Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Véges matematika 1. feladatsor megoldások"

Átírás

1 Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a megoldás: = 2 b három 1-es és hét 2-es va; Ez ugyaaz, mit a három 1-es és hét 2 sorbarakásai, erre a tault képlet! 3!7! c három 1-es va; Először eldötjük, hol legye a három 1-es Ehhez a dobás közül hármat kell kiválasztai: 3 lehetőség Ha ez eldőlt, akkor a többi dobásról dötük egyekét, ezek midegyikére 5 lehetőségük va Mivel ezek függetle dötések, a megoldás: d három 1-es, két 3-as és öt 5-ös va;! Hasolóa a b feladathoz, ez is egy sorbaredezés, így a megoldás 3!2!5! e va 1-es; Az a megoldásához hasolóa látszik, hogy összese 6 sorozat va Hasolóa látható, hogy azo sorozatok száma, melyekbe ics 1-es, 5 A megoldás ezek külöbsége, azaz 6 5 f legfeljebb három 1-es va? Ezt csak esetszétválasztással lehet megoldai aszerit, hogy potosa háy 1-es va lehet ulla, egy, kettő vagy három Ezeket külö-külö a c megoldásához hasolóa lehet számoli, így a megoldás Háy szelvéyre va szükség a TOTÓ-, hogy biztosa 13/13 találatot érjük el tehát 1 mérkőzés ics? Mide meccsről egymástól függetleül döthetük 3-féleképpe 1,2 vagy x, így a megoldás = Háyféleképpe tehetük fel egy sakktáblára 8 egyforma bástyát úgy, hogy semelyik kettő e üsse egymást? Mide sorba potosa egyet kell teük Az első sorba 8 helyre tehetük Ha ez megva már, akkor a második sorba már csak 7 olya hely lesz, ahol az első em üti a másodikat,, végül a 8 sorba már csak egyféleképpe tehetjük le a bástyát Ezek függetle dötések, így a megoldás = 8! 4 Háy szelvéyre va szükség a LOTTÓ-, hogy biztosa 5 találatot érjük el? A 90 számak bármelyik 5-elemű részhalmaza lehet kihúzott számötös, így 90 5 szelvéyre va szükség 5 A 0, 1, 2, 3, 4, 5 jegyekből háy hatjegyű, 5-tel osztható számot képezhetük, ha mide jegy egyszer szerepel? És ha többször is szerepelhet? Akkor lesz egy szám 5-tel osztható, ha az utolsó jegye 0 vagy 5 A számolást megehezíti, hogy vigyázuk kell rá, hogy az első jegy em lehet 0 Ezt úgy a legegyszerűbb áthidali, hogy szétválasztuk két esetet aszerit, hogy 0-ra végződik-e a szám a Mide jegy csak egyszer szerepelhet Ha 0-ra végződik, akkor az első öt helyre valahogy sorba kell tei az 1, 2, 3, 4, 5 számokat, a lehetőségek száma 5! Ha em 0-ra

2 végződik, akkor 5-re kell végződie Ilyekor az első jegy 4 féle lehet 0 és 5 em, ha ezt eldötöttük, akkor a második megit 4 5 és az első helyre választott em, a harmadik helyre 3, a egyedikre 4, az ötödikre 1 lehetőségük va, így összese mivel függetle dötéseket hoztuk 4 4!-t kapuk A megoldás a kapott két szám összege, azaz 5! 4 4! b Többször is szerepelhet ugyaaz a jegy Itt em kell esetszétválasztás Az első jegyre 5, a második, harmadik, egyedik és ötödik jegyre 6, az utolsó jegyre két lehetőségük va, ezek függetleek, azaz a megoldás Egy 30 fős osztály diákbizottságot választ: elök, titkár, sportfelelős, kultúros, gazdasági felelős Háyféle eredméy lehet, ha Pistiek mideképpe szeretéek tisztséget adi? Először Pistiek aduk tisztséget: 5 lehetőség, majd egyekét a maradék tisztségekre választuk embereket 29, 28, 27, 26 lehetőség Így a megoldás Háy olya -betűs em feltétleül értelmes szó va, melybe 3 a, 5 b és 2 c szerepel és a két c ics egymás mellett? Az összes betűs szó a taultak alapjá! 3!5!2! Azo szavak száma, melyekbe egymás mellé kerül a két c úgy számolható, hogy összeragasztjuk a két c-t és egy betűek 9! fogjuk fel Így az ilye szavak száma 3!5!1! A megoldás a kapott két szám külöbsége, azaz! 3!5!2! 9! 3!5!1! 8 Egy trafikba féle képeslap kapható midegyikből korlátla meyiség Háyféleképpe küldhetük a egy barátukak 3 külöbözőt; A -féle lapból 3 külöbözőt kell választauk, így 3 lehetőség va b öt barátukak egyet-egyet; A barátokak küldött lapokról egymástól függetleül döthetük, így a megoldás 5 c öt barátukak 3 3 külöbözőt? Mide barátukál 3 -féleképpe döthetük a küldött lapokról Ezek a dötések függetleek, így a megoldás Háy olya 6-jegyű szám va, melyek potosa háromféle jegye va, mid páratla, midegyikből 2-2? Először eldötjük, melyik három jegy szerepelje az 1, 3, 5, 7, 9 közül, ez 5 3 lehetőség Ha ez már megva, akkor a kapott háromszor két számot akárhogy sorba kell tei, ezek 6! száma 2!2!2! Tehát a megoldás 5 6! 3 2!2!2! Háy olya 5-jegyű szám va, melybe a 15 szerepel egymás utái jegykét? Ezt csak esetszétválasztással lehet aszerit, hogy hol va bee a 15, rádásul arra is figyeli kell, hogy lehet bee kétszer is a 15, ezt em szabad többször számoluk Ha 15-tel kezdődik, akkor utáa 3 jegyre lehetőségük va, így a megoldás 3 Ha 15 alakú a szám, akkor az első jegy 9 féle, az utolsó kettő féle lehet, így ezek száma 9 2 Ha 15 vagy 15 alakú, akkor az előző esethez hasolóa midkettőél 9 2 lehetőség va Ha ezeket a számokat összeadjuk, akkor kétszer számoljuk a 1515, 1515 és 1515 alakúakat, így ezek számát le kell voi Az első kettő féle, az utosó 9 féle lehet A megoldás tehát

3 11 Háyféleképpe ültethetük le 30 embert a egy kör alakú, 30 személyes asztalhoz; Ha meg leéek számozva a székek, akkor az első székre ülő emberről 30-féleképpe, majd a másodikra ülőről 29 féleképpe,, az utolsóra ülőről 1 féleképpe dötheték, azaz 30! lee a megoldás Mivel az asztal köralakú, ezért em kell két esetet külöbözőek vei, ha csak elforgatottjai egymásak Mide egyes ültetések saját magát is beleszámolva 30 elforgatottja va, eyiszer számol tehát a 30! egy-egy esetet Így a megoldás 30! 30 b 6 kör alakú, 5 személyes asztalhoz, melyek külöböző szíűek; Először eldötjük, kik üljeek az első asztal körül, erre 30 5 lehetőségük va Ha ez megva, akkor leültetjük ezt az 5 embert, erre az a-hoz hasolóa 5! 5 lehetőség va Ezutá dötük a második asztal embereiről, ez 25 5 lehetőség, majd ezeket ültetjük le, 5! 5 lehetőség, Így a megoldás 30 5! 25 5! 20 5! 15 5! 5! ! 5 5 c 6 egyforma, kör alakú, 5 személyes asztalhoz? A megoldás a b feladat megoldása osztva 6!-sal Ugyais a c egy esetéhez a b-ek ayi esete tartozik, aháyféleképpe kiszíezhetjük az asztalokat 6 szíel 12 Háy szigorúa mooto függvéy va az {1, 2,, } halmazból az {1, 2,, 0} halmazba? A szigorú mootoitás miatt, ha eldötjük, kik leszek a képhalmazba, már automatikus, hogy melyik függvéyről va szó Tehát a megoldás 0 13 Egy dobozba cédula va, melyekre redre az 1, 2,, számokat írták Kihúzuk egymás utá 5 cédulát úgy, hogy mide húzás utá a kihúzott cédulát visszatesszük Háy olya eset va, melybe az így kapott számötösbe a számok em csökkeő sorredbe következek? Ha eldötjük, hogy az egyes számok háyszor szerepelek a kihúzottak között pl 3 darab 2-es, 2 darab 7-es, akkor már automatikus, hogy melyik esetről va szó Tehát valójába ismétléses kombiációkat kell számoluk: Háyféleképpe lehet jutalomköyvet 5 diákak kiosztai, ha midekiek legalább egyet akaruk adi és a a köyvek egyformák; Ez aalóg a pézosztással, így a megoldás 5 emberek forit: 9 4 b a köyvek külöbözők? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 15 Háy olya em feltétleül értelmes tizekét betűs szó készíthető az a, a, b, b, c, c, d, d, e, e, f, f betűkből, melybe szomszédos betűk em lehetek egyformák? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 16 Háy olya 0-jegyű szám va, melybe ics 0, de mide más számjegy szerepel legalább egyszer? Ezt csak szitával lehet Még em vettük 17 Egy 52 lapos fracia kártya csomagot kiosztuk 4 játékosak

4 Legyeek a játékosok A, B, C és D úgy, hogy A ül szembe C-vel, B pedig D-vel a Háy leosztás va? Először dötük A lapjairól: lehetőség Ha ez megva, akkor B lapjairól: lehetőség A megoldás: Más godolatmeettel ez is kijöhet: 52! 13!13!13!13!, a kettő ugyaayi b Háy olya leosztás va, melybe midekiek jut ász? A égy ászt 4! féleképpe oszthatjuk ki Ha ez megva, akkor az a-hoz hasolóa aduk még midekiek 12 lapot A megoldás 4! c Háy olya leosztás va, melybe mide ász egy kézbe került? Eldőször eldötjük, kiek a kezébe kerüljeek az ászok, ez 4 lehetőség Ha ez megva, akkor kiosztjuk aak a lapját, akiél az ászok leszek: 48 9 lehetőség Utáa osztuk a korábbiak szerit a többiekek A megoldás tehát d Háy olya leosztás va, melybe mide figura két egymással szembe ülő játékoshoz került? Eldötjük, melyik két egymással szembe ülőél legyeek az ászok: 2 lehetőség Aztá osztuk azokak, akikek em jut ász: lehetőség Végül a maradék paklit ebbe most már bee vaak a figurák is kiosztjuk aak a két játékosak, akik mellett az első dötésél dötöttük: lehetőség A megoldás: e Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut mide számból és figurából? Mide számból és figurából 4 va, így mideki mieből egyet kap A 2-eseket is, 3- okat is,, királyokat is, ászokat is 4!-féleképpe oszthatjuk ki, ezek egymástól függetleek, így a megoldás 4! 13 f Háy olya leosztás va, melybe mide játékosak jut legalább egy kőr? Csak szitával lehet, ezt még em taultuk 18 Bizoyítsuk be, hogy a Pascal háromszög bármely sorába a középső elemek a legagyobbak! Azt kell megézi, hogy mikor igaz, hogy k < k1 Beírva a faktoriálisos képletet, majd egyszerűsítve ez arra vezet, hogy k < 1 2 Ez pot azt jeleti, hogy a közepe előtt ő, utáa csökke mide sor Köye látható, hogy páratla eseté a két középső elem egyelő: = 1/2 ld következő feladat 1/2 19 Bizoyítsuk be az alábbi összefüggéseket! a k = k ; Akár a képletből, akár oa látható, hogy a k-elemű és k-elemű részhalmazok párba állíthatók: midekiek a komplemeter legye a párja b k k1 = 1 k1 A faktoriálisos képletet beírva és kicsit számolva kijö 20 Mutassuk meg, hogy 1 k = k1 1 Rajzoljuk le, mit jelet ez a Pascal háromszögbe! k-ra voatkozó idukció k = 1-re köyű elleőrizi Ha k-ig megva, akkor k 1-re: 1 k1 = 1 k k1 = k1 1 k1 = k Hozzuk zárt alakra a következő kifejezést:

5 Ez azt számolja, hogy háyféleképpe választhat egy tagú társaság akárháy de legalább 2 tagú bizottságot és azo belül elököt és titkárt esetszétválasztás a bizottság mérete szerit A megoldás más logikával számolva ugyaez: Igazoljuk a következő összefüggéseket! a = 2 1 ; Midkét oldal egy halmaz páros elemszámú részhalmazait számolja b m 0 k m 1 k 1 m k 0 = m k ; Midkét oldal a következő feladat megoldását adja: Háyféleképpe választhatuk férfi és m ő közül k embert? A jobb oldal ezt közvetleül számolja, hisze teljese midegy, ki férfi és ki ő A bal oldal esetszétválasztást csiál aszerit, hogy háy férfit és háy őt választuk c = 2 ; Ez átlakítható így: = 2 Ez viszot az előzőek speciális esete: férfi ő közül embert választuk d = 3 A biomiális tételt felírva 1 2 -re pot ez jö ki 23 A koordiátaredszerbe adott 5 olya pot, melyek koordiátái egészek ezeket szokás rácspotokak hívi Mutassuk meg, hogy va köztük kettő, melyek által meghatározott szakasz felezőpotja is rácspot! Egy rácspot két koordiátája 4 féle lehet paritás szempotjából: ps,ps, ps,ptl, ptl,ps, ptl,ptl Skatulya elv szerit lesz két egyforma pot, jelölje ezeket a, b és c, d Ekkor a felezéspot is rácspot lesz, mert a paritások egyezése miatt ac 2 és bd 2 is egész 24 Melyik az a legkisebb k, melyre igaz a következő állítás: k égyzetszám között midig va kettő, melyek külöbsége osztható 8-cal? Egy égyzetszám 8-cal osztva háromféle maradékot adhat Így k = 3 még kevés: 1, 4 és 64 jó ellepélda k = 4 viszot már elég, hisze skatulya elv miatt égy szám közt va kető melyek osztási maradéka ugyaaz 25 Mutassuk meg, hogy F 0 F 1 F = F 2 1, ahol F jelöli az Fiboacci számot! 26 Tegyük fel, hogy lépcsőfokot akaruk megmászi úgy, hogy egyszerre egy vagy két fokot léphetük Háy lehetőségük va? 27 Oldjuk meg az alábbi rekurziókat: a a 1 = 3, a 2 = 8, 3-ra pedig a = 2a 1 2a 2 ; b a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = a 1 25a 2! 28 Háy betűs szó készíthető az a, b és c betűkből, ha a két b em lehet egymás mellett; b b utá közvetleül em jöhet c? 29 Oldjuk meg az alábbi rekurziót: a 1 = 1, a 2 = 3, 3-ra pedig a = 2a 1 3a 2!

6 30 Adjuk meg olya rekurziót, melyek megoldása a = ! 31 Háyféleképpe juthatuk el az origóból a 18, 6 potba, ha mide lépésbe jobbra fel vagy jobbra le ugorhatuk? És a 18, 9 potba? És a 6, 8 potba? 32 Háyféle sorredbe mehet be 14 fiú és 23 láy a tácterembe, ha mide pillaatba legalább ayi láyak kell bet leie, mit fiúak és a fiúk, illetve láyok egymás közti sorredje em számít? 33 Háy olya 2 1 hosszúságú 1/1 sorozat va, melybe bármely kezdőszelet összege pozitív azaz a 1 > 0, a 1 a 2 > 0,,a 1 a 2 a 21 > 0 és a számok összege 1? 34 Egy kerek asztal körül 2 ember ül Háyféleképpe alkothatak párt úgy, hogy az egy párba lévők kezet foghassaak aélkül, hogy egy másik kezet fogó pár keze alatt vagy felett kellee átyúliuk? 35 Egy barlagászcsapatba 23 férfi és 15 ő va Olya sorredbe szeretéek egy barlag bejáratá bemászi, hogy mide pillaatba legalább ayi férfi maradjo kit, mit ő Háyféleképpe tehetik ezt meg? 36* Száz ember fejére egy-egy fekete vagy fehér sapkát aduk Semmilye jelzést em adhatak egymásak, de mideki körülézhet, tehát a sajátjá kívül midekiről tudja, hogy milye szíű sapka va a fejé Ezek utá sípszóra midekiek fel kell emelie a bal vagy jobb kezét El tudják-e éri, hogy pot a feketék emeljék fel a jobb kezüket és a fehérek a balt vagy esetleg fordítva, a fehérek a jobbat, a feketék a balt? Mielőtt a sapkát kapják, összebeszélhetek

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Kombinatorika feladatok

Kombinatorika feladatok Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb. 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. 9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Kombinatorika és Gráfelmélet

Kombinatorika és Gráfelmélet Kombiatorika és Gráfelmélet Ez az előadásvázlat remélhetőe segíti a vizsgára való felkészülést, de em pótolja az előadást. Vizsgá lehetek olya kérdések, amelyekről ez a jegyzet em szól. Nyíregyháza, 2008.

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK IV. forduló 1. Hány olyan legfeljebb 5 jegyű, 5-tel nem osztható természetes szám van, amelynek minden jegye prím? Mivel a feladatban számjegyekről van szó, akkor az egyjegyű prímszámokról lehet szó: 2;

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Permutáció (ismétlés nélküli)

Permutáció (ismétlés nélküli) Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

A figurális számokról (II.)

A figurális számokról (II.) A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben