Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!"

Átírás

1 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Kedves Olvsó! A Sorok elmélete és umerikus módszerek mérökhllgtókk című köyv elsősorb Szbdki Műszki Szkőiskol hllgtóik készült, hrmdik élévbe okttott Numerikus mtemtik tárgy okttói és hllgtói segédletekét. Ebből dódik köyv szerkezete is. Az első rész soroztokkl kpcsoltos lpoglmkt ismétli át, rámuttv rr, hogy olyttásb bevezetésre kerülő számsorok tuljdosági soroztok tuljdoságir vezethetők vissz. Az első rész további ejezetei üggvéysorokról szólk. Először üggvéysorok áltláos tuljdoságiról lesz szó, mjd htváysorok és Furiér sorok tuljdoságit tglljuk. A második részbe oly közelítő számítási módszerek leírási szerepelek, melyekkel hllgtók más tárgyk temtikáják kpcsá tlálkozhtk. A közelítő számítások és zok hibái, mjd trszcedes egyeletek közelítő megoldás, z iterpoláció, közelítő itegrálás és diereciálegyeletek közelítő megoldás kerül leírásr. Az lpvető elméleti leírásokt, (és időkét gyo egyszerű bizoyításokt) mide ejezetbe egyszerű példák követik. A Budpesti Műszki Főiskol (BMF) és Szbdki Műszki Szkőiskol sokéves együttműködéséek köszöhetőe szerzőek lklm yílt BMF lbortóriumib MATLAB mtemtiki progrmcsomgot lklmzi, így köyvbe tlálhtó ábrák émelyike, vlmit számítások egy része progrmcsomg segítségével készült el. A köyv z Apáczy Közlpítváy áltl Szbdki Műszki Szkőiskolák yújtott, Szbdki P Rom közreműködésével megvlósított 76-7 számú támogtásák köszöhetőe jelehetett meg. A szerző Szbdk, 8.

2 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek

3 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Számsorok. Függvéysorok...5. Ismétlés (soroztok) Ismétlés. A vlós számok R hlmz Számsoroztok. Ismétlés...6. Számsor..... Sormrdék..... Koverges sorok tuljdosági..... A sor kovergeciáják szükséges eltétele A sorok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele ( Cuchy kritérium lpjá) Sorok korlátosság Pozitív tgú sorok kovergeciáj Pozitív tgú számsorok kovergeci-kritériumi ( kovergeci elégséges eltételei) Változó előjelű sorok...5. A üggvéysor Függvéysorok egyeletes kovergeciáj Htváysorok....4 Tylor sor Fourier sor Ortogoális üggvéyek és üggvéy sorok A Fourier sor trigoometrikus lkj Fourier sorok tuljdosági Példák: Fourier sorok...5 Közelítő számítások...5. Hibszámítás...5. Iterpoláció Algebri és trszcedes egyeletek megoldás Ruge Kutt módszer A Ruge Kutt módszer eltételredszere...76 Irodlomjegyzék...8

4 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4

5 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Számsorok. Függvéysorok. Ismétlés (soroztok).. Ismétlés. A vlós számok R hlmz Legye, b R, és < b. Az R hlmz ( b) { < < b, R} evezzük., részhlmzát yitott itervllumk Az R hlmz [ b] { b, R} evezzük. Az R hlmz ( b] { < b, R} itervllum., részhlmzát zárt itervllumk, részhlmz blról yitott, jobbról zárt Megdhtuk további részhlmzokt is, például következőképpe: (, ) { <, R}, [ ) {, R},, stb. A pot köryezete vlós számhlmzb Az vlós szám > ε (epszilo) köryezete z ( ε ε ), itervllum. Mide vlós számk számtl ε köryezete létezik, z dott ε > vlós számtól üggőe. Az vlós szám ε köryezete trtlmzz z vlós számot. Az (, b) vlós számk létezik ( b ) (, b), köryezete. H b, (, b R), kkor létezek oly I ( ε, ε ) és I ( b δ, b δ ) itervllumok, melyekre I I. / A vlós szám bszolút értéke h h h > < 5

6 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A szám bszolút értékére votkozó szbályok ( R) h < h > < b b > b < < b Az b kiejezés számértéke egyelő z és b számok illetve számegyeese hozzájuk trtozó potok távolságák mérőszámávl. A következő szbályok érvéyesek: ) b b b) b b c) b b d) b b.. Számsoroztok. Ismétlés H természetes számok hlmzához ( N ) hozzáredeljük redre z {,,...,,...} számhlmz elemeit, számsoroztot kpuk, melyet { } jelölük. Véges sok elemből álló,..., módo, számsoroztot végesek, végtele sok elemből álló,,...,,... soroztot végtele soroztk evezzük. A sorozt áltláos tgj. Az { } soroztot következőképpe dhtjuk meg:, - áltláos tgjávl, például: ( ) - egymást követő elemeiek megdásávl, például:,,,... - rekurzív ormulávl:,,. Két sorozt kkor egyelő, h megelelő elemik egyelők. 6

7 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek sorozt elemeire igz, hogy >, ( N idere) kkor sorozt szigorú mooto övekvő, h kkor mooto övekvő. H H z { } <, ( N idere) kkor sorozt szigorú mooto csökkeő, h kkor mooto csökkeő. A T pot sorozt torlódási potj, h T pot köryezetébe sorozt végtele sok eleme helyezkedik el. A számsoroztok kovergeciáj Az { } soroztk létezik htárértéke, és htárértéke h ( ε > )( N )( > ) ε. Midezt lim vgy módo jelöljük. ε ε < A deiícióból következik, hogy z htárérték ε köryezeté kívül soroztk csk véges sok eleme helyezkedik el. H z { } soroztk létezik lim, < htárértéke, kkor koverges soroztk evezzük, egyébkét sorozt diverges. H lim ±, kkor zt modjuk, hogy sorozt htározott diverges, mit például z { } {,4,9,6,... } sorozt, hisze lim. A ( ) { } \ {,,,... } sorozt diverges, de em htározott diverges, hisze htárértéke em ±. H sorozt koverges, kkor htárértéke egyértelmű. A koverges soroztk egyetle torlódási potj v, és z em más, mit sorozt htárértéke. A htárérték tehát egybe torlódási pot is, ugykkor em mide torlódási pot lehet htárérték. Például {,,,... } soroztk két torlódási potj v, z és -, és diverges, hisze midkét torlódási potr A deiíciót így olvssuk: bármely pozitív ε számhoz létezik oly ε -tól üggő ε küszöbide, melytől sorozt mide tgj z htárérték ε köryezetlbe v. 7

8 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek igz, hogy köryezeté kívül soroztk további végtele sok eleme v, és sorozt kovergeciáják eltételei em teljesülek. H soroztból elhgyjuk k véges vgy végtele sok elemét, emrdt végtele sok elemből álló soroztot részsoroztk evezzük. Péld. Az ( ) soroztot szétválszthtjuk és részsoroztokr. A számsoroztok korlátosság A k számot z { } sorozt lsó korlátják evezzük, h ( N )( k). A K számot z { } sorozt első korlátják evezzük, h ( N )( K ). H létezik z dott tuljdoságú k illetve K szám, kkor zt modjuk, hogy sorozt lulról, illetve elülről korlátos. H sorozt lulról és elülről is korlátos, kkor korlátos. Mide koverges sorozt korlátos, de ez ordítv em igz: zz korlátosság ömgáb em elegedő eltétele kovergeciák. Igzk viszot következő állítások: - mide elülről korlátos, mooto övekvő sorozt koverges, és - mide lulról korlátos, mooto csökkeő sorozt koverges. A soroztok kovergeciáják megállpításkor gykr hivtkozuk rr, hogy h soroztot lulról egy htározott diverges sorozt korlátozz, kkor mg is diverges lesz. Fotos tehát kimodi következőket: - h ( K R)( N )( > ) K K K > diverges, zz ; - h ( k R)( N )( > ) k k k < diverges, zz., kkor sorozt htározott, kkor sorozt htározott 8

9 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Az ismert htárértékű soroztok kovergeciáj lpjá további soroztok kovergeciájár vgy divergeciájár következtethetük: - h > ; - h k R k ; - h < ; - h c > c. Soroztok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele (Cuchy kritérium) Az { } sorozt kkor és csk kkor koverges h eáll, hogy bármely ε > számr létezik oly ε küszöbide, melytől kezdődőe bármely p N (természetes) számr igz, hogy p < ε, zz: ( ε > )( )( > )( p N ), ε. ε ε p < Az kkor és csk kkor zt jeleti, hogy - h sorozt koverges, kkor igz eltétel (zz eltétel szükséges eltétele kovergeciák), és zt is hogy - h eltétel igz, kkor sorozt koverges (zz eltétel elégséges eltétele kovergeciák). A Cuchy kritérium gykorltb zt jeleti, hogy htárérték bármely köryezetébe bármely két soroztelem közötti távolság egy küszöbidetől kezdődőe ε -tól kisebb, zz z elemek távolság egyre kisebb. Cuchy, Augusti Louis ( ). Frci mtemtikus, ki gyszámú jeletős gykorlti problém mtemtiki modelljét dt meg. 9

10 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. Számsor Legye dott z { } számsorozt. Az számkiejezést végtele számsork evezzük. Áltláos tgj (összeddój). Az... k véges sok elem (tg) összege, tehát véges sor. A k sorösszeg is véges szám. A végtele sok összeddóból álló sor összege em midig véges szám. Az S sorösszeg meghtározásához bevezetjük részösszeg oglmát. Az sor első összeddójából álló S i i véges sort z sor részösszegéek evezzük. A részösszegek soroztot lkotk, z { S } soroztot. Felírhtjuk tehát, hogy: S S S S... Beláthtó, hogy végetle sor em más, mit z S részösszeg, zz hogy teljes sorösszeg S S lim S em más mit részösszegek sorozták Figyeljük sor és sorozt oglmák külöbségére!

11 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek htárértéke. Az { } S sorozt kovergeciáj tehát egyeértékű z sorösszeg létezésével (modhtjuk zt is, hogy z sor kovergeciájávl). Az sor koverges, h z összeg véges szám, zz h részösszegek sorozt koverges, tehát h lim S S létezik és em ±. H sor em koverges, kkor divergesek evezzük. \ Péld. Az ( ) S i S S S h h sor diverges, mert k ( pártl) k( páros) Az { S } soroztk tehát két torlódási potj v, ezért em koverges. Péld. Az sor diverges, mert diverges részösszegeiek sorozt: S S 4 5 S Beláthtó, hogy lim S

12 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Péld. Az q q... q... lkú sort mérti sork evezzük. Áltláos tgj: S q q q... q A végtele sor összege: S q q q lim q... q... vgy... q q. A részösszegek sorozt: ( q q... q )... lim S q. q h q > (ez zt jeleti,hogy sor diverges), h q (ez zt jeleti,hogy sor diverges), h q < (ez zt jeleti,hogy sor koverges). Péld.... ( ) 4 ( )... S... 4 ( )... 4, hol A B ( ).... Ebből: ( ) lim S lim... Sormrdék Az sor mrdék: R S S.... A koverges sorok mrdékik sorozt ullához trt: R.

13 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A sorok mrdékár midig első becslést duk, zz zt djuk meg, hogy R < K, hol K sormrdék első korlátj... Koverges sorok tuljdosági A sorok kovergeciáják meghtározás részösszegek sorozták kovergeciáják meghtározásár vezethető vissz. H sor véges sok összeddóját elhgyjuk, kkor sor kovergeciáj em változik, zz h z eredeti sor koverges volt, kkor kpott sor is z, és h z eredeti sor diverges volt, kkor kpott sor is diverges mrd. H z kkor: S és b T sorok kovergesek, (és sorösszegük redre S és T), - z sor, melyek tgji két sor tgjik összegéből szármztthtó, ugycsk koverges, és sorösszege: ( b ) S T - z sor, melyek tgji koverges sor tgjik dott c számú ; többszörösei, ugycsk koverges, és sorösszege: c c S... A sor kovergeciáják szükséges eltétele A sor kovergeciáják szükséges eltétele, hogy áltláos tgj (zz összeddóik sorozt) ullához trtso, zz: S S < h. Az állítás bizoyítás gyo egyszerű. H sor koverges, zz S, kkor

14 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( S S ) S S lim lim (h sor koverges külöbség htárértéke egyelő kisebbítedő és kivodó htárértékéek külöbségével) lim S lim S S S Ezzel bizoyítást elvégeztük. Figyeljük meg: eltétel szükséges, de em elégséges, zz h sor koverges, kkor z áltláos tg ullához trt, de ez z állítás ordítv em midig igz. H ugyis z áltláos tg ullához trt, z em jeleti mide esetbe zt, hogy sor koverges! Péld. A eti állítást hrmoikus sor: példájá muttjuk mjd meg, mégpedig több kritérium lpjá...4 A sorok kovergeciáják szükséges és elégséges eltétele ( Cuchy kritérium lpjá) Az sor, mely részösszegeiek sorozt{ S } kkor és csk kkor koverges, h ( ε > )( )( > )( p N ),... ε ε ε p <. Az dott eltételből tehát következik sor kovergeciáj, kovergeciából pedig következik eltétel. A eltétel zt jeleti, hogy bármely megdott, ullához közeli ε pozitív számr tlálhtó oly ε küszöbide, melytől kezdődőe sor kárháy tgják összege ε -tól kisebb lesz. 4

15 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek A kritérium szoros kpcsoltb áll soroztok kovergeciájár votkozó szükséges és elégséges Cuchy kritériumml, hisze sor kovergeciáj részösszegek sorozták kovergeciájávl egyeértékű. Legye { } S z sor részösszegeiek sorozt. A soroztok kovergeciájár votkozó szükséges és elégséges Cuchy kritérium lpjá: ( ε > )( )( > )( p N ), S S ε ε ε p <, mi zt jeleti, hogy S p S... p < ε, eltételbe dott ε, ε és p értékekre. Péld. Az hrmoikus sor áltláos tgj ullához trt:, h. A sor mégsem koverges, mert Cuchy kritérium eltételei lpjá elírhtjuk: S p S p p. A sor tgji pozitívk, eltétel pedig mide p-re igz, igz tehát p esetébe is. A eti kiejezésbe ezt behelyettesítve: p vgyis tetszőleges számú tg összege em lesz tetszőlegese kis szám, hem lulról (leglább) z korlátozz. Cuchy kritérium eltételeiek tehát sor em tesz eleget, és tekitettel rr, hogy ez szükséges és elégséges eltétele kovergeciák, kovergeci sem áll e...5 Sorok korlátosság Az sor korlátos, h részösszegeiek sorozt, zz { } S korlátos. 5

16 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H z sor koverges, kkor korlátos. Megjegyzés. A eti állítás ordítottj em midig igz, zz korlátos sor em midig koverges. Példkét újr ( )... sort említhetjük, hisze, h k S, tehát h k S, tehát { } S korlátos, de lim S em létezik, tehát ( )... sor em koverges...6 Pozitív tgú sorok kovergeciáj H z sor tgji em egtívk (pozitívk vgy esetleg v közöttük értékűek), zz,( N ), kkor sorr zt modjuk, hogy pozitív tgú. Mide korább leírt, sorokr áltláb votkozó állítás pozitív tgú sorokr is igz, de eze elül további állításokt is bizoyíthtuk, h tudjuk, hogy sor tgjir igz, hogy. A pozitív tgú sorozt korlátos. sor kkor és csk kkor koverges, h részösszegeiek Az állítás bizoyítás egyszerű, hisze h sor tgji pozitívk, kkor részösszegek { S } sorozt mooto övekvő, és soroztokr votkozó megelelő tétel lpjá h korlátos is, kkor koverges. Rövide: ({ } S, zz mooto övekszik, h ) ( { } S korlátos, ( S < K < )) ( lim S S létezik, zz sor koverges). A sorok kovergeciáják kivizsgálásár gykorltisbb kritériumokt lklmzuk, melyekek bizoyítás z eddig elsorolt állításoko lpul. 6

17 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek..7 Pozitív tgú számsorok kovergeci-kritériumi ( kovergeci elégséges eltételei)..7. Mjorás és miorás kritérium Legyeek dottk z u u u... u... u és v v v... v... v pozitív tgú sorok, és legye részösszegeikek sorozt redre: S u u... u Iés T v v... v. Legye továbbá u i < v i, mide i,, idere. Mjorás kritérium: H v sor kovergál, kkor z u sor is kovergál. Ez zt jeleti, hogy h gyobb sor kovergál, kkor v első korlátj ( T T T K ), és K egybe kisebb sor első korlátj is, hisze < u < tehát S T ( K ), i v i <. A részösszegek sorozt mooto övekvő, mert sor < pozitív összeddókból áll, továbbá elülről korlátos, tehát midkét sor koverges. Miorás kritérium. H z u sor diverges, kkor v sor is diverges. Ez zt jeleti, hogy h kisebb sor divergál, kkor gyobb sor is divergál...7. Gyökkritérium Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: - létezik oly q melyre sor mide u tgják -dik gyöke z q küszöbideétől kezdődőe kisebb, mit q, (és ezáltl kisebb mit ), vgy 7

18 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - h lim u q < mit ), (zz z u sorozt legkisebb első korlátj kisebb kkor z u sor koverges. Az állítást következőképpe bizoyíthtjuk: Korábbi példából tudjuk, hogy z q mérti sor, melyek q szorzój kisebb mit, koverges ( vizsgált esetbe legye q >, hisze pozitív tgú sorokt vizsgáluk). Egyébkét mérti sor diverges. A gyökkritérium eltételei szerit: q u q q u u q u u q q q q u q q q q q... q q q u q ( q q...)... q q q q q q... Az egymást követő tgok összegét tehát egy mérti sorrl hsolítjuk össze. A mérti sor elülről htárolj z u sort, és kkor koverges, h q <, így mjorás kritérium lpjá h q <, kkor kisebb u sor is kovergál. Hsoló eljárássl megvizsgálhtjuk z u q kpcsoltból eredőe, hogy mi törtéik h q>. Az összehsolító mérti sor most lulról htárolj mjd z u sort, és lévé q>, mérti sor diverges. Eek következméyeképpe tőle gyobb u sor is diverges miorás kritérium lpjá. 8

19 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H q, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi. Foglljuk tehát össze gyökkritérium léyegét: < sor koverges lim u q olymodjuk más kritériumhoz. > sor divergál..7. D Alembert 4 háydos kritérium Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: - létezik oly q melyre sor mide u dik és u dik tgják háydos z q küszöbideétől kezdődőe kisebb, mit q, (és ezáltl kisebb mit ), vgy u - h lim q < (zz z u mit ), kkor z u sor koverges. Az állítást így bizoyíthtjuk: u q u q q u q... u u u q q u u u q u q q q q q q q... u q q u sorozt legkisebb első korlátj kisebb u ( q q...) u q q q Az egymást követő tgok összegét z u sorb tehát egy mérti sorrl elülről htároljuk, és mértei sor kkor koverges, h q <, így mjorás kritérium 4 D Alembert, Je Le Rod (76-78) rcuski mtemtičr iizičr. 9

20 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lpjá h q <, kkor tőle kisebb u sor is kovergál. Hsoló eljárássl megvizsgálhtjuk z u q kpcsoltból eredőe, hogy mi törtéik h q>. Az u összehsolító mérti sor most lulról htárolj mjd z u sort, és lévé q>, mérti sor diverges. Eek következméyeképpe tőle gyobb u sor is diverges miorás kritérium lpjá. H q, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi. Foglljuk tehát össze gyökkritérium léyegét: < sor koverges u lim q olymodjuk más kritériumhoz. u > sor divergál..7.4 Bólyi Frks 5 - Rbe 6 kritérium A kritérium elsősorb kkor hszos, h gyökkritérium és háydos kritérium lklmzáskor em jártuk eredméyel (mert q volt). A kritérium potosbb becslést d sor tgjik viszoyávl kpcsoltb. Legye u pozitív tgú sor, és legye <q< vlós szám. H bizoyíthtó, hogy: 5 Bólyi Frks, 775. ebruár 9-é született Bolyá. Új eljárássl htározt meg éháy egyelet közelítő gyökét, s kovergecikritériumot állított el később Rbe-ről elevezett pozitív tgú végtele sorokr. Mrosvásárhelye huyt el 856. ovember -á. 6 Joseph Ludwig Rbe (8-859), svájci mtemtikus

21 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - létezik oly q melyre sor bármely két egymást követő tgjár, z R küszöbidetől kezdődőe u R u, és R >, vgy u - h lim R > u korlátj gyobb mit ), kkor z u sor koverges. (zz z u sorozt leggyobb lsó u u H kritérium eltételei mellett zt kpjuk, hogy lim R <, kkor z u u sor diverges. H R, bizoyítási eljárás em értékelhető, ezért más kritériumot kell lklmzi Chuchy itegrálkritérium H z lim ( ) d improprius itegrál kovergál, kkor kovergál ( ) is. H z lim ( ) d improprius itegrál divergál, kkor divergál ( ) b Az ( ) sor sor is. d htározott itegrál eredméye, deiíció szerit, egyelő k területek mérőszámávl, melyet z () üggvéy grikoj htárol z [,b] itervllum elett. Az ( ) lim d improprius itegrálr is ez votkozik. H közelítő számítási módszerrel számíták kérdéses területet, kkor k mérőszámát közelítőe kiszámíthták oly tégllpok területeiek z összegével, melyekek z O tegelye ekvő lpj (és csúcsok z egész

22 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek számokt jelülő potokb ekszeek), mgsság pedig () (hogy zt z ábr is muttj), zz ( ) d lim ( ) lim. i H lim ( ) ( ) ( ) sort úgy értelmezzük, mit z ( ) i i i áltláos tgú sort, kkor egyértelmű, hogy ( ) kovergeciáj és z ( ) kovergeciáj egyeértékű. lim d improprius itegrál () 4 Példák. Vizsgáljuk ki z itegrálkritérium segítségével sor kovergeciáját α ( α R ). Az sor α α áltláos tgják z ( ) α üggvéy eleltethető meg. A kovergeciát következő (improprius) itegrál kovergeciáják segítségével állpíthtjuk meg: α α α ( ) α d d ( ) α α α megelelő improprius itegrált elírv: α α, illetve

23 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lim lim α α α ( ) d lim ( ) α diverges, h koverges, h α, α >.. Koverges-e sor? Első lépéskét midig vizsgáljuk ki, eleget tesz-e sor kovergeci szükséges eltételéek (zz ullához trt-e z áltláos tgok sorozt), mert h em teljesül ez eltétel, kkor sor biztos em koverges, és további vizsgáltoktól eltekithetük. lim lim lim kovergál, diverges. ( ) / ( ) / lim, sor tehát em. H sor áltláos tgj egy kiejezés -dik htváy, mideképpe próbálkozzuk gyökkritériumml, mert áltláb eredméyhez vezet. Koverges-e sor? A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt: lim lim, tehát kovergeci szükséges eltételéek sor eleget tesz. Lássuk, eleget tesz vlmelyik elegedő eltételek is, például gyökkritériumk: lim lim lim lim <, Az sor tehát koverges.

24 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4. H sor áltláos tgj rcioális törtkiejezés, kkor leggykrbb háydos-kritérium vezet eredméyhez. ( ) ( ) Koverges-e z sor?.! A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt: lim lim ( ) ( )( )( ) lim ( )! ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 )... lim ( ) tehát kovergeci szükséges eltételéek sor eleget tesz. Lássuk, eleget tesz vlmelyik elegedő eltételek is, például háydos-kritériumk: lim lim lim Az ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) (! ) ( )! ( )! lim ( ) ( )! lim <. lim sor tehát koverges. ( ) (! ) ( )! ( ) (! ) (! )( ) 5. H sor kovergeciáják vizsgáltkor em vezet eredméyre háydos- vgy gyökkritérium, kkor próbálkozzuk Rbe kritériumml. Tegyük ezt ( )! ( )( ) ( )... sor esetébe is, hol >, R. A sor áltláos tgjik sorozt ullához trt. (Bizoyíts ezt z olvsó öálló!) Próbálkozzuk háydos- vgy gyökkritériumml! A számított htárérték, tehát két kritérium em dott válszt kovergeci kérdésére. Alklmzzuk tehát Rbe kritériumot: 4

25 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )...!...! lim lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim......!! lim Ebből következik, hogy: - h lim >, kkor sor koverges, - h lim <, kkor sor diverges, - h lim, kkor más kritériumot kell lklmzuk...8 Változó előjelű sorok Legye z áltláos tgj vlós szám: R. Előordul, hogy sor áltláos tgjik előjele változik. Péld:. A következő sor tgjik előjele változó, (de em váltkozik):... si si... 4 si 4 si si si si Írjuk el váltkozó előjelű hrmoikus sort! ( ) ( )

26 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Bizoyítottuk, hogy pozitív tgokból álló sor diverges, ugykkor váltkozú előjelű sor szomszédos tgji gyjából semlegesítik egymást. Vjo ez vezethet váltkozó előjelű sor kovergeciájához? A válzst Leibiz-kritérium 7 dj meg. Legye z b ( ) b b b b b... váltkozó előjelű (lteráló) sor, hol 4 >, és melyet elírhtuk lkb is. ( )... 4 H z lábbi három eltétel midegyike teljesül:.,. váltkozó előjelű sorozt,. z sorozt mooto csökkeő, kkor sor koverges. A üggvéysorok mrdékák becslése szempotjából otos Leibiz kritérium egyik következméye, mely szerit h váltkozó előjelű sor koverges és sorösszeg A, kkor sorösszeg és z -ed redű részösszeg közötti külöbség kisebb sor következő tgjától: M A A SM M. Az oly sort, melyél tgok bszolút értékeiből meglkotott sor koverges, bszolút koverges sork evezzük. 7 Gottried Wilhelm Leibiz (646. július.76. ovember 4.), émet mtemtikus 6

27 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek H váltkozó előjelű sor bszolút koverges, kkor mg is koverges, hisze eleget tesz Leibicz eltételekek: tgjik bszolút értékéből lkotott sorozt mooto csökkeő, áltláos tgj ullához trt, és tgji váltkozó előjelűek. A ordított állítás em igz, hisze em mide koverges, váltkozó előjelű sor koverges: H sor bszolút koverges koverges megelelő váltkozó előjelű sor is. H sor koverges, bból em következik sor bszolút kovergeciáj. Péld erre hrmoikus sor:..., 4 melyről bizoyítottuk, hogy diverges. A váltkozó előjelű hrmoikus sor: ( )... 4 viszot koverges, mert z áltláos tgjiból lkotott sorozt ullához trt, tgok bszolút értékéből lkotott,,,,...,,,,... sorozt 4 4 mooto csökkeő. A váltkozó előjelű hrmoikus sor tehát koverges Leibiz kritérium lpjá, de e bszolút koverges, mert z bszolút (pozitív) tgokból álló sorról korább bizoyítottuk, hogy diverges. 7

28 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. A üggvéysor Legye dott z { ( ) } sorozt ( N), mely külöböző, -től üggő üggvéyek sorozt. Ilye például z { } { e, e, e,...} { } {,,,...} üggvéysorozt. e, vgy z H z változó helyére üggvéyek értelmezési trtomáyából vló értéket helyettesítük, kkor egy számsoroztot kpuk, melyek tuljdoságit hsolóképpe vizsgálhtjuk, mit számsoroztokét. H elírjuk egy végtele üggvéysorozt elemeiek összegét, kkor üggvéysort kpuk, melyet ( ) ( ) ( ) ( )... módo jelölük. H z i ( ) üggvéytgokb üggvéyek értelmezési trtomáyából vló értéket helyettesítjük, kkor ( ) ( ) ( ) ( )... számsort kpjuk, és tuljdoságit hsolóképpe vizsgálhtjuk, mit számsorokét. H z ( ) ( ) ( )... ( ) számsor koverges, kkor z potot z üggvéysor kovergeci-potják evezzük. A üggvéysor összes kovergeci-potjik hlmzát kovergeci-trtomáyk, z így deiiált kovergeciát pedig potokéti kovergeciák evezzük. 8

29 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Péld. Legye ( ) 4... Adott -re sor em más, mit egy mérti sor, melyek szorzój, és kkor koverges, mit tudjuk, h <. Az sork tehát mide oly pot kovergeci-potj, mely (,) itervllumból vló, kovergecitrtomáy tehát D(,). H z ( ) üggvéysorr kovergeci-trtomáy egy potjáb igz, hogy z ( ) sor koverges, kkor zt modjuk, hogy ( ) bszolút koverges. (Az bszolút kovergeciából itt is következeik kovergeci, természetese potokéti)... Függvéysorok egyeletes kovergeciáj Ugycsk z ( )... üggvéysor példájából láthtjuk, hogy üggvéysor összegét z változótól üggetleül is meghtározhtjuk, hisze ebbe példáb: 4 ( )..., mit mide más mérti sor esetébe is, természetese h < <. Megállpíthtjuk, hogy létezik oly ( ) 4 üggvéy,melyek értékei kovergeci-potokb egyelők z... üggvéysor, illetve sorösszeg értékeivel, és kovergeci-trtomáy potjib z 4 9

30 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek s ( ) i ( ) ( ) s. i részösszegek sorozt z ( ) értékekhez trt, vgyis Modhtjuk zt is, hogy ebbe trtomáyb üggvéysork ( ) htárüggvéye (zz htárértéke ). H számsorok értelmezéséből iduluk ki, kkor áltláosságb zt modhtjuk, hogy h egy ( ) ( ) ( ) ( )... üggvéysor D kovergeci- trtomáyáb trtozó potokr üggvéysor s ( ) i( ) ( ) ( )... ( ) i és z ( ) értékek elé trt, kkor részösszegeiek sorozt koverges, üggvéysor potokét kovergál. z ( ) ( ) ( ) ( )... z ( ) üggvéyhez kovergeci-trtomáyo belül, másrészt h. teljesül z eltétel, mely szerit bármely ε kicsi számr létezik oly ε küszöbide, melytől kezdődőe ( ) s ( ) < ε, ( D), üggvéysor egyeletese kkor z ( ) ( ) ( ) ( )... kovergál z ( ) üggvéyhez. Hogy egyszerűsítsük jelölést, ilyekor írhtjuk zt is, hogy ( ) ( ). Az ( ) s ( ) < ε eltételt tovább vizsgálv, következőket állpíthtjuk meg:

31 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - h egyre kisebb ε értéket vizsgáluk, és egyre gyobb lesz küszöbide ( ε ) kkor ( ) s ( ) < ε ( ) ( ) < ε, és z potb számított ( ) illeszkedek z ( ) üggvéy grikojár. üggvéysor-értékek gykorltilg - h eek következtébe igyelme kívül hgyjuk z ( ) és ( ) közötti elhygolhtó külöbséget, kkor ( ) s( ) i( ) i( ) i( ) R( ) < ε i i i R ( ) zz sormrdék is elhygolhtó kicsi (ullához közelít)., Megjegyzés. A üggvéysor egyeletes kovergeciájából következik potokéti kovergeci kovergeci-trtomáyb, de z állítás ordítottj em mide esetbe igz. H ugyis kovergeci-trtomáy potjib üggvéysor (potokét) kovergál, z még em jeleti zt, hogy ezek potok illeszkedek egy oly üggvéyre, melyhez üggvéysor egyeletese kovergál. Az egyeletes kovergeci kivizsgálás deiíció lpjá törtéhet, vgy lklmzhtó Weierstrss 8 -éle elégséges eltétel. A eltétel szerit, h z bszolút üggvéysort elülről behtárolhtjuk egy koverges umerikus sorrl, kkor üggvéysor egyeletese koverges. H tehát z ( ) üggvéysorhoz létezik oly koverges b umerikus sor, melyre ( ) < b, (,,,... ) mide -re D kovergeci- 8 Krl Theodor Wilhelm Weierstrss (85. október ebruár 9.) émet mtemtikus, moder üggvéyelmélet egyik meglpozój.

32 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek trtomáyból, kkor z ( ) D trtomáyb. si( ) Péld. A üggvéysor egyeletese és bszolút koverges sor egyeletese koverges, mert tgjik bszolút értéke elülről behtárolhtó egy koverges umerikus sor tgjivl: si ( ) <, és sor koverges. Az egyeletese koverges üggvéysorok két otos tuljdoságából vezethetők le műszki lklmzásokb gykr szereplő Tylor és Fouriér üggvéysorok. Ezek tuljdoságok tgokéti diereciálhtóság és itegrálhtóság. H z ( ) üggvéysor egyeletese koverges D [, b] és z ( ) üggvéyhez kovergál, kkor trtomáyb, b b b ( ) d ( ) d ( ) d, zz sor tgji tgokét itegrálv és összegezve is z ( ) eredméyezik. b d itegrált H ( ) ( ) z D, D [, b] trtomáyb, zz : - z ( ) potokét kovergál z ( ) értékekhez, továbbá

33 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek - z ( ) g( ) kovergeci D trtomáyb egyeletes kovergeci (zz z eredeti ( ) üggvéysor tgji tgokét deriválhtó és z így kpott üggvéysor egyeletese kovergál g ( ) üggvéyhez), kkor z ( ) üggvéy is deriválhtó, és igz z ( ) g( ) egyelőség. Ez utóbbi egyelőség zt jeleti, hogy z dott eltételek mellett, h ( ) ( ), kkor ( ) ( ) deriválv és összegezve htárüggvéy deriváltját kpjuk., zz üggvéysor tgjit tgokét.. Htváysorok A üggvéysorok otos osztályát képezik z ( ) ( ) lkú sorok, melyeket z pot körüli htváysork evezük ( R vlós együtthtó). A htváysor kovergeciáják megállpításár z potb hszálhtjuk bármely umerikus sorokr votkozó kovergeci-kritériumot. Vizsgáljuk bszolút kovergeciát, hisze h ezt bizoyítottuk, kovergeci is eáll. Vizsgáljuk meg például háydos-kritériumml, mely helyettesítési értékekre lesz htváysorból yert umerikus sor koverges. A eltétel lpjá: lim ( ) ( ) < kell legye. Ebből következik, hogy:

34 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim < lim < <. lim Jelöljük z lim kiejezést R-rel, hisze h elrjzoljuk zokk z változókk z itervllumot, melyekre kovergeci eltételei teljesülek, kkor levezetés lpjá láthtjuk, hogy < R < R < < R R < < R, zz R lim tekithető kovergeci sugrák (mit hogy zt z ábr is muttj). X -R X X R X -R X X R H gyök-kritériumml számoluk, kkor eltétel lpjá: ( ) lim < kell legye. Ebből következik, hogy: ( ) lim ( ) lim lim < lim < <, lim 4

35 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek és kovergeci sugr: R lim. A kovergeci-trtomáy tehát z köryezetéek tekithető. pot ( R R), yitott, szimmetrikus Bizoyíthtó, hogy htváysorok kovergeci-trtomáyb egyeletese kovergesek. Az egyeletes kovergeciár votkozó tételek lpjá szükségük lehet zárt kovergeci-trtomáyr, ezért gykr külö megvizsgáljuk yitott köryezet R, R végpotjib kovergeciát, hogy kiderüljö, biztosíthtó-e z egyeletes kovergeci z [ R R], zárt itervllumb is. H végpotokb kovergeci em bizoyíthtó, kkor is eáll z egyeletes kovergeci mide [ b] ( R R), itervllumr., H R, kkor kovergeci csk egyetle potb (z potb) igz. H R, kkor kovergeci teljes vlós számhlmzo igz. Péld.. Htározzuk meg következő sor kovergeci-trtomáyát! ( ) ( ). A megoldás: lim ( ) < lim ( ) lim < < < 5 < < < < < <, kovergeci 5 sugr, yitott kovergeci-trtomáy,. 5

36 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 6 Vizsgáljuk ki kovergeciát végpotokb! ( ) ( ) A sor áltláos tgják bszolút értéke (így tg sem) trt ullához: ( ), e lim lim lim lim ezért h sor diverges. Hsolóképpe bizoyíthtó divergeci trtomáy másik végpotjáb, 5 -b. Ezért z egyeletes kovergeci csk z 5, itervllum zárt részhlmzá igz.. Htározzuk meg következő sor kovergeci-trtomáyák sugrát. A példáb, zz sort pot köryezetébe vizsgáljuk. lim < lim < lim < < lim < R

37 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 7.4 Tylor sor 9 Az ( ) ( ) htváysor poliom üggvéyek is tekithető, és mit ilye kárháyszor deriválhtó. A kovergeci-trtomáyá belül egyeletese koverges, vgyis létezik oly ( ) üggvéy, melyre ( ) ( ) ( ). Midezt igyelembe véve megállpíthtjuk, hogy htváysor kovergecitrtomáy egy zárt D részitervllumáb eleget tesz z egyeletese koverges sor tgokéti deriválásár votkozó tétel eltételeiek, tehát h D : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 4 Helyettesítsük következőképpe: : ( ). Az ( ) ( ) ( )... 4 összegbe továbbr is eállk tgokéti deriválhtóság eltételei, és h létezek z ( ) üggvéyek mgsbb redű deriváltji, kkor: 9 Tylor, Brook, (685 7) Agol mtemtikus, mukásságát z lízisbe ejtette ki. 75-be írt mukájáb szerepelek ról elevezett Tylor-sorok.

38 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ( ) ( ) 4 ( )...) ( ( ) ) ( ) 4 ( ) ( )... Helyettesítsük következőképpe: : ( ) ( ). A következő lépésbe: ( ( ) 4 ( )...) ( ( ) ) ( ) ( ) 4..., és h, ( ) ( ) ( ).! Az egymást követő lépésekbe megigyelhető következő szbály ( helyessége idukcióvl bizoyíthtó): ( ) ( )!,,,,,... Kiszámítottuk tehát z dott eltételek mellett ( ) ( ) htváysor együtthtóit, és elmodhtjuk, hogy h D, kkor ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )...!!! z ( ) üggvéyt tehát sorb ejtettük ( ) htváyi szerit (vgy, 8

39 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek köryezetébe), ( ) htváysort Tylor sork evezzük. derivált-üggvéyei segítségével. Az ilye lkú H sorb ejtést csk z -dik htváyig végezzük, kkor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )... ( ) R !! ! T ( ) ( ) T ( ) R ( ) ( ) hol z R ( ) sormrdékot z potb korábbikb umerikus sorok mrdékár dott becslés lpjá így számíthtjuk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! R. H, kkor Tylor sor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!...!... lkú, és Mcluri sor eve. Péld. A leggykrbb lklmzott Mcluri sort z ( ) sorbejtésével kpjuk. Tudjuk, hogy. Lássuk z együtthtókt: ( ) e ( ) ( e ) e e üggvéy Coli Mcluri (698. ebruár 746. júius 4.), skót mtemtikus 9

40 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) ( e ) e! ( ) ( ) ( ) ( ) e e! e ()! ( ) ( ) ( ) ( )!... e......!!!!... Rjzoljuk el T ( ), T ( ) (Mcluri) poliomokt!! közelítő Tylor!! Megigyelhetjük, hogy kiejtés potják szűkebb köryezetébe (itt z potb) közelítő Tylor poliomok jobb símulk z eredeti ( ) e üggvéyhez, mit kiejtési pottól távolbb eső potokb. Azt is megigyelhetjük, hogy mgsbb htváyokú Tylor poliomok jobb közelítik z ( ) e üggvéyt, mi érthető is, hisze htváy (illetve ) övekedésével csökke sormrdék, zz z ( ) T ( ) e T R ( ) külöbség egyre kisebb lesz. 4

41 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 4

42 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5 Fourier sor A Fourier sor műszki lklmzásokb gykr előorduló, szkdásos vgy lépcsős periodikus üggvéyeket közelíti egy olytoos ugycsk periodikus üggvéyel. A periodikus tuljdoságot Fourier sor két típusú, egymástól lieáris üggetle, összeddó-sorozt biztosítj: sziuszos és kosziuszos tgok sorozt. Ezek lieáris kombiációjávl leírhtók más periodikus üggvéyek. Hsoló jeleséggel tlálkozuk vektorterek esetébe, hol két lieáris üggetle (áltláb merőleges, ortogoális i r és r j ) vektor lieáris kombiációjávl djuk r r r meg kétdimeziós vektortér összes többi vektorát: v i bj. A vektorokt tehát lieáris üggetle vektorok ( tér bázisvektori) és zok (skláris) együtthtói htározzák meg. H periodikus üggvéyek terét vizsgáljuk, kkor várhtó meghtározhtók zok eltételek, melyek mellett egy periodikus üggvéyt elírhtuk sziusz és kosziusz bázis-üggvéyek lieáris kombiációjkét. A bázisüggvéyek tuljdoságit z ortogoális üggvéyek elmélete írj le..5. Ortogoális üggvéyek és üggvéy sorok A legismertebb ortogoális üggvéy redszer z u. trigoometrikus redszer:, cos, si, cos, si, cos, si,...,cos, si,... A periódus lpitervllum bármely hosszúságú itervllum lehet, például (-,) vgy (, ), tekitettel üggvéyek hosszúságú periódusár. Ortogoálisk evezzük üggvéy-redszert kkor, h tetszés szeriti két elemét összeszorozv és ezt szorzt üggvéyt egy hosszúságú itervllumo itegrálv ullát kpuk eredméyül. Legye üggvéyredszer két eleme: Je Bptiste Joseph Fourier (768 8), rci mtemtikus és izikus. 4

43 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ϕ ϕ d ϕ ϕ d ϕ ϕ d, m m ϕ és ϕ m m h m Az ortogolitás (merőlegesség) lógiát mutt merőleges vektorok skláris szorztávl. A két em ull vektor szorzt kkor és csk kkor ull, h zok merőlegesek. H ϕ ortogoális redszer, kkor elemeiek vlmely kosts együtthtós lieáris kombiációját ortogoális sork evezzük. C ϕ ϕ... C m Az egyszerű trigoometrikus redszer zob em ormált (mi vektorokál z egységyi hosszúságot jeleti), mert: d, cos d si d, A megelelő ormált redszer:,,... cos si cos si cos si cos si,,,,,,,...,, A Fourier sor trigoometrikus lkj Fourier bizoyított, hogy mide (t) (t ± T) periodikus üggvéy előállíthtó T-hez trtozó T rekveci (vgy z ω körrekveci) úgyevezett lp- T hrmoikus, egész-számú többszöröseiek lieáris kombiációjkét (szuperpozíciójkét). Az ilye módo törtéő üggvéy-előállítást Fourier sork evezzük. ( t) b siωt b cosω t k cos ωt si ωt b cos ωt... si ωt... ( cos kω t b si kωt ). k k 4

44 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Hogy kpcsolódik midez hhoz, mit eddig üggvéysorokról megtultuk? H eltételezzük, hogy eti egyelőségbe sor és z ( ) üggvéy eleget tesz sor tgokéti itegrálásához kpcsolódó tétel eltételeiek, kkor bizoyos itegrálásokkl eljuthtuk eti szuperpozíciós kiejtés együtthtóihoz. Az dott üggvéyre eltételek következők: H z ( cos k b si k). k ( ) k koverges [, b] [, ] k k k üggvéysor egyeletese D trtomáyb (mi most szükséges eltételkét egy periódus hosszúságú), és z ( ) üggvéyhez kovergál, zz ( ) ( cos k b k) k k k si kkor ( ) d k( ) d d k( ) k k d, zz sor tgji tgokét itegrálv és összegezve is z ( ) eredméyezik. d itegrált Tegyük el, hogy eltételek teljesülek, és olytssuk számítást: ( ) d k ( ) ( k cos k bk si k) d d ( k cos k bk si k) k d k k d cos kd b k k si kd k d A eti kiejezésbe: 44

45 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) d cos k cos kd k k ( si k si k( )) (mert si k mide k egész számr). cos k si kd k k ( kosziusz üggvéy párosság mitt) k ( cos k cos k( )) ( cos k cos k( )) Ebből következik, hogy ( ) d d k cos kd bk si kd k ( ) d Számítsuk ki olyttásb z k és b k együtthtókt! Szorozzuk meg z ( ) ( cos k b k) k k k si egyelőséget ( cos ) -szel! ( ) cos cos ( cos k cos b si k ) k k k cos és, tekitettel rr, hogy tgokéti itegrálás eltételi még midig eállk, itegráljuk z egyelet midkét oldlát teljes perióduso!, 45

46 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) cos d cos d k cos k cos d bk si k cos d k Az előző levezetésbe láttuk, hogy cos d ` Trigoometrikus egyelőségek lpjá: cos k cos ( cos( k ) cos( k ) ) ( cos( k ) cos( k ) ) cos cos( ) cos ( k ) cos( k ) h h k k si k cos ( si( k ) si( k ) ) ( si( k ) si( k ) ) si si( ) si ( k ) si( k ) h h k k Legye kp, k-q, és p,q Z, zz egész szám. Helyettesítés utá, z itegráláskor cos ( k ) cos p, cos ( k ) cos q cos ( ), si ( k ), si ( k ), si ( ),, üggvéyek itegrálj, éppúgy, mit z előző lépésbe, ullávl lesz egyelő teljes periódus elett. Csk z tg lesz éremlegese tárgylhtó k ( cos( k ) cos( k ) ) d bk ( si( k ) si( k ) ) k d összegbe, hol k. Azz, h például z 5. együtthtót keressük, kkor cos5szel szorzuk, és helyettesítés utá csk z 5. együtthtó melletti kiejezés kerül itegrálásr. Az összes többi összeddó üggvéy itegrálj ull lesz. 46

47 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Tehát: ( ) cos d ( cos cos ) d b ( si ) cos d 44 4 ( ) cos d d b ( ) d si d d ( ) cos d H z ( ) ( cos k b k) k k k si egyelőséget ( si ) -szel szorozzuk, kkor hsoló eljárássl zt kpjuk, hogy: b ( ) si d Foglljuk tehát össze: h z ( ) üggvéy periódusos, itegrálhtó teljes periódus elett, kkor létezik oly hozzá egyeletese kovergáló ( ) ( cos k b k) k k k si üggvéysor, melybe z együtthtók redre: ( ) d, k ( ) cos k d, b k ( ) si k d. 47

48 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5. Fourier sorok tuljdosági. Az együtthtókt meghtározhtjuk bármely [, t ] itegrálássl.. ) H z ( ) üggvéy páros (zz ( ) ( ) t itervllumo törtéő ), kkor ics szükség pártl kompoesre (hrmokusr), hogy üggvéyt sorb ejtsük. Ez zt jeleti, hogy páros ( ) üggvéy sorb ejtésébe csk páros kompoesek, zz kosziusz-kompoesek szerepelek: k ( ) ( k k) cos, mert ( ) si k d b k számítássl is elleőrizhetjük. együtthtó ull, b. Midezt k b) H z ( ) üggvéy pártl (zz ( ) ( ) ), kkor ics szükség páros kompoesre (hrmokusr), hogy üggvéyt sorb ejtsük. Ez zt jeleti, hogy pártl ( ) üggvéy sorb ejtésébe csk pártl kompoesek, zz sziusz-kompoesek szerepelek: k ( ) ( b k k) si, mert z ( ) cos k d k együtthtó ull,. k. H z ( ) üggvéy peridusos, de periódus em, kkor elvégezhetük változó egy oly trszormációt (átlkítást), mely utá kpott üggvéy z új trszormált változóvl már eleget tesz z eredeti Fourier sorb vló ejtés eltételeiek. A következőképpe járuk el: Legye z ( ) üggvéy periódusos, periódus hossz legye l, zz ( k l) ( ). 48

49 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Vezessük be egy új változót: t, (z eredeti -re votkozó periódust l leosztottuk periódus hosszávl, l-lel, hogy egységyit kpjuk, mjd beszoroztuk -vel, hogy z újo bevezetett t változór votkozó periódus már eltételhez szükséges legye.) A sorb ejtés továbbr is z ( ) k k k cos bk si l l k egyelőség lpjá törtéik, de z együtthtók mgukb hordozzák változótrszormációt: l l l ( ) d b k k l l l l l l k l ( ) cos d k l ( ) si d. 4. Megigyelhetjük, hogy ( ) ( k k bk si k) ( k cos k bk si k) R( ) k k cos, zz z ( ) üggvéy közelítő elírásához elhszálhtuk véges sok összeddót is, de h csk z -dik tgig írjuk el z összeget, kkor számoluk kell z R ( ) sormrdékkl. Mideképpe megigyelhető itt is, mit Tylor sorál, hogy h több összeddóvl írjuk el üggvéy Fourier sorát, z jobb simul z eredeti üggvéyhez. ( ) ( k cos k bk si k) k 49

50 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5.4 Példák: Fourier sorok.péld, páros üggvéyre. Legye ( ) egy, z Oy tegelyre szimmetrikus impulzus üggvéy (zz páros): h < < < < h ± h ( ). h Rjzoljuk el üggvéyt! ( ) Az ( ) páros mert z ( ) ( ) együtthtóját kell kiszámíti:, így csk páros kosziusz kompoesek ( ) d d d d d Ebből: ( ) k ( ) cos d cos d cos d [ si ] h k, páros h k, pártl cos cos5 cos7 5 7 ( ) cos... 5

51 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.péld, pártl üggvéyre. Legye: h ( ) h < <, és legye () ( ± k ). ( ) 4 Mivel üggvéy pártl, Fourier sor sziuszos tgokból og álli. Ezért: b ( ) si d si d si d si d si d Az itegrálásál lklmzzuk prciális itegrálás szbályát. u si d dv cos du d v cos cos si d d 5

52 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek. cos b cos () si d si d d si [ ] Az itegrálásál lklmztuk prciális itegrálás szbályát. Azt írhtjuk tehát, hogy: si si si 4 si5 ( ) si k si k k Rjzoljuk el külöböző számú összeddóvl elírt Fourier sorokt és üggvéyt. 5

53 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Közelítő számítások. Hibszámítás A gykorlti életbe gykr em tudjuk számításokb szereplő számok potos értékét elíri. Eek ok lehet például mérőműszerük előlátott pottlság, hol eleve dott, hogy mért dt milye hibszázlékkl vehető igyelembe. Egy másik lehetséges ok, hogy számítógépbe számértékek tárolásár csk véges regiszter-kpcitás áll redelkezésükre, így ull köryezetébe levő számokt és gy bszolút értékű pozitív vgy egtív számokt még lebegőpotos ábrázolási módb sem tárolhtjuk. A számítógépek számokt véges potossággl, áltláb lebegőpotos lkb tárolják. A véges potosság zt jeleti, hogy z ritmetiki műveletek eredméyekét kpott érték em egyezik meg művelet egzkt értelembe vett eredméyével, hem csk megközelíti zt. H egy számot közelítő értékével. -szel ábrázoluk, kkor eek z ábrázolásk z bszolút hibáj ( potos és közelítő érték eltérése) Az bszolút hib potos érték ismeretéek hiáyáb gykr csk becsülhető. Ilyekor midig első becslést duk (zz pesszimist módo lehető leggyobb hibát eltételezzük). Gykr modjuk, hogy z szám hibhtár, zz ± Az bszolút hib em jellemzi teljes mértékbe potos és közelítő érték közötti eltérést, hisze és 99, vlmit és között is z eltérés, mégis gyobb hibát érzékelük és 99 közötti eltérésbe. Ezért hib és potos (vgy közelítő érték) háydosávl megdhtjuk hib gyságredjét. Az közelítő érték reltív hibáj 5

54 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek δ Megjegyzés: H potos érték em áll redelkezésükre, kkor reltív hib kiszámíthtó δ képlettel is. Értékes és biztos számjegyek. A kerekítés hibáj A számítógépek vlós számokt véges potossággl, áltláb lebegőpotos lkb tárolják. A véges potosság zt jeleti, hogy z ritmetiki műveletek eredméyekét kpott érték em egyezik meg művelet potos eredméyével, hem csk megközelíti zt. H egy számítógép tízes számredszert hszálj, és számokt 8 tizedes jegy potossággl tárolj, kkor z / művelet eredméye. lesz, mi több mit * -9 -el tér el vlódi értéktől. Áltláb, h számot p-dik tizedes jegyére kerekítjük, kkor közelítő (kerekített) számérték és potos érték közötti külöbség legeljebb ele z utolsó meghgyott számjegy helyi értékéek, zz p.5. Péld. Legye például, ,, 67. Az utolsó meghgyott 6 számjegy helyi értéke., ,67,5.5.. péld. Kerekítsük z, 999 számot két tizedes potosságr! A közelítő érték,,,999,,<,5 <.5. Az utolsó két számjegyet em hgyhtjuk el, hisze ezzel utluk rr, hogy milye potossággl ábrázoltuk z, 999 számot. Egy tízes számredszerbe elírt szám értékes jegyeiek evezzük zokt számjegyeket, melyek em ull értékűek, vlmit zokt ull számjegyeket, Emlékeztető: kerekítési szbályokt még z áltláos iskoláb megismertük. 54

55 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek melyek értékes jegyek között vk. Értékes z ull számjegy is, mely számb számjegysorozt végé szám potosságát ( biztos számjegyet) hivtott ábrázoli. Alpértelmezés szerit egy számérték utolsó kiírt számjegye szigiikás számjegy, zz biztos számjegy. Aritmetiki műveletek és üggvéyek hibáj (hibhtári) Az elemi ritmetiki műveleteket igyelembe véve megállpíthtó, hogy közelítő számok összegéek bszolút hibáj em hldj meg számok bszolút hibáik összegét, zz ( i ), i és közelítő számok külöbségéek bszolút hibáj em hldj meg két szám bszolút hibáik összegét, zz ( \ ). További elemi ritmetiki műveleteket vizsgálv, zt tpsztljuk, hogy közelítő számok szorzták reltív hibáj em hldj meg számok reltív hibáik összegét, két szám háydosák reltív hibáj em hldj meg számok reltív hibáik összegét, vlmit egy szám m-edik htváyák reltív hibáj szám reltív hibáj z m-edike. Az egyszerű lgebri üggvéyek közelítő hibhtárir közelítő változóértékek esetébe eti szbályok lpjá dhtuk becslést. Példáko muttuk be éháy egyszerű módszert. Péld. Legye dott z (, ) lgebri üggvéy, és legyeek dottk z és változóértékek közelítő értékei hibhtárikkl:,,5,,74, 5, zz, 5, ± ±,5 δ,44 <, tehát hibhtár százd, zz %., Hszálhtjuk következő jelölést is: Hsolóképpe: 55

56 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek,5 δ,8 <, tehát hibhtár százd, zz %,, Lássuk, hogy beolyásolják változók hibhtári üggvéyérték hibhtárit! H potos értékkel számoluk:...74 (, ). 588 Megjegyzés: Tekitettel változók hibhtárir, elegedő égy tizedessel számoluk, hisze megdott változóértékek potosságától gyobb potosságot em érhetük el. H üggvéy első hibhtárát számítjuk, kkor változók pozitív értékére és üggvéy lkjár vló tekitettel kkor kpjuk leggyobb értéket, h számlálób változók lehető leggyobb, evezőbe pedig változók lehető legkisebb értékét helyettesítjük: ( ) ( ),. 598 H üggvéy lsó hibhtárát számítjuk, kkor kpjuk üggvéy lehető legkisebb értékét, h számlálób változók lehető legkisebb, evezőbe pedig változók lehető leggyobb értékét helyettesítjük: ( ).5 (, ) A üggvéy bszolút hibáják tekithetjük üggvéy potos értéke és z lsó, illetve első hibhtár közötti eltérés közül gyobbt: m ( ) ( ) m (, ) (, ), (, ) (, ), ( , ) m(.44,.45). 45 (, ).45 <.5.5, 56

57 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek zz üggvéyértéket is két tizedes potosságúk tekithetjük, mit hogy változóértékek is zok voltk. A kerekítést erre tizedesre végezhetjük, és számolhtuk zzl, hogy üggvéy közelítő értéke.59. A reltív hib: (, ) (, ).45 δ (, ).76 <., tehát mrd %..588 Péld. Legye dott z ( ) log ( ) üggvéy. ) Mekkorák hibhtári z. ±, 5 itervllumo? b) Hogy számíthtó ki üggvéy értéke változó ismert bszolút hibáják segítségével z, potb? Megoldás: ) A üggvéy mooto övekvő, ezért z változóértékek áltl megdott itervllumo lehető legkisebb értéke z., potb lesz: ( ) log (,995 ), 9964, A lehető leggyobb értéke: ( ) log (,5 ), 6. A potos értéke: ( ) log ( ),. Abszolút hibáj: m ( ) ( ) m ( ) ( ), ( ) ( ) (..9964,..6 ). 6 Reltív hibáj:.6 ρ.8.. b) H üggvéy Tylor sorb törtéő ejtését vesszük igyelembe z pot köryezetébe, kkor 57

58 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek ( ) ( ) zz ( ) ( ) ( ) zz! ( ) ( ) R ( ) ( ) ( )( ) Számítsuk deriváltkt: ( ) ( ) l ( ) l ( ) ( ) l l 6 ( ) l ) ( ) l A szükséges helyettesítési értékek: ( ) ( ) log ( ) ( ) () ( ) ().. ( ) ( ).7 l l 6.67 l 4 l (.) ( ) ( ) A hib kisebb z első elhgyott tgál, zz ( ) ( ) ( ) ( ).67 R ( ) < R <..8 <.5!! Az eredméyt két tizedes potossággl elogdhtjuk, (.). 7.. Iterpoláció Mérjük le egy üggvéyértéket t,..., t t időpilltokb. Eek lpjá, meyibe üggvéy mért időpotok közti időbe em viselkedik vártl módo, következtethetük mérések közötti időszkokb köztes üggvéyértékekre. Az iterpolációs módszer oly közelítő (umerikus) módszer, mely egy közelítő (áltláb poliom) üggvéy és z ismert () üggvéyértékek segítségével z ismert mérési potok közelébe kiszámítj z ismeretle üggvéyértékeket. 58

59 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Legyeek dottk z,,,... R változóértékekre z ( ), ( ), ( ), ( ) R üggvéyértékek. Az ( i, ( i )), ( i,,...) potokt z iterpoláció potjik evezzük. Oly poliomot keresük, mely áthld z iterpoláció potji. Bizoyíthtó, hogy h z iterpoláció potji külöbözek, kkor létezik ilye -ed redű P ( ) poliom, melyre ( i ) ( i ) yi P. A Lgrge 4 -éle iterpolációs poliom tetszőleges potközökkel megdott,...,, változóértékekre és hozzájuk trtozó ( ) ( ) üggvéyértékekre L ( ) ( i) i k i k k i k, ( ), ( ) lkú, és kielégíti z L ( ) ( ) eltételt ( i,,...). Bármely [, ] potr bizoyíthtó ( ) ( ) ( ) ( ) i i L, és hibbecslés: ( )( ) ( ) (! )... L R <, hol ( ) ( ξ ) ( ) ( ξ) üggvéy ()-ed redű deriváltják lehető leggyobb értéke z [, ] itervllumo úgy, hogy {,,,... } ξ. Beláthtó, hogy h több megdott iterpolációs potuk v, kkor hib kisebb., Természetese Lgrge-éle poliomot kkor hszáljuk, h z () üggvéy litikus lkját em ismerjük, most mégis lássuk egy oly példát, hol üggvéy is ismert, hogy Lgrge poliom és üggvéy egymáshoz vló viszoyát bemutssuk. Péld. Legye dott z ( ) üggvéy (,), (,), (44,) iterpolációs potokb. Ábrázoljuk potokt, potokhoz redelhető L ( ) 4 Lgrge, Joseph-Luis, gró, eredeti olsz evé Giuseppe Luigi Lgrgi (szül. 76. juár 5., Torio megh. 8. április., Párizs). Olsz születésű rci mtemtikus. 59

60 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek másodredű poliomot és z ( ) üggvéyt. Számítsuk ki ezutá z ( ) poliom segítségével potos értékkel! Foglljuk tábláztb z iterpolációs potokt! i i ( i )y i 44 9 közelítő értékét. Hsolítsuk össze közelítő értéket Írjuk el z iterpolációs potoko áthldó L ( ) másodredű poliomot: L L ( ) ( i) i ( ) k i k i k ( )( ) ( )( ) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) k 66 6 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 44) ( )( 44) ( )( 44) ( ) Az L ( ) poliom és z ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 44 )( 44 ) ( )( ) 44 üggvéy gráj em csk z iterpolációs potokb esik egybe, hem hogy zt z ábr is muttj, z [,44] potokb is szite edi egymást. 6

61 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek.5 (,()).5 sqrt() és L().5 (,()) (9,sqrt(9)) (,()) ( 9) 98 L, , zz hibbecslés:. L ( 9) <.5.5 tehát kpott közelítő eredméy három tizedes potossággl elogdhtó: 9.98., Péld. Adjuk meg egy üggvéyt égy iterpolációs potb. A égy pot lehetővé teszi számukr, hogy hrmdokú közelítő iterpolációs poliomot írjuk el. Adjuk meg poliom együtthtóit, és mutssuk meg, hogy lehet MATLAB csomgb iterpolációs poliomot megdi! i i ( i )y i 4 5 L ( ) ( i) i k i k i k k 6

62 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek 6 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 69 8 L L A MATLAB csomg z yp iterp(,,p,'módszer') prccsl számítj ki z () üggvéy értékét z p potb (zz yp(p)) iterpolciós öggvéy segítségével. Az iterpolációs potok z (,) potpárok ( változóértékek sorozt, üggvéyértékek sorozt, és ezeket prcsot megelőzőe MATLAB szbályok lpjá meg kell duk).. Algebri és trszcedes egyeletek megoldás

63 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Azt z egyeletet, mely... lkú ( Q, N ), lgebri egyeletek evezzük. Mide oly ( ) egyeletet, mely em lgebri, trszcedes egyeletek evezük ( ( ) vlós üggvéy). Az... lkú egyeletek poliomokr votkozó szbályok lpjá kereshetjük megoldásit, és zok, ugycsk poliomok ide votkozó tuljdosági lpjá, vgy létezek, vgy em. Az ( ) trszcedes egyeletek megoldásár áltláb ics ilye egységese értelmezhető szbály. Vk oly egyeletek, hol z egyeletbe szereplő üggvéy iverzéek, ekvivles átlkításák vgy vizsgálták lpjá megoldhtó z egyelet, zz meghtározhtó z ( ) zérushelye, de ez em szbályszerű. A si e G( ), vgy z l F( ) egyeletek esetébe például ez em lehetséges. Nics oly litikus módszer, mellyel üggvéy értelmezési trtomáyából kiválszthtjuk zt z G ( ) vgy F ( ) potot, melyre. Létezek zob oly közelítő módszerek, melyekkel itertív eljárássl, grikus, vgy más módo eljutuk z potig. A grikus megoldási módok áltláb z egyeletekbe szereplő üggvéyek grikojik geometrii tuljdoságitól üggeek. A trszcedes egyeletek megoldásák loklizálás geometri értelmezés H z ( ) egyeletbe z ( ) üggvéyről megállpítjuk, hogy olytoos egy [, b] itervllumb, és ( ) ( b) <, kkor üggvéy z [, b] itervllumo belül előjelet vált, és szükségszerűe átmetszi z O tegelyt, zz lesz oly [, b] pot, melyre ( ). 6

64 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Hogy vázolhtuk el egy összetett trszcedes üggvéyt? Áltláb ez boyolult eldt, de gykr tesszük meg zt, hogy z ( ) ekvivles 5 ( ) G( ) ábrázoljuk, hisze h ( ) F ( ) G( ) kkor egyelettel F egyeletbe szereplő F() illetve G() üggvéyeket ( ) ( ) G( ) F, zz hol z ( ) egyeletek megoldás v, ott z F() és G() üggvéyek értéke egyelő (grikojik metszik egymást). Vázltot hszálv is köye elkülöíthető egy oly [, b] itervllum, melyre igz, hogy [, b] ( ), és ( ) ( b) <. Bármelyik közelítő megoldó módszert is lklmzzuk z ( ) egyelet megoldásár, első lépéskét zérushely loklizálás mideképpe jálott., Péld. Loklizáljuk z e egyelet zérushelyét vgy zérushelyeit. Az ( ) e üggvéy olytoos és értelmezett R változóértékre, tehát h elkülöítük egy oly [, b] itervllumot, melyre igz, hogy ( ) ( b) <, kkor létezik oly [, b], melyre ( ) lesz. Válsszuk szét bloldli ( ) e üggvéyt két köye ábrázolhtó üggvéyre: e e, és vázoljuk el z F ( ) e és ( ) G üggvéyt. 5 Az ekvivleci itt is zt jeleti, mit áltláb z egyeletek esetébe: két egyelet kkor ekvivles, h megoldáshlmzuk egyelő. 64

65 Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Az ábrá jól láthtó, hogy z z pot, melyre ( ) F ( ) ( ) G [.5,] itervllumb tlálhtó. Elleőrizzük z (.5) ( ) <, eltételt, vgyis zt, hogy [.5,] itervllum két végpotjáb külöböző előjelű-e üggvéy. (.5).85, ( ).78 (.5) ( ) <. Az () üggvéy [.5,] itervllumb olytoos, z itervllum végpotjib külöböző előjelű, tehát létezik zérushelye z [.5,] itervllumb. A következő lépésbe keressük oly módszert, mellyel ezt z zérushelyet potosbb behtároljuk, vgy kellő potossággl meghtározzuk. Most megtehetjük elleőrzésképpe, hisze mtemtiki progrmcsomggl ez egyszerű, hogy megrjzoljuk z ( ) e üggvéyt is. Láthtó, hogy zérushelye ott lesz, hol z F és G üggvéyek metszik egymást, zz hol ( ) G( ) F. 65

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefo: 345-6 Iteret: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 229/26. (XI. ) Korm. redelet lpjá kötelező. Nyilvátrtási szám: 223/7 Adtszolgálttók:

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója! . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág,

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra Észk-mgyrországi Strtégii Füzetek VII. évf. 2010 1 27-35 Kereskedelmi szálláshelyek kihsználtságánk vizsgált, különös tekintettel z Észk-mgyrországi és Dél-lföldi régiór A turizmusfejlesztés egyik prioritás

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok 6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR Pénzügy és Közgzdságtn Tnszék Doktori Iskol vezetője: DR. KEREKES SÁNDOR egyetemi tnár Témvezető: DR. BÁNFI TAMÁS egyetemi tnár Társ-témvezető:

Részletesebben

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés Logisztik A tntárgy 4. gykorlt Egységrkomány képzés MISKOLCI EGYETEM Anygmozgtási és Logisztiki Tnszék TERMELŐ VÁLLALAT ANYAGÁRAMLÁSI RENDSZERE Csomgolás: Csomgolás feldti: áru védelme, áru fogyszthtóvá

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged.

Identitásnyomok a számfogalom kialakulásában. Szalay István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyula Pedagógusképző Kar szalay@jgytf.u-szeged. Identitásnyomok számfoglom kilkulásábn Szly István Szegedi Tudományegyetem Juhász Gyul Pedgógusképző Kr szly@jgytf.u-szeged.hu A számok, számlálás és számolás nnyir átszövik mindennpjinkt, hogy nem is

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM

ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM I.) ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK Htáskör: A Közép-Dun-völgyi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség, mint joghtósággl rendelkező mgyr htóság Ket. 18. (1) bekezdése,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Uecker. Képpé formált anyag

Uecker. Képpé formált anyag A füzben szereplő műlkotások és rchív fotók (részlek): Címlp Günther Uecker egy óriás szöggel Bden-Bden egyik utcáján. Bden-Bden, 1968l 2-3. oldl Günther Uecker műtermében. Düsseldorf, [év nélkül] 4. oldl

Részletesebben

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15%

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15% K&H Bnk Zrt. 1095 Budpest, Lechner Ödön fsor 9. telefon: (06 1) 328 9000 fx: (06 1) 328 9696 Budpest 1851 www.kh.hu bnk@kh.hu hirdetmény Jelzáloglevél kmttámogtásos hitel kondícióiról Érvényes 2003. december

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA

Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Meze Eleér Veres Vlér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Készült z Apácz Közlpítváy és RODOSZ táogtásávl Lektorált: Mgyr Tvdr Meze Eleér, Veres Vlér Edtt de Pres Uverstră Clueă, 00 Kolozsvár Egyete Kdó, 00 ISB 973

Részletesebben

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát.

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát. - 43- Lezárom vitát. A Pénzügyi Bizottságnk volt módosító indítvány, Jogi Bizottság támogtj, Környezetvédelmi szintén támogtj, Pétfürdo Rzönkormányzt módosító indítványsoroztot tett, ezeket sorbn megszvzzuk.

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai

Tervezési segédlet. Fûtõtestek alkalmazásának elméleti alapjai . Fûtõtestek kiválsztás Fûtõtestek lklmzásánk elméleti lpji Az energitkrékos, üzembiztos, esztétikus és kellemes hõérzetet biztosító fûtés legfontosbb eleme fûtõtest. A fûtött helyiségben trtózkodó ember

Részletesebben

VALÓS IDEJŰ MULTILATERÁCIÓ WAMLAT PILOTRENDSZER 3 MULTILATERÁCIÓ [4]

VALÓS IDEJŰ MULTILATERÁCIÓ WAMLAT PILOTRENDSZER 3 MULTILATERÁCIÓ [4] Szüllő Ádám Seller Rudolf VALÓS IDEJŰ MULILAERÁCIÓ WAMLA PILORENDSZER 3 A ikkbe bemutatott passzív radarredszer a multilateráiós tehika segítségével képes mide olya légi jármű valós idejű detekiójára és

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

PhD értekezés. Intelligens módszerek gyártási folyamatok modellezésében és optimalizálásában. Viharos Zsolt János

PhD értekezés. Intelligens módszerek gyártási folyamatok modellezésében és optimalizálásában. Viharos Zsolt János PhD értekezés Intelligens módszerek gyártási olymtok modellezésében és optimlizálásábn Vihros Zsolt János Témvezetők: Dr. Monostori László Dr. Alpek Ferenc Budpesti Műszki Egyetem MTA Számítástechniki

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre Felvonók méretezése Üzemi viszonyok (villmos felvonók) Hltky Endre Trtlom A felvonó üzemviszonyi Cél: felvonó működése során előforduló üzemállpotokbn kilkuló erők és nyomtékok meghtározás, berendezés

Részletesebben

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat Alsó-Dun-völgyi Vízügyi Igzgtóság Ikt. szám: 0010-CCO/2013. Témfelelős és szerkesztette: dr. Szőke Év, dr. Petz Gábor 0 /2013. sz. igzgtói utsítás Adtvédelmi Szbályzt Az információs önrendelkezési jogról

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett H O R V Á T K Ö Z T Á R S A S Á G KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÉRDŐÍV (március hó 31. npj, 24 óri állás szerint) P-1 Nyomttvány A jelen nyomttványbn szereplő összes dtok titoknk számítnk és cskis sttisztiki

Részletesebben

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004. Irodlom Formális nyelvek I. Véges utomták és reguláris nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTK Informtiki Tnszékcsoport Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Fülöp Zoltán, Formális nyelvek és szintktikus

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet II. fejezete szerinti

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Elosztott energiaforrások hálózati visszahatása. Elosztott energiaforrások

Elosztott energiaforrások hálózati visszahatása. Elosztott energiaforrások Elosztott eergiforrások hálózti isszhtás Dr Dá Adrás egyetemi tár BME VET Elosztott eergiforrások Primer eergi Megújuló p szél íz biomssz Nem megújuló kőolj, földgáz hidrogé Elosztott eergiforrások Mechiki

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet III. fejezete szerinti

Részletesebben

Egyéb előterjesztés Békés Város Képviselő-testülete 2015. február 02-i ülésére

Egyéb előterjesztés Békés Város Képviselő-testülete 2015. február 02-i ülésére Tárgy: Belvízrendez z élhetőbb települekért konzorciumi szerződ 4. számú módosítás Előkzítette: Gál András osztályvezető Véleményező bizottság: Műszki Osztály Pénzügyi Bizottság Sorszám: IV/15 Dönthoztl

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat A Telephnt Távközlési és Telekommunikációs Szolgálttó Zártkörűen működő Részvénytársság ( továbbikbn: Telephnt Távközlési Zrt. vgy Szolgálttó ) z előfizetők személyes dtit bizlmsn, htályos jogszbályi előírásokkl

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

Témakörök Windows és internet használata

Témakörök Windows és internet használata Témkörök Windows és internet hsznált spektusokr A gykorlt is fölhívom témkörei figyelmét, közül és jó párt, olyn fontos tlán z fogásokt összest is ismerhet ismeri. Azonbn meg, miket lehet, eddig hogy nem

Részletesebben

Ellenırzési nyomvonal szabályzat (SZMSZ melléklet)

Ellenırzési nyomvonal szabályzat (SZMSZ melléklet) II. Rákóczi Ferenc Megyei Könyvtár A folymtb épített, elızetes és utólgos vezetıi ellenırzés (FEUVE) szbályztához kpcsolódó Ellenırzési nyomvonl szbályzt (SZMSZ melléklet) Jóváhgyt: -.... Jóváhgyás idıpontj:

Részletesebben

Az összes képviselő, bizottsági kültag és a hivatal

Az összes képviselő, bizottsági kültag és a hivatal - 39- lényege z lesz, ismeretlen tettes robbnószerkezetet próbált z blkomon keresztül bejutttni lkásomb, mely robbnószerkezet csk részben jött működésbe, igy keletkezett kár viszonylg kicsi, z ijedelmen

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Modul I Képzési szükségletek elemzése

Modul I Képzési szükségletek elemzése Modul I Képzési szükségletek elemzése A Képzési szükséglet-elemzési kézikönyv szerzoje: Instituto do Emprego e Formção Profissionl 1 Képzési szükségletek elemzése A következo oldlkon Önnek módj lesz föltenni

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben