MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ"

Átírás

1 Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

2 Formai előírások: Fotos tudivalók 1. A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe jelöli a hibákat, hiáyokat stb.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható maximális potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástala megoldás eseté elég a maximális potszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk. Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit, és eek alapjá potozzo.. A potozási útmutató potjai tovább bothatók. Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek. 3. Nyilvávalóa helyes godolatmeet és végeredméy eseté maximális potszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóba szereplőél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi. 5. Elvi hibát követőe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba kettős voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot. Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel, mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következő godolati egységbe vagy részkérdésbe, akkor erre a részre kapja meg a maximális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változik meg. 6. Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális potszámot meghaladó pot) em adható. 9. Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel. 10. A vizsgafeladatsor II. részébe kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetőleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába. Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai. Ha mégsem derül ki egyértelműe, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését em kéri, akkor automatikusa a kitűzött sorred szeriti legutolsó feladat lesz az, amelyet em kell értékeli. írásbeli vizsga 1011 / május 7.

3 1. a) Csak olya x szám lehet megoldás, amelyre Mivel 0 = log 1, 1 5 I. 0,5 < x. Ez a pot akkor is jár, ha csak a helyes végeredméyt veti össze az értelmezhetőséggel. 1 és az alapú logaritmusfüggvéy szigorúa 5 csökkeő, ezért x 1 > 1, azaz x > 1. (Ezek a valós számok eleget teszek a kezdeti feltételek is.) Összese: 4 pot 1. b) 0 1 =, és mivel a -es alapú expoeciális függvéy szigorúa övekvő, ezért x 1 > 0, azaz x 1 >. Ez az egyelőtleség potosa akkor teljesül, ha x 1 >, vagy x 1<. Azaz x >1, 5, vagy x < 0,5. (A megoldáshalmaz: ] ; 0,5 [ ]1,5 ; + [ ) Összese: 6 pot Az egyelőtleség felírásáért idoklás élkül is jár a két pot. Ez a 4 pot akkor is jár, ha grafikoról olvassa le a megoldást ( pot), és elleőrzi, hogy a leolvasott határok potosak ( pot).. a) Az 1 : kicsiyítés azt jeleti, hogy a térképe 1 cm a valóságba cm, vagyis 5 km. Így a bázis és a toryok távolsága 3,5 5 = 17, 5 km. Összese: 3 pot Helyes végeredméy közlése idoklás élkül is 3 pot. írásbeli vizsga / május 7.

4 . b) első megoldás Gamma (G) γ ε 54 Epszilo (E) α β δ α Delta (D) r γ Bázis (B) A vázlat jelöléseivel: az EBD, a BEG és a BGD háromszögek egyelő szárúak, mivel a B pot egyelő távolságra va midhárom másik pottól. β + δ = 14, α = = 19, ε = = 73, β = = 34, δ = = 108. Például a kosziusz-tétel alapjá: GD = 17,5 + 17,5 17,5 cos108 8,3 (km), EG = 17,5 + 17,5 17,5 cos34 10, (km), ED = 17,5 + 17,5 17,5 cos14 33,1 (km). A hétfői teljes úthossz: BE + EG + GD+ DB = 17,5 + 10, + 8,3 + 17, 5 = = 73,5 74 km. A csütörtöki teljes úthossz: BG + GE + ED+ DB = 17,5 + 10, + 33,1 + 17, 5 = = 78,3 78 km. Összese: 1 írásbeli vizsga / május 7.

5 . b) második megoldás Az EDG háromszög köré írt köréek középpotja B, sugara r =17, 5 (km), mivel a B pot ekkora távolságra va midhárom másik pottól. A GBD középpoti szög 108, mert kétszerese az 54 -os GED kerületi szögek. Az EBG középpoti szög = 34. A kerületi-középpoti szögek összefüggése alapjá EDG = 17, és EGD = 109. Az EDG háromszög oldalait az a = r siα összefüggés alapjá számítva: GD = 35 si54 8,3 km, EG = 35 si17 10,3 km, ED = 35 si109 33,09 km. A hétfői teljes úthossz: BE + EG + GD+ DB = 17,5 + 10,3+ 8,3+ 17, 5 = = 73,55 74 km. A csütörtöki teljes úthossz: BG + GE + ED+ DB 17,5 + 10,3+ 33,09+ 17, 5 = = 78, 3 78 km. Összese: 1 Ha az EGD háromszög oldalait egészre kerekíjük, akkor DG=8, EG=10; ED=33, a hétfői úthossz így 73 km, a csütörtöki 78 km. Ezt a számítást is fogadjuk el. írásbeli vizsga / május 7.

6 3. a) A hármas számredszerbe az abb 3 háromjegyű számba a b számjegy háromféle, az a számjegy kétféle lehet, ezért 6 db abb 3 alakú szám va. Írjuk fel ezeket a hármas és a tízes számredszerbe is: a b abb3 tízesbe pot Legalább 8 db jó szám a 1-ből, 11 db jó szám a 1-ből pot. Három szám felel meg a feladat követelméyeiek: a 003 =18, a 113 = és a 3 =6. Összese: 5 pot 3. b) első megoldás Az ötelemű halmazak 5 = 3 darab részhalmaza va, ezek között ulla elemű 1 darab, egy elemű 5 darab va, vagyis legalább kételemű részhalmazok száma: 3 6 = 6. Potosa azokba a halmazokba em osztható hárommal az elemek szorzata, amelyekek elemei között csak a, 4 és az 5 számok szerepelek. 3 Ilye kételemű halmaz = 3 darab, ilye háromelemű 1 darab va. A megfelelő részhalmazok száma tehát ( 6 4 = ). Összese: 8 pot írásbeli vizsga / május 7.

7 3. b) második megoldás Összeszámoljuk, háy olya legalább kételemű részhalmaza va a {; 3; 4; 5; 6} halmazak, amelybe az elemek szorzata osztható hárommal, vagyis amelybe az elemek között va 3-mal osztható is (a 3 vagy a 6). 8 olya részhalmaz va, amelyek eleme a 3, de em 3 eleme a 6, (8 =, a 3 mellé a, 4, 5 elemek közül választhatuk), ezek között legalább kételemű 7 db, mert a { 3 } egyelemű halmaz is ott va a 8 feti részhalmaz között. 8 olya részhalmaz va, amelyek eleme a 6, de em 3 eleme a 3 (8 =, a 6 mellé a, 4, 5 elemek közül választhatuk), ezek között legalább kételemű 7 db, mert a { 6 } egyelemű halmaz is ott va a 8 feti részhalmaz között. Azokak a legalább kételemű részhalmazokak a száma, amelyekek eleme a 3, és eleme a 6 is, 3 összese szité 8 ( =, a 3 és a 6 mellé a, 4, 5 elemek közül választhatuk). A megfelelő részhalmazok száma tehát ( = ). Összese: 8 pot írásbeli vizsga / május 7.

8 3. b) harmadik megoldás A legalább kételemű részhalmaz elemeiek szorzata potosa akkor osztható 3-mal, ha az elemei között va 3-mal osztható (tehát a 3 vagy a 6 legalább egyike az elemek között szerepel). 5 Kételemű részhalmaz = 10 darab va, 3 ezek között = 3-ba em szerepel sem a 3, sem a 6. 5 Háromelemű részhalmaz = 10 darab va, 3 ezek között csak 1 olya va (a { ; 4 ; 5} ), amelybe em szerepel sem a 3, sem a 6. A legalább égyelemű részhalmazok midegyikébe szerepel a 3 és a 6 közül legalább az egyik, tehát ezek midegyike megfelel. A legalább égyelemű részhalmazok száma = Az összes megfelelő részhalmazok száma tehát: 7+9+6=. Összese: 8 pot írásbeli vizsga / május 7.

9 Megjegyzések: 1. Az alábbi táblázatba felsoroljuk az összes legalább kételemű részhalmazt, és azokat, amelyek megfelelek a feladat követelméyeiek: részhalmaz osztható 3-mal { ; 3}, ; 4}, ; 5}, ; 6}, { ; 3}, ; 6}, { összes { { elemek szorzata { elemű { 3 ; 4}, { 3 ; 5}, { 3 ; 6}, { 4 ; 5}, { 4 ; 6}, { 3 ; 4}, { 3 ; 5}, { 3 ; 6}, { 4 ; 6}, ; { 5 6}. ; { 5 6}. { ; 3 ; 4}, ; 3 ; 5}, ; 3 ; 6}, { { { ; 3 ; 4}, ; 3 ; 5}, ; 3 ; 6}, { { 3 elemű { ; 4 ; 5}, { ; 4 ; 6}, { ; 5 ; 6}, { 3 ; 4 ; 5}, { 3 ; 4 ; 6}, { 3 ; 5 ; 6}, { ; 4 ; 6}, { ; 5 ; 6}, { 3 ; 4 ; 5}, { 3 ; 4 ; 6}, { 3 ; 5 ; 6}, ; 5 ; { 4 6}. ; 5 ; { 4 6}. { ; 3 ; 4 ; 5}, { ; 3 ; 4 ; 6}, { ; 3 ; 4 ; 5}, { ; 3 ; 4 ; 6}, 4 elemű { ; 3 ; 5 ; 6},.{ ; 4 ; 5 ; 6}, { ; 3 ; 5 ; 6}, { ; 4 ; 5 ; 6}, { 3 ; 4 ; 5 ; 6}. { 3 ; 4 ; 5 ; 6}. 5 elemű {; 3; 4; 5; 6} {; 3; 4; 5; 6}. Teljes értékű az a megoldás is, amelybe a vizsgázó az összesből azokat a részhalmazokat válogatja ki (sorolja fel), amelyek em felelek meg a feladat követelméyeiek. 3. Ha a vizsgázó csak a megfelelő részhalmazokat sorolja fel, és em tesz arra utalást, hogy miért teljes a felsorolása, megoldására legfeljebb 6 potot kaphat. 4. Ha logikai szitát alkalmaz a vizsgázó, így potozzuk: bee va a 3 + bee va a 6 bee va a 3 és a 6 4 pot = = 4 pot ( ) ( ) írásbeli vizsga / május 7.

10 4. a) első megoldás G 16 cm F Legye az AD él felezőpotja R. Ekkor a PRQ háromszögek R-él derékszöge va. A PAR derékszögű háromszögből (Pitagorasztétellel): PR = ( = 164). Mivel QR=AE=1 (cm), ezért a PRQ derékszögű háromszögből (Pitagorasz-tétellel): PQ = PR + QR = PQ = H D 308 ( 17,55) (cm). Q E R A C P 0 cm B Összese: 4 pot 1 cm Ha ez a godolat csak a megoldás sorá derül ki, ez a pot jár. írásbeli vizsga / május 7.

11 4. a) második megoldás 0 cm G 16 cm F PQ egy olya téglatest egyik testátlója, amelyek egyik csúcsa az A, az A-ból kiiduló három éléek hossza pedig 10 cm, 8 cm és 1 cm. A PQ testátló hossza tehát: PQ = H D = Q 1 cm R 8 cm E A C 304 ( 17,55) (cm). 10 cm P pot pot Összese: 4 pot 1 cm B a testátlóra voatkozó képlet helyes alkalmazásáért, pedig a jó számolásért jár. 4. b) Külöböző élpárokat kiválasztai ayiféleképpe lehet, aháyféleképpe 1 külöböző elemből elemet ki tuduk választai sorredre való tekitet élkül. 1 Ezért a külöböző egyeespárok száma:, 1 11 eek értéke pedig = 66. Összese: 3 pot Ez az helyes megoldás eseté akkor is jár, ha a vizsgázó a magyarázatot em írja le. írásbeli vizsga / május 7.

12 4. c) Mide egyes élegyeest 4 további élegyees metsz, 1 4 ezért a metsző egyeespárok száma: = 4. pot a helyes összeszámlálási módszer megtalálásáért jár akkor is, ha csak a megoldásából derül ki a helyes godolatmeet. Mide egyes élegyeessel 3 további élegyees párhuzamos, ezért a párhuzamos egyeespárok 1 3 száma: = 18. Mide egyes élegyeessel 4 további élegyees 1 4 kitérő, ezért a kitérő egyeespárok száma: = 4. Összese: 4 pot A három eset közül kettőt kiszámítva és a b) feladat eredméyét felhaszálva megkapható a harmadik esethez tartozó szám. Ha a vizsgázó így jár el, de a b)-be kapott hibás eredméyével jól számolva adja meg a (hibás) válaszát úgy, hogy újabb hibát em követ el, a c) részbe adható teljes potszámot megkapja. 4. d) Két kitérő élegyees távolsága a midkettőt merőlegese metsző harmadik élegyeesre illeszkedő él (ormál traszverzális) hossza. Az AE élegyees és az FG (vagy BC) élegyees távolsága ( EF = AB = ) 0 cm. Az AE élegyees és a HG (vagy DC) élegyees távolsága ( EH = AD = ) 16 cm. Összese: 3 pot Ez a pot jár akkor is, ha az ábrá jelölve vaak a távolságok, de szöveges idok ics. írásbeli vizsga / május 7.

13 5. a) első megoldás II. A mértai sorozat háyadosa egyél kisebb pozitív szám, ezért az összegekből képzett S sorozat koverges, határértéke: a s = = = ( 3,5). pot 1 q (Mivel a mértai sorozat mide tagja pozitív, az S 4096 sorozat övekvő, így), S < s = < 3, 5, tehát az 17 állítás igaz. Összese: 4 pot 5. a) második megoldás A mértai sorozat első tagjáak összege: S =, S 1 1 = Az {S } sorozat szigorúa mooto övekedő, (mert 1 az sorozat szigorúa mooto csökkeő), 18 1 és mide -re S <. 17 ( ) 4096 S < = < 3, 5, tehát az állítás igaz Összese: 4 pot írásbeli vizsga / május 7.

14 5. b) a 1 a a3 = a = k = = 18 A számláló kitevője az első pozitív egész ( 1) pot összege, ami zárt alakba. 5 7 Mivel 3 = és 18 =, ezért = Mivel 048 =, megoldadó tehát a ( 1) ( 1) 7. ( 1) 5 7 = 11 3 ( ) egyelet. 5 Ie 7 33 = 40 =, ahoa az expoeciális függvéy kölcsööse egyértelmű volta (szigorú mootoitása) miatt az ( 1) 5 = 40 következik. (Az értéke pozitív egész,) -el oszthatuk, ezért 5 ( 1) = 40. Eek pedig egyetle gyöke az =17. Az eredeti egyelőség egyetle megoldása tehát az =17. Összese: 1 pot írásbeli vizsga / május 7.

15 6. a) első megoldás A két paraboláak potosa akkor va közös potja az x tegelye, ha az x + px + 1 = 0 és x x p = 0 másodfokú egyeletekek va közös gyöke. A közös gyök megoldása az x + px + 1 = x x p pot egyeletek. Redezés utá: x ( p + 1) = ( p + 1). Ha p = 1, akkor az egyeletek mide x valós szám megoldása, tehát a két parabola azoos ( y = x x + 1). Ez az eset tehát em felel meg. Ha p 1, akkor x = 1 lehet csak. Ekkor p =. Így a két parabola egyelete y = x + x + 1, illetve y = x x. (Közös potjuk a ( 1; 0) pot.) Összese: 8 pot írásbeli vizsga / május 7.

16 6. a) második megoldás A két paraboláak potosa akkor va közös potja az x tegelye, ha az x + px + 1 = 0 és x x p = 0 másodfokú egyeletekek va közös gyöke. Jelölje az x + px + 1 = 0 egyelet két (em feltétle külöböző) gyökét x 1 és x, az x x p = 0 egyelet gyökeit pedig x 1' és x '. Viète formulákat alkalmazva: x1 + x = p x1' + x' = 1 illetve x1 x = 1 x1' x' = p (1.) A két egyeletek ugyaazok a számok a megoldásai ( x 1 = x 1 ', és x = x ' ). Ekkor p = 1 lehet csak. Viszot így a két egyelet ugyaazt az y = x x + 1 egyeletű parabolát írja le, amit a feltétel kizár. (.) Ha em egyelő a két megoldáshalmaz, de va közös elemük, pl. x 1 = x 1 '. A Viète-formulákból adódó egyeletek második egyeletei szerit x 1 x = 1 és x1 x' = p. Ezekből x' = px. A Viète-formulákból adódó egyeletek első egyeletei ezek szerit: x 1 + x = p és x 1 px = 1. A két egyelet megfelelő oldalaiak külöbségéből x ( p + 1) = ( p 1) adódik. + Ha p = 1, akkor az (1.) eset valósul meg. Ha p 1, akkor x = 1. Ekkor p =. Így a két parabola egyelete y = x + x + 1, illetve y = x x. (Közös potjuk a (-1; 0) pot.) Összese: 8 pot írásbeli vizsga / május 7.

17 6. b) y x Az y x = + x és az y = x x 3 egyeletű parabolák vázlatos rajza. pot A parabolák közös potjáak első koordiátája 1. Tekitsük az f :[ 1; 0] R, f ( x) = x + x, és [ 1; 0], g( x) = x x 3 g : R függvéyeket. A kérdéses síkidom területe: ( x) dx g( x) dx = ( f ( x) g( x) ) T = f dx ( x + x ( x x 3 ) dx = ( 3x + 3) 1 1 T = dx = pot 3x = + 3x 0 1 = 3 3 = 0 3 = Összese: 8 pot 7. a) 1. hamis. hamis 3. igaz 4. igaz 5. hamis Összese: 5 pot Jól ábrázolt parabolákét 1-. Ha a vizsgázó külö itegrálja a két függvéyt, és azutá végez kivoást, helyes számolás eseté jár az 5 pot. Egyértelműe megadott helyes válaszokért adható pot. írásbeli vizsga / május 7.

18 7. b) 1 A statisztika szerit egy elküldött SMS, azaz 60 körülbelül 0,0167 valószíűséggel em érkezik meg, és így 1 0,0167=0,9833 valószíűséggel megérkezik a címzetthez. Aak a valószíűsége, hogy 3 darab SMS közül potosa 1 em érkezik meg: 3 0,9833 0,0167 1, ami közelítőleg 0,0484 (azaz 4,84%). Összese: 4 pot Ezt a potot akkor is megkapja a vizsgázó, ha ez a godolat csak a megoldásából olvasható ki. Ha a biomiális együttható hiáyzik, vagy hibás, akkor az utolsó két potból legfeljebb 1-et kaphat Ha -dal és -dal számol, akkor ,0483 adódik. írásbeli vizsga / május 7.

19 7. c) Ha darab SMS-t küldük, akkor aak a valószíűsége, hogy ezek midegyike megérkezik: 0,9833. Ezért 1 0,9833 valószíűséggel legalább egy SMS em érkezik meg. Azt a legkisebb természetes számot keressük, amelyekre: 1 0,9833 0, 98. Redezve: Ebből: 0,0 0,9833. log, ,0 (mert az 1-él kisebb alapú logaritmusfüggvéyek szigorúa mooto csökkeők), 3,3. Tehát, ha legalább 33 SMS-t küldük, akkor legalább 0,98 aak a valószíűsége, hogy ezek közül legalább 1 em érkezik meg a címzettjéhez. Összese: 7 pot pot jár a következő megállapításért: Legfeljebb % aak a valószíűsége, hogy midegyik SMS megérkezik a címzettjéhez Ha -dal és -dal számol, akkor 3,8- at kap az egyelőtleség megoldásakét. Ha egyelőtleség helyett egyeletet old meg, de em idokolja azt, hogy a legkisebb értéket kapta meg (pl. mootoitásra való hivatkozással), akkor a c) rész megoldására legfeljebb 4 potot kaphat. írásbeli vizsga / május 7.

20 8. a) r r r r x d l Jelöljük x-szel a lekerekített szélű csatorakeresztmetszet vízszites szakaszát, ekkor a csatora l szélessége: l = r + x. A feltételek szerit: rπ + x = 0 r π és + rx = 55. Az első egyeletből: x = 0 rπ, amit behelyettesítve a második egyeletbe: r π + r ( 0 rπ ) = 55. r π 40r = 0 r 8,7, ekkor x < 0, így ez em megoldás. 1 1 r 4,0, ahoa r = 4, 0 cm. Így x = 0 4π = 7, , 4. A csatora szélessége l = r + x 8,0 + 7,4 = 15, 4 cm. Összese: 6 pot Ha em egy tizedesre kerekítve adja meg a válaszokat, csak egyszer vojuk le ot. írásbeli vizsga / május 7.

21 8. b) A feltételek szerit: r π r π + x = 0, valamit T = r x + maximális. ( x = 0 rπ ) r π r π 0 ( 0 < r ) függvéy maximumát keressük. π A T () r = r ( 0 rπ ) + = + 0r r π T () r = + 0r, teljes égyzetté kiegészítéssel: pot* π 0 00 T () r = r + π π (Az összeg első tagja em pozitív, második tagja álladó, ezért) az összeg akkor maximális, ha az első 0 * tag ullával egyelő, vagyis r = 0. π 0 A maximum helye: r =. * π Ie x = 0 rπ = 0 miatt: a maximális áteresztőképességű csatora keresztmetszetéek szélessége l = r + x = r, amit bizoyítai kellett. A maximális áteresztőképességű csatora keresztmetszete egy olya félkör, amelyek a sugara 0 r = 6,4 (cm). π 0 A feladat egy r = 6, 4 cm sugarú, l = 50 cm π magasságú félheger térfogatáak kiszámítása. 0 π 50 = π V 3 V 15915,5 ( cm ) 16 liter Összese: 10 pot Ha r=6,4 értékkel számol: 6,4 π 50 V = 16084,95 3 ( cm ) értéket kap, amelyből szité következik a 16 liter helyes válasz. írásbeli vizsga / május 7.

22 A *-gal jelölt 4 potos részre aduk még két megoldási módszert: II. módszer r Az r a π + 0r (r R + ) egy olya másodfokú függvéy, amelybe π a főegyüttható ( ) egatív, vagyis a függvéy maximummal redelkezik. A függvéy két zérushelye: r = 1 0 és 40 r =. π A maximumhely a két zérushely számtai közepe, 0 vagyis r = π. 0 Ez 0 < r π miatt a vizsgált T függvéyek is (abszolút) maximumhelye. III. módszer r Az r a π + 0r (r R + ) függvéy deriváltfüggvéye: r a rπ + 0 (r R + ). 0 Eek zérushelyére: r π + 0 = 0, ekkor r = π lehetséges szélsőérték hely. Mivel a második deriváltfüggvéy : r a π eze a helye egatív, 0 így r = maximumhely. π 0 Ez 0 < r miatt a vizsgált T függvéyek is π (abszolút) maximumhelye. írásbeli vizsga 1011 / május 7.

23 9. A bajokság első felébe, (az első öt mérkőzése) az Adrás által dobott potok átlaga legye a. Az első pot öt fordulóba összese dobott potok száma így: 5a. A hatodik, hetedik, yolcadik és kilecedik mérkőzése Adrás összese = 68 potot dobott. 5 a + 68 A kilecedik forduló utái potátlag:. 9 A feltétel alapjá ez az átlag agyobb, mit az első öt mérkőzése dobott átlag, 5a + 68 azaz > a 9 ahoa a < 17. pot A tizedik mérkőzése Adrás által dobott potok száma legye x. A bajokság végé Adrás mérkőzésekéti pot 5a x potátlaga:. 10 5a x A feltétel alapjá: 18, 10 azaz 5a x 180, ahoa x 11 5a. Mivel a < 17, ezért x 11 5a > = = 7. pot Mivel x > 7, ezért Adrásak legalább 8 potot kellett dobia az utolsó fordulóba. Összese: 16 pot írásbeli vizsga / május 7.

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 5 ÉRETTSÉGI VIZSGA 05. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika emelt szit Fotos tudivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 20 május MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. október 19. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 7. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 7. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:. A dolgozatot

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 14. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0815 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003. május-június MATEMATIKA EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003 MATEMATIKA Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010 május 4 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. május 6. Fontos tudnivalók

Részletesebben

ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. jár pont. 2 pont

ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. jár pont. 2 pont 8 b) Összesen (=76+09+40) db kenyeret rendeltek és 4 db-ot küldtek vissza, ez a megrendelt mennyiség,9%-a Összesen 69 (=4+8) péksüteményt rendeltek és 4 db-ot küldtek vissza, ez a megrendelt mennyiség

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1311 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 101 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. május 4. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1512 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0813 É RETTSÉGI VIZSGA 008 október 1 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. Kérjük,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 062 É RETTSÉGI VIZSGA 2006 október 25 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 15. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben