Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Átírás

1 Kombiatorika! = ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = = 10 stb! 3! = Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek egy permutációja elem összes lehetséges sorbaredezéseiek permutációiak száma: P =! Mitapélda: 4 tauló: Adrás Dai Kata és Orsi együtt megy iskolába Háyféle sorredbe léphetik át az iskola szűk ajtajáak küszöbét? Megoldás: P 4 = 4! = 4 A 4 lehetséges sorred: ADKO ADOK AKDO AKOD OKDA Ismétléses permutáció Va darab elemük de a vizsgálat szempotjából em mid külöböző: k 1 db egyforma k db egyforma k 3 db egyforma k r db egyforma k 1 + k + k k r = ; továbbá k i = 1 is lehet Az összes elemet sorbaredezzük Két sorbaredezés csak akkor külöbözik ha beük legalább egy helye a vizsgálat szempotjából külöböző elemek állak Az ilye sorbaredezések elem ismétléses permutációi Ezek száma: P k1kkr =! k 1! k! k r! Mitapélda: Háyféleképpe lehet 4 piros 3 fekete és zöld golyót egymás mellé letei ha az azoos szíű golyókat em külöböztetjük meg egymástól? Megoldás: P 43 9 = 9! 4! 3!! = Ismétlés élküli variáció elemből k-hosszú sorozatokat készítük úgy hogy egy elem legfeljebb egyszer szerepelhet a sorozatba k Az ilye sorozatokat elem k-adosztályú ismétléses variációiak evezzük Ezek száma:! V k = 1 k + 1 = {{ k! k darab Mitapélda: Egy matematikaverseye 15-e idulak A kari újság az első hat helyezett evét közli Háyféle lehet ez a lista? Tegyük fel hogy potegyelőség em lehetséges Megoldás: V 156 = = 15! = ! 4 Ismétléses variáció elemből megit csak k-hosszú sorozatokat készítük de most egy elem többször is szerepelhet más szavakkal: az elemek ismétlődése megegedett Ebből következőe k > is lehet! Az ilye sorozatokat elem k-ad osztályú ismétléses variációiak evezzük Ezek száma: Vk i = {{ = k k darab Mitapélda: Egy dobókockával 4-szer dobuk egymás utá Háy külöböző dobássorozat lehetséges? Megoldás: V i 64 = = 6 4 = Ismétlés élküli kombiáció Va elemük Belemarkoluk az elemekbe és kiemelük k darabot A kivett elemekek ics sorredje csak az számít melyik k elemet vettük ki k Az ilye kiválasztásokat elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak evezzük Ezek száma: megj: C k = = k a k ú biomiális együttható ejtsd: alatt a k b spec: 0 = 1 = 1 1 = 1 = c spec: = 1! k! k!

2 d k = k Mitapélda: Egy yolcfős társaság sorsolással döti el hogy közülük melyik legye az a három aki elmegy a lemezjátszóért Háyféle eredméy születhet azaz háy külöböző háromfős csapat alakítható? Megoldás: C 83 = 8 3 = 8! 3!5! = 56 6 Ismétléses kombiáció Va elemük Megit csak belemarkoluk az elemekbe és kiemelük k darabot de most úgy hogy egy elem több példáyba is a kezükbe lehet Az elemekek itt sics sorredje csak az számít hogy melyik elemből háy darab va a kezükbe Összese k darabak kell leie viszot k > is lehet! Az ilye kiválasztásokat elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak evezzük Ezek száma: + k 1 Ck i = k Mitapélda Egy boltba 8-féle rágógumit árulak válogathatuk? Megoldás: C83 i = = 10 3 = 10 Összese 3 darabot szereték vei Háyféleképpe

3 Vegyes feladatok 1 1 Egy hatszemélyes család háyféleképpe foglalhat helyet egy sorba és egy kerek asztalál? Mo: a A feladat átfogalmazása: 6 elemet háyféleképpe tuduk sorbaredezi Ez P 6 = 6! = 70 - féleképpe lehetséges b i Ha csak azt ézzük kiek ki a bal- ill jobbszomszédja: Ültessük le Aladárt valahova midegy hogy melyik helyre A maradék öt helyre a többi családtagot 5! = 10 -féleképpe tudjuk leülteti ii Ha azt is ézzük melyik családtag melyik helye ül: Ültessük le Aladárt: ezt 6-féleképpe tehetjük meg Attól függetleül hogy őt hova ültettük le a többieket a maradék öt helyre 5! - féleképpe ültethetjük le Összese: 6 5! = 6! = 70 lehetőség Háyféleképpe foglalhat helyet egymás mellett égy férfi és égy ő egy pado úgy hogy férfi és ő felváltva következze? Mo: a Ha az első helye férfiak kell ülie: A páratla sorszámú helyekre a férfiakat P 4 = 4! = 4-féleképpe tudjuk leülteti A páros sorszámú helyekre a őket szité P 4 = 4! = 4-féleképpe a férfiak leültetésétől függetleül Összese P 4 P 4 = 4! 4! = 576 lehetőség b Ha csak az számít hogy két férfi ill két ő e üljö egymás mellett azaz ha ő is ülhet az 1 helye: Először eldötjük hogy a férfiak a páratla sorszámú vagy páros sorszámú helyekre üljeek lehetőség Ezek utá midkét esetbe a leültetés a alapjá P 4 P 4 = 4! 4! = 576-féleképpe törtéhet Összese: P 4 P 4 = 4! 4! = 115 lehetőség 3 Háy olya yolcjegyű szám létezik ahol a számjegyek mid külöbözőek? Háy yolcjegyű szám létezik összese? Mo: A feladat midkét részébe tekitettel kell leük arra hogy a 0 számjeggyel em kezdődik szám a Va 10 elemük: a számjegyek Ezekből készítük 8-hosszú sorozatokat úgy hogy a 0 em állhat az első helye és ismétlés em megegedett Az első helyre 9-féle számjegy kerülhet a 0 kivételével bármelyik a helyre megit csak 9-féle csak az em ami az 1 helyre került a 3 helyre 8-féle csak az em ami az 1 ill helyre került és így tovább A 8 helyre 3-féle szám kerülhet Összese: = 9 V 97 = lehetőség b Most: az első helyre 9-féle elem kerülhet a 0 kivételével bármelyik a maradék 7 hely midegyikére egymástól függetleül a 10 elem bármelyikét írhatjuk Összese: 9 V i 107 = = lehetőség 4 Egy játékkockával ötször dobuk egymás utá Háy külöböző dobássorozat lehetséges? Mo: A kérdés átfogalmazása: a kocka egy-egy oldalá lévő számokat tekitsük egy-egy elemek Így 6 elemük va az számok ezekből képezük 5-hosszú sorozatokat úgy hogy ismétlés megegedett az 1 helyre is hatféle elem kerülhet a helyre is a 3-ra is stb Összese: V65 i = 6 5 = 7776 lehetőség 5 Háy ötelemű sorozat készíthető az X = {13456 halmaz elemeiből ha X elemei többször is szerepelhetek ill ha em szerepelhetek többször? Mo: a V i 65 = 6 5 = 7776 ua mit 4 b V 65 = = 70 6 Egy yolctagú családból égye mehetek szíházba Háyféleképpe törtéhet a kiválasztás ha megkülöböztetjük hogy ki melyik szíházjegyet kapja ill ha em? Mo:

4 a Ha számít ki melyik jegyet kapja pl a jegyek helyre szólak akkor célszerű a következőképpe godolkodi Redezzük sorba a jegyeket: 1 jegy jegy 3 jegy 4 jegy Ezek utá válasszuk embereket az egyes jegyekhez: az 1 jegyhez 8-féleképpe redelhetük embert azutá a jegyhez már csak 7- féleképpe a 3-hoz 6-féleképpe a 4-hez 5-féleképpe Vegyük észre hogy ez azt jeleti hogy az emberek 8-elemű halmazából 4-hosszú sorozatokat készítük Ez összese: V 84 = = 1680 lehetőség b Ha csak az számít melyik égy ember megy szíházba: 8 elem közül választuk ki égyet úgy hogy a sorred em számít és ismétlődés em megegedett: C 84 = 8 4 = 8! 4!4! = 70 lehetőség Aháy 4-elemű részhalmaza va egy 8-elemű halmazak 7 Háyféleképpe osztható ki az 5 lapos fraciakártya 4 személy között ha mideki ugyaayi db kártyát kap? Meyi ez a szám ha tudjuk hogy mideki kap ászt? Mo: A fraciakártyába 4 szí va midegyik szíből 13 figura a Ültessük le sorba a játékosokat és a megkevert pakli kiosztása törtéje a következőképpe: először A kap 13 lapot majd B kap 13 lapot majd C és végül D A kiosztás e módja bár a gyakorlatba em tipikus de attól még teljese véletleszerű és igazságos Bárki bármilye leosztást ugyaolya valószíűséggel kaphat A 13 lapot féleképpe kaphat Ezutá B a maradék 39 lapból 13-at féleképpe és így tovább lehetőség Összese: C 513 C 3913 C 613 C 1313 = 5 13 Megj: 13 = 1 b Osszuk ki először a 4 ászt a égy játékosak: ez 4!-féleképpe lehetséges Majd a maradék 48 lapból A kapjo 1-t ezutá a maradékból B 1-t stb Összese: 4! lehetőség 8 Három autóba 9 ember száll be úgy hogy mide autóba 3 ember jut Háyféleképpe törtéhet ez? Háy A B függvéy va ha A elemszáma B elemszáma k? Mo: a C 93 C 63 C 33 = = 1680 b Tudjuk hogy A = és B = k Egy f : A B függvéy A mide eleméhez B-ek potosa egy elemét redeli Két ilye függvéy külöbözik egymástól ha legalább egy helye eltér a fv-érték Jelöljük a két halmaz elemeit a következőképpe: A = {a 1 a a 3 a ill B = {b 1 b b 3 b k A függvéyek megszámlálásához célszerű egy két-oszlopos táblázatba foglali hogy egy fv az egyes A-beli elemekhez mit redel: a 1 a a 3 a ahol fa r = b ir és a második oszlopba B elemei szerepelek úgy hogy egy elem többször is szerepelhet esetleg mid ugyaaz Mivel A elemeit sorbaredezettek tekitjük azt kell megszámoluk hogy a oszlopba háyféleképpe tudjuk B elemeit az előbbi szabály szerit beíri azaz hogy k elemből háyféleképpe tuduk -hosszú sorozatokat készítei ha ismétlés megegedett Ez V i k = k - féleképpe lehetséges megj: az eredméy függetle attól hogy > k vagy = k vagy < k teljesül megj: a b rész szerkesztési hiba miatt em külö sorszám alatt szereplő feladat 9 Tegyük fel hogy két véges elemszámú halmaz között létezik bijektív leképezés Háy bijektív leképezés adható meg e két halmaz között? Mo: Két véges halmaz között potosa akkor létezik bijekció ha elemszámuk azoos Legye a két halmaz A és B és legye A = B = továbbá A = {a 1 a a 3 a ill B = {b 1 b b 3 b Az előbbi példa b részéhez hasolóa: egy fv-t megragadhatuk úgy hogy táblázatba foglaljuk mit redel az egyes A-beli elemekhez Most: a 1 a a 3 a b i1 b i b i3 b i b i1 b i b i3 b i

5 ahol fa r = b ir és a második oszlopba B elemei szerepelek úgy hogy mide elem potosa egyszer szerepel Azt kell megszámoluk hogy a oszlopba háyféleképpe tudjuk B elemeit az előbbi szabály szerit beíri azaz hogy B darab elemét háyféleképpe tudjuk sorbaredezi Ez P =! - féleképpe lehetséges 10 Háy ijektív A B függvéy va ha A elemszáma és B elemszáma k? Mo: eml: egy f függvéy ijektív ha vagy ami ezzel egyeértékű: ha Rövide: ha külöböző elemek képe külöböző Esetszétválasztással: [fa i = fa k ] [a i = a k ] [a i a k ] [fa i fa k ] ha > k akkor ics megfelelő függvéy kevesebb lehetséges képelem va mit aháy eleme va az értelmezési tartomáyak: szükségképpe legalább két elem képe ugyaaz: 0 db ha = k akkor egy ijekció egybe bijekció is:! uamit 9 ha < k akkor a 8b ill 9 példákhoz hasolóa célszerű táblázatkét elgodoli a függvéyeket; most: a 1 a a 3 a b i1 b i b i3 b i ahol fa r = b ir és a második oszlopba B elemei szerepelek úgy hogy egy elem legfeljebb egyszer szerepelhet Azt kell megszámoluk hogy a oszlopba háyféleképpe tudjuk B elemeit az előbbi szabály szerit beíri azaz hogy háy -hosszú sorozatot tuduk alkoti B elemeiből ha ismétlés em megegedett Ez V k = k k 1 k k féleképpe lehetséges 11 Háya vaak a egy -elemű halmaz összes részhalmazai? b az -hosszúságú 0 1 sorozatok? Idokoljuk a feti két eredméy azoosságát valamely bijekció megadásával! Mo: A megoldás meete: belátjuk hogy db -hosszú 0 1 sorozat va Ezutá megaduk egy bijekciót az -hosszú 0 1 sorozatok halmaza és egy -elemű halmaz összes részhalmazaiak halmaza között Ezzel belátjuk hogy egy -elemű halmaz összes részhalmazaiak is a száma Vagyis bizoyítást aduk arra hogy egy -elemű halmaz hatváyhalmazáak elemszáma Először: a 0 és 1 elemekből -hosszú sorozatokat készítük Mid az db helyre egymástól függetleül a két elem bármelyike kerülhet: az 1 helyre is kétféle a helyre is kétféle az -edik helyre is kétféle Összese: V i = sorozat Másodszor: tekitsük egy tetszőleges -elemű halmazt Jelöljük A-val és elemeit redezzük sorba: A = {a 1 a a 3 a ez a megoldás általáosságát em befolyásolja Készítsük táblázatot a következőképpe:

6 a 1 a a 3 a 4 a a 1 a K K K K K i K j K j K j K j K j K r K r K r K r A táblázat első sorába felsoroltuk az A halmaz elemeit Az első oszlopba K m -kel jelölve felsoroltuk A összes részhalmazát Véges halmazak triviálisa véges sok részhalmaza va ezért azokat sorba tudjuk redezi Az egyes K m -ek sorába a i oszlopába 0-t íruk ha a i / K m és 1-et íruk ha a i K m teljesül Így A mide részhalmazát egyértelműe kódoltuk egy -hosszú 0 1 sorozattal és megfordítva: mide lehetséges -hosszú 0 1 sorozat egyértelműe meghatározza A egy részhalmazát Pl: A egyelemű részhalmazaiak sorába 1 db 1-es és 1 db 0-ás áll; a csupa 0-ásból álló sor az üreshalmazt jelöli a csupa 1-esből álló sor a triviális A részhalmazt jelöli stb Ezzel bijekciót adtuk meg az -hosszú 0 1 sorozatok és egy -elemű halmaz összes részhalmazai között Vagyis: r = Továbbá mivel egy -elemű halmaz összes részhalmazaiak a száma egyelő a 0-elemű részhalmazok száma plusz az 1-elemű rszhalmazok száma plusz a kételemű részhalmazok száma plusz az -elemű részhalmazok száma ezért azt is megkaptuk hogy = Kokrét eset szemléltetésképpe = 3: Legye A = {a 1 a a 3 Pl: K 4 = {a 1 K 7 = {a 1 a stb a 1 a a 3 K K K K K K K K

7 Vegyes feladatok 1 Va külöböző dobozuk és k egyforma golyók Háyféleképpe helyezhetők el a megkülöböztetés élküli golyók az db dobozba? Mo: Két szétosztás külöbözik ha va olya doboz amelybe az egyik szétosztás szerit több golyó va mit a másik szerit Legyeek a dobozok: D 1 D D Tegyük fel hogy egy szétosztás utá pl a D 1 dobozba 3 golyó va Fogjuk ezt úgy fel hogy a golyók egyekéti kiosztásakor a D 1 dobozt háromszor választottuk Egy kiosztáskor így összese k-szor választuk dobozt Összefoglalva: elem közül választuk ki k darabot úgy hogy a választás sorredje em számít hisze csak az a kérdés hogy az egyes dobozokba végül háy golyó va és em az hogy milye sorredbe és mikor kerültek bele továbbá ismétlés megegedett egy dobozt többször is választhatuk hisze egy dobozba több golyó is kerülhet A golyók kiosztása összese: C i k = +k 1 k - féleképpe lehetséges Háyféle módo lehet 4 piros 3 fekete fehér golyót egymás mellé letei úgy hogy a a két fehér golyó egymás mellé kerüljö? b a égy piros golyó e legye egymás mellett? Mo: a A két fehér golyót ragasszuk össze tekitsük egy egységek Ezek utá va 8 elemük: 4 piros 3 fekete és 1 fehér golyó Eze elemek összes sorbaredezéséek a számára vagyuk kívácsiak Mide elemet sorbaredezük ezért permutációról va szó viszot a kérdés szempotjából egymás között em külöböztetük meg 4-et 3-at ill 1-et tehát ismétléses permutációról A megoldás: P = 8! 4!3!1! = 80 b Közvetleül sokkal köyebb azo sorbaredezéseket megszámoli amelyekbe a 4 piros golyó egymás mellé kerül mit azokat amelyekbe em kerül egymás mellé a égy piros golyó: összes sorbaredezés {{ köyű számoli = a 4 piros egymás mellett va {{ köyű számoli + a 4 piros ics egymás mellett {{ ehéz számoli Ebből: 4 piros ics egymás mellett = összes a 4 piros egymás mellett va A égy piros golyót ragasszuk össze tekitsük egy elemek Összese: P 43 9 P 31 6 = 9! 4! 3!! 6! 3!! 1! = = 100 lehetőség 3 Egy 8 8 -as sakktáblá háyféleképpe helyezhetük el elleséges bástyát úgy hogy a sakk szabályai szerit e üssék egymást? Mo: Az első pl világos bástyát a 64 hely bármelyikére letehetjük: ez 64 lehetőség A második pl sötét bástyát em tehetjük sem egy sorba sem egy oszlopba az elsővel Az elsőt bárhova tettükk is le 7 = 14 helyet támad + 1 helye rajta áll azaz összese 15 helyet tilt meg a sötét bástyáak Sötétet így a maradék = 49 hely valamelyikére tehetjük le Összese: = 3136 lehetőség 4 Most ugyaeze táblá 8 bástyát helyezük el úgy hogy a sakk szabályai szerit e üssék egymást Háyféle módo törtéhet ha a bástyák egyformák? És ha a bástyák külöbözőek? Mo: A feladat megoldásakor tekitsük el attól hogy a sakk szabályai szerit azaz ormális esetbe a táblá egyszerre legfeljebb 4 bástya állhat Amikor a feladat a sakk szabályai szerit kéri hogy két bástya e üsse egymást akkor azt kéri hogy e álljo két bástya egy oszlopba vagy egy sorba Mivel a tábla 8 sorból és 8 oszlopból áll ezért rögtö adódik hogy egy lerakás utá mide sorba és mide oszlopba potosa 1 bástya fog álli

8 a Ha a bástyák egyformák: haladjuk oszlopokét Az 1 oszlopba rakjuk le valahova egy bástyát: ez 8-féleképpe lehetséges Ez utá a oszlopba helyezzük el egy bástyát: ez már csak 7-féleképpe lehetséges mert abba a sorba em rakhatjuk amelyikbe az 1 oszlopbeli bástya áll Ez utá a 3 oszlopba helyezzük el egy bástyát: ez már csak 6-féleképpe lehetséges mert azokba a sorokba em rakhatjuk amelyekbe már áll bástya És így tovább Amikor az utolsó oszlophoz érük már csak egy szabad sor lesz a 8 bástya lerakásakor már csak egy sor közül választhatuk Összese: P 8 = = 4030 lehetőség Két példa a 4030 lehetséges közül a feladat szempotjából közömbös ezért em szíeztük a mezőket: b Ha a bástyákat megkülöböztetjük pl számokkal idexezve őket: az a rész mide egyes lerakásá belül tetszőlegese tudjuk permutáli a 8 külöböző bástyát Összese: P 8 P 8 = 8! 8! lehetőség Két példa a táblára eyhe szögbe tekitve: Milye számredszerbe igaz a következő egyelőség? 1! 11! 10! = Mo: A keresett számredszer alapszáma legye k k N + A feti egyelőséget írjuk át 10-es számredszerbe majd oldjuk meg az egyeletet! Eml: pl a k-as számredszerbeli xyzw szám tízes számredszerbe: x k 3 + y k + z k 1 + w k 0 = xk 3 + yk + zk + w -el egyelő Azaz: xyzw k =xk 3 + yk + zk + w 10 Ebből átredezéssel poliomosztással: k +! k + 1! k! = k + k k![k + k + 1 k + 1 1] = k k + 1 k! = kk + 1 k + Mivel k! természetes szám ezért k k k + k!k + k = k k + 1 k!k + = kk + 1 = k3 + k k + = k k k + 10 Z k + = ±1 ± ±5 ±10 k = k + 10 is az Ez csak akkor lehetséges ha k + { egész szám Mivel k N + ezért csak a k = 3 ill k = 8 értékek jöek szóba Elleőrizve e két értékre: k = 3-mal: 5! 4! 3! = valóba teljesül 90 = 90 viszot k = 8-cal: 10! 9! 8! = elletmodás Kaptuk: az egyelet csak a k = 3 -as számredszerbe teljesül

9 6 Oldja meg az alábbi egyeletet az egész számok halmazá! x x + 3 = 0 x + 1 Mo: Felhaszáljuk hogy: x x! xx 1 = =! x! ill x + 3 x + 3! x + 3x + = = x + 1 x + 1!! xx 1 x x + 3 = 0 x + 1 x + 3x + = 0 xx 1 x + 3x + = 40 x 1 = 11 ± Az egyelet egyetle megoldása: x = 3x + 11x 34 = 0 = 11 ± Igazolja hogy a Pascal-háromszög -edik sorába álló számok összege Mo: A Pascal-háromszög 0 sorába lévő elem: sorába lévő elemek: sorába lévő elemek: 0 1 -edik sorába lévő elemek: Egy korábbi feladatba már igazoltuk hogy: = { x1 = Z x = 34 6 / Z = 8 Mutasso kölcsööse egyértelmű megfeleltetést az 1 és számjegyekből képezhető öttagú mooto övő sorozatok és az számjegyekből képezhető ÖTTAGÚ! szigorúa mooto övekedő sorozatok között! Először állapítsuk meg hogy va-e megoldása a feladatak! Mo: Megjegyezzük hogy itt em az Aalízis tárgy keretei belül defiiált umerikus sorozatokról va szó hisze itt egy sorozatak csak véges sok eleme va Az 1 és számjegyekből képezhető öttagú mooto övő sorozatok a következők: Vegyük észre hogy midegyik egyértelműe jellemezhető azzal hogy háyszor szerepel bee pl a -es szám Adjuk ekik ez alapjá a következő jelölést: {{ 1111 {{ 111 {{ 11 {{ 1 {{ {{ Az számjegyekből képezhető öttagú szigorúa mooto övekedő sorozatok a következők: Vegyük észre hogy midegyik egyértelműe jellemezhető azzal hogy a számjegyek közül melyik hiáyzik belőle Adjuk ekik ez alapjá a következő jelölést: 3456 {{ {{ 1456 {{ 1356 {{ 1346 {{ 1345 {{

10 Midkét halmazak 6 eleme va ezért létezik közöttük bijekció Az első halmazt A-val a másodikat B-vel jelölve: A = {01345 B = {13456 bijekció a két halmaz között f : A B fx = x Egy gyerekek 10 rágógumit akaruk vei A boltba e fajták vaak: golyó Doald és lapos Háyféleképpe válogathatuk? 10 Mo: A feladat megfogalmazásából em következik de célszerű feltételezi hogy a boltba midhárom fajtából legalább darab redelkezésre áll Azaz ha akaruk tuduk 10 Doald-rágót vei ami íz szempotjából a legcélszerűbb 3 elemből akaruk 10 darabot vei A sorred em számít csak az hogy végül melyik fajtából háy darab lesz a kezükbe Ismétlés megegedett egy fajtából többet is vehetük Összese: C310 i = = 1 10 = 66 lehetőség Ötfajta képeslapot árulak Háyféleképpe vehetük 1-t? Mo: Megit csak célszerű feltételezi hogy mid az ötfajta képeslapból legalább 1 darab va a trafik készletébe A megoldás aalóg az előző feladat megoldásával: C i 51 = = 16 1 = 180