sorozat részsorozata, ha ν : N N idexsorozat, hogy a = b ν, azaz (a i ) = (b νi ) 31. Mit ért egy sorozat részsorozatá? a : N R sorozat, ν : N N idexsorozat Az a ν = (a ν ) sorozat az a részsorozata. a Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozatak va csúcsa? az (a ) sorozat csúcsa, ha 0 : a 0 a 33. Defiiálja az A R elem ε > 0 sugarú köryezetét! Az A R ε > 0 sugarú köryezete: k ε (A) = (A ε, A + ε) itervallum. Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε (+ ) = ( 1, + ) itervallum. ε Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε ( ) = (, 1) itervallum. ε 34. Mikor evezük egy (a ) valós sorozatot kovergesek? Az (a ) sorozat koverges, ha A R, ε > 0 0 N, 0 : a A < ε 4
5 35. Mit jelet az, hogy egy (a ) sorozat diverges? Az (a ) sorozat diverges, ha em koverges, azaz A R, ε > 0, 0 N, 0 : a A ε 36. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz- e az hogy 0 N, hogy ε > 0-ra és 0 -ra a A < ε? (válaszát idokolja!) Ebből az következe, hogy mide 0 eseté a = A. Az állítás em igaz, mert létezik olya sorozat, amelyek a határértéke A R, de em igaz, hogy a sorozat értéke mide 0 -ra egyelő A-val. 37. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az (a ) sorozat koverges? Nem, pl. az (a ) = ( 1) sorozat diverges, de az A = 1 szám mide köryezetébe a sorozatak végtele sok tagja esik. 38. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozat (+ )-hez tart? (a ) sorozat a (+ )-hez tart, ha P R, 0 N, 0 : a > P 39. Mi a defiíciója aak, hogy az (a ) sorozatak a határértéke? (a ) sorozat határértéke, ha P R, 0 N, 0 : a < P 40. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak va határértéke? Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) 41. Adott (a ) : N R, A R eseté mi a defiíciója a lim(a ) = A egyelőségek? ε > 0 0 N N, 0 : a K ε (A) 42. Fogalmazza meg a sorozatok kovergeciájára voatkozó szükséges feltételt! Ha (a ) koverges (a ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó közrefogási elvet! (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 44. Milye állításokat ismer a határérték és a redezés között? 1. Közrefogási elv(redőr elv): (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 2. (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b i, A > B N N, N : a > b ii, N N, N : a b A B 45. Igaz-e, az hogy, ha az (a ) és a (b ) sorozatokak va határértéke és a > b mide -re, akkor lim(a ) > lim(b )? Nem, em igaz. Ellepélda: (a ) := 1, (b ) := 1, Ekkor (a ) > (b ), de lim a = lim b = 0 Megj.: A feltevés csak a másik iráyba igaz: (a ) és (b ) sorozatok, létezik határértékük, ekkor: lim(a ) > lim(b ) N, N : a > b 5
6 46. Modja ki a mooto sorozatok kovergeciájára és határértééke voatkozó állításokat! Ha (a ) mooto ő, és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto fogy és alulról korlátos, akkor koverges is, és lim a = if{a : N} Ha (a ) mooto ő, és felülről em korlátos, akkor diverges, és lim a = Ha (a ) mooto fogy és alulról em korlátos, akkor diverges, és lim a = 47. Milye műveleti tételeket ismer koverges sorozatokra? Tfh. (a ) és (b ) koverges sorozat, és lim a = A, lim b = B (A, B R). Ekkor: i, (a + b ) is koverges és lim(a + b ) = A + B ii, (a b ) is koverges és lim(a b ) = AB iii, ha ( b ) 0 ( N) B 0, ekkor: a is koverges és lim a = A b B b 48. Igaz-e az, hogy ha (a ) koverges és (b ) diverges, akkor (a + b ) is diverges? Ige, igaz, mert ha (a + b ) koverges lee, akkor (a + b a ) = (b ) is koverges lee. 49. Fogalmazza meg a sorozatok összegéek határértékére voatkozó állítást! Tfh. lim a = A R, lim b = B R! Ha A + B értelmes, akkor lim(a + b ) = A + B 50. Táblázattal szemlétetsse a sorozatok szorzatáak a határértékére voatkozó állítást! A > 0 A = 0 A < 0 A = A = B > 0 A B A B A B + B = 0 A B A B A B B < 0 A B A B A B + B = + + B = Fogalmazza meg a Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! korlátos sorozatak koverges részsorozata. 52. Defiálja a Cauchy-sorozatot! (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m < ε 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em Cauchy-sorozat! (a ) sorozat em Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m ε 54. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritériumot! (a ) : N R sorozat koverges (a ) Cauchy-sorozat. 55. Hogya értelmezzük az e számot? Az a = (1 + 1 ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim(1 + 1 ) 2, 71 6
7 56. Milye állítást ismer a (q ) mértai sorozat határértékvel kapcsolatosa? 0, ha q < 1 lim q 1, ha q = 1 =, ha q > 1, ha q Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökéek a létezésére voatkozó tételt! Tfh. m 2 m N! Ekkor i, A > 0!α > 0 : α m ( = A ) A ii, Ha a 0 > 0, a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat koverges és lim a = α 58. Legye A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelyek határértéke m A? a 0 > 0 ( ) A a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat határértéke: lim a = α, ahol α = m A. 59. Mi a végtele sor defiíciója? Az (a ) sorozat által meghatározott a végtele soro az s sorozatot értjük, ahol s = a 0 + a a 60. Mit jelet az, hogy a a végtele sor koverges, és hogya értelmezzük az összegét? a koverges, ha (s ) koverges és a = lim s R a végtele sor összege 61. Milye tételt ismer q R eseté a q geometriai sor kovergeciájáról? q sor koverges q < 1 Ekkor q = 1 1 q 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Teleszkópikus sor: 1 (+1) 1 Összege: = 1 (+1) 63. Fogalmazza meg a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergreciakritériumot! a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : a +1 + a a m < ε 64. Ismer-e sorok kovergeciájára voatkozó szükgséges feltételt? Ha a koverges, akkor lim a = Igaz-e az, hogy ha lim(a ) = 0, akkor a a sor koverges? Nem, em igaz: lim a = 0 a koverges Ellepélda: a = 1 : lim 1 = 0, de 1 diverges. 7
8 66. Fogalmazza meg a em-egatív tagú sorok kovergeciájára voatkozó tételt! a pozitív tagú sor koverges (s ) korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó összehasolító kritériumot! Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. 68. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó gyökkritériumot! (Cauchy-féle gyökkritérium) Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 69. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó háyadoskritériumot! (D Alambert-féle háyados kritérium) Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a +1 a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 70. Mik a Leibiz-tipusú sorok és milye kovergeciatételt ismer ezekkel kapcsolatba? Leibiz tipusú sorok : Legye 0 a +1 a N. Ekkor a ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Tétel: Tegyük fel, hogy ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Ekkor: i, ( 1) +1 a koverges lim a = 0 ii, Ha α = ( 1) +1 a és s = ( 1) k+1 a k, akkor s α a ( 1) k=1 71. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyik koverges, de em aboszulút koverges! ( 1) +1 koverges, de em abszolút koverges, hisze 1 diverges. 72. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyikek az összege az e szám! 1 = e! 8
9 73. Modja ki a tizedestörtekről a tételeket! i, Tfh (a ) : N {0, 1,..., 9} Ekkor a koverges és α = a [0, 1] ii, Ha α [0, 1], akkor (a ) : N {0, 1,..., 9}, hogy α = 74. Mit evez egy számsor zárójelezett soráak? Legye (m ) : N + N + idexsorozat, azaz szigorúa mooto övekvő és m 0 = 0. Legye α = (a m a m a m ) Ekkor α a a sor egy zárójelezése. 75. Hogya szólak a végtele sorok zárójelezésére voatkozó tételek? i, Ha a koverges, akkor (m ) : N + N + idexsorozatra α is koverges, és a = α ii, Tegyük fel, hogy (m ) : N + N + idexsorozat. 1, (m m 1 ) sorozat korlátos 2, lim a = 0 3, α koverges Ekkor a is koverges, és a = α 76. Mit evez egy végtele sor átredezéséek? Ha (p ) : N + N + bijekció, akkor a p a a sor átredezése. 77. Fogalmazza meg a feltételese koverges sorok átredezésére voatkozó Riematételt! Tegyük fel, hogy a sor feltételese koverges. Ekkor: i, A R (p ) : N + N + bijekció hogy A = ii, (p ) : N + N + bijekció, hogy a p diverges. a p 78. Milye állítást ismer abszolút koverges sorok átredezésévével kapcsolatba? Ha a abszolút koverges, akkor (p ) : N N bijekcióra a p is abszolút koverges és a = a p. 79. Defiiálja a a, b sorok tégláyszorzatát! a és b két sor. Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := 80. Defiiálja a a, b sorok Cauchy-szorzatát! a és b két sor. Ekkor a c sort Cauchy-szorzatak evezzük, ahol c := max(i,j)= i+j= a 10 a i b j a i b j 9
10 81. Adjo meg olya végtele sorokat, amelyek Cauchy-szorzata diverges! ( 1) 1 sorak ömagával vett Cauchy-szorzata diverges. 82. Fogalmazza meg az abszolút koverges sorok szorzatára voatkozó Cauchytételt! Ha a és b abszolút koverges, akkor t tégláy-szorzat és c Cauchy-szorzat is abszolút koverges, és t = c = ( a )( b ) 83. Fogalmazza meg a Mertes-tételt! Ha a abszolút koverges, és b koverges, akkor c Cauchy-szorzat koverges és c = ( a )( b ). 84. Írja le a hatváysor defiícióját! α, a R A α (x a) sort a közepű hatváysorak evezzük. 85. Fogalmazza meg a hatváysorok kovergecia sugaráról az általáosított Cauchy- Hadarmard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort! Ekkor a következő 3 tulajdoság egyike áll fet: i, 0 < R <, hogy x a < R eseté α (x a) sor abszolút koverges. Ha x a > R, akkor a α (x a) sor diverges. ii, A hatváysor csak x = a eseté koverges. Ekkor R = 0. iii, A hatváysor x R eseté abszolút koverges. Ekkor R =. Ahol R a hatváysor kovergeciasugara. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort. Tegyük fel, hogy lim α = A R (A 0) Legye 1 : 0 < A < A R := : A = 0 0 : A = Ekkor x a < R eseté α (x a) abszolút koverges és x a > R eseté α (x a) diverges. 87. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum! (x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 10
11 88. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum! ( ( 1) x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum! ( x ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum! ( x 2 ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyik csak az a = 2 potba koverges! (x 2). 92. Defiiálja az exp függvéyt! Expoeciális függvéy: exp(x) := x! = 1 + x + x2 2! + x3 3! Defiiálja a si függvéyt! Sziusz függvéy: si(x) := ( 1) x2+1 = x x (2+1)! 3! 94. Defiiálja a cos függvéyt! Kosziusz függvéy: cos(x) := ( 1) x2 = 1 x2 (2)! 2! + x4 4! Írja fel a si (x + y)-t si x, cos x, si y, cos y segítségével! si(x + y) = si x cos y + cos x si y 96. Mit jelet az, hogy a R torlódási potja a H R halmazak? Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. 97. Mivel egyelő az R, a Q és az ({ 1 N}) halmaz? R = R, Q = R, { 1 N} = {0} 98. Adott f R R, a D f, A R eseté mi a defiíciója a lim a f = A egyelőségek? Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim f = A. a 99. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett véges határérték defiícióját! a R, A R : ε > 0 δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε 11
12 100. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett plusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P 101. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett míusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P 102. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végteelbe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) A < ε 103. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) A < ε 104. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) > P 105. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) < P 106. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) > P 107. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) < P 108. Írja le a határértékre voatkozó átviteli elvet! f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a 109. Mit tud modai a hatváysor összegfüggvéyéek a határértékéről? α (x a) hatváysor kovergeciasugara R > 0, f(x) = α (x a) x K R (a), b K R (a). Ekkor lim b f = f(b) 110. Mit lehet modai mooto övekedő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto övekedő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} 12
13 111. Mit lehet modai mooto csökkeő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto csökkeő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 limf = if{f(x) a+0 x > a, x (α, β)} limf = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 2012 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia 13
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenSorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7
Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenVÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK
VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben1. Halmazok, relációk és függvények.
. Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenI. FEJEZET: ANALÍZIS... 3
Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenAnalízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.
Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenKÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév
KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben