1. Halmazok, relációk és függvények.

Átírás

1 . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció h r Ø és r A x B - z r reláció értelmezési trtomáy (D r ) D r := { A b B : (,b) r} (domi) - z r reláció értékkészlete R r := {b B A : (,b) r} (rge) - függvéy A Ø, B Ø. Az f A x B relációt függvéyek evezzük, h x D f eseté!y B : (x,y) f. y = f(x). y z f fv. x helye felvett helyettesítési értéke f: A B h f A x B és D f =A - függvéy megdás ) f: A B, x x ) f(x) := x (x R) - hlmz képe f: A B, C A; A C hlmz f áltl létesített képe: f[c] := {f(x B) x C } - hlmz ősképe f: A B, D B; A D hlmz f áltl létesített ősképe: f - [D] := {x A f(x) D } - ivertálhtó (ijektív) függvéy Az f fv. ivertálhtó (ijektív) h külöböző D f -beli elemekhez, külöböző R f -beli elemeket redel. - függvéy iverze Tfh. f: A B ijektív, zz y R f hez!x D f : f(x) = y, kkor R f D f, y x melyre f(x) = y z f fv. iverz fv.-e. (Jele: f - ) - bijekció f: A B fv. z A és B közötti bijekció, h f ivertálhtó és R f = B - függvéyek kompozíciój (összetett függvéye) Legye f: A B és g: C D és tfh. { x C g(x) D f } Ø. Ekkor f g { x C g(x) D f } B, x f(g(x)) z f és g fv.-ek összetett fv.-e vgy kompozíciój. (f külső és g belső fv.)

2 . A vlós számok Dedekid-féle xiómredszere (testxiómák, redezési xiómák, teljességi vgy Dedekid-féle xióm). - testxiómák: o összedás művelete: r: R x R R kommuttív sszocitív 0 (ullelem): x R : x + 0 = x v elletett: x R-hez x : x + x = 0 o szorzás művelete : R x R R kommuttív sszocitív ( 0, egység): x = x ( x R) v reciprok: x R\{0}-hoz x* R: x x* = o disztributivitás (x + y) z = x z + y z ( x,y,z R) - redezési xiómák: ( R x R) o lieáris redezés x x x R (reflexív), x y és y x x = y (tiszimmetrikus), x y és y z x z (trzitív), x,y R eseté x y vgy y x (trichotóm) o redezés és műveletek kpcsolt x,y R : x y x + z y + z ( z R) x y 0 z : x z y z (x,y R) - teljességi (Dedekid-féle szétválsztási) xióm H A, B R, A Ø, B Ø vlmit A és b B: b, kkor ξ R: ξ b ( A, b B) (ξ - elválsztó elem) - R részhlmzi (N, Z, Q) - természetes számok hlmz (N= {,, 3, }) N :=I H (legszűkebb iduktív hlmz) H R - iduktív hlmz H R, iduktív hlmz, h H; és h x H x+ H. R iduktív hlmz. Akárháy iduktív hlmz metszete is iduktív hlmz. - teljes idukció elve (BIZ!) Tfh. z A() (mtemtiki) állítás N-re vgy igz, vgy hmis o h A() igz és o h A() igz A(+) is igz, kkor N-re A() igz. S := { N A() állítás igz } N S iduktív hlmz, ui. S; és h S + S. N legszűkebb iduktív hlmz N S S = N.

3 3. A szuprémum elv: számhlmz mximum, miimum, korlátosság, szuprémum-elv, szuprémum defiíciój, ekvivles átfoglmzás, teljességi xióm ekvivles szuprémum elvvel, ifimum. - hlmz mximum mximális elem Ø H R hlmzk, v mximum, h α H: x H-r x α. Ekkor α H mximális eleme, mx H := α. - hlmz miimum miimális elem Ø H R hlmzk, v miimum, h β H: x H-r β x. Ekkor β H miimális eleme, mi H := β. - hlmz felülről korlátos Ø H R hlmz felülről korlátos, h K R: x K ( x H) - hlmz lulról korlátos Ø H R hlmz lulról korlátos, h k R: k x ( x H) - hlmz korlátos Ø H R hlmz korlátos, h lulról és felülről is korlátos. H R korlátos K>0: x K ( x H) - szuprémum elv (BIZ!) Legye H R: H Ø; és H felülről korlátos H felső korláti között v legkisebb. (Teljességi xióm lpjá) A := H, B := {K R K felső korlátj H-k}, tfh. A Ø és B Ø; x H és K B eseté x K. Ekkor ξ R x ξ K ( x H, K B) Erre ξ-re: ξ felső korlát (ξ B) és legkisebb. Ø H R, H felülről korlátos. ξ = sup H x H x ξ; és ε>0-hoz x H: ξ-ε < x. (ξ-ε em felső korlát) - szuprémum Ø H R hlmzák (mi felülről is korlátos) legkisebb felső korlátját H szuprémumák evezzük. Jelölés: sup H := mi{ K R K felső korlátj H-k } - ifimum H Ø H R lulról korlátos hlmz, kkor z lsó korlátok között v leggyobb. if H := mx{ k R k lsó korlátj H-k } ifimum: leggyobb lsó korlát. Tfh. Ø H R, lulról korlátos hlmz. ξ = if H x H ξ x; és ε>0-hoz x H: x < ξ+ε - A teljességi xióm léyegébe ekvivles szuprémum elvvel. - Q-b em igz teljességi xióm!

4 4. Az rchimédeszi tuljdoság és Ctor-tuljdoság. A gyökvoásr votkozó tétel. - Archimédeszi tuljdoság >0 és b R N: b < ( R) Köv. ) ε>0 N: / < ε. ) N felülről em korlátos (Bármilye számál v gyobb természetes szám: b R N: > b) 3) Ø K N hlmzk miimum. - Ctor-tuljdoság Tfh. N dott [, b ] R (korlátos és zárt) itervllumok úgy, hogy [ +, b + ] [, b ] ( N). Ekkor I Ν [, b ] Ø, zz mide egymásb sktulyázott korlátos és zárt itervllum-soroztk v közös része. - Teljességi xióm Archimédeszi tuljdoság + Ctor-tuljdoság - gyökvoás Legye N rögzített α 0!ξ 0: ξ = α. ξ = α / z α -edik gyöke.

5 5. A rcioális és vlós számok kpcsolt. - R : redezett test + teljességi xióm szuprémum elv Arkhimédeszi- és Ctor tuljdoság - Q = {p/q p Z, q N} - Q z R-beli műveletekkel: o redezett test o Q R, R\Q =: Q* (irrcioális számok hlmz) Q* Ø o Q-b teljességi xióm em igz! - sűrűségi tétel,b R, <b. ) (,b) Q Ø; (mide itervllum trtlmz rcioális számot, rcioális számok sűrű vk z R-be) ) (,b) Q* Ø - sup H := + H Ø H R és felülről em korlátos, kkor sup H := +. - if H := - H Ø H R és lulról em korlátos, kkor if H := -.

6 6. Vlós sorozt foglm. Elemi tuljdoságok. - vlós sorozt : N R függvéyt evezzük vlós soroztk. = () : fv. helyettesítési értéke z helye ( sorozt -edik tgj). - sorozt megdás ) := 3 + ( N) ) :=, h =, 4, 6, ; vgy -, h =, 3, 5, 3) rekurzív módo: () := 3 + := ( N) (b) := 7 + := 3 (=,,3, ) (egylépéses rekurzió) Fibocci sorozt: :=, := + := + + (kétlépéses rekurzió) - számti sorozt α, d = R rögzített. (α: kezdőtg, d: differeci) := α, + := α+(-)d := α, := - + d (=, 3, 4, ) - mérti sorozt α, q = R rögzített. (α: kezdőtg, q: háydos) := α, := α q - := α, :=q - (=, 3, 4, ) - hrmoikus sorozt := / ( N) - műveletek soroztokkl = ( ), b = (b ): + b := ( + b ) := ( ) ( N) b := ( b ) h b 0 ( N), kkor / b := ( / b ) - soroztok elemi tuljdosági: o korlátosság ( ): N R; () ( ) felülről korlátos, h K R: < K N). (b) ( ) lulról korlátos, h k R: N k ). (c) ( ) korlátos, h lulról és felülről is korlátos. ( ) korlátos K R: N: K o mootoitás ( ): N R; () ( ) mooto övekedő, h N: + ( ) (b) ( ) szigorú mooto övekedő, h N: < + ( ) (c) ( ) mooto csökkeő, h N: + ( ) (d) ( ) szigorú mooto csökkeő, h N: > + ( ) (e) ( ) mooto, h (), (b), (c) vgy (d). - evezetes egyelőtleségek: o háromszög-egyelőtleség: (,b R) ) + b + b ) - b b o Beroulli-egyelőtleség ( h - és N) ( + h) + h (h R) (Teljes idukcióvl:) = ( + h = + h) Tfh -re igz. ( + h) + = ( + h) ( +h)

7 o számti-mérti közép és = = = 3 =... = + b pl. =;,b 0: b, (lgebri biz.) ui. 4b +b+b 0 -b+b = ( -b )

8 7. Koverges és diverges soroztok. Sorozt htárértéke. - htárérték () := / ( N) =, =/, 3 =/3, ( sorozt tgj 0 körül sűrűsödek) ( ) (b) := ( N) =-, =/, 3 =-/3, ( 0 körül sűrűsödek tgji) (c) :=, h (=,3,5, ) és +, h (=,4,6, ) =, =3/, 3 =/3, 4 =5/4, ( 0 és körül sűrűsödek tgji) (d) := (-) ( N) =-, =, 3 =-, 4 =, ( sűrűsödési hely is v.) - z A szám ε sugrú köryezete A R, ε>0 (A-ε, A+ε) =: k ε (A) k ε (A) A - < ε - koverges sorozt Az ( ) sorozt koverges, h A R: ε>0 0 (küszöbidex) N: > 0 k ε (A) - A < ε. H ( ) koverges defiícióbeli A szám egyértelműe meghtározott! Ezt számot z ( ) sorozt htárértékéek evezzük. Jelölése: lim A, vgy lim ( )=A, A ( + ). = + Idirekt, tfh. A A re is igz, hogy A R: ε>0 0 N: > 0 k ε (A) (*) A A ε < A -re (*) igz ε-hoz N: A < ε A -re (*) igz A < ε ( >) > 0 = mx {, } 0 < A = (A )+( A ) < A A - <ε < ε. 443 lim ( ) = A ε>0 0 N: > 0 - A < ε. - diverges sorozt Az ( ) sorozt diverges, h em koverges, zz A R: ε>0 0 N: > 0 k ε (A) - A ε. - kitütetett diverges soroztok () =,, 3, (-) =-, -, -3, - lim ( ) = + Az ( ) sorozt htárértéke +, h P>0 P R 0 N: > 0 > P, zz v oly küszöbidex, hogy sorozt mide efölötti tgj P-él gyobb. Jelölés: lim ( ) = +. lim ( ) = + ε>0 0 N: > 0 : k ε (+ ) - lim ( ) = - Az ( ) sorozt htárértéke -, h P<0 P R 0 N: > 0 < P, zz v oly küszöbidex, hogy sorozt mide efölötti tgj P-él kisebb. Jelölés: lim ( ) = -. <ε

9 lim ( ) = - ε>0 0 N: > 0 : k ε (- ) - kibővített R R := R {+, - } (kibővített vlós számok hlmz) Az ( ) soroztk v htárértéke, h o ( ) koverges, vgy o lim( ) = +, vgy o lim( ) = -, zz A R ε>0 0 N: > 0 : k ε (A) A htárérték egyértelmű! Jelölés: lim( ) R (v htárértéke) vgy lim( ) R (véges htárértéke, zz koverges sorozt)

10 8. A htárérték defiícióják egyszerű következméyei. - Tfh. ( ), (b )-re N N: >N: = b. Ekkor ( )-ek v htárértéke (b )-ek is v htárértéke és lim( ) = lim(b ). - A korlátosság kovergeci egy szükséges (de em elégséges!) feltétele. H ( ) koverges (zz lim( ) R véges), kkor ( ) korlátos. Tfh. lim( ) = A R ε=-hez 0 N: > 0 -r A < K := mx{ A, A,, A, } = ( -A)+A A + A = K + A ( ) korlátos sorozt. ( N) - részsoroztok Legye =( ) egy tetszőleges sorozt és γ=(γ ): N N szigorú mo. övő sorozt (idexsorozt). Az o γ = (γ ) soroztot z ( ) sorozt γ idexsorozt áltl meghtározott részsorozták evezzük. D γ = N vlób egy sorozt lesz. H z ( )-ek v htárértéke (γ ) idexsorozt eseté z (γ ) részsoroztk is v htárértéke és lim( ) = lim(γ ) Köv. Tfh. ( ) oly sorozt, mire γ, γ idexsorozt lim( o γ ) lim( o γ ) ( ) soroztk ics htárértéke.

11 9. A redezés és limesz kpcsolt. - közrefogási elv ( redőrelv ) (BIZ!) ( ), (b ), (c ) oly soroztok, mikre N N: >N re b c. Tfh. lim( ) = lim(c ) = A R. Ekkor lim(b ) = A. Legye A R véges. lim( ) = A ε>0 N: > : A - ε < < A + ε, lim(c ) = A ε>0 N: > : A - ε < c < A + ε > 0,= mx{, }: A - ε < b c < A + ε b k ε (A) lim(b ) = A. Hsoló: A = + és A = -. Tfh. lim( ) = A R, lim(b ) = A R. ) H A > B N N: >N > b. ) H N N: >N: b A B. Megj.: A )-es mjdem megfordítás z )-ek. Megj.: Az )-es megfordítás em igz! H > b. ( N) / A > B. ( ) = / > (b ) = -/ lim( )=0 >/ lim(b )=0 Megj.: A )-es megfordítás sem igz! H A B / b. 0 = 0 ált. / > -/

12 0. Műveletek koverges soroztokkl. - összedás, szorzás, osztás (BIZ!) Tfh. ( ), (b ) kovergesek. lim( ) = A R, lim(b ) = B R. ) ( + b ) is koverges és lim( + b ) = A + B. ) ( b ) is koverges és lim( b ) = A B. 3) ( / b ) is koverges és lim( / b ) = A / B. lim( ) = A lim( -A) = 0 (ull sorozt) lim( A ) = 0. ) 0 ( + b ) (A + B) = ( A)+(b B) A + b B lim( + b ) = A + B. ) b AB = b A b + A b AB b ( A) + A(b B) b A + A b B + lim( b AB ) = 0 lim( b ) = A B. 3) biz. élkül! - evezetes soroztok ) lim(c) = c ( c R rögz.) kosts sorozt ) k=,,3, rögz. idex; lim k = + + ui. P>0 0 N: > 0 -r k >P > k P ; 0 = [ k P ]+ 3) k=,,3, rögz. idex; lim /k = < / k < / (midegyik 0-ához trt)

13 . Redezés és műveletek z R hlmzo. A műveletek és htárérték kpcsolt. - (R-beli műveleteke kívül): o összedás (x R) x + (± ) = ± = (± ) + x (± ) + (± ) = ± (± ) + (± ) = ± o szorzás (x=0 eseté em értelmezzük) h x > 0; x R x(+ ) = (+ )x := + x(- ) = (- )x := - h x < 0 x(+ ) = (+ )x := - x(- ) = (- )x := + és (+ )(+ ) := + (- )(- ) := - (+ )(- ) := (- )(+ ) := - o osztás ( x R) x/+ = x/- := 0 em értelmezzük: (+ )+(- ); 0(± ); ± /± - műveletek és htárérték kpcsolt Tfh. ( ): lim( ) = A R ; (b ): lim(b ) = B R. Ekkor ) h A+B (értelmezve v), kkor ( + b )-ek is v htárértéke, és lim( + b ) = A + B. ) H A B értelmezve v, kkor z ( b ) soroztk is v htárértéke és lim( b ) = A B. 3) H A/B értelmezve v, kkor ( /b )-ek is v htárértéke, és lim( / b ) = A/B. Kritikus htárértékek: (+ )+(- ); 0(± ); ± /± ; 0/0 ; /0. összeg A R A = + A = - B R A + B + - B = B = szorzt A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = - B > B = 0 A B B < B = B = A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = - háydos B > A / B B < B = 0 B = + 0 B = -

14 . Mooto sorozt htárértéke. -.) mooto övő + felülről korlátos h z ( ) sorozt, mooto övő + felülről korlátos ( ) koverges és lim( ) = sup { N} -.b) mooto csökkeő + lulról korlátos h z ( ) sorozt, mooto csökkeő + lulról korlátos ( ) koverges és lim( ) = if { N} -.) mooto övő + felülről NEM korlátos h z ( ) sorozt, mooto övő + felülről NEM korlátos lim( ) = + -.b) mooto fogyó + lulról NEM korlátos h z ( ) sorozt, mooto fogyó + lulról NEM korlátos lim( ) = -.) Tfh. ( ) (mooto övő) és felülről korlátos sup { N} =: A < + sup. def.: ε>0 0 N: A-ε < 0 < A (( ) : > 0 ) A-ε < 0 A lim( ) = A..) Tfh. ( ) és felülről em korlátos K>0 0 N: 0 > K > 0, 0 > K lim( ) = +.

15 3. A Bolzo-Weierstrss-féle kiválsztási tétel. A Cuchy-féle kovergecikritérium. - Bolzo-Weierstrss-féle kiválsztási tétel (BIZ!) Mide koverges soroztk v koverges részsorozt. Segéd tétel: Mide korlátos soroztk v részsorozt. ST. Az 0 z ( ) sorozt csúcs, h > 0 : 0.. eset: z ( )-ek sok csúcs v. Legye egy csúcs. > : 3 k. eset: z ( )-ek véges sok csúcs v soroztb: N N: >N már em csúcs. H ( >N) em csúcs > : >, em csúcs 3 > : 3 > > (folytti lehet) < < 3 < < k < szig. mo. ő ( ) korlátos ( k ) mooto részsorozt ( ) koverges ) H ( ) felülről em korlátos ( k ) részsorozt: lim( k ) = +. ) H ( ) lulról em korlátos ( k ) részsorozt: lim( k ) = -. - Cuchy-féle kovergecikritérium (BIZ!) Az ( ) sorozt Cuchy-sorozt, h ε>0 0 N:,m> 0 - m < ε. ( gy idexű tgok közel vk egymáshoz ) Az ( ) sorozt koverges (véges htárértéke) ( ) Cuchy-sorozt. : Tfh. ( ) + A - m = ( - A)+(A- m ) - A + A- m < ε + ε < ε, h,m> 0 : ( - A < ε, > 0 ) : Tfh. ( ) Cuchy-sorozt. Igzoli: ( ) koverges..) Igzoljuk, hogy ( ) korlátos; ui. ( ) Cuchy-sorozt ε=-hez 0 N: m < (,m> 0 ) = ( - 0 ) ( > 0 ) = mx{,,,, 0 } ( N).) A B-W kiválsztási tétel szerit ( k ) koverges részsorozt. lim( k ) = A (A R) 3.) Az egész soroztk is A htárértéke: - A = ( - k )+( k A) - k + k A ; k >N k A h, k >N ui. Cuchy-sorozt - A < ε, >N 0 := mx{n, N } lim( ) = A.

16 4. Pozitív szám m-edik gyökéek előállítás rekurzív módo megdott soroztok htárértékével. - gyökvoás (BIZ!) Legye m N. Ekkor A>0-hoz!α>0: α m = A (α = m A ) Az x 0 >0 tetszőleges A x + := + ( m ) x m (=0,,, ) m x Az (x ) rekurzív módo megdott sorozt htárértéke éppe α. (lim(x )=α). lépés: >0, x >0 és jól defiiált. egyértelműség: h α >α (α,α >0) α m m < α 3. lépés: igzoljuk: (x ): mo. csökkeő + lulról korl. Alulról korl.: 0 lsó korlát, de ez is kell. (*) x + m = A x x + m +... m Mootoitás: x + x + x m x + x A m ( x ) x m = A > m x A + = + ( m ) A = m x m x + A x = + (x m m ) m x m x tehát: (x ) és lulról korl. (x ) koverges. α := lim(x ). (*) + α = A + ( m ) α m α m = A + (m-) α m α m =A m m α

17 5. A geometrii sorozt htárértéke. Az e szám bevezetése z (+/) ( N) sorozttl. - evezetes soroztok. lim(c) = c ( c R rögz.) kosts sorozt. k=,,3, rögz. idex; lim k = + + ui. P>0 0 N: > 0 -r k >P > k P ; 0 = [ k P ]+ 3. k=,,3, rögz. idex; lim /k = < / k < / (midegyik 0-ához trt) - geometrii sorozt (BIZ!) q R rögz. (q ) lim (q ) = 0, h q < + q= : ok, h q= -, h q> /, h q - q> : q=+h, (h>0) q =(+h) p p + h > P, h > 0 = +, >0 r h h q >P lim(q )=+. q < : < q =+h; 0 q = q = lim ( q ) = + lim (q ) = 0 + q ( + h) = + h q - : ) q = -: ok q < - : páros idexű soroztok: q + q + - / lim(q ) - z e szám bevezetése := + ( N) Az ( ) sorozt: o mooto övekedő, és o felülről korlátos, ( ) korlátos < 0 h Jelölés: lim + + =: e (z egyik legfotosbb álldó mtemtikáb) (Igzolhtó: e irrcioális és trszcedes) mootoitás: (trükk!!!), +,, + -re számti mérti egyelőtleséget lklmzi. = + + korlátosság: (trükk!!!) = = +

18 ,, +,, + -re számti mérti egyelőtl. + + = = = < 4 N Megj.: e 4, e irrcioális szám végtele em szkszos tizedes tört.

19 6. Az ( ; N), ( ; N), ( k / ; N), ( k q ; N), ( /!; N),(!/ ; N) sorozt htárértéke.

20 7. Végtele sor foglm, kovergeciáj, összege. A Cuchy-féle kovergecikritérium. A kovergeci egy szükséges feltétele. - végtele sorok Az ( ) soroztból képzett s := ( N) soroztot z ( ) áltl meghtározott végtele sork evezzük, és így jelöljük: = = (s ) ( N) s = ; s = + ; s = s : sor -edik részletösszege. - koverges, h Az sor koverges, h z (s ) részletösszeg-sorozt koverges (véges htárértéke). Az sor diverges, h em koverges. - sor összege Ekkor lim(s ) számot sor összegéek evezzük; és így jelöljük: = Megj.: = + = := lim(s ) ( = R) : midig soroztot jelöl. : midig számot jelöl. - sor kovergeciáják egy szükséges feltétele o koverges lim( )=0 (z geeráló sorozt ullsorozt) o h geeráló sorozt em ullsorozt diverges. - ullsorozt Nullsorozt: oly sorozt, miek htárértéke 0 koverges s := ( N) koverges (Cuchy kov. kritérium mitt) (s ) Cuchy-sorozt ε>0 0 N:,m> 0 s - s m < ε. s - s + = + < ε lim( )=0 lim( )=0. Megj.: feltétel csk szükséges, de NEM elégséges! Mert 0 / koverges. Pl. ellepéld: diverges, de lim =0 - Cuchy-féle kovergecikritérium sorokr (BIZ!) A sor koverges (s ) sorozt koverges (s ) Cuchy-sorozt ε>0 0 N:,m> 0 s m - s < ε. s m - s = m

21 8. Nevezetes sorok: geometrii sor, teleszkópikus sor, Σ/ sor, hrmoikus sor. - geometrii sor (BIZ!) A (q ) geometrii soroztból képzett q sor (q R)). A q sor koverges q <, és ekkor sor összege: + q = + q + q + q 3 + = =0 =0 = q = ( + q + q + + q ), N ( + q + + q ) = s = q q + -b = ( - b)( b+ +b - ) q q q= eseté s = + + (s ) koverges q < és lim(s )= + q + q + q 3 + = q ( q < ) - teleszkópikus sor (BIZ!) koverges és + = = ( + ) = ( + ) (részletösszeg) s = (zárt lkhoz) = ( + ) = = k( k + ) k k s = - + = + + = ( + ) lim s = + - hrmoikus sor (BIZ!) diverges; = q +, h q s. q s = számítógépes kísérletekből lkulht ki sejtés, hogy (s ) felülről em korlátos. ÖTLET: csoportosítás + +( + )+( + + )+( + + )+( k k + + k k + k < k = k + k + csoport. - A koverges (BIZ!) = s = (ics zárt lk!) Számítógépes kísérletekből kilkulht sejtés: (s ) felülről korlátos. )=

22 s = ( + ) = + - = - s - ( N) (s ) és felülről korlátos (s ) koverges, lim(s )= + = Megj.: + = π. = 6

23 9. Pozitív tgú sorok kovergeciáj. Az összehsolító kritérium. A gyök- és háydoskritérium. - pozitív tgú sorok A pozitív tgú sor, h 0 ( N). - koverges (BIZ!) A pozitív tgú sor koverges, z (s ) részletösszeg-sorozt korlátos. s = + +, mi koverges (s ) korlátos. - összehsolító kritérium: Tfh. ( ), (b ): 0 b ( N N: >N-re ez igz.) o mjorás kritérium: b koverges koverges. o miorás kritérium (BIZ!): diverges b diverges. : diverges s = + +, és felülről em korlátos (lim(s )=+ ) b : t = b + +b - gyökkritérium (BIZ!) h >N-re 0 b t = b + b + +b = s + t + b diverges. Tfh., 0 ( N) és lim( ) =: A R. Ekkor: 0 A < eseté sor koverges; A > eseté sor diverges; A = eseté kritérium em hszálhtó (bármi lehet). 0 A < : lim( ) = A q-hoz 0 N: > 0 : 0< < q ( > 0 ); q koverges (0 < q < ) (mjorás krit. mitt) is koverges. A> : lim( ) = A > q-hoz 0 N: > 0 : > q > q ( > 0 ) q> q diverges (miorás krit. mitt) is diverges. A= : Példák: diverges és htárértéke: lim = lim =. koverges és lim = lim - háydoskirtérium Tfh., 0 ( N) és lim + =: A R. Ekkor: 0 A < eseté koverges; A > eseté diverges; A = eseté bármi lehet. =.

24 0. Leibiz-típusú sorok értelmezése, kovergeciáj, hibbecslés. A (-) - sor. - Leibiz-típusú sor Tfh. 0 + ( N) Ekkor: z = = ( ) + sort Leibiz típusú sork evezzük. - kovergeci (BIZ!) + A ( ) Leibiz típusú sor, koverges lim( ) = 0. : ok ( kovergeci szükséges feltétele) : s = ; s = - ; s 3 = ; s 4 = ; s 3 < s is igz, s < s 4 is igz. (s + ) s + A (s ) s B Igzolhtó: A = B. - hibbecslés Tfh. ( ) + Leibiz típusú sor, koverges és + = k+ Ekkor: A s = A ( ) k + ( N) + = ( ) + k= ( ) + = A (em ismerjük) s A ( + ), s ~A h gy. = A. H A-t szereték közelítei ε potossággl: A s + A s +, - + A A + s A + +. H ε>0 dott potossággl krjuk közelítei A-t: A s + < ε ( + < ε -ből dódik egy 0 küszöbidex. s 0 A < ε A-ε < s 0 < A+ε. s 0 ~A (ε-potos közelítés)

25 . Abszolút koverges sorok. Tizedes törtek. - bszolút koverges (BIZ!) A sor bszolút koverges, h sor koverges. ( : pozitív tgú sor) H sor bszolút koverges koverges is. : Cuchy-kritériumot hszáljuk: m m < ε (mert koverges) - feltételese koverges A sor feltételese koverges, h o sor koverges, o A sor diverges. - tizedestörtek (BIZ!) Legye ( ): N R, {0,,,,9} tetszőleges sorozt. Ekkor = sor koverges és α= = [0,] = 0 Jelölés: α= 0, 3 4 (z α szám tizedestört lkj) 0, ( N) 0 = 0 9 = 9( ) = (+ + )= koverges és + = = 0 = 0 α. = 0 x [0,] számhoz ( ): N R, {0,,,,9}: x= +, zz = 0 x [0,] felírhtó tizedestört lkb. Igzolhtó, hogy () x [0,] Q végtele tizedestört lkj véges vgy végtele szkszos. (b) x [0,] Q* végtele em szkszos tizedestört.

26 . Végtele sorok átredezése. Végtele sorok szorzás. - sorok átredezése (kommuttivitás) Legye (p ): N N bijekció (N egy átredezése, permutációj) A sor (p ) áltl meghtározott átredezésé p() sort értjük. - Riem-tétel Tfh. feltételese koverges sor. Ekkor: ) A R -hoz (p ) átredezés: + p( ) =A = ) (p ) átredezése N-ek, hogy p() diverges. Tehát feltételese koverges sorokr kommuttivitás em igz! Viszot bszolút koverges sorokr igz kommuttivitás. H sor bszolút koverges, kkor (p ) átredezés eseté: o p() átredezett sor koverges, o + p( ) = +. = = - lgebri műveletek sorokkl: o összeg számszoros (BIZ!) Tfh., b sorok kovergesek. Ekkor: ( is koverges, és + = ) + b ) ( + b ) = + = + + = ) λ R, λ is koverges, és + λ = + λ = = = k k= A = b k k= b B = A = + = B = + = ( N) b ( N) ( + b ) C = k + b k ( N) k= C = A + B A + B. o sorok szorzás: (0-ától kezdjük!) Mide tgot mide tggl szorzuk és összedjuk ezeket soroztokt. A =0 és =0 b sorok tégláy szorztá =0 t sort értjük, hol t = b mx{ i, j} = i b j, =0,,,

27 Cuchy-szorztá =0 c sort értjük, hol c = i+ j= ib j, =0,,, H =0 (ez fotosbb!) és b sorok kovergesek =0 =0 koverges és + t = ( + )( + =0 =0 =0 Megj.: A feti tétel Cuchy-szorztr em igz! b ) - Cuchy-tétel Tfh. és b sorok bszolút kovergesek ) tégláyszorzt és t tégláysorozt is b) Cuchy-szorzt is bszolút koverges, sőt c) feti tábláztból tetszőleges módo készített sor is bszolút koverges és z összeg sem változik: + =0 t = + =0 c = + =0 d = ( + =0 )( + =0 - Mertes-tétel H bszolút koverges és b koverges, kkor c Cuchyszorzt is koverges lesz és + =0 b ). c = ( + =0 )( + =0 b ).

28 3. Htváysorok. Kovergecihlmz, összegfüggvéy. A Cuchy-Hdmrd-tétel. Alitikus függvéyek. - htváysor Adott z (α ): N R sorozt és R. A α ( x ) = 0 = α 0 +α (x-)+α (x-) + (x R) függvéysort középpotú, α együtthtójú htváysork evezzük. - kovergecihlmz KH( α (x ) - összegfüggvéy + = 0 ) := {x R α ( x ) := KH( (x ) α (x ) számsor koverges} α ) x + = 0 α ( x ) Megj.: Htváysor kovergecihlmz midig egy itervllum. - Cuchy-Hdmrd-tétel Tetszőlegese megdott z (α ): N R sorozt és R eseté α ( x ) htváysor kovergecihlmzár következő három egymást kizáró eset lehetséges: ) 0<R<+ vlós szám, hogy x- < R eseté htváysor bszolút koverges és x- >R eseté pedig diverges. b) htváysor csk z x- -b koverges (R:=0) c) htváysor R potb koverges (R:= + ) R: kovergecisugár - kovergecisugár A kovergecisugár z gyök- vgy háydos kritériumml htározhtó meg. H 0<R<+, kkor Cuchy-Hdmrd tétel - litikus függvéyek (htváysorok összegfüggvéyei) Tfh. α (x ) kovergecisugr R>0. Ekkor + α ( x ) = f(x) (x (-R,+R)) litikus függvéy. = 0 - műveletek htváysorokkl: o két htváysor összege, számszoros is htváysor. o htváysorok szorzt: két htváysor tégláyszorzt NEM htváysor két htváysor Cuchy-szorzt htváysor. = 0

29 4. Nevezetes htváysorok: z exp, si, cos, sh, ch értelmezése és lptuljdoságik.

30 5. Torlódási pot foglm. Példák. Függvéy htárértéke. A htárérték egyértelmű. Speciális esetek. ( Összefoglló táblázt holpomo tlálhtó.) - torlódási pot Az A R pot H R hlmz torlódási potj, h r>0 eseté k r () H végtele sok elemű hlmz, zz z mide köryezete végtele sok H-beli elemet trtlmz. Jelölés: H H torlódási potjik hlmz. R = R Q = R Q* = R (mide itervllum trtlmz rcioális/irrcioális számot is) H R véges hlmz H = H H, kkor H és H is lehet! - htárérték egységes defiíciój Legye f R R és tfh. D f. Azt modjuk, hogy z f függvéyek z potb htárértéke z A R, h ε>0 δ>0: x Df k δ ()\{}): f(x) k ε (A) Jelölésbe: lim f = A, lim f(x) = A, x f(x) A h x Megj.: Ez potos megfoglmzás k szemléletes téyek, hogy z hoz közeli helyeke függvéyértékek közel vk A-hoz. - htárérték egyértelmű A htárérték egyértelmű, zz h A -re és A -re is teljesül ε>0 δ>0: x Df k δ ()\{}): f(x) k ε (A) feltétel, kkor A = A. Az f R R függvéyek v htárértéke (z D f potb) - speciális esetek: - végesbe vett véges htárérték () - végesbe vett végtele htárérték - végtelebe vett véges htárérték

31 - végtelebe vett végtele htárérték - Műveletek és htárérték kpcsolt Tfh. f,g R R, ( D f D g ). lim f = A R, lim g = B R, ekkor: ) lim (f+g) és lim (f+g) =A+B (feltéve, hogy A+B értelmezve v); ) lim (f g) és lim (f g) =A B (feltéve, hogy A B értelmezve v); 3) lim (f/g) és lim (f/g) =A/B (feltéve, hogy A/B értelmezve v);