Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10."

Átírás

1 Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0.

2 Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872: R részhlmzi: Természetes számok hlmz: További részhlmzok: A teljességi xióm következméyei: Szuprémum-elv: Arkhimédeszi tuljdoság: Ctor-tuljdoság: Függvéyek és relációk Redezett pár: Függvéyek: Függvéyek megdás: Függvéyek ivertálhtóság: Függvéyek kompozíciój: Vlós soroztok Sorozt megdás: Példák soroztokr: Számti sorozt: Mérti (vgy geometrii sorozt: Hrmoikus sorozt: Műveletek: Elemi tuljdoságok: Kovergeci, htárérték Motiváló példák: Kovergeci: Htárérték: Kitütetett diverges soroztok:

3 TARTALOMJEGYZÉK A htárérték defiícióják egyszerű következméyei: Részsoroztok: A redezés és htárérték kpcsolt: Műveletek koverges soroztokkl (lim( = A R: Nullsoroztok: Műveletek koverges soroztokkl: Nevezetes soroztok: Mooto sorozt htárértéke: Nevezetes soroztok: Rekurzív sorozt htárértéke: A műveletek és htárérték kpcsolt: Elméleti szempotból fotos eredméyek: Cuchy-kritérium: Végtele sorok (speciális képzésű soroztok: Pozitív tgú sorok: Leibiz-típusú sorok: Tizedestörtek: P-dikus törtek: Műveletek sorokkl: Sorok zárójelezése (sszocitivitás: Algebri műveletek sorokkl: Htváysorok: Alitikus függvéyek: Műveletek htváysorokkl: Elemi függvéyek: Függvéyek htárértéke: Függvéyek folytoosság: Szkdási helyek osztályozás:

4 . fejezet A vlós számok struktúráj Megjegyzések: A számfoglom fejlődése (AF/40. oldl; Bevezetés mtemtikáb: felépítették R-et; mi most csk felsoroljuk z R meghtározó tuljdoságit... Az R Dedekid-féle xiómredszere (872: Elfogdjuk, hogy létezik R-rel jelölt hlmz, mire: I. Testxiómák: I/: R-e összedás: R R R függvéy, mire: Kommuttív: x, y R : x + y = y + x Asszocitív: x, y, z R : (x + y + z = x + (y + z ullelem: 0 R : x R : x + 0 = x elletett: x R : ( x R : x + ( x = 0. I/2: R-e szorzás: R R R függvéy, mire: Kommuttív: x, y R : x y = y x Asszocitív: x, y, z R : (x y z = x (y z egységelem: R \ {0} : x R : x = x reciprok: x R\ {0} : x R : x x = I/3: Disztributivitás: x, y, z R : (x + y z = x z + y z. 3

5 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 4 II. Redezési xiómák: II/: R-e egy lieáris redezési reláció, zz: x x ( x R (reflexív Redezési reláció: x y és y x = x = y (tiszimmetrikus x y és y z = x z (trzitív Lieáris: { x, y R : x y vgy y x (bármely két elem összehsolíthtó; trichotóm: x < y vgy x = y vgy x > y II/2: A műveletek és kpcsolt: H x, y R és x y, kkor z R : x + z y + z; H x, y R és x y, kkor z 0 : x z y z. III. Teljességi xióm (vgy Dedekid-féle, vgy szétválsztási xióm: H A, B R, A, B, A és b B : b, kkor ξ R : ξ b ( A, b B, hol ξ-t szétválsztó elemek evezzük (.. ábr... ábr. szétválsztó elem (ξ Rövide: R egy lieáris redezett, teljes test..2. R részhlmzi:.2.. Természetes számok hlmz:.. defiíció. Iduktív hlmz: A H R hlmz iduktív hlmz, h: 0 H x H = x + H.. tétel. Iduktív hlmzok tuljdosági:. R iduktív hlmz; 2. Akárháy iduktív hlmz metszete is iduktív hlmz..2. defiíció. Természetes számok hlmz: N := H; zz N legszűkebb iduktív hlmz. Ekkor N-et természetes számok hlmzák evezzük. H R H iduktív Megjegyzés: N = {0,, 2, 3,...}

6 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 5.2. tétel. Teljes idukció: Tegyük fel, hogy A( egy állítás N-re, és:. A(0 = igz; 2. H A( igz, kkor A(+ is igz. Ekkor A( mide -re igz. Bizoyítás. Legye S := { N A( = igz} N (jelölés. De: 0 S, h S = + S, vgyis S egy iduktív hlmz, tehát - mivel N legszűkebb iduktív hlmz - N S = N = S További részhlmzok: Egész számok hlmz (Z Rcioális számok hlmz (Q Irrcioális számok hlmz (Q := R \ Q Vlós számok hlmz (R Midezt z.2. ábrá foglltuk össze:.2. ábr. további részhlmzok.3. A teljességi xióm következméyei:.3.. Szuprémum-elv: Ehhez szükségük v mximum és miimum defiíciójár..3. defiíció. Mximum [miimum]: H R hlmzk v mximum [miimum], h α H : x H : x α [α x]. Jele: mx H := α; H mximális eleme [mi H := α; H miimális eleme].

7 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 6 Péld: H := { =, 2,...} itt v miimum (0, de ics mximum. H R hlmzk ics mximum α H : x H : x > α, zz mide H -beli elemél v gyobb H -beli elem. Hsoló állítás érvéyes, h H hlmzk ics miimum..4. defiíció. Felülről [lulról] vett korlátosság: = H R hlmz felülről korlátos (f.k., h K R : x H : x K. Hsoló defiiáljuk z lulról vett korlátosságot..5. defiíció. Korlátosság: A H R hlmz korlátos, h lulról és felülről is korlátos..3. tétel. Felső [lsó] korlátok tuljdosági:. H H R felülről korlátos és K felső korlát, kkor K > K is felső korlát; 2. A H R korlátos K 0 : x K ( x H..4. tétel. Szuprémum-elv: Tegyük fel, hogy H R felülről korlátos. Ekkor H felső korlátji között v legkisebb, zz: mi {K R K felső korlát (f.k.}. Bizoyítás. Adott: H felső korlát hlmz. A := H, B := {K R K f első korlátj H k}. Ekkor A, B : A és K B : K = ξ R : ξ K ( A, K B ( teljességi xióm szerit. Ez ξ legkisebb felső korlát, ugyis: x H : x ξ (ξ felső korlát Legkisebb is, mivel K B : K ξ..5. tétel. Leggyobb lsó korlát: Tegyük fel, hogy H R lulról korlátos. Ekkor H lsó korlátji között v leggyobb..6. defiíció. Szuprémum, ifimum: A legkisebb felső korlátot H szuprémumák evezzük, és sup H-vl jelöljük; A leggyobb lsó korlátot H ifimumák evezzük, és if H-vl jelöljük..7. defiíció. Kibővített vlós számok hlmz: R := R { +, } Redezés: x R : < x < +.8. defiíció. Felső [lsó] korlátok hiáy:. H H felülről em korlátos, kkor sup H := + ; 2. H H lulról em korlátos, kkor if H :=. Megjegyzés: H H R felülről korlátos, kkor: mx H vgy v, vgy ics; sup H midig létezik.

8 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 7.6. tétel. Szuprémum [ifimum] létezése: Legye H R. Ekkor:. mx H sup H H. Ekkor mx H = sup H; 2. mi H if H H. Ekkor if H = mi H. Megjegyzés: { H (pl. : H = {si α α ], + [} sup H / H ( pl. : H = { =, 2,...}.7. tétel. Felső korlát és szuprémum kpcsolt: Tegyük fel, hogy = H R felülről korlátos. Ekkor ξ = sup H ábr. Így ε > 0 : x H : ξ ε < x ξ. { x H : x ξ (ξ felső korlát ξ legkisebb felső korlát ( ábr. legkisebb felső korlát.8. tétel. Alsó korlát és ifimum kpcsolt: Tegyük fel, hogy H R lulról korlátos. Ekkor ξ = if H x H : ξ x (.4. ábr. Így ε > 0 : x H : ξ x < ξ + ε..4. ábr. leggyobb lsó korlát.9. tétel. Teljességi xióm és szuprémum-elv kpcsolt: A teljességi xióm szuprémum-elv. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik részletes bizoyítás. = : Láttuk; =: Nem bizoyítjuk Arkhimédeszi tuljdoság: > 0 és b R : N : b <

9 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 8.5. ábr. rkhimédeszi tuljdoság Szemléletes jeletése: b < ; < b (.5. ábr. Bizoyítás. Idirekt: tegyük fel, hogy > 0 és b R : N : b. Legye H := { N}. Ekkor H és felülről korlátos (pl.: b egy felső korlát, emitt sup H =: ξ. ξ legkisebb felső korlátj H -k, így ξ em felső korlát, zz 0 N : 0 > ξ = ( 0 + > ξ, ez pedig elletmodás, ugyis ξ felső korlát. Következméyek:. ε > 0 : N : < ε (ugyis = ε, b = ; 2. N felülről em korlátos hlmz, zz K R : N : > K ( =, b = K; 3. H K N, K, kkor K -k v miimum. Bizoyítás. Érdeklődőkek Ctor-tuljdoság: Tegyük fel, hogy N-re dott z [, b ] R korlátos és zárt itervllum úgy, hogy: [, b ] ( N. Ekkor [, b ]. N [ +, b + ] Megjegyzés: Egymásb sktulyázott itervllumok (.6. ábr..6. ábr. egymásb sktulyázott itervllumok Bizoyítás. (Teljességi xióm szerit legye A := { R N}, B := {b R N}. Ekkor A, B és b m (, m N, ugyis:. H m, kkor m b m ; 2. H > m, kkor b b m. Így teljességi xióm feltételei teljesülek, emitt pedig ξ R : ξ b m (, m N, ezért ξ b ( N = ξ [, b ] ( N = ξ [, b ] = [, b ]. N N

10 . FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 9 Megjegyzés: A feltételek léyegesek! H z itervllumok em zártk, kkor + = ( 0, =. H z itervllumok em korlátosk, kkor N [, + =..0. tétel. Teljességi xióm, rkhimédeszi tuljdoság és Ctor-tuljdoság kpcsolt: Teljességi xióm rkhimédeszi+ctor-tuljdoság. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik részletes bizoyítás. = : Láttuk; =: Nem bizoyítjuk. Megjegyzések: Teljességi xióm szuprémum-elv rkhimédeszi+ctor-tuljdoság. (872; bármelyik lehete xióm.

11 2. fejezet Függvéyek és relációk 2.. Redezett pár: Legye,b tetszőleges dolog. 2.. defiíció. (Szemléletes: (,b, hol z első, b második kompoes; Meghtározó tuljdoság: (, b = (x, y = x és b = y defiíció. (Hlmzelméleti: Legye és b két hlmz. Ekkor (, b := {{}, {, b}} defiíció. Descrtes-szorzt: Legye A, B két hlmz. Ekkor két hlmz Descrtes-szorztá z A B := {(, b A, b B} (A kereszt B hlmzt értjük defiíció. Reláció: Az r A B hlmzt relációk evezzük. A relációk két fotos összetevőjét külöböztetjük meg:. A D r := { A b B : (, b r} hlmzt reláció értelmezési trtomáyák (É.T. evezzük; 2. Az R r := {b B A : (, b r} hlmzt reláció értékkészletéek (É.K. evezzük Függvéyek: 2.5. defiíció. Függvéy: Legye A, B két hlmz. Az f A B relációt függvéyek evezzük, h x D f :!y B : (x, y f. Az f(x := y számot z f függvéy x-helye vett helyettesítési értékéek evezzük (f z x-hez z y = f(x elemet redeli. Megjegyzés: Vessük össze ezt defiíciót középiskoláb tult függvéy-foglomml! Jelölések: f : A B : f A B : { f A B D f = A { f A B D f A (függvéy (f z A hlmzból B-be képező függvéy; (értelmezési trtomáy (függvéy (f z A-ból B-be képező függvéy. (értelmezési trtomáy 0

12 2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK Függvéyek megdás:. f : R R, például: x x 2 ; 2. f(x := x 2 (x R defiíció. Hlmz képe, ősképe: Legye f : A B. Továbbá legyeek:. C A : f [C] := {f(x B x C}; 2. D B : f [D] := {x A f(x D}. Ekkor z f [C] hlmzt C hlmz f függvéy áltl létesített képéek, z f [D] hlmzt pedig D hlmz f függvéy áltl létesített ősképéek evezzük. Péld: f(x = x 2 (x R eseté f [[0, 2]] = [0, 4], f [[, 4]] = [ 2, ] [, 2] (2.. ábr. Megjegyzés: Az igzolás meggodoldó. 2.. ábr. z f(x = x 2 függvéy Függvéyek ivertálhtóság: A függvéyek ivertálhtóság egyváltozós művelet defiíció. Ivertálhtóság: Az f : A B függvéy ivertálhtó (vgy ijektív, h külöböző értelmezési trtomáybeli elemekhez külöböző értékkészletbeli elemeket redel, zz: x, y D f, x y = f(x f(y (2.2. ábr. A em-ivertálhtó függvéyek szemléltetése 2.3. ábrá láthtó. 2.. tétel. Ijektivitás: f : A B ijektív x, y D f, f(x = f(y x = y defiíció. Függvéy iverze: Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, zz y R f :!x D f : f(x = y. Ekkor z f : R f D f (y x függvéyt z f függvéy iverzéek evezzük. Megjegyzés: D f = R f, R f = D f.

13 2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK ábr. ivertálhtó f függvéy 2.9. defiíció. Bijekció: Az f : A B függvéy z A és B hlmzok közötti bijekció, h:. f ijektív; 2. R f = B Függvéyek kompozíciój: A függvéyek kompozíciój kétváltozós művelet. H {x D g g(x D f }, kkor lépezhető kompozíció (2.4. ábr defiíció. Függvéyek kompozíciój: Legye f : A B, g : C D, és tegyük fel, hogy {x D g g(x D f } =. Ekkor z f g (f kör g : {x D g g(x D f } B : (f g(x := f(g(x függvéyt z f és g függvéyek kompozícióják (vgy összetett függvéyéek evezzük. Péld: Legye f(x := x, (x, g(u := u 2 (u R. Ekkor: (f g(u := u 2 ( u ; (g f(x := x (x. A két függvéyt 2.5. ábrá láthtjuk. Az ábrá jól láthtó, hogy függvéyek kompozícióják képzése em kommuttív művelet (f g g f, tehát fotos sorred! Az Alízis feldt külöféle függvéyek jellemzése, tuljdoságik leírás.

14 2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK ábr. em-ivertálhtó f függvéy 2.4. ábr. függvéyek kompozíciój

15 2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK ábr. z f és g függvéyek kétféle kompozíciój

16 3. fejezet Vlós soroztok Most speciális függvéyeket, soroztokt foguk vizsgáli. 3.. defiíció. Vlós sorozt: Az : N R függvéyt vlós soroztk evezzük (D = N. Az ( := számot sorozt -edik tgják evezzük, hol z -edik tg idexe. Szemléltetés: Például legye = ( =, 2,.... Az így kpott soroztot 3.. ábrá szemléltetjük. Megjegyzés: 3.. ábr. z = sorozt A sorozt kezdőtgját tetszőleges elemtől kezdődőe lehet idexeli, zz: r Z rögzített: { N r} R függvéyt is soroztk tekitjük. 3.. Sorozt megdás: A soroztok megdás háromféleképpe törtéhet:. Idexek trzformációjávl (pl.: := ( =, 2,...; 2. Eset-szétválsztássl ( pl. : := { 2 2, h = 0, 2, 4,..., h =, 3,... ; 3. Rekurzív módo (pl.: 0 =, =, = + 2 = 2, 3,...; Fibocci-sorozt. 5

17 3. FEJEZET. VALÓS SOROZATOK Példák soroztokr: Számti sorozt: α, d R : := α + d ( N Rekurzív módo: 0 = α; + = + d ( N Mérti (vgy geometrii sorozt: α, q R : := α q ( N Rekurzív módo: 0 := α; + := q ( N Hrmoikus sorozt: := ( =, 2, Műveletek: = (, b = (b : + b := ( + b ; λ := (λ (λ R; b := ( b ; H 0 / R b, kkor b := ( b Elemi tuljdoságok: 3.2. defiíció. Korlátosság: Az = ( sorozt:. felülről korlátos, h K R : N : K, 2. lulról korlátos, h k R : N : k, 3. korlátos, h lulról és felülről is korlátos. 3.. tétel. Sorozt korlátosság: Az ( sorozt korlátos K R : N : K defiíció. Mootoitás: Az ( sorozt:. mooto övekvő (, h N : +, 2. szigorú mooto övekvő (, h N : < +, 3. mooto csökkeő (, h N : +, 4. szigorú mooto csökkeő (, h N : + <, 5. mooto, h teljesül vlmelyik z előző 4 feltétel közül.

18 4. fejezet Kovergeci, htárérték Az Alízis lpvető foglmi 4.. Motiváló példák:. := ; 2. := ( ; { 3. := pártl + ; páros 4. := (. Az -2. potb muttott példákt első-, 3-4. potb látottkt pedig második sűrűsödési helyek evezzük. Midezt 4.. ábrá szemléltetjük. 4.. ábr. Motiváló példák 4.2. Kovergeci: Léyegébe z első sűrűsödési hely megevezésekor beszélhetük kovergeciáról. 7

19 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK defiíció. ε-sugrú köryezet: A R, ε > 0 : k ε (A := (A ε, A + ε z A szám ε-sugrú köryezete (4.2. ábr ábr. z A szám ε-sugrú köryezete Megjegyzés: k ε(a A < ε 4.2. defiíció. Koverges sorozt: Az ( sorozt koverges, h A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N : A < ε. Megjegyzés: Az A mide ε > 0 köryezeté kívül soroztk csk véges sok tgj v Htárérték: 4.. tétel. Htárérték: H ( koverges, kkor defiícióbeli A szám egyértelmű, és ezt számot sorozt htárértékéek evezzük (zt is modjuk, hogy ( A-hoz trt. Jelölése: lim( = A, lim = A vgy A ( +. Bizoyítás. Idirekt: tegyük { fel, hogy A A 2, és z előző defiíció (4.2 teljesül. Ekkor 0 < ε < A A2 N : : A < ε 2 : 2 N : 2 : A 2 < ε ( N. Legye 0 := mx{, 2 }, ekkor 0 : 0 < A A 2 = (A + ( A 2 A + A 2 < 2ε < A A 2, ez pedig elletmodás tétel. Sorozt htárértékéek meghtározás: { ε > 0 : 0 N : 0 ( N : lim( = A ε > 0 : { N / k ε (A} véges soroztk véges sok tgj v. Megjegyzés: Pogyolá: lim( = A sorozt gy idexű tgji A-hoz közel vk. A < ε (*zz A mide köryezeté kívül 4.3. defiíció. Diverges sorozt: Az ( sorozt diverges, h em koverges, zz ( 4.2-es defiíció feltételei em teljesülek: A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N : A ε / k ε (A. Fotos péld: (( diverges, ugyis A R-hez z ε > 0 megválszthtó úgy, hogy vgy / k ε (A (4.3. ábr.

20 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK ábr. diverges sorozt Kitütetett diverges soroztok: Például: := vgy := defiíció. Végtele htárérték:. Az ( sorozt htárértéke: + (jelölés: lim( = +, h P R : 0 N : 0 ( N : > P ; 2. Az ( sorozt htárértéke: (jelölés: lim( =, h p R : 0 N : 0 ( N : < p. Példák: lim( 2 = + ; lim( 2 = defiíció. Végtele ε-sugrú köryezete: Legye ε > 0. Ekkor:. k ε ( + := ( ε,+ ; 2. k ε ( := (, ε. Ezt ± ε-sugrú köryezetéek evezzük. Megjegyzések: A htárérték - zz A R - egyértelmű; Soroztok kovergeci tuljdoságik összefogllás: 4.. táblázt. Jelölések: Koverges soroztok Diverges soroztok Htárérték: A R Htárérték: ± Oszcillálv divergesek (pl.: := ( V htárérték Nics htárérték 4.. táblázt. soroztok kovergeciáj. lim( = A R (zz véges htárérték és sorozt koverges; 2. lim( = A R (zz ( -ek létezik htárértéke. Átézedő: AF feldtok!

21 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK A htárérték defiícióják egyszerű következméyei: 4.3. tétel. Hsoló soroztok htárértéke: Tegyük fel, hogy (, (b -re N N : N ( N : = b. Ekkor ( -ek létezik htárértéke (b -ek létezik htárértéke, és ekkor lim( = lim(b. Bizoyítás. A defiícióból következik. Megjegyzés: Véges sok tg em befolyásolj sorozt htárértékét tétel. A kovergeci egy szükséges feltétele: H ( koverges, kkor korlátos is (véges htárérték. Bizoyítás. lim( = A R (véges. Ekkor z A ε-sugrú köryezeté kívül véges sok tg v, és ε = : 0 N : 0 ( N : A < Részsoroztok: 4.6. defiíció. Részsorozt: Legye = ( tetszőleges sorozt és ν : N N szigorú övekvő idexsorozt. Ekkor z ν = ( ν sorozt z ( -ek ν áltl meghtározott részsorozt. Megjegyzés: D = N, zz ( ν vlób sorozt tétel. Részsoroztok htárértéke: H z ( soroztk létezik htárértéke, kkor tetszőleges ν idexsorozt eseté z ( ν részsoroztk is v htárértéke, és lim( ν = lim(. Bizoyítás. Legye ε > 0. Ekkor: { / k ε (A} véges, és ε > 0 : { ν / k ε (A} is véges. Ebből pedig következik, hogy lim( ν = A. Következméy: Legye = ( tetszőleges, és tegyük fel, hogy ν, ν 2 idexsorozt, melyekre: lim( ν lim( ν 2. Ekkor = ( -ek em létezik htárértéke. Bizoyítás. Idirekt. Péld: := ((. Ekkor ( -ek ics htárértéke, ugyis: 2 = ( + ; 2+ = ( +.

22 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK A redezés és htárérték kpcsolt: 4.6. tétel. Közrefogási elv [redőr-elv]: Tegyük fel, hogy (, (b, (c soroztokr teljesülek z lábbik: N N : N ( N : b c ; lim( = lim(c = A R. Ekkor lim(b és lim(b = A. Bizoyítás.. A R véges: ( : ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (c : ε > 0 : 2 N : 2 ( N : A ε < c < A + ε. ε > 0 : 0 := mx{, 2, N} és 0 ( N : A ε < b c < A + ε = b k ε (A = lim(b = A. 2. A = + : Tekitsük ( soroztot: lim( = + = P R : N : ( N : > P. Legye 0 := mx{, N}. Ekkor 0 : b > P = lim(b = A = : Tekitsük (c soroztot: lim(c = = p R : N : : c < p. Legye 0 := mx{, N}. Ekkor 0 : p > c b = lim(b = tétel. Két sorozt htárértékeiek kpcsolt: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. H A > B, kkor N N : N ( N : > b ; 2. H N N : N ( N : b, kkor A B. Megjegyzések:. A két állítás mjdem egymás megfordítási; 2. A megfordítások em igzk, zz: ( > b = A > B (például: legye =, b = 2 ; (b A B = b (például: legye = 2, b =. Bizoyítás.. ( A, B R végesek: 0 < ε < A B 2 : ( : (ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (b : (ε > 0 : 2 N : 2 ( N : B ε < b < B + ε. Ebből pedig z következik, hogy 0 := mx{, 2 } : b < B + ε < A ε <. (b A = +, B R: (b : ε > 0 : N : ( N : B ε < b < B + ε; ( : lim( = + = P = B + ε, 2 N : 2 ( N : > B + ε. Ebből pedig z következik, hogy N := mx{, 2 } : > B + ε > b. (c A = +, B = : ( + = P R : N : ( N : > P ; (b = P R : 2 N : 2 ( N : b < P. Ebből pedig z következik, hogy N := mx{, 2 } : > P > b.

23 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 22 (d A R, B = : ( : ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (b = P = A ε : 2 N : 2 ( N : b < A ε = N := mx{, 2 } : > A ε > b. 2. Idirekt: tegyük fel, hogy A < B es szerit = N N : N ( N : < b, mi elletmodás Műveletek koverges soroztokkl (lim( = A R: Nullsoroztok: 4.7. defiíció. Nullsorozt: Az ( ullsorozt, h lim( = 0, zz: ε > 0 : 0 N : 0 ( N : 0 = < ε tétel. Nullsoroztok tuljdosági:. lim( = 0 lim ( = 0; 2. lim( = A lim( A = 0; 3. H ( ullsorozt, és c : N, kkor lim(c = 0. Bizoyítás. Közvetleül defiícióból tétel. Műveletek ullsoroztokkl: Tegyük fel, hogy lim( = 0 és lim(b = 0. Ekkor:. ( + b is ullsorozt; 2. H (c korlátos, kkor ( c ullsorozt; 3. ( b ullsorozt. Bizoyítás. -es bizoyítás: ε > 0 : N : : ( N : < ε 2 ; ε > 0 : 2 N : 2 ( N : b < ε 2. Ebből pedig z következik, hogy ε > 0 : 0 := mx{, 2 } : 0 ( N : + b + b < ε 2 + ε 2 = ε, ebből pedig következik továbbá, hogy lim( + b = 0. 2-es bizoyítás: (c korlátos = K R : N : c K (K > 0; lim( = 0 = ε > 0 : N : ( N : < ε K. Ebből pedig z következik, hogy ε > 0 : 0 := mx{, 2 } : 0 ( N : c c < ε K K = ε, miből következik, hogy lim( c = 0. 3-s bizoyítás: lim(b = 0 = (b korlátos, miből (2-es szerit következik, hogy lim( b = 0. Megjegyzés: -es külöbségre is igz: lim( = lim(b = 0 = lim( b = 0; 2-es háydosr em igz: h lim( = lim(b = 0, kkor ( b htárérték szempotjából bármi lehet.

24 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 23 Példák: 2 = 0; 2 = +. Kicsi számok háydos bármi lehet: c = c c (c R; 2 = ; ( = ( h.é Műveletek koverges soroztokkl: 4.0. tétel. Műveletek koverges soroztokkl: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. ( + b is koverges, és lim( + b = A + B; 2. ( b is koverges, és lim( b = A B; 3. H még 0 / R b és B 0, kkor ( (b koverges, és lim ( b = A B. Bizoyítás. -es bizoyítás: lim( = A lim( A = 0; lim(b = B lim(b B = 0. Ebből pedig z következik, hogy [( A + (b B] = [( + b (A + B]. Nullsorozt eseté: lim( + b = A + B. 2-es bizoyítás: Igzoljuk, hogy ( b AB ullsorozt, ugyis: b AB T RÜKK = b Ab + Ab AB = b ( A + A(b B b A + A b B = ( b AB ullsorozt = lim ( b AB = 0 }{{}}{{}}{{}}{{} korlátos ullsorozt korlátos ullsorozt } {{ } ullsorozt = lim ( b = AB. 3-s bizoyítás: 4.. tétel. (segédtétel: ( H (b koverges, és lim(b = B 0 (0 / R b, kkor b korlátos. Bizoyítás. Feltehető, hogy B > 0, lim(b = B. Ekkor ε = B 2 = B 2 > 0 : 0 N : b B < B 2. b = (b B + B = B (B b B B b B B 2 = B 2 ( b b. 3-s bizoyítás (folyttás: ( Igzoljuk, hogy b A B ullsorozt: A + A b }{{} B b }{{} ullsorozt }{{}}{{} korlátos korlátos b A B b B }{{} ullsorozt korlátos }{{} ullsorozt ( pedig következik, hogy lim b = A B. = B Ab b B ( = b T RÜKK = B AB+BA Ab b B = B( A+A(B b b B A B ullsorozt = lim ( b A B = 0, ebből

25 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK Nevezetes soroztok:. Kosts sorozt: c R : lim(c = c; 2. lim ( = 0, ugyis: ε > 0 : 0 N : 0 0 < ε = lim ( = 0; 3. k =, 2,... : ( (b lim + (k = + ; ( lim k + = 0; k 4. Mérti/geometrii sorozt: q R, (q : 0, h q < lim (q, h q = = + +., h q >, h q < ε (rchimédeszi tuljdoság = 0 ( N : 0 Bizoyítás. q = eseté z állítás triviális. q > eseté q = + h (h > 0 : q = ( + h + h h (Beroulli. Ekkor P R : 0 N : 0 ( N : q h > P, h 0 = [ ] P h +, miből következik, hogy lim (q = +. q < eseté: h q = 0, kkor z állítás triviális; h q 0, kkor 0 < q = (+h + Beroulli q >, miből z következik, hogy q = + h ebből z következik, hogy lim( q = lim + ( q = +h h (h > 0. A közrefogási elv lpjá }{{ } 0 (q = 0. q eseté: h q =, kkor em létezik htárérték (( ; h q <, kkor sem létezik htárérték (páros idexű részsorozt eseté sorozt + -hez trt, pártl idexű részsorozt eseté pedig -hez. 5. lim ( = ( > 0. + Bizoyítás. = eseté z állítás triviális. > eseté < = + h (h > 0. Ekkor = ( + h + h = }{{} 0 0 = = < h < }{{} 0 ( + >. = 6. lim ( =. + Bizoyítás. < = + h (h > 0 (biomiális. Ekkor = ( + h = ( ( 2 h 2 = (+ 2 h 2. Ebből következik, hogy 0 }{{} 0. lim(h = 0 lim ( = lim( + h = + lim(h = + }{{}. 0 < < eseté: 0 < h }{{} } {{ } 0 ( 0 + h + ( 2 h ( h ( +. Ekkor lim(h = 0 = lim( = 7. lim (! = +. + Bizoyítás.! ( 4, = 4, 5,...; ez teljes idukcióvl igzolhtó. Ekkor! 4 > P, h 0 = [4P ]+( N. Ez mide P-re igz. Ebből pedig z következik, hogy lim(! = Mooto sorozt htárértéke: 4.2. tétel. Mooto sorozt htárértéke:

26 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 25. H ( sorozt mooto övekvő [csökkeő] és felülről [lulról] korlátos, kkor ( koverges és lim( = sup { N} [lim( = if { N}]; 2. H ( sorozt mooto övekvő [csökkeő] és felülről [lulról] em korlátos, kkor ( diverges és lim( = + [lim( = ]. Bizoyítás.. Tegyük fel, hogy ( felülről korlátos. Ekkor sup { N} =: A, mivel A legkisebb felső korlát. Ebből pedig következik, hogy: N : A; ε > 0 : 0 N : A ε < 0 A. DE: ( mooto övekvő, miből következik, hogy 0 ( N : A ε < 0 A < A + ε lim( = A [ másik hsoló igzolhtó]. 2. Tegyük fel, hogy ( felülről NEM korlátos. Ekkor P R : 0 N : 0 > P. DE: ( mooto övekvő, miből következik, hogy 0 ( N : 0 > P = lim( = + [lim( = hsoló igzolhtó] Nevezetes soroztok:. Az e szám bevezetése: 4.3. tétel. Az := ( + ( =, 2,... sorozt mooto övekedő és felülről korlátos, miből következik, ( hogy z ( sorozt koverges. Ekkor z e := lim + számot Euler-álldók evezzük ( Megjegyzések: Az e szám mtemtik egyik legfotosbb álldój; Igzolhtó, hogy: e irrcioális; e trszcedes. Vessük össze π-vel! Bizoyítás. Mooto övekvő: TRÜKK!, +,... + (számti-mérti közti egyelőtleséggel igzolhtó. Ekkor = ( ( ( + ( (+ < + ( = + = + + = +. F első korlát = 4. TRÜKK! 2, 4 = 2 2 ( +... ( + Következméy: 2 ( + = 2 e 4. Megjegyzés: e 2, < ( 2, +,... + (számti-mérti közép közti egyelőtleséggel. Ekkor +2 =... =, miből következik, hogy < 4 ( =, 2, ( k!, h gy. Kérdés: melyik gyobb?, vgy,00000? Válsz: z előbbi tétel. Nevezetes soroztok htárértékeiek ( kpcsolt: ( H >, k =, 2,..., kkor lim + = 0; (b H q <, k =, 2,..., kkor lim + ( k q = 0; (c R : (d ( lim! + = 0. ( lim +! = 0;

27 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 26 Megjegyzések: (-ból következik, hogy ε > 0 : 0 : 0 : 0 < k < ε. ε kicsi, miből következik, hogy k, h gy; (, (c, (d: > eseté }{{} k P oliomiális }{{} Expoeciális övekedésű!, h gy defiíció. H lim( = lim(b = +, kkor zt modjuk, hogy (b gyorsbb (vgy erősebbe trt ( + -hez, mit (, h lim + b = 0. Jelölés: b, h gy tétel. (Segédtétel z előző tétel bizoyításához: Tegyük fel, hogy (x oly sorozt, hogy: N : x > 0; ( x+ x sorozt koverges; ( lim x+ + x = A <. Ekkor lim (x = 0. + Bizoyítás. 4-es, 5-ösért (lásd: AF 79. Bizoyítás. (z előző tétel bizoyítás: ( (+ k ( + = + k k < ( + (+ segédtétel; }{{} (b z (-ból következik: k q = ( q ; (c (d + (+!! = + 0 < ( + ; (+! (+ +! = ( + = (+ e < Megjegyzés: e 2, 78 > 2 > Rekurzív sorozt htárértéke: Megjegyzés: például x 0 =, x + = 2x + 5 ( N. V-e htárértéke soroztk? Nem midig! Egy sokszor lklmzhtó módszer, h igzoljuk, hogy h (x mooto és korlátos, kkor (x koverges. Ekkor lim(x egyértelműe meghtározhtó tétel. Gyökvoás:. Legye m 2 természetes szám. Ekkor A > 0 :!α > 0 : α m = A (α: z A m-edik gyöke; α = m A =: A m ; { x0 > 0 tetszőleges 2. Az ( x + := m + (m x A x m ( = 0,,... rekurzív sorozt koverges, és lim(x = α. Bizoyítás. A bizoyítás több lépésbe törtéik:. lépés: (x jól defiiált, ugyis x > 0 ( N; 2. lépés: egyértelműség, ugyis 0 < α < α 2 = α m < α m 2 ; 3. lépés: (x korlátos, és em övekvő, miből következik, hogy (x koverges. Korlátosság: 0 egy lsó korlát, ( A m de következő feltétel teljesülése is szükséges: x m x + = m +x +...+x m A x x m... x = A = x m + A > 0 ( N. Mootoitás: igzoljuk, hogy x + x x+ x ( = 2, 3,...:

28 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 27 x + x = m ( A x m + m = m ( A x m x m + m = ( A x m 0 m x + = x + m x ( = 2, 3,..., miből következik, hogy (x mooto csökkeő, tehát (x koverges (jelölése: α := lim(x. Mivel x > 0 ( N, ezért α 0, de α = 0 em lehet, így α > 0; 4. lépés: igzoljuk, ( hogy α m = A: x + = A m + (m x x m tehát α m = A. ( +. Ekkor α = m ( A α m + (m α, vgyis mα m = A+(m α m, Megjegyzés: Miért fotos tétel? Legye m = 2, A = 2, α = 2 (mi tudjuk, hogy irrcioális. Ekkor (x 0 > 0 tetszőleges rcioális szám x + = 2 (rcioális számok hlmz; = 0,,...; x 2, tehát irrcioális számok közelíthetőek rcioális számokkl! ( 2 x + x Q 4.9. A műveletek és htárérték kpcsolt:. +, b + = ( + b + ; 2., b + = ( b +. Ezek lpjá érdemes értelmezi R = R { +, }-o műveleteket, például: ( + + ( + := +, ( + := +, de vigyázi kell! Például ( + + ( -t em célszerű defiiáli, ugyis: } + b = ( + b eseté htárérték szempotjából bármi előfordulht! Egyszerű példák: AF defiíció. Műveletek R hlmzo:. Az R-beli műveletek megmrdk; 2. Összedás: x R eseté: ( x + ( + := ( + + x := + ; (b x + ( := ( + x := ; (c ( + + ( + := + ; (d ( + ( := ; 3. Szorzás: ( H x > 0: i. x ( + := ( + x := + ; ii. x ( := ( x := ; (b H x < 0: i. x ( + := ( + x := ; ii. x ( := ( x := + ; (c ( + ( :=, ( + ( + := +, ( ( := + ; x 4. Osztás: x R : + := x := 0. Nem értelmezzük: ( + + (, 0 ( ±, ± ±, 0 0.

29 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK tétel. A htárérték és műveletek kpcsolt: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. H A + B értelmezve v, kkor lim( + b és lim( + b = A + B; 2. H A B értelmezve v, kkor lim( b és lim( b = A B; ( ( 3. H 0 / R (b és A B értelmezve v, kkor lim b és lim b = A B. Megjegyzések: Kritikus htárértékek (ekkor tétel em hszálhtó: ( + + (, 0 ( ±, A kovergeciához képest sok új esetet trtlmz feti tétel: Összegél: A R A = + A = B R A + B koverges + B = B = - Szorztál: A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 + B = 0 A B koverges - B < 0 + B = ± ±, 0 0, 0 ; B = + + Osztásál: hsoló. Bizoyítás. Például:. Összegre: A = +, B R : +, b B R. Ekkor b B R = (b lulról korlátos, miből z következik, hogy M R : N : M b. + = P R : 0 N : 0 : > P M, miből következik, hogy 0 : + b > P M + M = P = lim( + b = + ; 2. Szorztr: A = +, B > 0, B R, +, b B > 0, miből z következik, hogy b B > 0, ebből pedig következik, hogy ε = B 2 > 0 : N : : b > B 2 > 0. Ekkor +, miből következik, hogy P R : 2 N : 2 : > P Ebből z következik, hogy 0 = mx {, 2 } = b > 3. ( ( b = ( b. Itt elég megmutti, hogy b ± = b N : 0 : b > ε > 0 = 0 : 0 < < ε = lim b P B/2 B/2 = P, miből következik, hogy lim(b =+ ; B/2. 0. Tegyük fel, hogy b + = ε > 0 : 0 + ( b = Elméleti szempotból fotos eredméyek: 4.8. tétel. Bolzo-Weierstrss-féle kiválsztási tétel: Mide korlátos soroztk létezik koverges részsorozt. Bizoyítás. A bizoyításhoz először ki kell moduk egy segédtételt: 4.9. tétel. (segédtétel: Mide soroztk létezik mooto részsorozt. Bizoyítás. A segédtétel bizoyításához defiiáljuk egy tetszőleges sorozt csúcsát: 4.0. defiíció. Az 0 z ( sorozt csúcs, h 0 : 0. Két eset lehetséges:

30 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 29. ( -ek végtele sok csúcs v. Ebből z következik, hogy 0 N : 0 csúcs = 0 : 0. Ekkor 0 : is csúcs, miből következik, hogy : 0. Ekkor 2 : 2 is csúcs: 2 : 2 0, és így tovább. Ebből pedig következik, hogy csúcsokk v egy 0,, 2, ( k mooto csökkeő részsorozt; 2. ( -ek véges sok csúcs v. Ekkor N N : N : em csúcs. Ekkor: ( H em csúcs, kkor > : > ; (b H em csúcs, kkor 2 > : 2 > ; (c H 2 em csúcs, kkor 3 > 2 : 3 > 2 ; és így tovább. Ebből pedig z következik, hogy < 2 < 3 <... = ( k mooto övekvő részsorozt. Most rátérhetük Bolzo-Weierstrss-tétel bizoyításár: h ( korlátos, kkor ( k mooto részsorozt. A mootoitásból és korlátosságból pedig z következik, hogy sorozt koverges tétel. Tegyük fel, hogy ( felülről [lulról] em korlátos. Ekkor ( k : lim ( k = + [lim ( k = ]. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy ( felülről em korlátos. Ekkor K R : 0 N : 0 > K, vgyis: K 0 = 0 eseté 0 N : 0 > 0; K := mx {, 0 } eseté N ( > 0 : > K ; K 2 := mx {2, 0, } eseté 2 N ( 2 > : 2 > K 2 2; K j := mx { j, 0,,..., j } eseté j N ( j > j : j > K j j. Ebből pedig z következik, hogy ( j részsorozt, melyre j j ( j N, emitt pedig lim ( j = +. j + [ ( lim j = igzolás hsoló. ] Cuchy-kritérium: 4.. defiíció. Cuchy-sorozt: Az ( Cuchy-sorozt, h ε > 0 : 0 N :, m 0 (, m N : m < ε. Megjegyzés: pogyolá foglmzv, gy idexű tgok közel vk egymáshoz. Példák:. ( Cuchy-sorozt, ugyis: m = m m = m m < ε; 2. ((, ( em Cuchy-soroztok. A formális bizoyítás meggodoldó! 4.2. tétel. Cuchy-féle kovergeci kritérium: Az ( sorozt potos kkor koverges (véges htárértékű, h z ( Cuchy-sorozt. Megjegyzések: Ez z Alízis egyik legfotosbb tétele; Jeletősége, hogy kovergeciár oly szükséges és elégséges feltételt d, melybe cskis sorozt tgji szerepelek, htárérték em;

31 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 30 A tétel ± htárértékre em igz. Bizoyítás. = : tegyük fel, hogy ( koverges és lim( = A R. Ekkor m = ( A + (A m A + m A < ε 2 + ε 2 = ε (h, m 0. Tehát z ( Cuchy-sorozt. =: tegyük fel, hogy ( Cuchysorozt. Ekkor bizoyítás több lépésbe törtéik:. Az ( korlátos: mivel ( Cuchy-sorozt, ezért ε = -hez 0 N :, m 0 (, m N : m <, ebből pedig z következik, hogy 0 ( N : = ( = K := mx { + 0, 0,,..., 0 } ( N; 2. A Bolzo-Weierstrss tételből következik, hogy ( k koverges részsorozt, vgyis lim ( k = A R; 3. Igzoljuk, hogy A z egész sorozt htárértéke is! Ekkor A = ( k + ( k A k + k A. lim ( k = A, vgyis ε > 0 : N : ( N : k A < ε 2. ( Cuchy-sorozt: ε > 0 : N :, k (, k N : k < ε 2, tehát ε-hoz 0 := mx {, } : 0 ( N : A < ε 2 + ε 2 = ε, ebből pedig z következik, hogy lim( = A Végtele sorok (speciális képzésű soroztok: Problém: hogy értelmezzük végtele sok szám összegét ? Egy természetes lehetőség: s = ; s 2 = + 2 ; s 3 = , és így tovább. H (s sorozt koverges, kkor értelmezzük z összeget, és értelmezzük. = lim(s, h (s diverges, kkor pedig em 4.2. defiíció. Az ( soroztból képzett végtele soro z s = ; s 2 = + 2 ; s = soroztot értjük, és ezt így jelöljük: vgy = s : sor -edik részletösszege defiíció. A sor koverges, h z (s részletösszeg-sorozt koverges (véges htárértéke. Ekkor lim(s -t összegéek evezzük, és ezt így jelöljük: := lim(s. A sor diverges, h (s diverges. Megjegyzés jelölésekhez: + egy soroztot jelöl, egy vlós szám. = = Példák evezetes sorokr: =

32 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 3. Geometrii (vgy mérti sor: Legye q R : (q. A q sor potos kkor koverges, h q <, és ekkor q = + q + q q = q. Bizoyítás. s = + q + q q = { q q q q =, ugyis b = ( b( + 2 b b, hol =, b = q. Ekkor lim(s = q (ugyis q 0, h q <. H q =, lim(s = +, kkor (s em koverges. 2. Teleszkopikus sor: A + (+ sor koverges, és (+ =. = = Bizoyítás. s = (+. Ötlet: k(k+ = k k+. Ekkor s = ( ( ( ( = + = lim(s = = + (+. 3. A 2 sor koverges, és = 2 2. Bizoyítás. s = ebből pedig z következik, hogy (s felülről korlátos (s mooto övekvő = = ( = + = 2 < 2 ( N, } + = (s koverges, és lim(s = 2. 2 = + Megjegyzés: igzolhtó, hogy 2 = = π A hrmoikus sor diverges. Bizoyítás. Igzoljuk, hogy (s felülről em korlátos, zz s +! Ötlet: s = ( 3 + ( k 2 k +2 k diverges ( 2 k k k +2 k Ekkor 2 k k k +2 k = 2, miből következik, hogy mide csoportb z összeg leglább 2, így s +, zz tétel. Szükséges és elégséges feltétel kovergeciár (Cuchy-féle kritérium sorokr: A sor potos kkor koverges, h ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : m < ε. Bizoyítás. A sor potos kkor koverges, h (s koverges, mi kkor és csk kkor teljesül ( Cuchyféle kritérium szerit, soroztr lklmzv, h ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : s m s = ( m ( = m < ε tétel. Szükséges feltétel kovergeciár: H koverges, kkor lim( = 0. Ez feltétel em elégséges, ugyis lim( = 0 koverges ( pl. :. Bizoyítás. H koverges, kkor ε > 0 : 0 N : > 0 : m < ε. Legye m = +. Ekkor + < ε = lim( = defiíció. A sor bszolút koverges, h koverges tétel. H bszolút koverges, kkor koverges. Megjegyzés: fordítv ez em igz, zz z bszolút kovergeci kovergeciáál erősebb foglom!

33 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 32 Bizoyítás. Tegyük fel, hogy bszolút koverges. Ekkor koverges, miből Cuchy-féle kritérium lpjá következik, hogy ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : m < ε, ebből pedig z következik, hogy m m < ε, miből következik, hogy koverges Pozitív tgú sorok: 4.5. defiíció. A pozitív tgú sor, h 0 ( N tétel. A pozitív tgú sor potos kkor koverges, h z (s részletösszeg-sorozt korlátos (ugyis z (s mooto övekvő tétel. Összehsolító kritérium: Tegyük fel, hogy (, (b oly soroztok, melyekre N N : N ( N : 0 b (*. Ekkor:. H b koverges, kkor is koverges (Mjorás kritérium; 2. H diverges, kkor b is diverges (Miorás kritérium. Bizoyítás. Legye (s : részletösszeg-sorozt, (s b : b részletösszeg-sorozt. Ekkor:. H b koverges, kkor (s b is korlátos ((s b mooto övekvő, így (* mitt (s korlátos és mooto övekvő, miből z következik, hogy (s koverges, így is koverges; 2. H diverges, kkor (s felülről em korlátos, miből pedig z következik (* mitt, hogy (s b felülről em korlátos, így b diverges tétel. Cuchy-féle gyökkritérium: Tegyük fel, hogy sorr lim =: A. Ekkor: + H 0 A <, kkor sor bszolút koverges, tehát koverges is; H A >, kkor diverges; H A =, kkor lehet koverges is, diverges is. ( Bizoyítás. Tegyük fel, hogy 0 A <. Ekkor q : A < q < : lim = A = q hoz 0 N : 0 : q, miből z következik, hogy 0 : q (0 < q <, így q koverges, miből Mjorás kritérium lpjá következik, hogy koverges, zz bszolút koverges, miből következik, hogy koverges is. Tegyük fel, hogy A > : lim = A. Ekkor A > q > hez 0 N : 0 : q = q, így q > mitt lim( 0 = diverges. Tegyük fel, hogy A =. Ekkor: ( diverges; lim 2 ( = lim = ( ( koverges; lim = lim 2 ( = tétel. D Alembert-féle háydoskritérium: Tegyük fel, hogy sorr:

34 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 33 0 ( N; lim =: A R. Ekkor: ( + H 0 A <, kkor sor bszolút koverges, tehát koverges is; H A >, kkor sor diverges; H A =, kkor sor lehet koverges is, diverges is. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy 0 A <. Ekkor lim ( + = A = q : 0 N : Legye 0. Ekkor + q q 2... q = 0 q 0 + q < ( 0. q. Mivel ( mjorás kritérium }{{} c lpjá 0 q <, ezért c q koverges, tehát is koverges, zz bszolút koverges. Tegyük fel, hogy A >. Ekkor lim ( + = A = q : 0 N : + q ( 0. Legye 0. Ekkor + q q 2... q Mivel q >, ezért lim ( + = +, zz lim( 0, ebből pedig következik (szükséges feltétel, hogy diverges. Tegyük fel, hogy A =. Ekkor: ( diverges, és lim 2 + ( = lim ( ( koverges, és lim + 2 ( 2 + =. = ; Leibiz-típusú sorok: 4.6. defiíció. Leibiz-típusú sor: Tegyük fel, hogy 0 + ( N. Ekkor z = =( + sort Leibiz-típusú sork evezzük tétel. Leibiz-tétel:. Kovergeci: ( + Leibiz-típusú sor potos kkor koverges, h lim( = 0; 2. Hibbecslés: tegyük fel, hogy ( + Leibiz-típusú sor koverges. Legye Ekkor A s = A ( k+ k. k= + = ( + =: A. Bizoyítás. = : A ( + potos kkor koverges (szükséges feltétel, h lim ( ( + = 0 = lim( = 0. = : Tegyük fel, hogy ( + Leibiz-típusú és lim( = 0. Legye s = ± ( N (4.4. ábr. Mivel ( mooto csökkeő, ezért (s 2+ részsorozt is mooto csökkeő, és s 2 s 2+ s ( N. Ebből pedig következik kovergeci, zz: lim(s 2+ =: B, továbbá (s 2 mooto övekvő, és s 2 s 2 s ( N, miből szité következik kovergeci, és lim(s 2 =: A.

35 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK ábr. Leibiz-sor = s 2 }{{} Mivel s 2+ }{{} B A ( + koverges }{{} 2 Hibbecslés : tegyük fel, hogy A = 0 ( N; +, ezért A = B, így (s koverges, miből z következik, hogy + = A s 2+ s 2+ s 2 = 2+, ezért A s ( N defiíció. Abszolút/Feltételese koverges sor:. A sor bszolút koverges, h sor koverges; 2. A sor feltételese koverges, h: ( A sor koverges; (b A sor diverges. ( +. Ekkor A s 2 s 2+ s 2 = Mivel Péld: A = ( + = sor feltételese koverges, ugyis: Koverges, mert Leibiz-típusú; ( + = diverges tétel. H sor bszolút koverges, kkor koverges. Megjegyzés: visszfele tétel már em feltétleül igz, például: ( +. Alklmzás: Például: koverges, ugyis: Leibiz-típusú; Abszolút koverges ( 2 koverges ; Sőt: tetszőleges előjelezése is koverges.

36 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK Tizedestörtek: 4.3. tétel. Legye ( : N R : {0,, 2,..., 9} ( N. Ekkor 0 sor koverges, és α := = [0, ], hol α =: 0, z α tizedestört lkj. Bizoyítás. Legye 0 9 ( N. Ekkor 0 0, így = =. Kérdés: Mide [0, ]-beli szám felírhtó-e ilye lkb? = 9 0 = 0 = ( geom. = tétel. x [0, : ( : N R : {0,,..., 9} ( N : = 0 = x. Bizoyítás. Legye x [0, :. Lépés: [0, -et 0 egyelő részre osztjuk. Ekkor {0,,..., 9}, és I = [ + 0 ; 2. Lépés: I -et osztjuk 0 egyelő részre. Ekkor 2 {0,,..., 9}, és I 2 = [ x , és így tovább; 2 0, + 0 ], x I : , x 0 2 ], x I2 :. Lépés: I -et 0 részre osztjuk. Ekkor {0,,..., 9}, és I = [ , ] + 0, x I : x , miből következik, hogy ( x ( P-dikus törtek: Megjegyzés: P = 2, 3, tétel. Tegyük fel, hogy ( : N R : {0,,..., P } ( N. Ekkor = P sor koverges és = P [0, ] tétel. x [0, : ( : N R : {0,,..., P } ( N : Megjegyzés: egyértelműségről áltláb ics szó. Például: ( = = 5 0 = 2. Megjegyzés - Elevezések: A 0, tizedestört: 0. Véges: 0 N : 0 : = 0; 2. Végtele (em véges: ( Szkszos: 0,... mb... b s...; (b Nem szkszos. Meggodoldó: = P = x. 2 = 0, 5; 2 = 0, , ugyis = tétel.. x [0, ] Q potos kkor teljesül, h tizedestört lkj véges, vgy végtele, szkszos; 2. x [0, ] Q potos kkor teljesül, h tizedestört lkj végtele, em szkszos.

37 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK Műveletek sorokkl: Megjegyzés: sorok véges összegek áltláosítás. Kérdés: Véges összegek tuljdosági (kommuttivitás, sszocitivitás megmrdke sorokr (végtele összegekre? Dllm : áltláb NEM, de bszolút koverges sorokr IGEN! 4.8. defiíció. Sorok átredezése (kommuttivitás: Legye (P : N N bijekció (z N egy átredezése. A sor (P áltl meghtározott átredezésé P ( sort értjük tétel. Riem-tétel: Tegyük fel, hogy sor feltételese koverges. Ekkor:. A R : (P átredezés : P ( = A; = 2. Létezik oly (P átredezés, hogy P ( diverges. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik bizoyítás. Péld: Emlékeztető: végtele sorok átredezése! tétel. H sor bszolút koverges, kkor (P : N N bijekció eseté P átredezett sor bszolút koverges, és z összeg sem változik: = P. = = Megjegyzés: véges összeg sszocitív (( ( ( (, zz tetszőlegese csoportosíthtó (vgy zárójelezhető: A zárójelek elhelyezhetők; elhgyhtók. Sorok zárójelezése (sszocitivitás: Megjegyzés: ( m + ( m m ; (m : N N szigorú mooto övekvő (idexsorozt. }{{}}{{} α α defiíció. ( : N N; (m : N N szigorú mooto övekvő (idexsorozt. A sor (m sorozt áltl meghtározott zárójelezésé m α sort értjük, hol: α := i ( N; m 0 = tétel. Zárójelek elhelyezése: i=m + H sor koverges, kkor mide lehetséges zárójelezése is koverges, és z összeg zárójelezéssel em változik. Bizoyítás. Tekitsük, α sorokt: sor α zárójelezett sor!! s = σ = α α = s m (σ : z (s egy részsorozt Ekkor lim(s = A = lim( = lim (s m = A. Megjegyzés: zárójelek áltláb em hgyhtók el. Például: ( + ( + ( +... koverges; diverges.

38 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK tétel. Zárójelek elhgyás: Legye ( : N R, és tegyük fel, hogy:. (m : N N szigorú mooto övekvő; 2. (m + m sorozt korlátos; 3. lim( = 0; 4. A sor α zárójelezése koverges. Ekkor α sorb zárójelek elhgyásávl kpott sor is koverges, és α =. = = Algebri műveletek sorokkl: Sorok összege, számszoros: tétel. Tegyük fel, hogy, b koverges. Ekkor:. A ( + b sor is koverges, és ( + b = + b ; = = = 2. λ R : λ sor koverges, és λ = λ. = = Bizoyítás..: A := A + B A + B. k A, B := k=0 b k B; ( + b : C := k=0 ( k + b k = k=0 k + b k = k=0 k=0 2.: Hsoló igzolhtó. Sorok szorzás: Emlékeztető: véges összegek szorzás: ( (b 0 + b b m = 0 b b b m (mide tgot mide tggl megszorzuk. Sorokr:, (4.2. táblázt; =0 =0b Két fotos speciális esetet külöböztetük meg:. Tégláy-szorzt; b 0 0 b 0 b 0 2 b 0 3 b 0... b 0 b b 2 b 3 b... b 2 0 b 2 b 2 2 b 2 3 b 2... b 3 0 b 3 b 3 2 b 3 3 b Ebből sokféleképpe képezhető végtele sor, miből z következik, hogy sokféleképpe értelmezhető sorok szorzt táblázt. Sorok szorzás

39 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK Cuchy-szorzt defiíció. Tégláy/Cuchy-szorzt: A és sorok: =0 =0b. Tégláy-szorzt: =0t sor, hol t := i b j, = 0,, 2,...; 2. Cuchy-szorzt: =0 mx{i,j}= c sor, hol c := i b j, = 0,, 2,.... i+j= 4.4. tétel. H és b sorok kovergesek, kkor t Tégláy-szorzt is koverges, és. b =0 =0 t = =0 Bizoyítás. N ( N ( N!! t = b b =0 =0 =0 =0 =0. Megjegyzés: feti állítás Cuchy-szorztr NEM igz, például: ( + zob diverges (lásd: AF 275! tétel. Cuchy-tétel: Tegyük fel, hogy és b sorok bszolút kovergesek. Ekkor:. A t Tégláy-szorzt is bszolút koverges; 2. A c Cuchy-szorzt is bszolút koverges; koverges (Leibiz sor, ömgávl vett Cuchy-szorzt 3. Az összes i b j (i, j = 0,, 2,... szorztból tetszés szeriti sorredbe és csoportosításb képzett d végtele sor is bszolút koverges, és d = t = c =. =0 =0 N Bizoyítás. 3.: A N := A (ugyis N bszolút koverges, B N := b B (ugyis b =0 + =0 + bszolút koverges. Tekitsük d sort: d = ( N I ( J i b j. Legye σ N := d!! b A B; I : mx i idex d 0, d,..., d N be, J : mx j idex d 0, d,..., d N be. Ekkor (σ N koverges, miből következik, hogy d bszolút koverges, így c, t is bszolút koverges, miből következik továbbá, hogy t = ( Tégláy-szorztr votkozó tétel lpjá, DE bszolút koverges is, így =0 =0 =0 b tetszőlegese átredezhető, csoportosíthtó z összeg megváltozttás élkül, emitt pedig t = c = d. =0 =0 =0 Megjegyzés: tétel feltételei gyegíthetők Cuchy-szorzt eseté. =0 =0 =0 =0 b =0 =0 =0 =0 b =

40 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK tétel. Mertes tétele: Tegyük fel, hogy bszolút koverges, és b koverges. c =. b =0 =0 =0 Ekkor c Cuchy-szorzt koverges, és Htváysorok: (Poliomok áltláosítás végtele sor tgr Adott egy A R hlmz és N : f : A R függvéy. Ekkor (f függvéysorozt, és =0f : f k ; = k=0 0,, 2,... függvéysor: ( { } Kovergecihlmz: KH f := x A f (x számsor koverges ; =0 =0 Összegfüggvéy: ( f : KH f x f (x. =0 =0 = defiíció. Az dott (α : N R és R számml képzett =0α (x = α 0 + α (x + α 2 (x (x R függvéysort középpotú htváysork evezzük. Megjegyzések: Htváysor részletösszegei poliomok ( jól kezelhetők, például: f (x := x (x R, = 0,, 2,...; =0x = +x+x (x R geometrii sor: ( KH x = (, ; =0 + Összegfüggvéy: x = x =0 (x (, ; Tetszőleges htváysor kovergecihlmz midig egy itervllum! tétel. Áltláos Cuchy-Hdmrd-tétel: Tetszőleges α (x (x R htváysor eseté következő 3 eset egyike lehetséges:. 0 < R < + : htváysor bszolút koverges: x : x < R, diverges: x : x > R; 2. A htváysor csk z x = -b koverges (ekkor R := 0; 3. A htváysor ( x R koverges (R = + ; R: htváysor kovergecisugr. Rövide: R : ( R, + R KH α (x [ R, + R] (megjegyzés: végpotokb bármi lehet. =0 Bizoyítás. Feltehető, hogy = 0, zz (* α x = α 0 + α x + α 2 x (x R tétel. Segédtétel: Tegyük fel, hogy α x htváysor bszolút koverges x 0 = 0-b. Ekkor x : x < x 0 potb htváysor szité bszolút koverges.

41 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 40 Bizoyítás. Tegyük fel, hogy α x 0 koverges. Ebből z következik, hogy lim ( α x 0 = 0 (szükséges feltétel, miből következik továbbá, hogy (α x 0 korlátos. Ekkor M > 0 : α x 0 M ( N. Legye x < x 0. Ekkor α x = α 0 x 0 x x 0 M x x 0 ( N. DE: x x 0 < és M x x 0 (geometrii sor koverges, miből z következik ( mjorás kritérium lpjá, hogy α x koverges, így α x bszolút koverges. A tétel bizoyítás: Tekitsük α x sort. Ez z x = 0-b koverges, miből következik, hogy 0 KH ( α x = sup KH ( α x = R R és R 0. A következő esetek lehetek:. 0 < R < + (ekkor tételbeli -es: legye x < R = x 0 KH (... : x < x 0 < R ( szuprémum defiíciój lpjá. A htváysor x 0 -b koverges, így ( segédtétel lpjá x -be is koverges, α x pedig bszolút koverges. Legye x > R = x 0 : R < x 0 < x = α x 0 diverges, így ( segédtétel lpjá (α x is diverges, miből z következik, hogy α x is diverges; 2. Tegyük fel, hogy R = 0. Igzoljuk, hogy x R \ {0} eseté d x diverges! Ekkor, h x 0-r α x bszolút koverges, kkor x 0 < x -re is koverges. Ez x 0 0-r em teljesül; 3. Tegyük fel, hogy R = +. Igzoljuk, hogy x R eseté α x bszolút koverges! Legye x R tetszőleges, és x 0 : x < x 0. Mivel R = +, ezért α x 0 bszolút koverges, így ( segédtétel lpjá x-be is z. Megjegyzés: z R kovergecisugár bizoyos esetekbe kiszámolhtó tétel. Cuchy-Hdmrd I. Tegyük fel, hogy ( α (x htváysorb lim α = A R. Ekkor R := A 0 < A < + 0 A = + + A = 0 htváysor kovergecisugr, zz: x : x < R eseté htváysor bszolút koverges, x : x > R eseté htváysor diverges. Bizoyítás. α (x számsorr gyökkritérium: α (x = α x A x < > = tétel. Cuchy-Hdmrd II. Tegyük fel, hogy dott ( α (x α htváysor, α 0 ( N, és lim + α =: A R (A 0. Ekkor A 0 < A < + R := 0 A = + htváysor kovergecisugr. + A = 0 Bizoyítás. A háydoskritérium lpjá. Példák:. KH ( x = (, (±-be diverges; 2. KH ( x 2 = [, ] (±-be koverges, ugyis: R = eseté teljesül gyök/háyídoskritérium; x = +-be 2 koverges;

42 4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 4 x = -be ( 2 bszolút koverges; 3. KH ( x R = ; = [, : x = -be diverges; x = -be ( ( 4. KH ( x = (, ]; 5. KH ( x = {0}; 6. KH ( x = R. koverges; Alitikus függvéyek: (Poliomok áltláosítási defiíció. Alitikus függvéy: Tegyük fel, hogy α (x htváysor R kovergecisugr pozitív (R > 0. Ekkor z f(x := α (x (x k R ( összegfüggvéyt lítikus függvéyek evezzük. =0 Műveletek htváysorokkl: Két (ugyoly középpotú htváysor összege is htváysor; Két htváysor Tégláy-szorzt em htváysor! Két htváysor Cuchy-szorzt viszot htváysor (ezért (is fotos Cuchy-szorzt tétel. Htváysorok műveleteire votkozó tételek: Tegyük fel, hogy α (x és β (x htváysorok kovergecisugrir R α > 0, R β Tekitsük z összegfüggvéyeket: > 0 teljesül. f(x := α (x (x k Rα (; =0 g(x := β (x (x k Rβ (. =0 Ekkor:. f(x + g(x = (α + β (x, x k R (; R = mi {R α, R β }; =0 2. f(x g(x = γ (x, x k R (; γ = α i β i =0 (zz két htváysor Cuchy-szorzták z összege egyelő z összegek szorztávl. i=0

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó! Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Kedves Olvsó! A Sorok elmélete és umerikus módszerek mérökhllgtókk című köyv elsősorb Szbdki Műszki Szkőiskol hllgtóik készült, hrmdik élévbe okttott Numerikus

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei Rezgések és hullámok; hgt Rezgést Hullámt Hgt Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámt és optik jálott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tköyvkidó, 99) Deméy-Erostyák-Szbó-Trócsáyi: Fizik I, III.

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

ANALÍZIS II. Bártfai Pál

ANALÍZIS II. Bártfai Pál ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKAI ANALÍZIS. a es tanévi záróvizsgára. Matematika szak

MATEMATIKAI ANALÍZIS. a es tanévi záróvizsgára. Matematika szak 1 MATEMATIKAI ANALÍZIS 2013-2014-es tnévi záróvizsgár Mtemtik szk 1. fejezet Vlós számsoroztok A vlós számsorozt foglmát következ képpen értelmezzük. 1. Értelmezés. Legyen X tetsz leges nem üres hlmz.

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben