SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k"

Átírás

1 A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; i) 0; ; 999 ; j) ; -; ; A soroztok egy lehetséges hozzáredelési szbályát djuk meg, természetese más megoldás is elképzelhetõ. ) - ; 8 ; 0; 0 b) - 9 8; ; 9; 0 00 c) - 00 ; ; ; d) + ( -) ; ; 8; 0 + e) (-) ; - ; ; f) (-) ; - ; ; 0-8 g) ; - 0 ; - 0 ; Oldjuk meg + egyeletet!, tehát, Legye sorozt két szomszédos eleme k és k+. Azt kell megvizsgáli, hogy lehet-e k+ - k, zz ( k+ ) + - ( k+ ) feltétel elletmodásr vezet. Azt kptuk, hogy soroztb két szomszédos elem külöbsége, és em lehet.

2 . Keressük zt z természetes számot, melyre (-) + 00 (-) 99 Ez em teljesülhet, hisze z egyelõség bl oldl mide pártl természetes számr egtív Oldjuk meg természetes számok hlmzá + - egyeletet! dódik, zz. 8 Keressük zt z természetes számot, melyre < Mivel - mide pozitív természetes számr pozitív, ezért ez kkor teljesülhet, h + < 0. Ilye természetes szám em létezik, tehát soroztk ics egtív eleme.. ) b) - + 8

3 A SOROZAT MEGADÁSA c) d) e) + f) ( + ) g) h) + - 9

4 i) j) - - k) l) Egy oldlú sokszög egy csúcsából húzhtó átlók szám: -. E szerit 0 oldlú sokszög egy csúcsából húzhtó 00 átló. Az 0 oldlú sokszög egy csúcsából átló húzhtó. 0. Egy oldlú sokszögek ( - ) v. átlój v. Egy 0 oldlú sokszögek így átlój. Ige lehet. Az oldlú sokszögek átlój v. Bebizoyíthtó, hogy másik sokszög ilye tuljdoságokkl em redelkezik.. Az egy csúcsból húzhtó átlók z oldlú sokszöget - drb háromszögre osztják. Így 0 oldlú sokszög eseté lesz háromszögek szám 00.. Az oldlú sokszög belsõ szögeiek összege: ( - ) 80. Így háromszög belsõ szögeiek összege 80, égyszögé pedig 0. 80

5 A SOROZAT MEGADÁSA. Egy oldlú szbályos sokszög egy oldlához trtozó középpoti szög gyság: 0. A feldt szerit: 0 < 0 > Leglább oldl v szbályos sokszögek.. Egy oldlú szbályos sokszög egy belsõ szögéek gyság: A feldt szerit: Legfeljebb oldl lehet sokszögek. Számti soroztok. A lehetséges számti soroztok: ) c) - + e) b c c f) ) - + b) - + c) - + d) - e) + f) ) 0 + 9d egyelõség lpjá: 0 0. b) + ( -) c) S + 9d ) b) S 0 0 c) ( -) lpjá ( -) 0 9 A sorozt 9. eleme lesz ) 0 + ( 0 -) d lpjá ( - ) b) S 0 0 8

6 c) Keressük zt természetes számot, melyre: + ( -) ( - ) -99 8, ez em megoldás természetes számok hlmzá, tehát soroztk em eleme ) A számti sorozt eseté teljesül, hogy. ) d b) S b) Az 0 + 9d egyelõség lpjá, hol d, dódik. c) ( ). + 8 k l. ) l k b) d - l- k c) Az + d egyelõség lpjá - d k - k- l.. Elõször célszerû b) kérdésre válszoli! - 0 b) d ) d c) ( ) ( ).. Elõször c) pot kérdésére válszolv: 8-8 d - ) d b) d c) d d) ) d c) 0 0 ( > term. szám) b) - d

7 SZÁMTANI SOROZATOK. A megoldás sorá z + ( - ) d összefüggést kell lklmzuk. ) 8 b) - c) d) e) - f) 9 k+ 8l 8. ; ;. Mivel d -, ezért + d Mivel d - -, ezért Mivel d -, így keressük zt z természetes számot, melyre: + ( -) Tehát.. Mivel d -, így keressük zt z természetes számot, melyre: 9 + ( -) 9 Tehát.. A sorozt differeciáj d -( - b) b, így keressük zt z természets számot, melyre + 0b - b+ ( -) b Tehát + 0b Legye, 8. Ezért d. Így megfelelõ számti sorozt: ; ; ; ; 9; ; ; ;.. Legye,. Ezért d ; ; 9; ; ; ;.. Legye, 9 0. Ezértd -. Így megfelelõ számti sorozt: 9-8 ; ; ; ; ; 99 ;...; ; ; 0.. Így megfelelõ számti sorozt: 8

8 . A sorozt differeciáj: d + d.. A sorozt differeciáj: d 0 + d A sorozt differeciáj: d - d H második egyeletbõl kivojuk z elsõt: d+ d d Az elsõ egyelet lpjá A sorozt elsõ eleme -, külöbsége d. 0. Az elsõ egyelet lpjá - - d d - A ásodik egyeletbõl: + d+ + d 8 A sorozt elsõ eleme: 8, külöbsége d -.. Mivel -, zz d, ezért d. Másrészt Ê 9 ˆ + Á + Ë A sorozt elsõ három eleme: ; ;. 8

9 SZÁMTANI SOROZATOK. Mivel 0 - d 80, ezért d. Azt kell megvizsgáli, hogy létezik-e oly természetes szám, melyre ( -0) A sorozt. eleme 80.. Mivel + + és + 9, ezért sorozt 9. eleme.. Mivel 0 - d 0, zz d. Ezért soroztk em lehet pártl szám z eleme.. Az elsõ egyelõség lpjá: 8 - d, d 0, A második egyelõséget osztv -vel: + Így + d.. A feldtk csk oly számti soroztok felelhetek meg, melyek külöbségére igz, hogy d Legye sorozt elsõ eleme. Így + d 8 + d 9 9 H d 0, kkor ics megoldás, hisze dód. H d, kkor és keresett szám:. H d -, kkor és keresett szám:. H d ±, kkor sem kpuk értékére egész számot. Így feldtk két égyjegyû szám tesz eleget: és.. 0 és Hszáljuk fel, hogy 0 + d és 8 + d, így második feltétel: 0 + d 0 + d-0 d - Mivel + d, ezért 0 - (- ) 0. A sorozt elsõ eleme 0. 8

10 8. Mivel - 8 d, így d. 8- d 8 -. Az elsõ száz elem összege: + 99d S Jelöljük z elsõ három elem összegét A-vl, következõ három elemét B-vel. A feldt feltételei szerit: A B-0 A+ B 0 Ezt z egyeletredszert megoldv A és B dódik. Másrészt h sorozt elsõ eleme, külöbsége d: + d + d 0 Eek z egyeletredszerek megoldási:, d 0. d 0. Hszáljuk z S + ( -) összegképletet! ) S 0 b) S 0 0 c) S - d) S 0 99 e) S 0 - f) S g) S 9.. Midegyik esetbe számti soroztokról v szó. 00 ) S b) S c) S + 0. Midegyik esetbe számti soroztok összegét kell meghtározi. ) S b) S c) S Legye, Meghtározdó: S Legye 00, Az -tel oszthtó háromjegyû számok összege így: S

11 SZÁMTANI SOROZATOK. A megfelelõ számok számti soroztot lkotk, hol 0, Ezek összege: S A páros számok összegébõl vojuk ki -ml oszthtó páros (-tl oszthtó) számok 98 összegét! A páros kétjegyû számok összege: S A -tl oszthtó 9 héthegyû számok összege: S + 8. A keresett összeg: S S- S.. A számok számti soroztot lkotk, hol 0, Ezek összege: S Legye keresett elemszám. A soroztb és d. Az összegképlet lpjá: + ( -) Az egyeletek két gyöke és -. A feldtk z tesz csk eleget. 9. A soroztb, d. A keresett elemszámot jelölje. ( -) ) S > 00 zz > 00. Az egyelõtleség megoldás: < leglább 8 elemre v szükség. vgy > ª, 0. Ezért ( -) b) S < 00 zz < 00. Az egyelõtleség megoldás: < <- - 0 ª 9,. Legfeljebb 9 elemet vehetük. ( -) c) S zz. Az egyeletek két megoldás v és -. Tehát elemet kell veük soroztból! 8

12 80. Alklmzzuk következõ összefüggéseket! - + d S ) d ; S0 900 b) d ; S 9 8 c) d ; S d) d ; S Alklmzzuk z -( -) d és z S összefüggéseket! ) - 8; S -0 b) 9; S 0 c) ; S d) - 9 ; S Alklmzzuk z + és z S összefüggéseket! d ) 00; S b) ; S -00 c) 00; S 0 00 d) ; S A polcoko levõ köyvek szám számti soroztot lkot, hol, d és 8. A köyvek szám: S Az egyes másodpercekbe megtett utk hossz számti soroztot lkot, hol, d. A. másodpercbe megtett út: +. A. másodperc ltt + megtett út: S. 8. Az ütések szám:,,,..., sorozt kétszeri ismétlõdése. Így z ütések szám: Az elõzõ feldt megoldás szerit z egész órák ütése sorá ütés hgzik el. Egy órá belül egyed órák ütése sorá ütés hgzik el. Ez ór ltt 0 ütést jelet. Így z ór egy p ltt szor üt. 8. A hõmérsékletek oly számti soroztot lkotk, hol d -0,. H eek soroztk z -dik eleme, kkor S, + ( -0, ), Az egyeletet megoldv:,, zz október elsejé, ºC volt. 88

13 SZÁMTANI SOROZATOK 88. A pot megkötött sál hossz oly számti soroztot lkot, hol 8 és d. A szükséges pok szám legye. S 8 + ( - ) 00 Ezt -re megoldv 9 - ª, és dódik. Tehát sál p ltt készül el. 89. Legye szükséges órák szám. Az egyes órák ltt megtett km-ek szám oly számti soroztot lkot, hol és d -. Az összegképlet lpjá: + ( -) ( -) Az egyeletet megoldv és dódik. Ez zt jeleti, hogy ór illetve ór múlv lee kerékpáros z idulási helyétõl km-re. A ór eseté ez zt jeleti, hogy mozgás sorá visszfordul. (A. óráb egy órát pihe, hisze 0.) 90. Az egy perc ltt mérhetõ sebességváltozás km 0 Dv h 0 km km ª,. h h 9. Az egyes sorokb tlálhtó székek szám oly számti soroztot lkot, hol és d. Mivel sor v, ezért székek szám S A sebességek oly számti soroztot lkotk, hol, m s és 0, + d, hisze z elsõ másodperc végé már 0, m s Ezek szerit: + d, 0, + d d 0, kezdõsebességet változás megöveli. A golyó sebessége másodpercekét 0, m s -ot változott. 9. A sorokb tlálhtó helyek szám oly számti sorozt, hol: 8 és d. Mivel sor v, ezért székek szám: 8 S

14 9. Jelöljük sorok számát -el. Az egyes sorokb tlálhtó golyók szám oly d számti sorozt, melyre és d. Az S + ( -) öszefüggést lklmzv: ) + - Az egyeletet megoldv és -. Tehát golyóhoz sorr v szükség. b) Az egyeletet megoldv - + és - - ª, dódik. Ez zt jeleti, hogy sorr v szükségük 9 golyó eseté. 9. Az egyes sorokb tlálhtó háromszögek szám oly számti sorozt, hol és d. Az elsõ 0 sorb tlálhtó háromszögek szám: 9 S A sorokb tlálhtó geredák szám számti soroztot lkot, hol és d -. Összese sor keletkezik. A geredák szám: S + ( - ) A kivett szemek szám számti soroztot lkot, és d. Összese 0-szor vettek kosárból, így z összes szemek szám: 9 S Péter áltl kivett szemek szám oly számti sorozt, hol és d. Összese: 9 S Mivel Péter 00 szemet vett ki, ezért Pálk szem jutott. Mérti soroztok 98. Jelölje számti, b mérti sorozt áltláos tgját. ) Számti s.: ; 8; 0; ; ;... 0 Mérti s.: ; 8; ; ; 8;... b 0 9 b) Számti s.: ; ; 0; -; -; Mérti s.: ; ; ; ; 8 ;... b

15 MÉRTANI SOROZATOK c) Számti s.: ; ; ; ; 0; Mérti s.: ; ; 8 ; 9 ; ;... b 0 8 d) Számti s.: ; ; - ; - ; - ; Mérti s.: ; ; ; ; ;... b e j 99. ) ; 9; ; q b) ; 8; q c) ; ; q d) 8 ; ; q ) b) c) d) (-) F H G I K J 9

16 0. ) F H G I K J - - b) c) F H G I K J - b g d) Hszáljuk fel z q összefüggést! ) q 9 0 F I HG K J 8 b) q - 0 (-) 9-8 c) q d) q - 0. Mivel q - F 0 I HG K J 0 9 F HG I K J 0 -. Ezért kilecedik elem: 9 q q. Felhszálv, hogy q -, F H G I K J - és 8 F H G I K J. 0. q -, így hetedik elem: - F HG I K J q ; - 8 e j ; 9 e j Az q összefüggést felhszálv: ) 0 b) 0 (-) (-) 9 98 F 9 c) 0 I - HG K J - 0 d) 0 00 (0,) 9, 0 - F HG I K J e) ) q 88 b) A két sorozt egyelõ, hisze q q q q q 9 f) 0 e j ª, 9

17 MÉRTANI SOROZATOK 09. ) q b) A két sorozt egyelõ, hisze 9 q 8 q 8 q q q 8 0. Hzáljuk fel, hogy mérti soroztok esetébe igz, hogy - +. A feldtok esetébe vgy - is megoldás lehet. ) ± b) ± c) ±9 d) ± e) ± f) ±.. Hzáljuk fel z - q összefüggést! ) 8 q b) 8 c) q 8 d) ª 0, 9 q.hszáljuk q - összefüggést! ) q d) q fi q ± b) q fi q. lpjá ± lpjá 8 ± q fi q ± c) q fi q. lpjá ±.. A mérti sorozt háydos q. Az S q - összegképlet lpjá: q S. S q - képletet lklmzv: q - S 0 0 F I HG K J - 0 ª, 998-9

18 8. Mivel q -, ezért 0 F - I S 0 HG K J - ª 0, S 0. S 0 e j ª 9, 99-0 F I HG K J -. Mivel q, ezért 0 ª, q fi q vgy q - Az elsõ húsz elem összege: 0 S 0-0 ' ( ) S , vgy (-)-. Felhszálv, hogy q q vgy q -. Az elsõ tíz elem összege: S 0 ' S 0 F HG 0 I - KJ 9 + ª,, vgy 9-0 F - I - HG KJ - + ª 0, Felhszálv, hogy q q 9

19 MÉRTANI SOROZATOK Az elsõ ht elem összege: S 0 F I HG K J Felhszálv z S q - q - összefüggést:. A q ) S 8 F I HG K J -, b) S c) S (-) ( ) d) S -- - és z S q - összefüggések lpjá: q - F I HG K J - - ) q és S - 8 -, vgy q - és S (-) b) q S - (-) - c) q - S -,, A sorozt elemére teljesül, hogy, ezért. Az q összefüggés lpjá q S 0 ' S 0. Az q - vgy q -. Az elsõ 0 elem összege: 0 e j - e + j - 0 e- j - e - j - - összefüggést felhszálv: ( + q) ( + q) q q vgy q' - A sorozt elsõ eleme: UVW q vgy -. ª, 0 ª-, 0 9

20 8. Az q - összefüggés lpjá: ( + q) ( + q) q UVW q 9 q vgy q - vgy -. 0 S 0 9. Az q ' (-) - vgy S összefüggés lpjá: ( - q) ( - q) q 0 UVW q q vgy q - - vgy. 0. Mivel + + ( + q + q ), ezért. S , ezért vgy -. A sorozt elsõ eleme: vgy 0. A sorozt háydos: q vgy q -.., ezért vgy -. Ez lpjá hrmdik elem - 8 vgy. A sorozt elsõ eleme: - vgy. A sorozt háydos: q - vgy q -.. A két egyeletet összedv és 8 dódik. A sorozt háydos q. AZ elsõ eleme: 8 q.. A feldt feltételei szerit: és + +. A háydos és z elsõ elem segítségébel: ( + q + q ) 8 ( + q + q ) q A két egyeletet egymássl osztv q dódik. 9. A sorozt elsõ ht eleme: 9; 8; ; ; ;. 9

21 MÉRTANI SOROZATOK. Az q - összefüggést felhszálv: ( + q + q ) ( + q + q ) q Az egyeleteket egymássl osztv q és. Az elsõ égy elem összege: - 80 S. -. A két egyeletet átlkítv: ( + q + q ) - ( + q + q ) q - Ezeket egymássl osztv q és - dódik.. Az q - összefüggés lpjá: ( + q + q ) -9 ( + q + q ) q 9 Az egyeleteket egymássl osztv q - és - dódik. A sorozt elsõ három eleme: -; ; Mivel, ezért vgy -. H, kkor, h -, kkor 9. Eek megfelelõe sorozt háydos q egyelõség lpjá q ±. Az - 9 em d megoldást, hisze háydosr q - 9 dód. A sorozt elsõ három eleme: ; ; vgy -; ; Mivel és, ezért q. ) S - -. b) Az elsõ hét eleméek szorzt: q q q q q q ( q ) q. 9

22 0. és, ezért q. 0 ) S b)... ( q) ( q )... ( q ) q q 0. A sorozt háydos q. 0 F I HG K J ) S b) 0 q q q 0 q q... ( ) ( )... ( ). Vegyes feldtok. A betét gyság oly mérti soroztot lkot, hol 000 és q A tíz év múlv kpott összeg: q 0 ª 8,8 Ft.. A betét összege legye x. Mivel öt év múlv 000 Ft kmtot kpuk, ez x-szel kifejezve: F I x + x 000 HG 00 K J - Ezt z egyeletet megoldv: x ª 88, Ft betét szükséges.. A 0 év múlv felvehetõ összeg: 0 F I HG K J ª x , F HG I K J 8, Ft.. A betét összege öt év múlv: F F I HG K J HG. Fél év, zz ht hóp elteltével bevétel: F HG x, I K J ª, 0, milló Ft. I K J. Az ifláció mitt vásárlóértéke:. 98

23 VEGYES FELADATOK. A kiidulási összeg legye x. hóp elteltével: F I HG K J 0 x + 00 Az egyeletet megoldv kiidulási összeg gyság x ª 8, Ft. 8. A város lkosság 0 év múlv: x Az ország lkosság év múlv: x F I HG K J ª. F I HG K J ª A száz évvel ezelõtti lkosok szám legye x. 00 F I HG K J 0 x + 00 Az egyeletet megoldv városb száz éve x ª 89-e lktk.. A teiszlbd htodik ütközés utá x 0 0,,8 m mgsr emelkedik.. H kezdeti hõmérséklet gyság x, kkor F I x - HG 00 K J 8 Ismét x ª, C dódik.. A rdioktív yg meyisége oly mérti soroztot lkot, hol q. 8 ór elteltével x 00 8 F I HG K J, mg rdioktív yg mrd.. méteres kút eseté. I. mester bére: Ft. II. mester bére: 0, + 0, + 0, , 0, - Ebbe z esetbe II. mester olcsóbb dolgozik. 0 méteres kút eseté: I. mester bére: Ft. II. mester bére: 0, Ft. - Ekkor már z I. mester sokkl olcsóbb dolgozik! -, Ft. 99

24 . Mivel lók égy láb v, ptkószögek szám:. Így ló ár: 0, + 0, + 0, , 0, - -, Ft.. A féyyláb erõssége oly mérti soroztot lkot, hol q. Öt üveglp utá z itezitás részére csõkke.. A golyó sebesség z ötödik lemez utá x 800 0,8, m s. 8. Legye r 0 cm z elsõ kör sugr és z elsõ égyzet egy oldlák hossz. 00 r r r A körök sugri oly mérti soroztot lkotk, hol r 0 és q. A égyzet oldlir r. Ezek szité mérti soroztot htározk meg, hol 0 és q. A egyedik égyzet egy oldl t cm. A kerületek szité mérti soroztot lkotk: k 0 és q. Az elsõ égy kerület összege: 0 A területek mérti sorozt: t 00 és q. Az elsõ égy terület összege: 00 F HG F HG F I HG K J - I KJ cm, kerülete k I KJ - - cm. - ª,8 cm. r r 0 cm, területe

25 VEGYES FELADATOK 9. A feltétel zt jeleti, hogy bktériumok szám órákét megkétszerezõdik. Egy hét ltt 8 ilye periódus v, ezért bktériumszám: 8 ª, Az egyes emzedékekbe tlálhtó legyek szám következõ módo lkul: I. 00 II III IV Így legyek szám IV. emzedék utá S ª, 0 milliárd A 0 év múlv mérhetõ fállomáy térfogt: V F I HG K J ª 8, m.. A kiömlõ víz meyisége perc elteltével: S 0 099, - ª 88, hl. 099, - A trtályb mrdó víz meyisége: 9000 hl - 88, hl 8,88 hl.. A gép értéke 0 év elteltével: ,9 0 ª 8,8 Ft.. A hírrõl értesülõk szám z idõ függvéyébe: 0 h h h h h... h 8 Oly mérti sorozt dódik, hol, q. ór elteltével hírt ismerõk szám: S A dugttyú egy mozdult utá z edéybe mrdt levegõ yomás szívás elõtti yomás része lesz. mozdult utá kilkuló yomás gyság: 8 F HG I K J p 0, hol p 0 p 8 p ª, P. 0 P 0

26 . A skktáblá mezõ v, így szükséges búzszemek szám: ª, A kért búzmeyiség tömege:, 0 kg, billió to!. Jelölje z -edik égyzet ollát, területét t. Mivel és t, elõször vizsgáljuk meg értékét! Pitgorsz-tételét lklmzv: F I HG K J Áltláb is igz, hogy - Az oldlk oly mérti soroztot lkotk, hol és q. Eszerit: 0 9 e j t Az -edik égyzet oldl legye, területe t. Pitgorsz-tétele lpjá: F I HG K J F + H G I K J Az oldlk oly mérti soroztot lkotk, hol és q kerületéek összege: ( ) A tizedik égyzet területe: t 0 0 F HG I 8 F HG KJ ª 0,00. I KJ - - ª,09. Az elsõ öt égyzet 9. Az -edik szbályos háromszög oldl legye. Az egymást követõ háromszögekre igz, hogy - 0

27 F VEGYES FELADATOK A hetedik háromszögre: I HG K J. Kerülete: k. Területe: t 8 ª, Az -edik szbályos háromszög oldl legye, kerülete pedig k. és k. A Pitgorsz-tétel lpjá, z ábr szerit: F - - HG I K J + F H G I K J -. A hetedik háromszög F eseté: HG I K J k. 9 A keresett százlék: k ª, %. k Jelöljük z -edik körgyûrû területét t -el. t ( + ) p - p ( + ) p A körgyûrûk területei számti soroztot htározk meg. t 0 p ª,9.. A f ágik szám következõk szerit lkul éves (8 ág) éves ( ág) éves ( ág) H z ágk számát z -edik évbe jelöli, kkor észrevehetõ, hogy (Fibocci-sorozt) Így 8 + ág lesz fák 8 éves koráb. 0

28 . Az egyes potokb írv, hogy od háyféle módo érkezhetük, z dódik, hogy csúcsr 8 féle úto juthtuk.. Írjuk z egyes potokb, hogy háyféle módo érkezhetük od!. Az egyes mezõkre írjuk, hogy háyféle módo érhetjük el. ) A jobb felsõ srokb úto juthtuk el b) Hsoló kitöltve tábláztot dódik, hogy lehetséges útvolk szám: H sorozt differeciáj d, kkor z elsõ egyelõség: - d d -, zz - A második egyelõség lpjá: (- - d) (-) (- + d) 80 Ezt megoldv d vgy d -. A sorozt elsõ három eleme: -0; -; vgy ; -; -0.. Fejezzük ki z egyes elemeket 0 és sorozt d differeciáják segítségével: 0 - d d d d 0 Az elsõ tizekilec elem összege: S d + 0-8d d

29 VEGYES FELADATOK 8. H z áru eredeti ár x forit, kkor z egyes árcsökkeések htásár z ár: x 0,9 0,9 x 0,8 Ez zt jeleti, hogy z eredeti ár, %-kl csökket. 9. Mide kiötés eseté kiömlõ lkohol meyisége ráyos z edéybe levõ lkohol meyiségével, eek 9 része, így z edéybe mide esetbe rész mrd. 0 0 Mivel kezdetbe 0 l lkohol volt, ezért tizedik kiötés utá: 0 0 F 9I HG 0 K J l ª,9 l lkohol mrd. 80. Legye potok szám. H ezeket úgy vesszük fel körvolo, hogy ezeket összekötve kör belsejéek bármelyik potjáb legfeljebb két összekötõ szksz messe egymást, kkor z egyes esetekbe következõ részek szám z lábbi módo lkul: potok szám r részek szám 8 Ezek utá megfoglmzhtó egy sejtés, mely megdj részek számát z függvéyébe. Arr godolhtuk, hogy r -. Láthtó, hogy képlet eseté helyese dj meg részek számát. H megvizsgáljuk z esetet, kkor zt várjuk, hogy rész keletkezik. Ez zob ics így! esetbe kör részeiek szám csk. A feldt jó példát dht rr, hogy soh em szbd elhmrkodott áltláosíti. 0 pot felvétele eseté legfeljebb síkidom keletkezhet. Ez egy megfelelõ ábr elkészítése eseté még összeszámlálhtó. 8. Jelöljük z illeszthetõ egyeesek számát e-vel. A potokt megfelelõ helyzetbe síko felvéve, következõ táblázt yerhetõ: e 0 Mivel bármelyik pot - másik pottl htároz meg egy egyeest, így h potokét összeszámoljuk és figyelembe vesszük, hogy egy egyeest két pot eseté számoluk, kkor pot eseté z egyeesek szám: ( -) e. 0

30 8. Az egyeesek kkor dk legtöbb metszéspotot, h icseek közöttük párhuzmosk és bármely metszéspotot át csk két egyees hld át. Ilye feltételek eseté következõ tábláztot kpjuk. ( z egyeeses, p potok szám.) p 0 Mivel bármelyik egyees - egyessel d metszéspotot, és bármelyik metszéspot potos két egyees metszéspotjkét jö létre, ezért z áltláos formul következõ lesz: ( -) p. Ezért z egyees legfeljebb ( -) metszéspotot htároz meg síko. 0

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:...

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:... 2005. jnuár-feruár FEVÉTEI FEADATOK 8. évfolymosok számár M 1 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon végezz! Mellékszámításokr

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 27. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2013

Matematikai feladatlap T9-2013 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ ZONOSÍTÓ SZÁM T9-57 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt feldtot trtlmz.

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben