EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A"

Átírás

1 BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN KÉSZÍTETTE: KOVÁCS BÁLINT TÉMAVEZETŐ: MÉRI KÁROLY 0.

2 Tartalomjegyzék. BEVEZETÉS.... KOMBINATORIKA..... FOGALMA..... FAJTÁI A PASCAL-HÁROMSZÖG A BORÍTÉKOS PROBLÉMA A BORÍTÉKOS PROBLÉMA KIBŐVÍTÉSE A HÁROMSZÖG HASZNÁLATA A FELADAT FOLYTATÁSA TÖBB ELEMRE... 8 b b SEJTÉS BEBIZONYÍTÁSA TELJES INDUKCIÓVAL A k 4. REKURZÍV SOROZATOK SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK A FIBONACCI-SOROZAT ZÁRT ALAKOK KERESÉSE ZÁRT ALAK A HÁROMSZÖGRE PRÓBÁLKOZÁSOK LEONHARD EULER VÉGTELEN SOROZATA AZ / e VÉGTELEN SOR ÖSSZEGZÉS... 6 FELHASZNÁLT IRODALOM... 7

3 a matematika éppoly határtala, mit az a tér, amelyet túl szűkek érez törekvéseihez. James Joseph Sylvester. Bevezetés Egyik ismerősöm redszerese iterete redel köyveket. Egyik alkalommal em azt a köyvet kapta, amit megredelt. A csomago a helyes címzés szerepelt, azoba a köyv melletti számla más évre és más címre szólt. Érthető ez a tévedés, mivel maapság egyre többe veszik igéybe ezt a szolgáltatást. Elgodolkoztam azo, vajo meyi a valószíűsége aak, hogy adott számú vásárló eseté feltéve azt, hogy mideki egy köyvet redel az összes megredelő megkapja az általa várt küldeméyt. Ez még em is okozott ekem fejtörést, azoba ahogy egyre jobba beleástam magam a témába, újabb és újabb problémákkal találkoztam.. Kombiatorika.. Fogalma Témák a kombiatorika témakörébe tartozik. A kombiatorika, a kombiálás tudomáya redszerit a dolgok megszámlálásával foglalkozik. Feladata, hogy meghatározott szabály szerit előállítsa az adott véges számú elem bizoyos csoportjait, és hogy az így előállított csoportok számát meghatározza. Először Gottfried Wilhelm Leibiz émet matematikus redszerezte a kombiatorikával kapcsolatos ismereteket, majd Jacob Beroulli svájci matematikus alkalmazta azt valószíűségszámítási problémák megoldásakor a XVII. századba. A XX. század közepé a gyakorlati alkalmazhatósága miatt agy fejlődések idult a matematikáak ez az ága azo ok révé, hogy az alkalmazott matematika élkülözhetetle eszköze., Pl.: választásokál a választókerületeket úgy kombiáli, hogy a lehető legjobb eredméy jöjjö ki; kasziókba a legagyobb yerési esélyt eléri, mit például a Black Jack-be; vagy, hogy a émet szódolgozatba agyobb eséllyel találjuk el a főév évelőjét és még sorolhatám Tóth Katali: Sokszíű matematika kiadás. Szeged: Mozaik Kiadó, p. Obádovics J. Gyula: Matematika. 8. kiadás. Bp.: Scolar Kiadó, p.

4 3.. Fajtái A kombiatorikába alapvetőe három permutációt, a variációt és a kombiációt. csoportot külöítük el: a Ha számú elemet mide lehetséges sorredbe elredezük, akkor a kombiatorika yelvé azt modjuk, hogy az illető elemeket permutáljuk; az egyes elredezéseket pedig az elemek permutációjáak evezzük. Ha az elemek külöbözők, akkor ismétlés élküli, ha az elemek között egyelők is vaak, akkor ismétléses permutációról beszélük. N külöböző elem permutációiak számát a P! ( ) képlettel határozzuk meg, ahol! Pl.: Va 6 külöböző szíű ceruzák. Háyféleképpe állíthatjuk őket sorba? Megoldás: Mivel a sorred számít és 6 ceruzából 6-ot választuk ki, ezért ismétlés élküli permutáció. Tehát a megoldás 6! 70 féleképpe állíthatjuk őket sorba. Ha elem között r féle külöböző elem szerepel úgy, hogy az egymással megegyező elemek száma k,k,k 3,...,k r, akkor az ismétléses permutációk száma: P (k,k,...,k r )! k! k!... k! r, ahol k k... kr és r (,k,k,...,k ). Pl.: Va 7 muskátlik, közülük 3 fehér és 4 piros. Háyféleképpe állíthatjuk sorba őket? Megoldás: Mivel a sorred számít és 7 muskátliból 7-et választuk ki, de vaak közöttük ismétlődő elemek, ezért ismétléses permutáció. Tehát a megoldás féleképpe állíthatjuk őket sorba. 7! 3! 4! 35 Ha külöböző elem közül mide lehetséges módo kiválasztuk k elemet, s ezek összes permutációját képezzük, akkor megkapjuk elem k-ad osztályú variációit. Ezekek száma: V ( )( )( 3) (k ),k! ( k)! (,k,k ). Pl.: Úszóverseye 8 úszó háyféleképpe lehet dobogós? Megoldás: mivel a sorred számít és csak 3 úszó lesz dobogós ezért variáció. Az első helyre 8, a második helyre 7, a harmadik helyre 6 úszó futhat be. Tehát 8! (8 3)! féleképpe lehetek az úszók dobogósok. Ha elem k-ad osztályú variációiak képzésekor megegedjük, hogy ugyaaz az elem akárháyszor (de legfeljebb k-szor) szerepelje, akkor k-ad osztályú ismétléses variációkról beszélük. Ezekek a száma: V i,k és k. Pl.: 3 db

5 4 dobókockával dobuk egymás utá. Háyféle háromjegyű számot kaphatuk? Megoldás: Mivel a sorred számít és egy dobókockához több érték is tartozhat, de lehetek ismétlődő számok, ezért ismétléses variáció. Tehát a megoldás háromjegyű számot kaphatuk féle Ha külöböző elem közül mide lehetséges módo kiválasztuk k ( k ) elemet, de em permutáljuk az egyes elredezés elemeit, mert az elemek sorredjére em vagyuk tekitettel, akkor elem k-ad osztályú kombiációit kapjuk: C,k,k V ( )( )( 3) (k )!. k! k! k!( k)! k Pl.: Lottósorsolásál háyféle 5-ös sorsolás jöhet ki, ha 90 számból húzak? Megoldás: mivel a sorred em számít és em mide elemet választuk ki, ezért ismétlés élküli kombiáció. Tehát a megoldás sorsolás lehetséges ! ! 85! Ha elem k-ad osztályú kombiációiak képzéséél megegedjük, hogy ugyaaz az elem akárháyszor (de legfeljebb k-szor) szerepelje a kombiációkba, akkor elem k-ad osztályú ismétléses kombiációit kapjuk. Ezekek a száma: C i,k k k féle és (,k ). Pl.: Va 5 yereméyköyvük, amelyeket 30 diák között akarjuk kiosztai úgy, hogy egy diák több köyvet is kaphat. Háyféleképpe oszthatjuk ki a köyveket? Megoldás: Mivel a sorred em számít és 30 diákból csak 5 yerhet köyvet, de az ismétlés megegedett, ezért ismétléses kombiáció. Tehát a ! megoldás 7856 féleképpe oszthatjuk ki a köyveket ! 9! Ezekkel már mideki találkozott 9. osztályba. Feltevődhet a kérdés: miért szerepel a címbe Egy új számháromszög a kombiatorikába? Miért? Ismerük már egyet? Hát természetese! Már mideki ismer egy számháromszöget, amelyet az ismétlés élküli kombiációál haszáluk, a Pascal-háromszöget. 3 Obádovics J. Gyula: Matematika. 8. kiadás. Bp.: Scolar Kiadó, 994. p

6 5.3. A Pascal-háromszög Blaise Pascal (. kép) kiváló fracia matematikus, fizikus és filozófus. 4 éves korába a kis Blaise az apjával együtt eljárt a Mersee körül csoportosult természettudomáyos körbe, amelyből 666-ba kiőtt a Párizsi Tudomáyos Akadémia. Itt ismerkedett meg Desargues eszméivel. Ezek hatása alatt jelet meg 6 éves korába 640-be a éháy oldalyi Essay pour les coiques (Taulmáy a kúpszeletekről) című első műve. Aak elleére, hogy ilye tárgyú mukássága a projektív geometria. kép: Blaise Pascal fejlődését jeletőse előrevitte, em maradt meg eze a területe. Ide-oda csapogva fordult a legkülöbözőbb tárgykörök felé: számológépet szerkesztett, hidrosztatikával foglalkozott, kidolgozta a teljes idukcióval való bizoyítás módszerét, majd a biomiális együtthatókat foglalta a Pascal-háromszögbe (. ábra), mellyel úttörő szerepet töltött be a valószíűségszámításba. 4. ábra: Pascal-háromszög A háromszög képzési szabálya köye felismerhető. Az első tag adott. A továbbiakba mide további tag az őt megelőző sorba lévő két szomszédos tag összege. A háromszög tagjait az előző tagok hiáyába egyszerűe! meghatározhatom az képlettel. k k! k! Va még egy fotos tulajdosága eek a számháromszögek, ami fotos lesz majd egy későbbi bizoyításukhoz: a Pascal-háromszög egy sorába található számok szimmetrikusak, kivéve azo sorokat, amelyekbe páratla tag szerepel. (. ábra) 4 Sai Márto: Nics királyi út!. Bp.: Godolat Köyvkiadó, 986. p

7 6 Képlettel leírva az állításuk:. ábra: Szimmetria Bizoyítás: x x x x!! x! x! x! x!!! x! x! x! x! 0 0 Azoosságot kaptuk, így bebizoyítottuk állításukat.

8 7.4. A borítékos probléma Ha valaki foglalkozott kombiatorikával, az tudhatja, hogy egy feladatba em csak tisztá permutáció, variáció és kombiáció lehetséges, haem létezek kevert feladatok. Nézzük meg egy ilye feladatot, amellyel az alábbiakba még foglalkozi foguk! A FELADAT: Egy titkárő megírt 3 levelet és megcímzett 3 borítékot azokak, akikek a levelek szóltak. a) Háyféleképpe teheti bele a borítékokba a leveleket? b) Háyféleképpe lehet úgy beleraki a leveleket a borítékokba, hogy potosa egy, kettő, három, illetve semelyik levél se kerüljö a helyére? Megoldás: a) A borítékolás 3! 3 6 féleképpe lehetséges, mivel a sorred számít és ics ismétlés. b) Ha azt szereték, hogy csak egy levél kerüljö a helyére, akkor azt a levelet 3 3 féleképpe választhatjuk ki, a többi levelet úgy kell redezi, hogy egyik se kerüljö a helyére. Ha kiválasztjuk az -es levelet, akkor látható, hogy lehetőség va, amikor a többi levél ics a helyé. Hasolóa a másik két levélél is. Tehát, ha azt szereték, hogy csak egy boríték maradjo a helyé, akkor 3 3 féleképpe tehetjük ezt meg. Ha azt szereték, hogy két levél kerüljö a helyére és egy legye rossz helye, akkor ez em lehetséges, mivel ha két levél a helyé va, akkor a harmadikak is jó helye kell, hogy legye. Ha azt akarjuk, hogy mid az három levél a helyére kerüljö, az yilvávalóa egy lehetőség. Ha azt akarjuk, hogy egy levél se kerüljö a helyére, akkor elkezdhetük próbálkozi, vagy egyszerűbb az, ha az összes lehetséges esetből kivojuk a fet kapott eredméyeket: 3! 30 - féleképpe lehetséges. (. táblázat, 3. ábra). táblázat és 3. ábra: 3 boríték eseté a lehetséges borítékolások -es levél -es levél 3-as levél helye helye helye

9 8 3. A borítékos probléma kibővítése 3.. A háromszög haszálata Eze logikát folytatva megézzük 0,,. táblázat: 3-ből levél legye a helyé borítékra az előző feladatba feltett m=0 3 kérdésekre a válaszokat, majd táblázatba =0 0 redezzük az eredméyeket (. táblázat). A táblázat alapjá a borítékos feladatokat egyszerűe meg lehete oldai. Pl.: Ha meg akarom tudi, hogy 3 boríték eseté háyféleképpe lehetséges az, hogy csak ember kapja meg a saját levelét, akkor az oszlopba megkeresem az 3-as számot (mivel ez jelzi a borítékok számát) és az m sorba a -es számot (mivel ez jelöli azokak a levelekek a számát, amik jó helyre kerülek). Így megtudom, hogy ez 3 féleképpe lehetséges. 3.. A feladat folytatása több elemre Ha folytati akarjuk a táblázatukat, akkor egyre több lehetőséget kell megvizsgáluk. Pl.: 0 db boríték eseté már 0! lehetőséget kellee vizsgáli. Lehet egyszerűbbe is: ézzük meg, hogya folytaták a táblázatuk 4. sorát! Az (=4; m=4) értéke egyértelműe egyelő -gyel, mivel csak egyféleképpe rakhatom úgy a leveleket a borítékokba, hogy midegyik jó helye legye. Az (=4; m=3)=0 értéke is egyértelmű, hisze ha 3 levél a helyé va, akkor a 4. levél is a helyé kell, hogy legye. Az (=4; m=) értékét úgy határozom meg, hogy kiválasztom azt a két levelet, amelyek a helyükö legyeek: 3. táblázat: Folytatás? m=0 3 4 = ????? 4 6 -féleképpe. Ezt az értéket szorzom meg azo lehetőségek számával, amikor a maradék két levél ics a helyé: (=; m=0)=. Tehát (=4; m=)=6x=6. Az (=4; m=) értékét úgy határozom meg, hogy kiválasztom azt az egy levelet, amely a helyé legye 4 4- féleképpe. Ezt az értéket szorzom meg azo lehetőségek számával, amikor a maradék 3 levél ics a helyé: (=3; m=0)=. Tehát (=4; m=)=4x=8. Az (=4;

10 9 m=0) értékét úgy határozom meg, hogy az összes 4! lehetőségből kivoom az eddig megkapott eredméyeket: =9. Tehát (=4; m=0)=9. Eze logika alapjá folytathatjuk a táblázatot és felállíthatuk az egész háromszögükre kiterjedő képletet: a,m bm m. (A ulladik oszlop értékei b, ahol az a,m -él m 0.) Látható, hogy az --edik sor ismeretébe meghatározható az -edik sor és az is világos, hogy a,m!. k0 Ezt az eljárást folytatva a megkapott eredméyeket táblázatba foglalva megkapuk egy számháromszöget. (4. táblázat) 4. táblázat: A számháromszög m= Σ =0 0! 0! 0! ! ! ! ! ! ! ! ! Láthatjuk, hogy az egész háromszögre kiterjedő képlet agyo erőse függ a ulladik oszlop elemeitől b. De hogya képezzük az oszlop további elemeit? A Pascal-háromszögbe mide további tag az őt megelőző sorba lévő két szomszédos tag összege. Mi is meg tudjuk határozi a mi háromszögük 0-adik oszlopáak további tagjait, de em közvetleül, haem mit láthattuk, egy kerülő úto. Adjuk meg egy olya eljárást, ahol em kell kerülük, ahol az előző tagból meg tudom határozi a következő tagot. Első ráézésre a 0. oszlopra a b b is kell bizoyítauk. képlet teljesül, azoba ezt be k

11 A b b sejtés bebizoyítása teljes idukcióval k Bizoyítsuk be Blaise Pascal által megalkotott módszerrel, teljes idukcióval! Teljes idukciós bizoyítás:., Próbáljuk ki az első éháy elemre, hogy egyáltalá működik-e a képlet! b b 0 b 3 b 4 9 b , Feltesszük k b k b k k k -ra, hogy igaz! 3., Bizoyítjuk k -re! k b k b k k bk -ra alkalmazzuk a kiszámítási szabályt: k k k k bk k k! bk bk b b k k k k k k k k bk k k! k bk k bk k k k k kk k k k b k b bk k Most a egatív tagokál elvégezzük a következő utasításokat! k k k k! k k k k k! k k! k k! bk k! bk bk bk k!! k!! k k! k! k k! k k! bk k! k bk k bk k!! k!! kk bkk k k! k! k k k

12 k! k! bk k! k bk k bk k!! k!! k! bkk k!! k k k bk k! k bk k bk k k bkk k Most kibővítük mide tagot k tagokkal: k k k k k k bk k! k bk k bk kk kk b k bk bk k kk k b A b k b k k k idukciós feltevés miatt: k k k k bk k! bk bk k k k k k k Felbotjuk a zárójeleket: k k k b b0 b0 beszúrjuk k k k k k k bk k! bk bk k k k k b b0 b0 k k k k Csoportosítsuk át a tagokat! k kk beszúrjuk k k k k bk k! bk bk b b0 k k k k k k b 0 k k k k kk k k k k k! b b b b k k Az k k 0 kiszámítási szabály alapjá egyelő bk -gyel. k kifejezés a k

13 b b k k k k k k k k k k k k k Akkor sikerül bebizoyítauk a képletüket, hogyha a k k k k k k értéke ulla. k k k k k k k k k k k k k k kifejezés Átredezve a tagokat látható, hogy Pascal-háromszög egyes soraiba lévő tagok plusz-míusz előjellel szerepelek és mivel felváltva plusz-míusz előjellel adjuk össze ezért az összegük ulla lesz. Bizoyítás: Ezt k páratlara köye be tudjuk láti. Ekkor a Pascal-háromszög azo sorait választjuk ki, amelyekbe páros számú tag szerepel. Ekkor pot szimmetrikusa helyezkedek el a számok (amit már egyszer bebizoyítottuk), mide számak szerepel a -szerese, párokét összeadva 0-át adak. (4. ábra) 4. ábra: Példa páros tagszámú sorra k párosra: Ekkor páratla db számuk va, em modhatjuk, hogy tisztá látszik, hogy a váltakozó előjelű összeg egyelő ullával. Azoba tudjuk, hogy a Pascal-háromszög midegyik eleme a következő sorba két helyre számít bele a képzési szabály miatt. De az előjeles összegbe a két hely egyikét, a másikat előjellel számoljuk, így a tagok összeadva épp kiesek. Az előjeles összeg tehát mide olya sorba ulla lesz, amelyek va megelőző sora. (Csak a 0. sorak ics megelőzője, ott az összeg.) (5. ábra)

14 3 5. ábra: Példa páratla tagszámú sorra Összegezve: k k k k k k k 0 k k Tehát igaz a 3. pot, bebizoyítottuk a képletet. Ezt a képletet kicsit átredezve, egy másik képletet kapuk. b b b b b b b b b b b b b b b Azoba ezzel a képlettel em tudjuk meghatározi (=x; m=0) értékét, csak ha tudjuk az előtte lévő elemeket. Ez azt eredméyezi, hogy a többi oszlopba sem tudom meghatározi az (; m) értékét, mivel a többi oszlop a 0. oszloptól függ:! a b b m m! m!,m m m. Láthattuk, hogy a Pascal-háromszögbe az képlettel meghatározhatjuk k akármelyik tagot. A mi vizsgált háromszögük is hasoló ehhez a háromszöghöz. Keressük rá olya képletet, amellyel akármelyik tagját meg tudom határozi! A következőkbe egy általáos képletet keresük az új háromszögükhöz.

15 4 4. Rekurzív sorozatok 4.. Számtai és mértai sorozatok Mivel a háromszögük többi eleme a 0. oszloptól függ, erre az oszlopra kell valamilye szabályosságot felismerük. Első ráézésre valamilye boyolult sorozatot alkotak az egyes elemek. Sorozatak evezzük a pozitív egész számok halmazá értelmezett számértékű függvéyt. Eze belül megkülöböztetük két alapvető csoportot: számtai és mértai sorozatot. Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe az egymás utá következő bármely két szomszédos tag külöbsége álladó: a,a d,a d, A sorozat -edik tagja: a a ( ) d A a a sorozat első tagjáak összege: S. 5 Mértai sorozatak evezzük azt a sorozatot, amelybe bármely két szomszédos tag háyadosa álladó: a,aq,aq, A sorozat -edik tagja: a a q. A sorozat első tagjáak összege: q.6 S a q Létezek viszot olya sorozatok is, amelyek em sorolhatóak be tisztá a számtai vagy a mértai sorozatok közé, haem eek a két sorozatak a keverékei. A számtai és mértai sorozat defiíciójáak mitájára megadott sorozatokat rekurzív sorozatokak hívjuk. Példa rá egy szerte a világo ismert sorozat: a Fiboacci-sorozat. 4.. A Fiboacci-sorozat Fiboacci, Boacci fia, Leoardo Pisao (. kép) a középkor kiemelkedő matematikusa. Jeletős érdeme, hogy értelmezte a egatív számokat, és elterjesztette az arab számokat Európába. Fiboacci eve azoba egy számelméleti ötlettel vált világhírűvé. A Fiboacci-sorozat a következő:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, 584, 48, 6765, A képzés szabálya köye felismerhető. Az első két tag adott. A. kép: Fiboacci 5 Bárczy Barabás: Algebra II... kiadás. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p. 6 Bárczy Barabás: Algebra II... kiadás. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p.

16 5 továbbiakba mide további tag, az őt megelőző két tag összege. A sorozat származtatásáak meséje a yulakhoz fűződik, ideje, hogy ők is szíre lépjeek: Egy gazda vásárol a piaco egy yúlpárt, amely havota egy-egy további új yúlpárt fiadzik. Az új yúlpárok is fiadzaak havota egy-egy újabb yúlpárt a második hóaptól kezdve. Háy yúlpárja lesz a gazdáak a egyedik hóapba? A megoldást jól szemlélteti a (3. kép), amelye látszik, hogy az egyes hóapokba a yúlpárok száma a Fiboacci-sorozat egyes elemei. De mi a helyzet, ha a 0. tagját szeretém meghatározi a Fiboaccisorozatak? Ekkor végig kellee számolom 0 db egyeletet, mire megkapám az eredméyt. Azoba tudom, hogy a Fiboacci-sorozat egyes elemeit az a a a rekurzív képlettel határozhatom meg. Rekurzív sorozatak evezük egy olya sorozatot, amelyek az egyes tagjait az előző tagok segítségével tudjuk meghatározi. A sorozat tagjait visszavezető lépésekkel, közismert kifejezéssel rekurzív módo adjuk meg. Erre a sorozatra jellemző egyelettel, az úgyevezett zárt alakkal akármelyik tagját meghatározhatjuk. 7,8, Zárt alakok keresése. módszer: a zárt alakot több fajta módo is meg lehet adi, például függvéyegyelettel. Ilyekor az eredeti függvéy adatait haszáljuk egy olya függvéybe, amivel meg tudjuk oldai a problémát, ez pedig a következő: f ( ) a a a a Ebbe a megoldó függvéybe helyettesítjük be a Fiboacci-sorozat együtthatóit és az első két tagját: f() 0 f() f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a f ( ) b f ( ) 3. kép: Nyulak szaporodása a 5 5 0,, b 7 Hajal Imre: Matematika III.. Bp.: Nemzeti Taköyvkiadó, p. 8 Sai Márto: Nics királyi út!. Bp.: Godolat Köyvkiadó, p. 9 Kovács Ádám Vámos Attila: Arayháromszög. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p. 0 Lajkó Károly: Függvéyegyeletek feladatokba p.

17 f( ) f( ) 5 ZÁRT ALAK. módszer: megadhatjuk a Fiboacci-sorozat zárt alakját két mértai sorozat összegekét is. Tegyük fel, hogy a c q. Ekkor teljesülie kell a a a cq cq 3. a 0 a a a a, c q c q c q / c q q 3 3 q q q 5 5 a c ; a c karakterisztikus egyeletet kapjuk, eek megoldásai q, q Kaptuk két mértai sorozatot, amelyek közül egyik sem jó, viszot a két megoldás lieáris kombiációja megoldása az egyeletek. Az első két elemet ismerjük, és ebből meghatározhatjuk c és c értékét, azaz: a 0; 0 c c 0 cc 5 5 c c 5 5 a ; c c 5 5 c ;c a a ZÁRT ALAK 5 5 a c c

18 7 3. módszer: ez egy úgyevezett geerátorfüggvéyes módszer. Ezzel a módszerrel a legtöbb feladat megoldható hasolóa a második módszerhez. Azért érdemes haszáli, mert a második módszerbe lehet olya eset, amikor a másodfokú egyeletek csak egy gyöke va, vagy egyáltalá ics, így csak ehézkese jö ki a zárt alak. A geerátorfüggvéyes módszerrel ilyekor icse god, azoba agyo hosszú a levezetése. a 0 a a a a a a a 0 A sorozat elemeiek felhaszálásával állítsuk elő egy geerátorfüggvéyt a következő módo, majd szorozzuk meg az összefüggésüket először a együtthatójával és x-szel, majd a együtthatójával és x -tel: I.: f (x) a a x a x a x 3 II.: x f (x) a x a x a x 3 3 III.: x f (x) a x a x a x Vojuk ki az első függvéyből a másodikat és a harmadikat! I. II. III.: f (x) x f (x) x f (x) a (a a )x (a a a ) x (a a a ) x f (x) ( x x ) x f (x) x x x x x x 5 5 Botsuk parciális törtekre a kifejezést! 0 0 f (x) 5 5 A x B x A B 5 A 5 B x x x x x 5 5 x (A B) A Bx a A B A,B a 5 5 A B Alkalmazzuk a végtele sorokra való összefüggést! Tehát : f (x) x x ax a x a x ax

19 Majd megkeressük -edik tag előtti, azaz azt a tagot, amelyek a kitevője -. ( x x x ) ( x x x ) a ZÁRT ALAK 5. Zárt alak a háromszögre 5.. Próbálkozások A háromszögük 0. oszlopáak rekurzív képlete tudjuk, hogy az egyelet, átredezve: b b b b b b. Látható, hogy csak egy -es szorzóval tér el a Fiboacci-sorozattól. Legye! Próbáljuk meg zárt alakot keresi a sorozatukra az. módszerrel! f(0) f() 0 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) a f ( ) b f ( ) a ( ) 4 4 0,, b ( ) f ( ) a a0 a a0 f( ) Sajos az első módszerbe va egy kitétel: az és a értékébe em lehet változó, azoba ekük bee va az. Így is megpróbáltuk, de a képlet em működik. Mértai sorozat em lehet, hisze az a 0, a többi tag is ulla lee. Talá két mértai sorozat összege. Alkalmazzuk a. módszert!

20 9 a 0; a a a a ; c q c q c q / c q 3 3 q q 0 q 4 4 q 4 4 a c ; a c 4 4 a c c a 0 c c 0 c c 4 4 c c 4 4 a c c c ;c 4 4 a Kipróbáltuk a képletet, ez sem működik. Próbáljuk meg a 3. módszerrel, geerátorfüggvéyel megoldai! a a 0 a 0 a a a a a a 0 I.: f (x) a a x a x a x II.: x f (x) a x a x a x III.: x f (x) a x a x a x I. II. III.: f (x) x f (x) x f (x) a (a a )x (a a a ) x 3 0

21 0 f (x) ( x x ) a (a a )x f (x) x x x x x x A x B x A B A B x f (x) x x x x 4 4 x (A B) A B x a A B 0 A,B 4 4 a A B 4 4 a Az előző potba említett módszerek közül az első hárommal em jutottuk előre a háromszögük 0. oszlopáak zárt alakjáak keresésébe, egyik képlet sem működik, de a egyedik módszerrel talá előrébb foguk haladi ebbe. Megpróbáluk valamiféle szabályosságot felfedezi a ulladik oszlop tagjai között: b b 0 b 0 b b b b b b Botsuk ki a zárójeleket úgy, hogy közbe e végezzük el a műveleteket! b ! 8! 8! 8! 8! 8! 8! b8 4833! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 8

22 5.. Leohard Euler végtele sorozata Euler apja kálviista lelkész volt, aki fiát (4. kép) is papak száta. Az ifjú azoba agy igyekezettel látogatta Joha Beroulli matematikaóráit, akiek fiával is összebarátkozott. 77-be a szetpétervári Akadémia meghívta az akkoriba állástala Eulert, ahol először az életta, majd hamarosa a matematika és fizika taszéké fejthette ki páratla tehetségét. Külööse agy hatást gyakorolt a matematika mide területére, a fizikára és a méröki tudomáyokra. Aak elleére, hogy 766- ba midkét szeme világát teljese elvesztette, mukakedve töretle maradt. Káprázatos memóriával és belső látással diktálta műveit. Ebbe az időszakba az Akadémia 46 mukáját fogadta el! Az a számadat, hogy Euler még em teljes összegyűjtött mukáiak jegyzete több mit 73 kötetből áll, amelyek midegyike legalább 600 oldalas, mutatják, hogy a matematika törtéetébe példátla az a termékeység, amellyel Euler matematikai műveit ototta. Ugyaakkor ezek a művek mid tartalmukba, mid formájukba a matematikai szakirodalom remekbe szabott kicsei., 4. kép: Leohard Euler Euler mukássága azért is fotos ekük, mert a róla elevezett, az úgyevezett Euler-számot haszosítai tudjuk. Az Euler-szám: e,788..., ami az kifejezés határértéke Az / e végtele sor Megfigyeltük, hogy ha folytatjuk a ulladik oszlop elemeire ezt a fajta kibotást, akkor észrevesszük, hogy a!!!!!!!!!! b?! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!! b!?! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!! Sai Márto: Nics királyi út!. Bp.: Godolat Köyvkiadó, p. Barabási Albert-László: Behálózva. Bp.: Heliko Kiadó, p.

23 képlet teljesül rá. Ha be tudjuk láti a b!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!! 0,375 egatív egatív egatív végtele sorról, hogy korlátos és szigorú mooto, akkor biztosa koverges, tart egy számhoz, amit a végtelebe ér el. Bizoyítsuk be, hogy korlátos! b!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! b 0,375! 5! 6! 7! 8! 9! 0! Így ezzel a csoportosítással látható, hogy a sorozat csökkeő. Csökketsük ezt az értéket hagyjuk el a pozitív tagokat, és azok a tagok helyett, amelyek előtt míusz jel va, írjuk be még agyobb tagokat, hogy csökkeje az értéke! b 0, ! 5! 7! 9!! b 0, ! b 4 0,375 5! lim 0,375 0,375 0, ,375 0, b 0! Így bebizoyítottuk, hogy korlátos. Bizoyítsuk be, hogy szigorúa mooto! Mivel a tagok előjele váltva plusz-míusz, ezért két részbe fogjuk vizsgáli. Először csoportosítsuk a következő módo a sorozat elemeit: /! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!! pozitív pozitív pozitív pozitív

24 3 Ekkor a sorozat szigorú mooto övekvő. Nézzük meg egy másfajta csoportosítást: /! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0!!! egatív egatív egatív egatív Ekkor a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Eze két részsorozat megfelelő, egymást követő tagjai külöbségeiek ullához kell tartaiuk, hogy megbizoyosodjuk, a két sorozat em keresztezi egymást, vagyis kovergálak-e valamilye értékhez.! 3! 3! 4!! 4! 4 9 4! 5! 5! 6! 4! 6! 70!!!!!! lim 0 0 0!! Így bebizoyítottuk, hogy a végtele soruk korlátos és szigorúa mooto, tehát koverges. De mihez tart? Elfogadjuk, hogy lim e és ezzel együtt azt is, hogy lim. A biomiális tétel felhaszálásával kibotjuk az e hatváyt: !!! 0! 0!!!!!!!!!!! 3 Urbá Jáos: Határértékszámítás. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p.

25 4 3!! 3! 3!!! 0!!! 3 3! 3!!! Tudjuk, hogy egy törtek a határértéke ha x akkor egyelő eggyel, ha a evezőbe és a számlálóba is a változó legmagasabb fokszáma megegyezik. lim lim lim x lim Így leegyszerűsödik a soruk: lim 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!! Mivel lim, ezért e 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!!, e ami leegyszerűsítve: i 0, (. grafiko) i! e i0

26 5. /e-hez való kovergálás f() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, b() /e. grafiko: /e-hez való kovergálás Ha kibővítjük a b 8 képletét, hozzáaduk ullát és kiemelük 8!-t, akkor potosa az előbb említett végtele sorozat 8!-szorosáak első yolc elemét kapjuk. Így leegyszerűsíthetjük a sorozatuk képletét: 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! b !!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 0 b8 8! !!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 8 i b8 8! i! i0 i i b! / / i! i! e b b! e i0 i0! b e m m! e Ezzel a módszerrel sikerült kapuk egy közelítő értéket a háromszögük ulladik oszlopára. Miért csak közelítő? Mert az i sorozat egy i0 i! e végtele sorozat, viszot a mi képletükbe eek a végtele sorozatak az első

27 6 éháy tagját veszem igéybe. Így a ulladik oszlop képletét b m m! e be tudom helyettesítei az egész háromszögre kiterjedő képletbe a,m bm. m m! a,m m e 6. Összegzés Láthattuk, hogy meyi mide rejlik egy ilye kis feladatba. Végigjártam a kombiatorika, a függvéyegyeletek és a rekurzív sorozatok területeit, hogy eljussak a feladat legvégére. Próbáltam valamiféle hasolóságot keresi a Pascal-háromszög és a mi háromszögük között, a Fiboacci-sorozat és a háromszögük első oszlopa között. Többfajta rekurzív sorozatak a megoldását ézem át, hogy ötletet merítsek a borítékos probléma megoldásához. A feladat végé azoba egy közelítő értéket kaptam, de ha a ulladik oszlop zárt alakját egészre kerekítem, akkor megkapom a potos értéket: a,m m!. m e egészre Próbáljuk is ki! Keressük meg a 7,3 értékét, amikor 7 levélből 3 va jó helye ( ! táblázat): a7,3 35 8, e egészre 5. táblázat: A számháromszög haszálata m= Σ =0 0! 0! 0! ! ! ! ! ! ! ! ! Mukám sorá regeteg tudással gyarapodtam és a matematika talá legérdekesebb szeletét taulmáyoztam.

28 7 Felhaszált irodalom XXXIV. Felvidéki Magyar Matematikaversey: IV. osztály. Zselíz, 00. p. XXXV. Felvidéki Magyar Matematikaversey: III. osztály. Komárom, 0. p. XXXV. Felvidéki Magyar Matematikaversey: IV. osztály. Komárom, 0. p. [ÁDÁM Adrás] Háy olya permutáció va, amely adott számú elemet rögzít? / Ádám Adrás. I: Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 5. évf. 5. sz. (00.). Bp.: MATFUND Alapítváy p [BARABÁSI Albert-László] Behálózva / Barabási Albert-László.. kiadás. Bp.: Heliko Kiadó, p. [BÁRCZY Barabás] Algebra / Bárczy Barabás.. kötet. kiadás. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p. [DRÖSSER, Christoph] Csábító számok, avagy a mideapok matematikája / Christoph Drösser. Bp.: Atheaeum Kiadó, p. [HAJNAL Imre] Matematika / Hajal Imre. 3. kötet Bp.: Nemzeti Taköyvkiadó, p. [KOVÁCS Ádám] Arayháromszög / Kovács Ádám, Vámos Attila. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p. [LAJKÓ Károly] Függvéyegyeletek feladatokba / Lajkó Károly. Debrece: Debrecei Egyetem Matematikai Itézet, p. [MÁTÉ László] Rekurzív sorozatok / Máté László. Bp.: Taköyvkiadó, p. [OBÁDOVICS J. Gyula] Matematika / Obádovics J. Gyula. 8. kiadás. Bp.: Scolar Kiadó, p. [SAIN Márto] Nics királyi út! / Sai Márto. Bp.: Godolat Köyvkiadó, p. [SOLT György] Valószíűségszámítás / Solt György. 6. kiadás Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p. [SZERÉNYI Tibor] Aalízis / Szeréyi Tibor. 3. kiadás Bp.: Taköyvkiadó, p. [TÓTH Katali] Sokszíű matematika 9. / Tóth Katali. 7. kiadás. Szeged: Mozaik Kiadó, p. [TÓTH Katali] Sokszíű matematika 0. / Tóth Katali. 7. kiadás. Szeged: Mozaik Kiadó, p. [TÓTH Katali] Sokszíű matematika. / Tóth Katali. 5. kiadás. Szeged: Mozaik Kiadó, p. [TÖRÖK Judit] A Fiboacci-sorozat / Török Judit. Bp.: Taköyvkiadó, p. [URBÁN Jáos] Határértékszámítás / Urbá Jáos. Bp.: Műszaki Köyvkiadó, p.

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Kombinatorika feladatok

Kombinatorika feladatok Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23.

Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23. Algebra 11 1. évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3. Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Kombinatorika elemei. dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék

Kombinatorika elemei. dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék Kombiatorika elemei dr. Szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém, Matematika Taszék szalkai@almos.ui-pao.hu 2013.10.26. 2 2. fejezet Kombiatorika elemei Véges halmazok, a kombiatorika alapelvei, általáos elemi

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Kombinatorika és Gráfelmélet

Kombinatorika és Gráfelmélet Kombiatorika és Gráfelmélet Ez az előadásvázlat remélhetőe segíti a vizsgára való felkészülést, de em pótolja az előadást. Vizsgá lehetek olya kérdések, amelyekről ez a jegyzet em szól. Nyíregyháza, 2008.

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben