Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8"

Átírás

1 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok átredezhetősége Sorok szorzata 3 7. Kovergecia kritériumok Hatváysorok Az e számot előállító sor 54 0.Feladatok 59

2 . Bevezetés 2

3 2. A sor fogalma A taayagot egy paradoxoal kezdjük, ami a görög eleai Zéó-tól (i. e ) származik, aki éppe arról lett híres, hogy olya paradoxookat fogalmazott meg, amelyek a mozgás elletmodásosságára kívát rámutati. A paradoxo Akhilleusz és a tekős éve vált ismertté. Képzeljük el Akhilleuszt, a leggyorsabb görögöt, amit verseyt fut egy tekőssel. Mivel olya gyors, agyvoalúa száz láb előyt ad a tekősek. Ezek utá a tekős így okoskodott: Nem is kell lefutuk a verseyt, hisze világos, hogy em érhetsz utol. Amíg ugyais behozád a 00 láb előyömet, addig é lábat előremászék; mire behozod ezt az láb távolságot, addig é előrébb leszek, és így tovább. E végteleségig folytatható godolatmeet szerit midig é vezetek. A verseyt tehát em yerheted meg. Nics kétség afelől, hogy egy ilye verseyt Akhilleusz yere meg. Akkor hol a hiba a tekős okoskodásába? A tekős ügyese végtele sok szakaszra bototta fel Akhilleusz futását, és feltételezte, hogy Akhilleusz csak akkor érheti útól, ha össze tudjuk adi az egyes szakaszok lefutására szükséges végtele sok időt. A gyakorlatba végtele sok számot em lehet összeadi, az egyes számításokhoz időre va szükségük. De a valóságba ics szükség összeadásokra a versey lefutásához, Akhilleusz em áll meg godolkozi, és még kevésbé számoli, az egyes futási szakaszok között. Egyébkét egy idő utá olya elképesztőe kicsi számok kerülek az összeadásba, amik alig módosítják a végeredméyt. A tekős legagyobb tévedése mégis az, hogy összekeveri a matematikába előforduló két fajta végtelet. Az egyik végtele a futási szakaszok számára voatkozik, ami a halmazok számosságával áll összefüggésbe. A másik végtele a teljes futáshoz szükséges idő korlátlaságáról szól. Azért el kell ismeri, hogy a tekős ügyese próbálkozott. Arra hívja fel a figyelmüket, hogy a természet össze tud adi végtele sok számot aélkül, hogy elvégeze a végtele sok számítást. Jó lee kifejlesztei egy olya matematikai módszert, ami szité képes lee erre. Ilye módo több valós problémát tudák megoldai egy teljese új megközelítéssel. Ehhez először értelmezi kell mit értük végtele sok szám összegé. Ezzel a sor fogalmához jutuk. 3

4 . Defiíció. Legye a egy valós számsorozat. Az a + a 2 + a vagy a a szimbolikus kifejezést az a sorozat végtele soráak vagy egyszerűe sorak evezzük, és úgy értelmezzük, mit az S : a + a a ( N) -edik részletösszegekből álló sorozat határértéke. Az első dolog, amit a sor fogalmából kitűik az, hogy egy sorozat elemeiből készítjük a sort. Tetszőleges végtele sok számot em tuduk sorozatba redezi, ezt legfeljebb megszámlálhatóa végtele sok számmal tudjuk eléri. Másrészt fotos, hogy milye sorredbe állítjuk a számokat a sorozatba, hisze a későbbiekbe láti fogjuk, hogy a redezés módja befolyásolhatja a végeredméyt. Az előző megjegyzés figyelembevételével azt modjuk, hogy sorozatba redezett végtele sok szám összege a sorozatból képzett sor értéke. Mivel a sor a sorozat -edik részletösszegekből álló S sorozat határértéke, így előfordul, hogy ez em létezik. Ez em szerecsés megfogalmazás, ezért a következő elevezéseket fogjuk alkalmazi sorok eseté: Ha az S sorozat koverges, akkor azt modjuk, hogy a sor koverges és összege az S sorozat határértéke, azaz Ezt másféleképpe is írhatjuk: a lim S. k a lim a. k Ha az S sorozat diverges, akkor azt modjuk, hogy a sor diverges (és em az, hogy a sor em létezik). Abba az esetbe, hogy a sor diverges, de S, illetve S, akkor azt írhatjuk, hogy a, illetve 4 a.

5 Lássuk egy példát! Tekitsük az a : sorozatot, amelyek végtele 2 sora 2. Ez formálisa az végtele sok szám összegét jeleti. Ekkor a sor fogalma szerit a sor összege, ha létezik, em más, mit az S részletösszeg határértéke. Tudjuk, hogy az ilye határértékek kiszámításához zárt alakra kellee hozi a feti összeget, azaz a képletbe meghatározott számú alapművelet szerepelje. Vegyük észre, hogy ebbe az esetbe a egy mértai sorozat, és így alkalmazhatjuk a középiskolába már tault trükköt: legye q, N és Ekkor s : + q + q q. sq q + q 2 + q q +. Így s sq q +, amiből azt kapjuk, hogy s q+ q. () A feti számításból q 2 eseté azt kapjuk, hogy S {}}{ ( 2) + 2. Ebből következik, hogy a vizsgált sor koverges és összege, azaz 2. 5

6 Köyű példát találi diverges sorokra. Például Érdemes még vizsgáli a következő sort: ( ) Itt az S részletösszeg diverges, mert páros idexű részsorozatára S 2k 0, illetve páratla idexű részsorozatára S 2k teljesül. Mivel S diverges, ezért a sor is diverges. Eél a sorál egy furcsáak tűő jeleséget kapuk, ha a végeredméyt úgy próbáluk megkapi, hogy csoportosítjuk a sor tagjait, evezetese másképpe pedig 0 ( ) + ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) +... A következőkbe azt igazoljuk, hogy a fetihez hasoló zárójelezések koverges sorokkal em vezetek más eredméyre. 2. Defiíció. Legye a egy végtele sor, és ϕ: N N egy szigorúa mooto övekvő függvéy. Továbbá jelölje b : ϕ() k a k, b : ϕ() kϕ( )+ a k ( > ). Ekkor a b sort a a csoportosított vagy zárójelezett soráak evezzük.. Tétel (Koverges sorok átzárójelezhetősége). Koverges sor mide zárójelezett sora koverges és összege változatla marad. Bizoyítás. Az állítás rögtö következik abból, hogy a zárójelezett sor - edik részletösszegéek sorozata midig részsorozata lesz az eredeti sor -edik részletösszegéek sorozatáak. 6

7 Egy másik idetartozó eredméy koverges sorok összegéek és kostasszorosáak a kovergeciájáról szól. Ez az állítás agyo haszos a gyakorlati példák megoldásába. 2. Tétel (Sorok összege és kostas-szorosa). Legye a és b két koverges sor, valamit c R. Ekkor a c a ú.. sor kostasszorosa, valamit a (a + b ) ú.. két sor összege koverges, és c a c a, (a + b ) a + b. Bizoyítás. A tétel állításait a következő számítások igazolják: k k c a lim c a c lim a c a, k k valamit ( k k ) k (a + b ) lim (a + b ) lim a + b k k k k lim a + lim b a + b. k k Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Szeretém megjegyezi, hogy a tétel második állítása véges sok sor esetére is általáosítható. Fotos még megjegyezi, hogy egy sor em csak -től kezdődhet. Egy egyszerű átidexeléssel értelmezzük a a : a +r r sort, ahol r egy tetszőleges egész szám. A gyakorlatba természetese em szükséges az átidexelést elvégezi. Nem ehéz igazoli, hogy az r kezdőérték em befolyásolja a sor kovergeciáját, de a sor összegét már ige. 7

8 3. Mértai és teleszkopikus sorok A taayag sorá láti fogjuk, hogy a sorok potos összegét meghatározása em egyszerű feladat. A legagyobb problémát az okozza, hogy az összeget adó S sorozat em előre meghatározott, -től függetle számú összegekből áll, és így határértéke kiszámításához zárt alakra kellee hozi. Néháy esetbe viszot az S sorozat zárt alakra való hozása, azaz véges -től függetle számú alapműveletekre való átírása, em olya boyolult. Sőt, az ú.. mértai sorok eseté általáos képletet is kapuk. 3. Tétel. Legye a és q valós számok és a 0. A aq 0 sort mértai sorak evezzük és kovergeciáját illetőe a következő eseteket külöböztetjük meg. Ha q <, akkor a mértai sor koverges és összege Ha q, akkor a mértai sor diverges. Bizoyítás. Az () összefüggésből azt kapjuk, hogy Ha q <, akkor q + 0, így k aq lim aq q + a lim k k 0 0 q. a q a q. a feti kifejezés határértéke. Ha q >, akkor a q sorozat diverges, azaz a feti határérték em létezik. A q és q esetek divergeciájáról már esett szó. állítását igazoltuk. Ha a koverges mértai sor em az 0-ál kezdődik, akkor a aq aq +r aq r q r 0 0 aqr q a r q Ezzel a tétel összefüggésből modhatjuk, hogy a kezdő értéktől függetleül a mértai sor összege a sor első tagja elosztva az q értékével, ha < q <. 8

9 . Feladat. Határozzuk meg a következő sorok összegét! Megoldás: a) c) e) 2 ( ) 2 3, b) , d) 3 3, f) 0 ( 4, 3) , ( ) ( ) 2 2 a) Mértai sor, első tagja a , q 2. A képlet szerit a sor 3 összege 2 ( ) ( b) Mértai sor, első tagja a 4 ) 4 3 3, q. A képlet szerit a 3 sor összege ( 4 3) c) Botsuk fel két mértai sor összegére! ( ) ( ) d) Úgy győződük meg, hogy mértai sorról va szó, hogy két szomszédos általáos tag háyadosáról belátjuk, hogy -től függetle. a + a 5 23(+) 3 2(+) Így < q 8 9 < miatt a sor koverges. A sor kezdő tagja a

10 A sor összege a 3 q e) Mértai sorról va szó, mert a + a 2 2(+) Azoba q 4 >, ezért a sor diverges. Mivel a sor pozitív tagokból 3 áll, így azt írhatjuk, hogy Később láti fogjuk, hogy mide diverges, pozitív tagú sor összege végtele. f) A 0 ( ) ( 5 ) 4 átalakításból látható, hogy mértai sorról va szó. De q 5 4 a sor diverges. <, így Szereték kokrét példát mutati mértai sorok alkalmazására. Az Akhilleusz és a tekős paradoxoba lévő okfejtés em állja meg a helyét, tudiillik, ha Akhilleusz az első 00 lábat t idő alatt, a következő lábat t 00 idő alatt teszi meg és így tovább, akkor utoléri a tekőst a t + t 00 + t ( ) t 00 idő alatt. Ezutá vezeti fog és megyeri a verseyt. Hasoló jellegű a következő feladat is. t 00 00t Feladat. Egy hagyomáyos óra agy- és kismutatója 2 órakor együtt áll. Legközelebb mikor fog a két mutató újra együtt álli? 0

11 Megoldás: óra kell ahhoz, hogy a agymutató újra a 2-esél legye, ekkor a kismutató az -esél lesz. Ezutá a agymutató 5 perc ( óra) múlva 2 szité az -esél fog álli, viszot a kismutató ez idő alatt tovább megy, és így tovább. Mivel a agymutató 2-szer olya gyors, mit a kismutató, így a agymutató ( ) óra 2 alatt éri utol a kismutatót. Egy másik fotos alkalmazás a tizedes törtek fogalmához kapcsolódik. Legye 0 x <. Az x számhoz a következő módo kostruáluk egy a sorozatot. Egyértelműe va olya 0 a 9 egész szám, hogy a 0 x < a + 0. Ekkor legye a : a, és mivel 0 0x a <, így a feti eljárást megismételhetjük ezzel az új számmal, a 2 -vel jelölve az új a értékét, és így tovább. A kapott a sorozat elemei egy jegyű számok és a x 0. Írjuk a sorozat elemeit sorba, a következő módo 0, a a 2 a 3 a A feti felírást az x szám tizedes törtéek evezzük. Hasoló módo lehet értelmezi egy szám diadikus törtét, ha az eljárásba 0 helyett 2 részre botjuk a [0, [ itervallumot. A tizedes törteket szokás elevezi véges (csupa 0-ra végződő), szakaszos (em véges és egy idex utá az számjegyek ismétlődek, azaz va olya k, i P, hogy a k+i+ a k+ mide N eseté), vagy végtele (em véges vagy szakaszos) tizedes törtekre. Nyilvá a véges tizedes törtek racioális számok, de a szakaszos tizedes törtek is. A következő feladat ezt mutatja be. 3. Feladat. Írjuk fel az x 0, 2 4 tizedes törtet két egész szám háyadosakét! (A potozott rész a tizedes tört ismétlődő szakasza) Megoldás: A mértai sorokra taultak szerit 0, 2 4 0, + 0, , ( 0, + 0, )

12 Az [] köyvbe a mértai sorokra voatkozó több alkalmazás és érdekes példa található. A következőekbe olya sorokat szereték bemutati, ahol az S részletösszeg leegyszerűsödik, véges sok elem marad az összeg elejéből és végéből, a közepe kiesik, és így zárt alakra hozható. Az ilye sorokat teleszkopikus sorokak evezzük. Elevezésüket a régi hordozható egyszemes távcsövek (teleszkópok) utá kapta, amelyek egymásba csúsztatható csövekből áll a köyebb tárolásuk érdekébe. Ebbe az állapotba csak az első és az utolsó cső volt látható. Lássuk egy példát! Számítsuk ki a ( + ) sor összegét! Vegyük először észre, hogy mide N eseté ( + ) +. Ezt felhaszáljuk a következő számításokba. S ( + ) Ezért a sor összege. A következő példák is hasoló módo oldhatók meg. 4. Feladat. Határozzuk meg a következő sorok összegét! a) , b). + + Megoldás: 2 a) A sor általáos tagját felírjuk ( + )( + 4) A ( + ) + B ( + 4) alakba. Közös evezőre hozás utá a feti egyelőség tovább folytatható ( + )( + 4) (A + B) + 4A + B. ( + )( + 4) 2

13 Ebből (A + B) + 4A + B, azaz A + B 0 és 4A + B. A feti egyeletredszer megoldása: A 3 és B, amiből mide 3 N eseté ( + )( + 4) ( 3 + ) + 4 teljesül. Ekkor a sor összege S ( + )( + 4) 3 ( ( }{{} }{{} }{{} 0 ) + 4 ) 47 80, hisze csak az aláhúzott tagok maradak, ugyaayi plusz előjelű az elejéből, mit míusz előjelű a végéből. b) Vegyük észre, hogy Ekkor S Így

14 4. Abszolút és feltételese koverges sorok Az előző részbe olya sorokat vizsgáltuk, amelyekek S a + a a részletösszege zárt alakba írható, így ki tudtuk számítai a határértéküket. Más sorok eseté további vizsgálatok szükségesek. A következő tétel ehhez yújt segítséget. 4. Tétel (Cauchy-féle kovergecia kritérium sorokra). Az a sor koverges akkor és csak akkor, ha ε > 0-hoz 0 N, hogy ha > 0, akkor a + + a a +k < ε. mide k N eseté. Bizoyítás. Ha a sor koverges, akkor alkalmazhatjuk a határértékszámításba tault Cauchy-féle kovergecia kritériumot az a sorozat -edik részletösszegéek sorozatára, amelyet S -el jelöltük: ε > 0-hoz 0 N, hogy ha, m > 0, akkor S m S < ε. Állításuk abból következik, hogy ha m + k, akkor Ezzel a tétel állítását igazoltuk. S m S a + + a a +k. Vegyük észre, hogy a Cauchy-féle kovergecia kritériumból következik, hogy ha egy sor koverges, akkor az a általáos tagja tart ullához. Ehhez elég a k értéket beíri a kritériumba szereplő állításba. Vizsgálataik a következő evezetes sorral folytatódik. 5. Tétel. A ú.. harmoikus sor diverges. 4

15 Bizoyítás. Mide, k N eseté az a + + a a +k k k darab tagú összeg legkisebb tagja k eseté az k, ezért agyobb, mit + k a + + a a k. Ekkor em lesz egy tetszőleges ε > 0 számál kisebb, ezért a Cauchy-féle kovergecia kritérium sorokra szerit a sor diverges. Létezik egy eél elemibb bizoyítás is. Léyege, hogy az ( ) + + ( ) + ( összegbe szereplő mide zárójeles rész agyobb, mit ilye zárójeles rész általáos alakja ( 0 k k ) 0 k+ ) Valóba egy 0 (k 0,,... ), ami potosa 0 k+ 0 k 9 0 k darab tagot tartalmaz. Becsüljük alulról a zárójeles részt úgy, hogy mide tagja helyett a legkisebb tagot írjük. 0k+ Ekkor 0 k k > k+ 0 + k } k+ {{ 0 k+ } 9 0 k darab 9 0k 0 k Mivel végtele sok zárójeles rész va, így a harmoikus sor em lehet koverges. A harmoikus sor divergeciája azért relevás, mert a sor tagjai ullához tartaak. Így az a téy, hogy egy sor általáos tagja tartso a ullához csak szükséges feltétele a sor kovergeciájához, de em elegedő. 5

16 Érdemes külö foglalkozi a pozitív tagú sorokkal. Ezekek a sorokak a részletösszegei szigorúa mooto övekvő sorozatot alkotak, hisze S + S a + > 0 mide N eseté. Ez a téy leegyszerűsíti eze sorok vizsgálatát, mert ha a mooto övekvő S sorozat korlátos, akkor S koverges és így a sor is koverges, em korlátos, akkor S a végtelehez tart és így a sor összege végtele. A mootoitás miatt az S egyetle részsorozata alapjá meghatározható a teljes S sorozat határértéke, amely egybe a sor összege is. A feti megállapítások em változak, ha a pozitív tagok mellett 0 tagokat vagy véges sok egatív tagot is egedélyezük, hisze az első esetbe S mooto övekvő marad, a második esetbe egy adott idextől kezdve S már mooto övekvő sorozat lesz. Egyébkét egy sorból midig elhagyhatjuk a ulla tagjait, mert ezzel csak kivesszük az S sorozatból az egymásutá ismétlődő elemeit, amelyek em befolyásoljak a sorozat kovergeciáját és határértékét. Más a helyzet olya sorokkal, amelyek végtele számú pozitív és egatív tagot is tartalmaz. Ebbe az esetbe vezessük be a következő jelöléseket: Majd képezzük a a + a, ha a > 0, : 0, ha a 0 a +, és a 0, ha a > 0, : a, ha a 0. a sorokat! Midkét sor a ulla tagok elhagyása utá pozitív tagú sor lesz. Az első sor tartalmazza az eredeti sor pozitív tagjait, a második a sor egatív tagjaiak abszolút értékét. Például, ha a pozitív számok, akkor a a a 2 + a 3 a 4 + a 5 + a 6 + a 7 a 8 + a sor (csak a 2 hatváy idexű elemeket vojuk ki) pozitív tagjaiból álló sora a a 5 + a 6 + a a 9 + a 0 + a + a 3 + a 5 + a 6 + a 7 + a 9 + a 0 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a

17 és egatív tagjaiból álló sora a + a a a Vegyük észre, hogy a a + a, a + a 2 + a 4 + a 8 + a hisze az a + és a em ulla idexei elkerülik egymást. Ekkor a 2. Tételből következik, hogy ha a pozitív és a egatív tagokból álló sorok kovergesek, akkor az eredeti sor is koverges és a a + a. Ez fordítva em igaz, azaz ha egy sor koverges, akkor em biztos, hogy a pozitív és a egatív tagjaiból álló sorai kovergesek. Például a sor koverges és összege ulla, mert S 2 0 és S 2 0, azaz a páros és páratla idexű részsorozatai ugyaúgy a ullához tartaak. Azoba a + és a harmoikus sorok, azaz divergesek. Ezek szerit valamivel több kell a feti két sor kovergeciájához. Igazolható, hogy a a sor kovergeciájához a a sor kovergeciája elegedő. 3. Defiíció. Azt modjuk, hogy a a ú.. abszolút sora koverges. a sor abszolút koverges, ha a Az abszolút sor kovergeciája azért elegedő az eredeti sor kovergeciájához, mert em ehéz igazoli, hogy az a a + + a (2) 7

18 egyelőség teljesül. Mivel a + 0 és a 0, ezért a + a és a a, azaz mid a pozitív, mid a egatív tagokból álló sorok -edik részletösszege em agyobb, mit az abszolút sor -edik részletösszege. Ebből következik, hogy ha az abszolút sor koverges és így részletösszegei korlátos, akkor a pozitív és a egatív tagokból álló sorok részletösszegei is korlátos, ami pozitív tagú sorok eseté a kovergeciával ekvivales. Az előbb már igazoltuk, hogy a pozitív és a egatív tagokból álló sorok kovergeciájából az eredeti sor kovergeciája következik. Szeretém még megjegyezi, hogy a pozitív és a egatív tagokból álló sorok összegéből megkaphatjuk az abszolút sor összegét. Valóba (2)-ből és a 2. Tételből következik, hogy a a + + a. Midet együttvéve kimodhatjuk a következő tételt, amely igazolására egy a feti módszertől eltérő bizoyítást is aduk. 6. Tétel. Mide abszolút koverges sor koverges is. Továbbá a a. Bizoyítás. Mivel a a sor koverges, így a Cauchy-féle kovergecia kritérium szerit ε > 0-hoz 0 N, hogy ha > 0, akkor mide k N eseté. Mivel a + + a a +k < ε a + + a a +k a + + a a +k < ε, ezért a kritérium teljesül a a sorra is. A bizoyítadó egyelőtleség abból következik, hogy mide N eseté a a a a, hisze az abszolút érték folytoos függvéy. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. 8

19 Lássuk egy példát! A (3) pozitív tagú, mértai sorról tudjuk, hogy koverges. Ekkor ha a feti képletbe tetszőleges számú plusz jelet míuszra cserélük, akkor a kapott sor koverges marad, bár az összege természetese változik. Eek oka az, hogy az így kapott sorokak közös abszolút soruk va, a (3) képlettel megadott sor, ami koverges, azaz az így kapott sorok abszolút kovergesek. Tehát a ( ) 0 sor em csak koverges, haem abszolút koverges is. 4. Defiíció. Ha egy sor koverges, de em abszolút koverges, akkor azt feltételese koverges sorak evezzük. Az előbb igazoltuk, hogy egy sor abszolút koverges akkor és csak akkor, ha a a +, és 2 a sorok kovergesek, és a sor összege a feti két sor külöbsége. Mi jellemzi a feltételese koverges sorokat? Az em lehetséges, hogy egy ilye sor esetébe csak az egyik pozitív vagy egatív tagokból álló sora koverges, hisze ha például a pozitív tagokból álló sora koverges, akkor az a a + a összefüggésből és a 2. Tételből következik, hogy a egatív tagokból álló sora is koverges. Tehát midkét pozitív és egatív tagokból álló sora diverges. Másrészt az eredeti sor kovergeciájából következik, hogy a 0 és így a + 0, a 0. Sajos ezek a feltételek szükségesek, de em elegedőek a sor feltételes kovergeciájához. A legrelevásabb példa feltételese koverges sorra a ( ) + ú.. Leibiz-sor. A következő részekbe igazoli fogjuk, hogy a Leibiz-sor koverges, de abszolút sora a harmoikus sor, ami diverges. Ebből adódik, hogy a Leibiz-sor feltételese koverges. 9

20 5. Sorok átredezhetősége Természetesek vesszük, hogy számok összeadásakor a tagok felcserélhetők, az eredméye em változtat. Ugyaezt várák el végtele sok tagú összeg eseté. Mi törtéik, ha a sor tagjai egymás között permutálak, azaz helyet cserélek? A kérdés miél potosabb tárgyalására először megadjuk az átredezett sor fogalmát. 5. Defiíció. Legye a egy végtele sor, és ϕ: N N egy bijektív leképezés. Továbbá jelölje b : a ϕ(). Ekkor a b sort a a átredezett soráak evezzük. Átredezett sort kapuk amikor a sor két tagja egymás között helyet cserél, vagy amikor ugyaazt teszi mide páratla idexű elem a ála agyobb szomszédos elemmel. A léyeg, hogy mide tagról egyértelműe derüljö ki melyik helyre kerül. A következő sorál igazoltuk, hogy koverges: Redezzük át a feti sort a következő módo: azaz most em vojuk ki azoal ugyaazt a tagot, haem elmegyük a következő 2 hatváyát megelőző elem reciprokáig, és utáa ugyaazokat az értékeket ki is vojuk. Az ilye tagok összege agyobb mit 2, hisze 2 + k 2 k k+ 2k 2 k+ 2 mide k N eseté. Ezért az S sorozatak az a részsorozata, amelyet az összeadások végé kapuk meg agyobb mit, illetve az a részsorozata, 2 amelyet a kivoások végé kapuk meg midig ulla. Ezért az átredezett sor em lehet koverges. Tehát sikerült a feti sort úgy átredezi, hogy elrotottuk a végeredméyt. Az abszolút koverges sorok em érzékeyek erre a problémára. 20

21 7. Tétel. Abszolút koverges sor bármely átredezett sora koverges, és összege em változik. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy a egy em egatív tagú sor, amely koverges és összege s, illetve legye a ϕ() eek egy átredezett sora. A megfelelő részletösszegek legyeek S és S ϕ. Mide N eseté jelölje m : max{ϕ(), ϕ(2),..., ϕ()}. Mivel ϕ(i) m mide i, 2,..., eseté, így az S ϕ a ϕ() + a ϕ(2) + + a ϕ() összeg mide tagja megtalálható az S m a + a a m összegbe. Ezért S ϕ S m < s. Azaz az S ϕ sorozat korlátos, de mivel mooto övekvő, mert a sor em egatív tagokból áll, így koverges és határértéke kisebb vagy egyelő mit s, azaz a ϕ() s a. Az előző egyelőtleség bármilye pozitív tagú sor és átredezés eseté alkalmazható. Akkor is, ha az átredezett sorból iduluk ki és visszaredezzük a ϕ permutációval, hogy megkapjuk az eredeti sort: a a ϕ (ϕ()) a ϕ(). Ebből következik, hogy a két sor összege megegyezik. Tegyük fel most, hogy a abszolút koverges, de em csak em egatív tagokból áll és tekitjük az a ϕ() árredezett sorát. Botsuk fel a két sort pozitív és egatív tagú sorokra, azaz a a + a és a ϕ() a + ϕ() a ϕ(). Mivel a felbotásba szereplő sorok em egatív tagokból állak, valamit az átredezett sor pozitív és egatív tagokból álló sorai a eredeti sor pozitív és egatív tagokból álló soraiak ugyaazzal a redezési szabállyal átredezett sorai, így a bizoyítás első része alapjá az utóbbi sorok kovergesek és a + ϕ() a + illetve a ϕ() a, amiből rögtö a tétel állítása következik. 2

22 Az előző tétel egyik fotos következméye, hogy végtele sok pozitív számot bármilye sorredbe adhatuk össze, em szükséges megadi milye sorredbe adjuk össze őket. Ez azért va, mert pozitív számok álló koverges sor abszolút koverges. Bizoyos értelembe a sorok átredezhetőségéhez tartozik a következő módszer, amivel éháy abszolút koverges sor összegét ki tudjuk számoli. A módszer léyege a párokét diszjukt részsorokra való felbotás. De először ézzük meg mit értük részsor alatt. 6. Defiíció. Legye b az a sorozat egy részsorozata. Ekkor a sort a a sor részsoráak evezzük. b Más szavakkal, részsort kapuk, ha egy sorból kiválasztuk végtele sok tagját és ezekből a sorred megtartásával egy újabb sort képzük. Ilye például egy sor pozitív tagokból álló sora a fiktív ullák elhagyása utá. Ugyaaz modható a egatív tagokból álló soráról, ha tagjait míusz eggyel megszorozzuk. 7. Defiíció. Azt modjuk, hogy az a (), a (2), a (3),... sorok a a sor egy végtele, párokét diszjukt részsorokra való felbotása, ha a (), a (2), a (2)... részsorozatai az a sorozatak és a rész- sorozatokhoz tartozó ϕ i (i N) szigorúa mooto övekvő leképezések értékkészletei egy osztályozása a természetes számok halmazáak. A fetiek értelmébe a sort szét kell szedi végtele sok részsorra úgy, hogy a sor mide tagja egyetle egy részsorba szerepelje. Ez olya mitha a sor tagjaiból az a () a () 2 a () 3 a () 4 a () 5 a () 6... a (2) a (2) 2 a (2) 3 a (2) 4 a (2) 5 a (2) 6... a (3) a (3) 2 a (3) 3 a (3) 4 a (3) 5 a (3)

23 végtele számú sort és oszlopot tartalmazó táblázatot készíteék úgy, hogy az egyes sorokba szereplő tagok az eredeti sorral megegyező sorredbe szerepeljeek. A táblázat egyes soraiból készített sorok a sorak egy végtele, párokét diszjukt részsorokra való felbotását alkotak. A következő állítás úgy tekithető, mit a 2. Tétel általáosítása végtele sok sorok összegére. 8. Tétel. Legye a (), a (2),... az a sor egy végtele, párokét diszjukt részsorokra való felbotása. Ekkor a) ha a sor abszolút koverges, akkor a felbotásba szereplő mide részsor abszolút koverges és a a (k) k b) ha a felbotásba szereplő mide részsor abszolút koverges és a k a (k) sor koverges, akkor az eredeti sor is abszolút koverges. c) ha a sor abszolút koverges, akkor Bizoyítás. k a (k) k a (k). a) Egy abszolút koverges sor mide részsora abszolút koverges. Ez azért igaz, mert a részsor abszolút soráak részletösszegei mooto övekvő sorozatot alkotak (em egatív tagú sor lévé), amely felülről korlátos, hisze a részletösszegek kisebbek mit az eredeti sor abszolút soráak összege. Jelölje s : a, s k : a (k). Legye ε > 0 tetszőleges. A sor abszolút kovergeciájából következik, hogy i N, hogy a < ε 2. (4) i+ 23

24 Válasszuk meg az 0 egész számot úgy, hogy az első 0 darab részsor már tartalmazzo az a, a 2,..., a i véges sok tagokat! Legye m > 0. Ekkor egyrészt (4) miatt i s a a a < ε 2. i+ i+ Másrészt a m i m i s k a a (k) a k k kifejezés a a sor tagjaiból áll, de em fogja tartalmazi az a, a 2,..., a i tagokat, mert kivotuk belőle. Ezért (4) miatt a kifejezés abszolút értéke kisebb mit ε 2. Összefoglalva, mide m > 0 eseté m s i s k s m a + s k k k Ezért m s lim s k, m k amiből az állítás következik. i a < ε 2 + ε 2 ε. b) Legye ε > 0 tetszőleges. A feltételből következik, hogy m N, hogy km+ a (k) < ε 2. (5) A részsorok abszolút kovergeciájából következik, hogy k N, hogy < ε (k, 2,..., m) (6) 2m k a (k) Legye 0 max{, 2,..., m }. Ekkor mide k N és > 0 eseté az a +k tag vagy az (5) szummába vagy a (6) m darab szumma egyikébe szerepel, de csak az egyikbe. Ezért az ilye tagok összege em lehet agyobb, mit az (5) és (6) összefüggésbe szereplő becslések összege, azaz a + + a a +k < ε 2 + m ε 2m ε teljesül. Ekkor a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergecia kritériumból következik, hogy a sor abszolút koverges. 24

25 c) Tekitsük meg a felbotás alapjá készített végtele számú sort és oszlopot tartalmazó táblázatot. A felbotásba szereplő részsorokat a táblázat sorai adják. Felvetődik a kérdést, hogy a táblázat oszlopaiból álló sorok szité részsorai leszek-e az eredeti sorak. Ez em mide esetbe igaz, mert semmi em garatálja, hogy az oszlopokba szereplő tagok is ugyaabba a sorredbe követik egymást, ahogya az eredeti sorba. Azoba, a 7. Tétel szerit abszolút kovergecia eseté a sorok átredezésekor az összegük em változik. Ezért a táblázat oszlopaiból kapott sorok az eredeti sorak egy végtele, párokét diszjukt részsorokra való felbotását adja. a () + a () 2 + a () 3 + a () 4 + a () a (2) + a (2) 2 + a (2) 3 + a (2) 4 + a (2) a (3) + a (3) 2 + a (3) 3 + a (3) 4 + a (3) k a (k) k a (k) 2 k a (k) 3 k A tétel a) állítása szerit abszolút kovergecia eseté bármely felbotásba szereplő összes részsor összegéből alkotott sor összege egyelő, hisze megegyezik az eredeti sor összegével. Ezért a táblázat soraiból készített részsorok összegéből alkotott a (k) 4 a (k) k sor összege és a táblázat oszlopaiból készített részsorok összegéből alkotott sor összege megegyezik. Ezzel a tétel állításait igazoltuk. a (k) k k a (k) 5 a () a (2) a (3) 25

26 Lássuk az előző tétel alkalmazását kokrét sor kiszámításáál! Számítsuk ki a 2 sor összegét! Készítsük el a következő táblázatot: A táblázat soraiból alkotott mértai sorok abszolút kovergesek és ezek összegeiből alkotott mértai sor szité koverges. Ezért a tétel b) állításából következik, hogy a táblázat elemeiből készített bármely sor abszolút koverges. Ekkor a tétel c) állítás miatt a táblázat soraiból és oszlopaiból készített sorok összege megegyezik, azaz Feladat. Határozzuk meg a következő sorok összegét! a) 2 2, b) ( ) 2. c) a harmoikus sor véges tizedes tört alakba írható tagjaiak összege. Megoldás: a) Az összefüggés alkalmazásával készítsük el a következő táblázatot: 26

27 A táblázat soraiból alkotott mértai sorok abszolút kovergesek és ezek összegeiből alkotott sor koverges, hisze és így és Ezért a tétel b) állításából következik, hogy a táblázat elemeiből készített bármely sor abszolút koverges. Ekkor a tétel c) állítás miatt a táblázat soraiból és oszlopaiból készített sorok összege megegyezik, azaz b) A következő táblázat soraiból alkotott mértai sorok kovergesek, mert midegyik kvóciese q, amelyek abszolút értéke kisebb mit. 2 Továbbá ezek a sorok abszolút kovergesek, mert midegyik abszolút sora olya mértai sor, amelyek kvóciese q 2. 27

28 A táblázatba látjuk a soraiból alkotott sorok összegeit, amelyek szité abszolút koverges sort alkotak. Ezért a tétel b) állításából következik, hogy a táblázat elemeiből készített bármely sor abszolút koverges. Ekkor a tétel c) állítás miatt a táblázat soraiból és oszlopaiból készített sorok összege megegyezik, azaz ( ) c) Azo számok összegéről va szó, amelyek felírhatók formába. Ké- 2 p 5q szítsük velük a következő táblázatot! ( ) 2 ( ) A táblázat soraiból alkotott mértai sorok abszolút kovergesek és ezek összegeiből alkotott

29 mértai sor szité koverges. Ezért a tétel b) állításából következik, hogy a táblázat elemeiből készített bármely sor abszolút koverges és összegük megegyezik. Ez azt jeleti, hogy a táblázatba lévő számokból a sorredjüktől eltekitve olya sor készíthető, amelyek összege a következő mértai sor összegével egyelő: Már tudjuk, hogy ha egy abszolút koverges sort átredezzük, akkor a végösszeg em változik. Mi a helyzet a feltételese koverges sorokkal? A feltételese koverges sorokról tudjuk, hogy a és a + a pozitív és egatív tagokból álló sorai divergesek úgy, hogy a beük szereplő tagok ullához tartaak. Ha egy feltételese koverges sort átredezzük, akkor a feti két sor átredeződik, azaz változik az a mód ahogya a pozitív és a egatív tagok vaak összefűzve, de a két sor diverges marad, hisze em egatív tagokból állak. Első hallásra meglepőek tűik az az állítás, hogy ilye esetbe úgy tudjuk összefűzi a pozitív és a egatív tagokat, hogy a sor összege bármely előre kiválasztott szám legye, sőt elérhető, hogy a sor diverges is legye. Eél többet állít a következő tétel. 9. Tétel. Legye a egy feltételese koverges sor és α β két tetszőleges szám a valós számok kiterjesztett redszeréből. Ekkor va a sorak olya átredezése, hogy lim if Sϕ α és lim sup S ϕ β, ahol S ϕ az átredezett sor -edik részletösszege. Bizoyítás. A feltételese koverges sorok tulajdoságai szerit, ha a a +, és a sorokból csak a pozitív tagjait tartjuk meg, a ulla tagokat elhagyjuk, akkor két olya pozitív tagokból álló p, és q diverges sort kapuk úgy, hogy p 0, q 0. Továbbá p és q az eredeti sor tagjai mide N eseté. 29

30 Az α és β sorozatot úgy értelmezzük, hogy α α, β β, α β, β > 0 teljesüljö. Válasszuk a legkisebb olya i idexet, amire x : p + p p i > β teljesül. Ilye idex létezik, mert olya j idexet, amire p. Ezutá válasszuk a legkisebb y : p + p p i q q 2 q j < α teljesül. Ilye idex szité létezik, mert q. A következő lépésbe válasszuk a legkisebb olya i 2 idexet, amire x 2 : p + + p i q q j + p i p i2 > β 2 teljesül, és ezutá válasszuk a legkisebb olya j 2 idexet, amire y 2 :p + + p i q q j + +p i p i2 q j + q j2 < α 2 teljesül. Folytassuk az eljárást! Az eljárás az eredeti sorak egy átredezését adja meg, ahol az x és y átredezés részletösszegéek részsorozatai. Továbbá és x β x β + β β p i + β β 0 y α y α + α α q j + α α 0, amiből x β és y α következik. Azoba, az átredezés részletösszegéek em lehet α-ál kisebb vagy β-ál agyobb sűrűsödési helye. Ezért α és β az átredezés részletösszegéek legkisebb és legagyobb kiterjesztet torlódási potja, azaz alsó és felső határértéke. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. 30

31 6. Sorok szorzata A 2. Tétel megmutatta hogya számítható ki két koverges sor összegét és kostas-szorosát. Ebbe a részbe sorok szorzatával foglalkozuk. Amikor két összegét egymással szorzuk, az egyik valameyi tagját a másik mide tagjával szorzuk, és az eredméyeket összeadjuk. Sorokál hasoló a helyzet, csakhogy végtele számú szorzat keletkezik, ezért előre meg kell adi milye sorredbe aduk össze ezeket a szorzatokat. Ezt teszi a következő defiíció. 8. Defiíció. Adott a és b sorok Cauchy-szorzatá a sort értjük. (a b + a 2 b a b ) 2 A Cauchy-szorzat tehát azokat a szorzatok ad össze, amelyekbe szereplő elemek idexeiek összege álladó, és ezekből képzi a sort. Ettől eltérő sorredbe is szokták a sorok szorzatát vizsgáli. Például két sor téglaszorzata azokat a szorzatok ad össze, amelyekbe szereplő midkét elem idexe kisebb mit egy adott szám, és ezekből képzi a sort. Jele taayagba kizárólag a sorok Cauchy-szorzatával foglalkozuk. Ha a sorok em az -től kezdődek, akkor át tudjuk őket idexeli, hogy a defiícióba megadott Cauchy-szorzata értelmezhető legye. Egyszerű számítások utá azt kapjuk, hogy a a r és b s sorok Cauchy-szorzata a sor. r+s (a r b r + a r+ b r + + a s b s ) A sorok Cauchy-szorzatára érvéyes a következő állítás. 0. Tétel. Két abszolút koverges sor Cauchy-szorzata abszolút koverges és összege a két sor összegéek szorzata. 3

32 Bizoyítás. Készítsük el a következő táblázatot: a b + a b 2 + a b 3 + a b 4 + a a 2 b + a 2 b 2 + a 2 b 3 + a 2 b 4 + a 2 a 3 b + a 3 b 2 + a 3 b 3 + a 3 b 4 + a b b b A táblázat soraiba szereplő sorok abszolút kovergesek, az összegükből álló sor is abszolút koverges és összege ( ) ( ) a b + a 2 b + a 3 b + a b. Ezért a 8. Tétel szerit a táblázat elemeiből álló bármely sor abszolút koverges és összegük megegyezik a feti összeggel, azaz a két sor összegéek szorzatával. Azoba a sorok Cauchy-szorzata a táblázat ferde átlójá lévő elemek összegéből álló sor, azaz részletösszegei a táblázat elemeiből álló egyik sor részletösszegeiek részsorozata. Ezért szité tart a két sor összegéek szorzatához. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Az előző tétel úgy általáosítható, hogy ha az egyik sor abszolút koverges, de a másik csak koverges, akkor a két sor Cauchy-szorzata koverges és összege a két sor összegéek szorzata. Ezt az állítást Mertes-tétel éve ismerjük.. Tétel (Mertes-tétel). Egy abszolút koverges és egy koverges sor Cauchy-szorzata is koverges és összege a két sor összegéek szorzata. Bizoyítás. Legye a s a és b s b két koverges sor, amelyek részletösszegeit megfelelőe S a és S b módo jelöljük. Továbbá tegyük fel, hogy az első sor abszolút koverges. Vegyük észre, hogy a két sor Cauchy-szorzatáak részletösszegei a következő módo írhatók: a b + (a b 2 + a 2 b ) + (a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b ) + + (a b + a 2 b + + a b ) a (b + b b ) + a 2 (b + b b ) + + a b a S b +a 2 S b + +a S b S a s b +a (S b s b )+a 2 (S b s b )+ +a (S b s b ). 32

33 Mivel S a s a, így S a s b s a s b. Ezért elegedő igazoli, hogy a (S b s b ) + a 2 (S b s b ) + + a (S b s b ) 0, mert így a két sor Cauchy-szorzatáak részletösszegei tartaáak s a s b -hez, ami azt jeleti, hogy a két sor Cauchy-szorzatáak összege s a s b. A hiáyzó rész igazolásához azt fogjuk felhaszáli, hogy a a sor abszolút koverges. Vezetésük be a c : S b s b jelölest! Ekkor c 0, hisze S b s b. Azt kell igazoli, hogy a k c k a c + a 2 c + + a c k tart ullához, ha tart végtelehez. Legye K egy olya pozitív szám, amely agyobb a c sorozat mide eleméél, továbbá a a sor összegéél. Legye ε > 0 tetszőleges. Mivel c 0, így N, hogy c < ε (7) 2K teljesül mide > eseté. Ha a Cauchy-féle kovergecia kritériumot alkalmazzuk az abszolút sorra, akkor 2 N, hogy a a a < ε (8) 2K teljesül mide > 2 eseté. Legye 0 : 2 max{, 2 }. Ekkor (7) és (8) miatt 0 a k c k a k c k + a k c k k < k 0 k 0 k a k c k + ε a k 2K + < K ε 2K + k 0 + k 0 + k 0 + a k c k < a k K < ε 2K K ε 2 + ε 2 ε, ami azt jeleti, hogy a k c k tart ullához. Fotos megjegyezi, hogy az k 0 2 max{, 2 } értelmezés garatálja, hogy tuduk alkalmazi a c k - re voatkozó becslést a feti levezetés első sorába. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. 33

34 Szeretém megjegyezi, hogy a Mertes-tétel em általáosítható tovább abba az értelembe, hogy két feltételese koverges sor Cauchy-szorzat lehet diverges. Ellepéldáak vegyük a ( ) sör ömagával vett Cauchy-szorzata. A következő részbe található Leibizt kritériummal em ehéz igazoli, hogy a feti sor koverges. Azoba a Cauchy-szorzat általáos tagja k a k a k k ( ) k k ( ) k ( ) k k( k). Azoba az előző tagok em tartaak a ullához, hisze a k és k számok számtai és mértai közepeire voatkozó egyelőtleség miatt k k k( k) 2 k 2( ) 2 2 ha 2. Alkalmazzuk a Cauchy-szorzatot a 3 összegéek meghatározására! Eh- 2 hez összeszorozzuk a a és sorokat. A Cauchy-szorzat általáos tagja: k Alkalmazzuk az ismert a k b k k k 2 k k 2 2 k b 2 k 2 ( + )(2 + ) 6 k k 2. 2 azoosságot! Ekkor a Cauchy-szorzat, amiek értéke a két sor szorzata, azaz 6 6, felírható ( )(2 ) ( + )(2 + ) ( ). 2

35 Ha a feti egyeletbe behelyettesítjük a már ismert értékeket, akkor a eredméyt kapjuk , és a Az előző példa azt mutatja, hogy a sorok végtele, párokét diszjukt részsorokra való felbotása mellet a Cauchy-szorzat egy újabb módszert ad, amivel ki tuduk számoli további sorok összegét. A Cauchy-szorzat alkalmazható például a k (a >, k P) a sorok kiszámításához (lásd a 23. Feladatot). Az igazsághoz tartozik, hogy éppe az ilye sorok eseté va egy elemi módszer, amivel megkapjuk a sorok egy rekurzív előállítását. A módszer a következő: a következő részbe található háyados kritérium alapjá em ehéz igazoli, hogy a feti sorok kovergesek. Ekkor egy egyszerű átidexeléssel, a Biomiális-tétel felhaszálásával azt kapjuk, hogy k a 0 0 ( + ) k a + k a + + a + a j k j a + 0 ) ( k j 0 k j0 ( ) k j j j a + + ( ) k j j a + a 0 j k j0 k a + k a ( ) k j 0 j a + A keresett sor az egyelőség jobb oldalá is szerepel. Átredezés utá megkapjuk a végeredméyt. k a a a a + ( ) k k j (9) a j a Például, ha a 2 és k 3, akkor 3 ( ) ( )

36 7. Kovergecia kritériumok A sorok összegéek potos meghatározása legtöbb esetbe ehéz feladat. Eek alátámasztására bizoyítás élkül tekitsük a következő két eredméyt: π2 2 6, ( ) + l 2. A feti két sor általáos tagjai em túl boyolultak, összegük pedig azt sejtetik, hogy komolyabb matematikai módszerek húzódak a számítások hátterébe. Ezért ebbe a részbe em a sorok potos összegeiek meghatározása a cél, haem megelégszük azzal, hogy a sor általáos tagja alapjá viszoylag egyszerű számításokkal és érvelésekkel el tudjuk dötei, hogy a sor koverges vagy diverges. Az erre szolgáló állításokat kovergecia kritériumokkét ismerjük. Rögtö megjegyzük, hogy a sor kovergeciája em függ a kezdő tagjától, csak az a általáos tagját elegedő vizsgáli. Ebbe a részbe a sorokra voatkozó legismertebb kovergecia kritériumokat fogjuk bemutati. További haszos kritériumokat a [7] köybe találuk. Divergecia kritérium Az első kritérium em egy igazi kovergecia kritérium abba a tekitetbe, hogy olya feltételeket szab meg, amelyek segíteek a sor kovergeciája meghatározására. Éppe ellekezőleg, segít kiszűri, hogy melyik sorok em lehetek kovergesek. Az állítást már a 4. részbe igazoltuk. Erre most egy jóval egyszerűbb bizoyítást aduk. 2. Tétel. Ha a a sor koverges, akkor a 0. Bizoyítás. Jelölje s a sor összegét és legye S a sor részletösszege. Ekkor S s és részsorozatára S s szité teljesül. Így Ezzel a tétel állítását igazoltuk. a S S s s 0. Az előző tételből következik, hogy ha egy sor általáos tagja em tart ullához, akkor a sor diverges. Ez alkalmazható éháy sor divergeciájáak gyors megállapítására. Például dötsük el, hogy koverges-e az alábbi sor!

37 Mivel a sor általáos tagjára a , teljesül, azaz em tart ullához, ezért a sor diverges. 6. Feladat. Kovergesek-e az alábbi sorok? a), 00, b) 2 ( + ). Megoldás: A divergecia kritérium szerit: a) a, 00 0, mert q, ha q >. Ezért a sor diverges. b) a ( + ) e 0. Ezért a sor diverges. Összehasolító kritériumok A következő kritérium két sor általáos tagjáak összehasolításából vo le következtetéseket. 3. Tétel. Legye a és b két pozitív tagú sor. Tegyük fel, hogy a b véges sok kivételével. Ekkor ha a b sor koverges, akkor a kritérium), ha a a sor diverges, akkor a kritérium). a sor is koverges (majorás b sor is diverges (miorás Bizoyítás. Az állítás abból következik, hogy pozitív tagú sorok részletösszege mooto övekvő, ezért csak a korlátosságá múlik, hogy koverges-e. Jelölje 0 azt az idexet, amire a b mide 0 eseté, valamit a a és a b sorok részletösszege S a és S. b Ekkor S a S. b

38 Az első esetbe S b korlátos, így S a is az. Ekkor S a koverges, tehát a a sor koverges és a is az. 0 Az második esetbe S a em korlátos, így S b sem az. Ekkor S b diverges, tehát a b sor diverges és b is az. 0 Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Az összehasolító kritériumokkal többet között igazolható, hogy a 2 sor koverges, tudiillik < mide > eseté és a 3. részébe 2 ( ) igazoltuk, hogy a ( ) ( + ) teleszkopikus sor koverges. Így a majorás kritérium szerit a is koverges. Továbbmegyük, vizsgáljuk meg a sor kovergeciáját p függvéyébe! 2 p 2 sor Az eddigi eredméyekből következik, hogy a feti sor diverges, ha p, és koverges ha p 2. Az p kifejezés aál kisebb, miél agyobb a p értéke fix értékek mellett. Ezért p < eseté a feti sor diverges, mert ekkor tagjai alulról becsülhetők a diverges sor tagjaival, p > 2 eseté a feti sor koverges, mert ekkor tagjai felülről becsülhetők a koverges sor tagjaival. Az < p < 2 2 esetet em tudjuk az összehasolító kritériumokkal vizsgáli. A későbbiekbe igazoli fogjuk, hogy ebbe az esetbe a sor koverges (lásd az p itegrálkritérium). 38

39 7. Feladat. Kovergesek-e az alábbi sorok? Megoldás: a) c) e) 2 +, b) 2 2 2, + +, d), cos 2, f) 3 2. a) Mivel 2 + > így a sor diverges. és 3 3, b) Mivel 2 2 < 3 2 így a sor koverges. és <, 2 2 c) Mivel és így a sor diverges. d) Mivel és így a sor koverges > > 4, ( + + ) < <,

40 e) Mivel cos 2 < és 2 <, 2 cos így 2 <, azaz az eredeti sor em csak koverges, haem abszolút koverges is. f) Mivel < 2, ami pl. teljes idukcióval agyo egyszerűe igazolható, így < 2 és < Továbbá a 2 mértai sor koverges. 3 2 Ezért a sor koverges. Gyök- és háyadoskritérium Folytassuk a sorok kovergeciájáak vizsgálatát a következő két kritériummal! 4. Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Legye a egy végtele sor. Ekkor ha a lim sup ha a lim sup Bizoyítás. Jelölje b : a és a <, akkor a sor abszolút koverges, a >, akkor a sor diverges. p : lim sup b. Ha 0 p <, akkor mide p < q < eseté az b < q egyelőtleség teljesül véges sok idex kivételével. Ekkor b < q és a q mértai sor koverges, így a majorás kritérium szerit a koverges, azaz az eredeti sor abszolút koverges. b sor Ha p >, akkor végtele sok idexre b >, azaz az eredeti sor a általáos tagja em tart ullához, ezért a sor em koverges. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. 40

41 5. Tétel (D Alembert-féle háyadoskritérium). Legye a egy végtele sor és a 0 mide N eseté. Ekkor ha a lim sup ha a lim if Bizoyítás. Jelölje b : a és a + <, akkor a sor abszolút koverges, a a + >, akkor a sor diverges. a p : lim if b + b +, p 2 : lim sup. b b Ha 0 p 2 <, akkor mide p 2 < q < eseté a b + b < q egyelőtleség teljesül véges sok idex kivételével, azaz b + < qb. Legye 0 olya idex, melytől kezdve az egyelőtleség teljesül. Ekkor a b 0 + < qb 0, b 0 +2 < qb 0 +,..., b 0 +k < qb 0 +k egyelőtleségek összeszorzásával azt kapjuk, hogy b 0 +k < b 0 q k mide k N eseté. Mivel a b 0 q k mértai sor koverges, a k majorás kritérium szerit a b sor koverges, és így az eredeti 0 + sor abszolút koverges. Ha p >, akkor véges sok idex kivételével b < b +, amiből következik, hogy az a sorozat em tarthat ullához, hisze a sorozat abszolút értéke egy idex utá szigorúa mooto övekvő. Ekkor a sor diverges. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Fotos megjegyezi, hogy ha egy adott sor eseté a feti felső határértékek eggyel egyelőek, akkor em egyértelmű a sor kovergeciája. Erre jó példa a sor, hisze ez 0 < p eseté diverges, p > eseté koverges, p 4

42 és midkét esetbe a háyados- és gyökkritériumál kapott felső határérték eggyel egyelő. Felső és alsó határérték helyett egyszerű határértéket haszáluk, ha ez utóbbi létezik, mert ekkor ezek egyelőek. Lássuk egy példát! A sorról tudjuk, hogy koverges, összegét ki is tudtuk számoli. A kovergecia igazolható a kritériumok alkalmazásával: 2 A Cauchy-féle gyökkritérium szerit a < koverges A D Alembert-féle háyadoskritérium szerit a + a < koverges 2 Nem meglepő, hogy az előző háyados- és gyökkritériumál kapott határértékek megegyezek, hisze igazolható, hogy ha lim létezik, akkor a a + a létezik és a kettő egyelő. Ez az állítás a következő módo általá- lim osítható alsó és felső határértékekre (lásd [4], [5] és [6]): lim if a + a lim if a lim sup a lim sup a + a. Ez azt jeleti, hogy ha egy sor kovergeciája a D Alembert-féle háyadoskritérium alapjá eldöthető, akkor a Cauchy-féle gyökkritériummal is. Az 32. Feladat mutatja az előző állítás élességét. Azoba gyakra a háyadoskritériumot alkalmazzuk, hisze általába köyebb háyadost számoli, mit -edik gyököt. 8. Feladat. Dötsük el, hogy kovergesek-e az alábbi sorok! a) d) 2 +, b)! 3 (!) 2 (2)!, e) 2! 3, c)!, ( ) +, f) 2 ( ).! 42

43 Megoldás: a) A D Alembert-féle háyadoskritérium szerit a + a +2 (+)! +! < koverges. Az ( + )! ( + )! azoosságot alkalmaztuk. b) A D Alembert-féle háyadoskritérium szerit a + a (+)! 3 +! 3 ( + ) 3 > diverges. c) A D Alembert-féle háyadoskritérium szerit a + a (+)! (+) +! ( + ) e < koverges. d) A D Alembert-féle háyadoskritérium szerit a + a ((+)!) 2 (2+2)! (!) 2 (2)! ( + ) 2 (2 + 2)(2 + ) 4 < koverges. e) A Cauchy-féle gyökkritérium szerit ( ) + a < koverges. f) A D Alembert-féle háyadoskritériumot alkalmazzuk a + a (+)!! + 0 < koverges. Az eredeti sor abszolút koverges, azaz koverges is. 43

44 Leibiz-kritérium Az eddig tault kritériumok alkalmazásával ha eldötöttük, hogy egy sor koverges, akkor abszolút koverges is volt. Ez az jeleti, hogy egy feltételese koverges sor kovergeciáját em lehet meghatározi az alkalmazott módszerekkel. A következő kritérium váltakozó előjelű sorok esetébe yújthat segítséget. 6. Tétel (Leibiz-kritérium). Legye a egy pozitív tagú mooto csökkeő sorozat. Ekkor a ( ) a sor koverges akkor és csak akkor, ha a 0. Bizoyítás. A feltétel szükségessége a 2. Tételből következik. Az elegedőséget úgy igazoljuk, hogy megmutatjuk a sor S -edik részletösszegéek sorozatából képzett S 2k páros elemeiből és S 2k+ páratla elemeiből álló részsorozatok kovergesek és ugyaahhoz az értékhez tartaak. A következő csoportosításából látható, hogy S 2k (a a }{{ 2 ) + (a } 3 a 4 ) + + (a }{{} 2k a 2k ) }{{} >0 >0 >0 szigorúa mooto övekvő, és S 2k+ a + ( a 2 + a }{{ 3 ) + ( a } 4 + a 5 ) + + ( a }{{} 2k + a 2k+ ) }{{} <0 <0 <0 szigorúa mooto csökkeő. Az S 2k+ S 2k a 2k+ > 0 összefüggésből S 2k+ > S 2k következik, azaz S 2 < S 4 < < S 2k < S 2k+ < < S 3 < S, és így a két részsorozat korlátos. Tegyük fel, hogy S 2k+ a és S 2k b. Ekkor a b S 2k+ S 2k a 2k+ 0. A határérték egyértelműsége miatt a b 0 és így a részsorozatok határértéke megegyezik. 44

45 A Leibiz-kritériummal egyszerűe igazolható, hogy a ( ) + sor koverges, hisze az sorozat mooto csökkeőe tart ullához. Azoba abszolút sora a harmoikus sor, ami diverges, ezért a feti sor feltéte- lese koverges. A mootoitás em hagyható ki a Leibiz-kritérium feltételei közül. Valóba az ha páros a : ha páratla 2 sorozat em mooto, ullához tart, de a belőle alkotott váltakozó előjelű sor em koverges, mert az S 2 ( ) ( ) részletösszeg egy koverges és egy diverges sorozat külöbségéből áll, ami yilvávalóa diverges. 9. Feladat. Dötsük el, hogy kovergesek-e az alábbi sorok! Megoldás: a) a) a 0. Mivel ( ), b) a + a + + <, ( ) 2 +. így az a sorozat mooto csökkeő. Ekkor a Leibiz-kritérium szerit a sor koverges. b) a Mivel 2 a + a + ( + ) ( )( 2 + ) < 0, így az a sorozat mooto csökkeő. Ekkor a Leibiz-kritérium szerit a sor koverges. 45

46 Itegrálkritérium Az itegrálkritérium csak olya sorokra alkalmazható, melyek tagjai em egatívak és mooto csökkeő sorozatot alkotak. Ugyaakkor a kritérium emcsak elégségesek, de szükségesek is a sorok kovergeciájához. 7. Tétel (Itegrálkritérium). Legye r egy egész szám, f egy mooto csökkeő, emegatív függvéy az [r, [ félegyeese és a f() mide r egész szám eseté. Ekkor a a sor koverges akkor és csak akkor, ha az r r f(x) dx improprius itegrál értéke véges. Bizoyítás. Legye k > r egy egész szám és B : {r, r +,..., k} az [r, [ itervallum beosztása. Jelölje s k, illetve S k az f függvéy a B beosztáshoz tartozó alsó, illetve felső közelítő összeget, azaz s k k r+ f() és S k hisze az f függvéy mooto csökkeő. k r f(), r s k alsó közelítő összeg k x r k S k felső közelítő összeg x A közelítő összegek tulajdoságaiból tudjuk, hogy k r+ a s k k r f(x) dx S k k r a. (0) r a egy pozitív tagú sor, ezért -edik részletösszege mooto övekvő. Így ha a részletösszeg korlátos, akkor a sor koverges, ha pedig a részletösszeg em korlátos, akkor a sor összege végtele. 46

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben