ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK"

Átírás

1 ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható. 1

2 1. Hogya szól a Beroulli-egyelőtleség? Mikor va egyelőség? Legye 1 N és 1 h R. Ekkor: (1 + h) 1 + h és = = 1 h = 0 2. Fogalmazza meg a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget! Mikor va egyelőség? Def.: Legye 1 N 0 x 1... x R. Ekkor x 1 x 2...x ( x 1+x 2...+x ) és = x 1 = x 2 =... = x 3. Írja le a valós számok közötti redezés és műveletek kapcsolatára voatkozó axiómákat! - x y x + z y + z x, y, z R - x y xz yz x, y R, z 0 4. Mit mod ki a teljességi axióma? Ha A, B R, A, B, a b a A, b B, akkor ξ R: a ξ b 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet = H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. A legkisebb felső korlát a szuprémum. Jele: sup H 6. Mit jelet az, hogy a H R halmaz iduktív? = H R iduktív halmaz, ha - 0 H - x H x + 1 H 7. Hogya értelmezi a természetes számok halmazát? Természetes számok halmaza a legszűkebb iduktív halmaz, azaz N = H H R H iduktív 8. Fogalmazza meg a teljes idukció elvét! Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A +1 is igaz N Ekkor A igaz N-re. 9. Mikor va egy = A R halmazak maximuma(miimuma)? = A R halmazak maximuma(miimuma), ha α A x α x A α A x α x A 10. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics miimuma! = A R ics miimuma, ha α A : x A x < α 2

3 11. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics maximuma! = A R ics maximuma, ha α A : x A x > α 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy = A R halmaz? = A R felülről (alulról) korlátos, ha ξ R : x ξ (x ξ) x A 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy = A R halmaz felülről em korlátos! = A R felülről em korlátos, ha ξ R : x A : x > ξ 14. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = sup A? = A R felülről korlátos, akkor sup A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x > ξ ε 15. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = if A? = A R alulról korlátos, akkor if A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x < ξ + ε 16. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik az arkhimédeszi tulajdosággal? a, b R, a > 0 N : b < a 17. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik a Cator-tulajdosággal? Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +1, b +1 ] [a, b ] N-re, akkor [a, b ]. N 18. Defiiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartomáya, és értékkészlete! reláció: r A B részhalmaz reláció értelmezési tartomáya: D r = {a A b B : (a, b) r} reláció értékkészelete: R r = {b B a A : (a, b) r} 19. Adja meg a függvéy defiicíóját! f A B függvéy, ha x D f! y R f : (x, y) f. 20. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített képét? f : A B, C A C halmaz képe: f[c] := {f(x) : x C} B. 21. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített ősképét? f : A B, D B D halmaz ősképe: f 1 [D] := {x A : f(x) D} A. 3

4 22. Mikor evezük egy függvéyt ivertálhatóak? f : A B ivertálható(ijektív), ha x, y D f, x y eseté f(x) f(y). 23. Defiiálja az iverz függvéyt! Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, azaz y R f! x D f : f(x) = y! Az f iverze f 1 : R f D f, y x. 24. Mi a bijekció defiicíója? f : A B bijekció, ha f ijektív és R f = B. 25. Írja le az öszetett függvéy fogalmát! Tegyük fel, hogy f : A B, g : C D olya függvéyek, melyekre R g D f Ekkor a két függvéy kompoziciója: f g = {x D g g(x) D f } B (f g)(x) := f(g(x)). 26. Defiiálja a következő fogalmakat: valós sorozat, sorozat -edik tagja, idex! Valós számsorozatok: a : N R függvéy a ( N) = (a ) a sorozat -edik tagja, az -edik tag idexe. 27. Mit jelet az, hogy egy (a ) : N R sorozat korlátos? Az a = (a ) sorozat: - felülről korlátos, ha k R : a k N - alulról korlátos ha k R : a k N - korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. 28. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) sorozat em korlátos! (a ) sorozat em korlátos k R N : a > k 29. Mit jelet az, hogy egy (a ) számsorozat idexsorozat? (a ) : N N sorozat idexsorozat, ha szigorúa mooto ő. 30. Egy (a ) sorozatról mikor modjuk, hogy a (b ) sorozat részsorozata? Azt modjuk, hogy (a ) sorozat a (b ) sorozat részsorozata, ha ν : N N idexsorozat, hogy a = b ν, azaz (a i ) = (b νi ) 31. Mit ért egy sorozat részsorozatá? a : N R sorozat, ν : N N idexsorozat Az a ν = (a ν ) sorozat az a részsorozata. a Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozatak va csúcsa? az (a ) sorozat csúcsa, ha 0 : a 0 a 33. Defiiálja az A R elem ε > 0 sugarú köryezetét! Az A R ε > 0 sugarú köryezete: k ε (A) = (A ε, A + ε) itervallum. Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε (+ ) = ( 1, + ) itervallum. ε Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε ( ) = (, 1) itervallum. ε 34. Mikor evezük egy (a ) valós sorozatot kovergesek? Az (a ) sorozat koverges, ha A R, ε > 0 0 N, 0 : a A < ε 4

5 35. Mit jelet az, hogy egy (a ) sorozat diverges? Az (a ) sorozat diverges, ha em koverges, azaz A R, ε > 0, 0 N, 0 : a A ε 36. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz- e az hogy 0 N, hogy ε > 0-ra és 0 -ra a A < ε? (válaszát idokolja!) Ebből az következe, hogy mide 0 eseté a = A. Az állítás em igaz, mert létezik olya sorozat, amelyek a határértéke A R, de em igaz, hogy a sorozat értéke mide 0 -ra egyelő A-val. 37. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az (a ) sorozat koverges? Nem, pl. az (a ) = ( 1) sorozat diverges, de az A = 1 szám mide köryezetébe a sorozatak végtele sok tagja esik. 38. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozat (+ )-hez tart? (a ) sorozat a (+ )-hez tart, ha P R, 0 N, 0 : a > P 39. Mi a defiíciója aak, hogy az (a ) sorozatak a határértéke? (a ) sorozat határértéke, ha P R, 0 N, 0 : a < P 40. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak va határértéke? Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) 41. Adott (a ) : N R, A R eseté mi a defiíciója a lim(a ) = A egyelőségek? ε > 0 0 N N, 0 : a K ε (A) 42. Fogalmazza meg a sorozatok kovergeciájára voatkozó szükséges feltételt! Ha (a ) koverges (a ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó közrefogási elvet! (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 44. Milye állításokat ismer a határérték és a redezés között? 1. Közrefogási elv(redőr elv): (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 2. (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b i, A > B N N, N : a > b ii, N N, N : a b A B 45. Igaz-e, az hogy, ha az (a ) és a (b ) sorozatokak va határértéke és a > b mide -re, akkor lim(a ) > lim(b )? Nem, em igaz. Ellepélda: (a ) := 1, (b ) := 1, Ekkor (a ) > (b ), de lim a = lim b = 0 Megj.: A feltevés csak a másik iráyba igaz: (a ) és (b ) sorozatok, létezik határértékük, ekkor: lim(a ) > lim(b ) N, N : a > b 5

6 46. Modja ki a mooto sorozatok kovergeciájára és határértééke voatkozó állításokat! Ha (a ) mooto ő, és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto fogy és alulról korlátos, akkor koverges is, és lim a = if{a : N} Ha (a ) mooto ő, és felülről em korlátos, akkor diverges, és lim a = Ha (a ) mooto fogy és alulról em korlátos, akkor diverges, és lim a = 47. Milye műveleti tételeket ismer koverges sorozatokra? Tfh. (a ) és (b ) koverges sorozat, és lim a = A, lim b = B (A, B R). Ekkor: i, (a + b ) is koverges és lim(a + b ) = A + B ii, (a b ) is koverges és lim(a b ) = AB iii, ha ( b ) 0 ( N) B 0, ekkor: a is koverges és lim a = A b B b 48. Igaz-e az, hogy ha (a ) koverges és (b ) diverges, akkor (a + b ) is diverges? Ige, igaz, mert ha (a + b ) koverges lee, akkor (a + b a ) = (b ) is koverges lee. 49. Fogalmazza meg a sorozatok összegéek határértékére voatkozó állítást! Tfh. lim a = A R, lim b = B R! Ha A + B értelmes, akkor lim(a + b ) = A + B 50. Táblázattal szemlétetsse a sorozatok szorzatáak a határértékére voatkozó állítást! A > 0 A = 0 A < 0 A = A = B > 0 A B A B A B + B = 0 A B A B A B B < 0 A B A B A B + B = + + B = Fogalmazza meg a Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! korlátos sorozatak koverges részsorozata. 52. Defiálja a Cauchy-sorozatot! (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m < ε 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em Cauchy-sorozat! (a ) sorozat em Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m ε 54. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritériumot! (a ) : N R sorozat koverges (a ) Cauchy-sorozat. 55. Hogya értelmezzük az e számot? Az a = (1 + 1 ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim(1 + 1 ) 2, 71 6

7 56. Milye állítást ismer a (q ) mértai sorozat határértékvel kapcsolatosa? 0, ha q < 1 lim q 1, ha q = 1 =, ha q > 1, ha q Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökéek a létezésére voatkozó tételt! Tfh. m 2 m N! Ekkor i, A > 0!α > 0 : α m ( = A ) A ii, Ha a 0 > 0, a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat koverges és lim a = α 58. Legye A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelyek határértéke m A? a 0 > 0 ( ) A a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat határértéke: lim a = α, ahol α = m A. 59. Mi a végtele sor defiíciója? Az (a ) sorozat által meghatározott a végtele soro az s sorozatot értjük, ahol s = a 0 + a a 60. Mit jelet az, hogy a a végtele sor koverges, és hogya értelmezzük az összegét? a koverges, ha (s ) koverges és a = lim s R a végtele sor összege 61. Milye tételt ismer q R eseté a q geometriai sor kovergeciájáról? q sor koverges q < 1 Ekkor q = 1 1 q 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Teleszkópikus sor: 1 (+1) 1 Összege: = 1 (+1) 63. Fogalmazza meg a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergreciakritériumot! a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : a +1 + a a m < ε 64. Ismer-e sorok kovergeciájára voatkozó szükgséges feltételt? Ha a koverges, akkor lim a = Igaz-e az, hogy ha lim(a ) = 0, akkor a a sor koverges? Nem, em igaz: lim a = 0 a koverges Ellepélda: a = 1 : lim 1 = 0, de 1 diverges. 7

8 66. Fogalmazza meg a em-egatív tagú sorok kovergeciájára voatkozó tételt! a pozitív tagú sor koverges (s ) korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó összehasolító kritériumot! Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. 68. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó gyökkritériumot! (Cauchy-féle gyökkritérium) Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 69. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó háyadoskritériumot! (D Alambert-féle háyados kritérium) Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a +1 a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 70. Mik a Leibiz-tipusú sorok és milye kovergeciatételt ismer ezekkel kapcsolatba? Leibiz tipusú sorok : Legye 0 a +1 a N. Ekkor a ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Tétel: Tegyük fel, hogy ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Ekkor: i, ( 1) +1 a koverges lim a = 0 ii, Ha α = ( 1) +1 a és s = ( 1) k+1 a k, akkor s α a ( 1) k=1 71. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyik koverges, de em aboszulút koverges! ( 1) +1 koverges, de em abszolút koverges, hisze 1 diverges. 72. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyikek az összege az e szám! 1 = e! 8

9 73. Modja ki a tizedestörtekről a tételeket! i, Tfh (a ) : N {0, 1,..., 9} Ekkor a koverges és α = a [0, 1] ii, Ha α [0, 1], akkor (a ) : N {0, 1,..., 9}, hogy α = 74. Mit evez egy számsor zárójelezett soráak? Legye (m ) : N + N + idexsorozat, azaz szigorúa mooto övekvő és m 0 = 0. Legye α = (a m a m a m ) Ekkor α a a sor egy zárójelezése. 75. Hogya szólak a végtele sorok zárójelezésére voatkozó tételek? i, Ha a koverges, akkor (m ) : N + N + idexsorozatra α is koverges, és a = α ii, Tegyük fel, hogy (m ) : N + N + idexsorozat. 1, (m m 1 ) sorozat korlátos 2, lim a = 0 3, α koverges Ekkor a is koverges, és a = α 76. Mit evez egy végtele sor átredezéséek? Ha (p ) : N + N + bijekció, akkor a p a a sor átredezése. 77. Fogalmazza meg a feltételese koverges sorok átredezésére voatkozó Riematételt! Tegyük fel, hogy a sor feltételese koverges. Ekkor: i, A R (p ) : N + N + bijekció hogy A = ii, (p ) : N + N + bijekció, hogy a p diverges. a p 78. Milye állítást ismer abszolút koverges sorok átredezésévével kapcsolatba? Ha a abszolút koverges, akkor (p ) : N N bijekcióra a p is abszolút koverges és a = a p. 79. Defiiálja a a, b sorok tégláyszorzatát! a és b két sor. Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := 80. Defiiálja a a, b sorok Cauchy-szorzatát! a és b két sor. Ekkor a c sort Cauchy-szorzatak evezzük, ahol c := max(i,j)= i+j= a 10 a i b j a i b j 9

10 81. Adjo meg olya végtele sorokat, amelyek Cauchy-szorzata diverges! ( 1) 1 sorak ömagával vett Cauchy-szorzata diverges. 82. Fogalmazza meg az abszolút koverges sorok szorzatára voatkozó Cauchytételt! Ha a és b abszolút koverges, akkor t tégláy-szorzat és c Cauchy-szorzat is abszolút koverges, és t = c = ( a )( b ) 83. Fogalmazza meg a Mertes-tételt! Ha a abszolút koverges, és b koverges, akkor c Cauchy-szorzat koverges és c = ( a )( b ). 84. Írja le a hatváysor defiícióját! α, a R A α (x a) sort a közepű hatváysorak evezzük. 85. Fogalmazza meg a hatváysorok kovergecia sugaráról az általáosított Cauchy- Hadarmard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort! Ekkor a következő 3 tulajdoság egyike áll fet: i, 0 < R <, hogy x a < R eseté α (x a) sor abszolút koverges. Ha x a > R, akkor a α (x a) sor diverges. ii, A hatváysor csak x = a eseté koverges. Ekkor R = 0. iii, A hatváysor x R eseté abszolút koverges. Ekkor R =. Ahol R a hatváysor kovergeciasugara. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort. Tegyük fel, hogy lim α = A R (A 0) Legye 1 : 0 < A < A R := : A = 0 0 : A = Ekkor x a < R eseté α (x a) abszolút koverges és x a > R eseté α (x a) diverges. 87. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum! (x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 10

11 88. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum! ( ( 1) x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum! ( x ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum! ( x 2 ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig Adjo meg egy olya hatváysort, amelyik csak az a = 2 potba koverges! (x 2). 92. Defiiálja az exp függvéyt! Expoeciális függvéy: exp(x) := x! = 1 + x + x2 2! + x3 3! Defiiálja a si függvéyt! Sziusz függvéy: si(x) := ( 1) x2+1 = x x (2+1)! 3! 94. Defiiálja a cos függvéyt! Kosziusz függvéy: cos(x) := ( 1) x2 = 1 x2 (2)! 2! + x4 4! Írja fel a si (x + y)-t si x, cos x, si y, cos y segítségével! si(x + y) = si x cos y + cos x si y 96. Mit jelet az, hogy a R torlódási potja a H R halmazak? Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. 97. Mivel egyelő az R, a Q és az ({ 1 N}) halmaz? R = R, Q = R, { 1 N} = {0} 98. Adott f R R, a D f, A R eseté mi a defiíciója a lim a f = A egyelőségek? Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim f = A. a 99. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett véges határérték defiícióját! a R, A R : ε > 0 δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε 11

12 100. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett plusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P 101. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett míusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P 102. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végteelbe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) A < ε 103. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) A < ε 104. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) > P 105. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) < P 106. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) > P 107. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) < P 108. Írja le a határértékre voatkozó átviteli elvet! f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a 109. Mit tud modai a hatváysor összegfüggvéyéek a határértékéről? α (x a) hatváysor kovergeciasugara R > 0, f(x) = α (x a) x K R (a), b K R (a). Ekkor lim b f = f(b) 110. Mit lehet modai mooto övekedő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto övekedő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} 12

13 111. Mit lehet modai mooto csökkeő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto csökkeő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 limf = if{f(x) a+0 x > a, x (α, β)} limf = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 2012 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia 13

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben