Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
|
|
- Magda Rácz
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk belőlük, és esetleg utáa redezzük sorba Mide ilye feladatál fel lehet tei a következő kérdéseket Sorba kell-e redezi az összes elemet? Permutáció) Ki kell-e választai közülük valameyit? Variáció vagy kombiáció) Az elemek külöbözőek, vagy azoosak is vaak közöttük? Ismétlés élküli vagy ismétléses) A kiválasztás utá számít a sorred vagy em? Variáció vagy kombiáció) A következőkbe a feti felsorolás zárójelbe lévő fogalmait fogjuk potosa defiiáli 11 Variáció 1 Defiíció Egy elemű halmaz elemeiből képezhető k-tagú ismétlődést megegedő) sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétléses variációjáak evezzük Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak az 1, 8, 7, 1, 10 sorozat egy 5-öd osztályú ismétléses variációja 3 Defiíció Egy elemű halmaz elemiből képezhető k-tagú ismétlés élküli sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétlés élküli variációjáak, vagy csak egyszerűe variációjáak evezzük Ilye csak akkor létezik, ha k 4 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 10, 7, 1, sorozat egy 5-öd osztályú variációja 5 Megjegyzés A feti defiíciók léyege, hogy elemből kiválasztuk k darabot és utáa sorba redezzük Ismétléses variációál darab külöböző elemből akkor is ki tuduk választai k darabot, ha esetleg k > Nyilvá az ismétlés élküli esetbe ez em tehető meg, mert darab külöböző elemből legfeljebb külöböző darabot választhatuk ki Felmerül a kérdés, hogy háy külöböző variációja és ismétléses variációja va egy elemű halmazak Azaz külöböző elemből kiválasztva k darabot, majd ezeket sorba redezve háy külöböző sorozatot kaphatuk Erre ad választ a következő két tétel 1
2 6 Tétel Legye, k N Ekkor elem k-adosztályú ismétléses variációiak száma k 7 Tétel Legye, k N és k Ekkor elem k-adosztályú variációiak száma 1) ) k + 1) 8 Megjegyzés Az előző tételbe szereplő képletet úgy célszerű megjegyezi, hogy egy egyesével csökkeő k-téyezős szorzatot képzük 9 Példa Háyféleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt? A magyar totó 14 meccs végeredméyére lehet fogadi, és midegyik meccs kimeetele háromféle lehet: 1, 0 vagy x) A {0, 1, x} halmaz elemeiből kell képezük egy hosszú sorozatot Nyilvá két meccs eredméye lehet ugyaaz is, ezért a feti, ismétléses variációra voatkozó képletet kell haszáluk = 3 és k = 14 adatokkal Így féleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt 10 Példa Egy taácsba 10 ember ül, és ki akarják maguk között sorsoli, hogy ki legye az igazgató és az igazgató helyettese Háyféleképpe végződhet a sorsolás? Ismétlés élküli variációról va szó = 10 és k = paraméterekkel A sorred valóba számít a kisorsoltak között, mert em midegy, ki lesz az igazgató, és ki lesz a helyettese) Tehát a sorsolás 10 9, azaz 90-féleképpe végződhet? 11 Példa Háy külöböző égybetűs szó képezhető a SAJTÓ szó betűiből? Az 5 külöböző betű közül kell kiválasztai 4-et a feladat em modja, hogy em ismétlődhetek), és ezeket kell sorbaredezi, tehát ismétléses variációt kell alkalmazi = 5 és k = 4 paraméterekkel Így 5 4 szó képezhető 1 Példa Egy kerékpárlakato egy 4 számjegyből álló kombiáció yitja és zárja a zárszerkezetet Elfelejtettük ezt a kombiációt Legrosszabb esetbe háy kombiációt kell végigpróbáli? Ismétléses variáció = 10 és k = 4 paraméterekkel, mivel a 10 külöböző számjegyből kell 4-et kiválasztai, és azokból sorozatot képezi A lakat az ismétlődő számjegyeket em tiltja) Így 10 4 kombiáció lehetséges 13 Példa Egy bajokságo 8 csapat idult Háyféle sorred alakulhat ki a dobogó, ha sehol sem lehet holtversey, és mide csapat csak egy darab helyezést érhet el Ismétlés élküli variációt kell alkalmazi, mert a 8 csapatból kell kiválasztai 3-at, őket sorba redezi, mert a dobogó számít a sorred, és az ismétlést a feladat szövege tiltja Összese sorred lehetséges 1 Permutáció 14 Defiíció Adott külöböző elem eseté azokak egy sorba redezését az elem egy ismétlés élküli) permutációjáak evezzük 15 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 8, 1,, 7, 10, 3 sorozat egy permutációja
3 16 Megjegyzés Középiskolába általába a permutációkat elkülöítve próbálják taítai a variációktól, pedig észre kell veük, hogy a permutáció egy olya variáció, ahol egy elemű halmazból elemet választuk ki, és ezeket rakjuk sorba Tehát olya, mit az ismétlés élküli variáció k = paraméterekkel A permutációkak is létezik ismétléses változata, azoba eek defiiálásához vissza kell emlékezük a redszer fogalmára A redszer a halmazhoz hasoló fogalom, ayi a külöbség, hogy a redszerbe egy elemet többször is felsorolhatuk Például az 1, 1, 3, 4, 6, 6, 7 egy 7-elemű redszer A redszerek elemeit szádékosa em tesszük kapcsos zárójelbe, mert azt halmazok eseté haszáljuk, és a redszer em halmaz 17 Defiíció Egy elemű redszer elemeiek sorozatba rakását az elem ismétléses permutációjáak evezzük 18 Példa A 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 redszerek a 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4 sorozat egy ismétléses permutációja 19 Tétel Legye N 0 Ekkor elem ismétlés élküli permutációiak száma 1) ) 1 =! ejtsd: faktoriális) Megállapodás szerit 0! = 1! = 1 0 Tétel Tekitsük egy elemű redszert, melybe r külöböző elem va, és mide külöböző elemből k 1, k,, k r darab va a redszerbe Tehát = k 1 + k + + k r Ekkor az elem ismétléses permutációiak száma! k 1! k r! A k i számokat az i-edik elem multiplicitásáak evezzük, ez mutatja, hogy az i-edik elemek háy példáya va a redszerbe 1 Példa Háyféleképpe tuduk 6 külöböző köyvet sorba redezi a köyvespolco? A válasz 6! = 70 Példa Háy külöböző 5-betűs szó készíthető az ABLAK szó betűiből, midegyiket felhaszálva? Azaz 5 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 5!! = = 60 3 Példa Háyféleképpe lehet egy 5 lapos póker-paklit megkeveri? A válasz 5!, ami mellékese egy 68 jegyű szám 4 Példa Háyféle külöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűiek? Azaz 10 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 10!! 3!! = Példa Háy 10 jegyű szám készíthető 6 darab kettes, darab hetes és darab hatos számjegyből, ha midegyiket fel akarjuk haszáli? Ismétléses permutációról va szó, ahol a redszer 10 elemű, azaz = 10 Továbbá három darab külöböző elem va a redszerbe:, 7, 6 Az ezekhez tartozó multiplicitások: k = 6, k 7 = és k 6 = Tehát a válasz a kérdésre: 10! 6!!! 3
4 13 Kombiáció 6 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részhalmazait az elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak evezzük 7 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a {, 7, 8} halmaz egy 3-ad osztályú kombiációja 8 Megjegyzés Részhalmazok felsorolásáál az elemek sorredje em számít, mert halmazelméleti szempotból {1,, 3} = {3, 1, } Vegyük észre, hogy egy -elemű halmaz k-elemű részhalmazáak megadása azt jeleti, hogy elemből kiválasztuk k darabot, és a feti megjegyzés alapjá eze kiválasztásál az elemek sorredje em számít 9 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részredszereit az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak evezzük 30 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 7, 3, 1, 10, 1, 3 redszer egy 7-ed osztályú ismétléses kombiációja 31 Megjegyzés Az előző defiícióba a részredszer képzése azt jeleti, hogy egy elemet többször is kiválaszthatuk a halmazból Az elemek sorredje most sem számít, mivel a redszerbe em számít az elemek sorredje 3 Tétel Legye k Ekkor elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak száma )! 1) k + 1) = = k k)! k 1 33 Defiíció Az előző tételbe szereplő k) kifejezést biomiális együtthatóak evezzük 34 Tétel Az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak száma ) + k 1 k 35 Példa Háyféleképpe tudjuk kitöltei az ötöslottót? Magyarországo 90 számból 5-öt kell megtippeli) Mivel a sorsolás utá a megjelölt számok sorredje teljese irrelevás, így a 90 számból 5 darab kiválasztásáál a sorred em számít Tehát ) féleképpe tölthető ki egy ötöslottószelvéy 36 Példa Háyféleképpe osztható szét forityi jutalom 3 dolgozó között, ha mideki csak rel osztható összeget kaphat? Természetese az is megegedett, hogy valaki em kap semmit) Ismétléses kombiációról va szó, mert mide tízezresre ki kell választai egy embert a három közül Tehát 3-ból választuk 10 helyre, és egy-egy embert yilvá több ezreshez is ki kell választauk, így a megoldás ) = 1 10) 4
5 37 Példa Háy olya domió va, amelyek midkét felé a potok száma 0-tól 6-ig terjed? Így 7 elemből kell kiválasztai -t, de egy elemet midkét oldalra is kiválaszthatuk, azaz ismétléses kombiációt kell haszáli Így ) 7+ 1 = 8 ) = 8 domió va, ami a feladat feltételéek eleget tesz Biomiális tétel Emlékezzük vissza a középiskolába is tault a + b) = a + ab + b és a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 azoosságokra Mit ahogy az a következő tételből látható lesz, ez a -es és 3-as kitevő helyett általáosítható tetszőlegese agy egész kitevőre 38 Tétel Biomiális tétel) Ha N, továbbá a és b valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor ) ) ) ) ) a + b) = a + a 1 b + a b + + ab 1 + b, vagy rövidebbe a + b) = i=0 ) a i b i i Azért, hogy lássuk, a biomiális tétel hogya kapcsolódik a kombiatorikai problémákhoz, vizsgáljuk meg a jobboldali összegebe fellépő általáos i) a i b i tagot Képzeljük el, hogy az darab a + b) téyezőt elkezdjük összeszorozi egymással egyesével Azokat a tagokat számoljuk, ahol i darab b-t, és i darab a-t szorzuk össze Háyféleképpe tehettük ezt meg? Potosa ayiféleképpe, aháyféleképpe az darab a + b) téyezőből ki tudjuk választai az i darab b-t Ez pedig potosa i) A biomiális együtthatókból felépíthető Pascal-háromszögből azoal látszódak a biomiális együtthatók legfotosabb tulajdoságai Az alábbi ábrá látható a Pascal-háromszög első éháy sora, melybe az k) értékek vaak feltütetve = 0, k = 0 0 = 1, k = 0, 1 1 ) 0) =, k = 0, 1, ) ) 1) = 3, k = 0, 1,, 3 3 ) 3 ) 3 ) ) = 4, k = 0, 1,, 3, 4 4 ) 4 ) 4 ) 4 ) 3) ) = 5, k = 0, 1,, 3, 4, 5 5 ) ) A biomiális együttható és a Pascal-háromszög legfotosabb tulajdoságait az alábbi tétel foglalja össze 5
6 39 Tétel Legye k, N 0 és k Ekkor érvéyesek az alábbi összefüggések 1 0) = ) = 1 A háromszög két oldalá 1-esek állak) ) k = k) A háromszög tegelyese szimmetrikus) 3 Ha 0 < k <, akkor ) k = 1 ) k ) k A háromszögbe bármelyik elem a felette lévő két elem összege, feltéve, hogy va felette két elem) 4 Bármely N 0 -ra i=0 i) = A Pascal-háromszögbe az i-edik sor összege i 1 ) Természetese adódik a kérdés, hogy a kitevő általáosítása utá, tudjuk-e tovább általáosítai a problémát, modjuk a változók számát tekitve A választ az alábbi tétel adja meg 40 Tétel Poliomiális tétel) Ha N, továbbá a 1,, a k valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor 3 Szitaformula a a k ) = i 1,,i k N 0 i 1 ++i k =! i 1! i k! ai 1 1 a i a i k k Köye megfigyelhető a halmazokra voatkozó alábbi állítás 41 Állítás Ha A, B véges halmazok, akkor A B = A + B A B A feti állítás szemléletese köye igazolható, ugyais az A B halmazba azok az elemek vaak, amik legalább az egyikbe bee vaak Így megszámoljuk azokat, amelyek bee vaak A-ba, illetve külö, amik bee vaak B-be, de mivel a metszetüket kétszer számoltuk, így a metszet elemszámát egyszer le kell voi, hogy mide elemet csak egyszer számoljuk Természetese a feti állítás kiterjeszthető több halmazra is 4 Tétel Legyeek A 1, A véges halmazok Ekkor A 1 A = 1) r 1 r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A i1 A ir A feti tétel első ráézésre egyáltalá em tűik kéyelmesek Segíthet, ha megértjük, mi törtéik a képletbe Va darab véges halmazuk, és keressük az uiójuk elemszámát Az r = 1 eseté összeadjuk a halmazok elemszámát Így éháy elemet kétszer számoltuk ezért le kell vouk belőle bizoyos elemszámokat, például r = eseté a kettős metszetek elemszámát Ezutá hozzáadjuk a hármas metszetek elemszámát, levojuk a égyes metszetek elemszámát, és ezt folytatjuk, míg el em jutuk az r = esethez, ami az összes halmazak a metszete A feti tétel következméye a szitaformula 6
7 43 Tétel Szitaformula) Legyeek A 1, A halmazok a véges U uiverzum részhalmazai Ekkor A1 A = U + 1) r A i1 A ir r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A szitaformula a 4 Tétel egyees következméye, ugyais A1 A = U A 1 A 44 Példa A szegedi tudomáyegyetem matematika taszékcsoportja 100 matematika, 00 biológia és 400 iformatika szakos hallgatót oktat Akik egyszerre matematika és biológia szakosak, azokak a száma 1, a matematika és iformatika szakosoké 44, illetve a biológiaiformatika szakos hallgatók száma 6 Négy fő végzi egyszerre mid a három szakot Háy hallgatót oktat a matematika taszékcsoport? Jelölje I, B, M redre az iformatika, biológia és matematika szakos hallgatók halmazát Ekkor a a 4 Tétel szerit I B M = I + B + M I B I M B M + I B M = = 64 7
Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
RészletesebbenKOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,
KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenElemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek
Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek
RészletesebbenVéges matematika 1. feladatsor megoldások
Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombinatorika Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.. Kombinatorikai alapfeladatok A kombinatorikai alapfeladatok lényege az, hogy bizonyos elemeket sorba rendezünk, vagy néhányat
RészletesebbenKombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.
ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:
RészletesebbenDiszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenFibonacci nyulai. 2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van
1 A Fiboacci- számok Leoardo di Pisa, ismertebb evé Fiboacci (1170-1250? olasz kereskedő és matematikus. Üzleti útjai lehetősége yílt megismerkedi az arab és hidu matematikával. Fiboacci legikább arról
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenKombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenDefiníció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
Részletesebben7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenKombinatorika elemei. dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék
Kombiatorika elemei dr. Szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém, Matematika Taszék szalkai@almos.ui-pao.hu 2013.10.26. 2 2. fejezet Kombiatorika elemei Véges halmazok, a kombiatorika alapelvei, általáos elemi
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenEGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A
BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464
Részletesebben24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei
4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
Részletesebben24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenFONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK
FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenKidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenAzaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenKombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenSzerencsejátékok. Elméleti háttér
Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenKétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenEXTREMÁLIS GRÁFOK. SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veronika SZAK: Matematika BSc Tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Szőnyi Tamás
EXTREMÁLIS GRÁFOK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veroika SZAK: Matematika BSc Taári szakiráy TÉMAVEZETŐ: Szőyi Tamás Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar 010 Tartalom 1. Bevezetés...
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenKombinatorika feladatok
Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha
Részletesebben